(1)  ||u × v|| = ||u|| ||v|| sin(θ), where θ is min{∠uv, ∠vu}, direction of u×v determined by the right-hand rule   is equivalent to:
(2)  ||u × v|| = (u₂v₃-u₃v₂)i + (u₃v₁-u₁v₃)j + (u₁v₂-u₂v₁)k
  Proof
Per (1), i × i = 0, i × j = k, j × k = i, i × k = -j, …
Inoltre, come per il prodotto scalare, vale a×(b+c) = a×b+a×c. Quindi:
(u₁i+u₂j+u₃k) ×(v₁i+v₂j+v₃k) = u₁i×(v₁i+v₂j+v₃k) + u₂j×(v₁i+v₂j+v₃k) + u₃k×(v₁i+v₂j+v₃k) =
… = (u₂v₃-u₃v₂)i + (u₃v₁-u₁v₃)j + (u₁v₂-u₂v₁)k

In definitiva:
u·v =	0 if u=0 or v=0,	u·v =	||u|| ||v|| cos(θ) altrimenti,
||u × v|| =	0 if u=0 or v=0,	||u × v|| =	||u|| ||v|| sin(θ) altrimenti.