Lo spazio tridimensionale [1ª parte] (2ª)

Abbiamo già considerato lo lo spazio tridimensionale; abbiamo visto come si può definire per esso una distanza; abbiamo considerato alcuni problemi legati alla realizzazione di rappresentazioni cartografiche piane di figure in tre dimensioni; e abbiamo visto come determinare il volume di alcuni solidi, anche nel caso in cui possono essere "generati" col movimenti di alcune superfici piane ( altri usi degli integrali). Abbiamo, anche, considerato la problematica delle rappresentazioni prospettiche (nelle voci proiezioni tra superfici  e  prospettiva).
    Abbiamo, poi, accennato alla possibilità di considerare vettori in tre dimensioni. Soffermiamoci, inizialmente, su quest'ultimo aspetto.
    Premettiamo una notazione, che può essere utile. Quando si considerano due insiemi A e B, l'insieme delle coppie (x, y) al variare di x in A ed y in B viene indicato A×B. Analogamente, dato un altro insieme C, con A×B×C si indica l'insieme delle terne (x, y, z) al variare di x in A, y in B e z in C. In particolare il piano e lo spazio cartesiani vengono indicati R×R e R×R×R o, più in breve, R² e R³.  Data le analogie di scrittura con la moltiplicazione tra numeri, A×B viene chiamato prodotto cartesiano degli insiemi A e B; non valgono, tuttavia, tutte le proprietà della moltiplicazione tra numeri, ad esempio se A={1,2} e B={5}, A×B è l'insieme delle due coppie (1,5) e (2,5), che è diverso da B×A, costituito dalle due coppie (5,1) e (5,2).

I vettori tridimensionali Per rappresentare e misurare molte grandezze fisiche, come forze o velocità, ci si serve di vettori piani se queste sono dirette lungo direzioni che stanno tutte nello stesso piano, di vettori tridimensionali in generale.  Come abbiamo già visto, possiamo rappresentare i vettori in vari modi: con delle frecce sovrapposte, come differenze tra punti, con delle lettere in corsivo o con delle lettere in grassetto.  In questa voce, quando useremo delle lettere in grassetto intenderemo sempre che esse rappresentino dei vettori.  Useremo, in particolare, i, j e k per indicare i versori ( direz. e funz. circolari) degli assi, ossia i vettori lunghi 1 (o vettori unitari) diretti come i tre assi coordinati  (attenzione: i in questo caso rappresenta il versore dell'asse x, non quello dell'asse y, come accade quando si studiano i numeri complessi).     Facendo riferimento alla figura a fianco, i vettori 2i, 3j e k sono i vettori diretti come i, j e k di lunghezza, ordinatamente, doppia, tripla ed uguale ad essi. Il vettore (0,0,0)-(2,3,1) posso rappresentarlo con la somma 2i+3j+k.

i = (1, 0, 0)     j = (0, 1, 0)     k = (0, 0, 1)

Ricordiamo ( vettori) che la "lunghezza" del vettore v, ossia, nel caso precedente, il numero √(22+32+1) (= √14 = 3.741657…), viene chiamata modulo di v; si usa anche il termine norma di v. Essa viene indicata |v| o ||v||.  Usando la seconda scrittura,  ||(x, y, z)|| = √(x2+y2+z2).     Nel seguito consideremo i vettori come "non applicati" ( vettori), ovvero come se tutti fossero applicati nell'origine. In altre parole consideremo due vettori uguali se rappresentati da due frecce egualmente dirette ed egualmente lunghe.     (0,0,0) è l'unico vettore di modulo nullo. In modo ovvio si estendono al caso tridimensionale le definizioni già date per il caso bidimensionale, come quelle di ( vettori) addizione e sottrazione. Il vettore (0,0,0) è l'elemento neutro rispetto a questa addizione, e lo indicheremo anche, semplicemente, con 0.     Ricordiamo che spesso chiameremo scalari ( vettori) i numeri reali, per distinguerli dai vettori. Useremo la notazione  kv  per indicare il vettore prodotto di uno scalare k per un vettore v, dato da (kv1, kv2, kv3)  (se v = (v1,v2,v3)).

Se v ≠ 0 chiamiamo normalizzazione di v il passaggio a  v / ||v||,  ossia al versore diretto come v.  Le componenti del versore u ottenuto normalizzando v = (v1,v2,v3) vengono dette anche coseni direttori di v in quanto sono dati dal coseno degli angoli che v forma con i tre assi coordinati:  ui = cos(∠ v xi)  (avendo indicato gli assi x, y e z con x1, x2 e x3). La figura a lato illustra il caso di u3. Con un'analoga costruzione si possono illustrare gli altri due casi. Si noti che posso scrivere sia  cos(∠ v xi)  che  cos(∠ xi v)  in quanto cos(α) = cos(–α).

Una somma del tipo  a1v1+a2v2+…+anvn  (con ai numeri reali e vi vettori) viene detta combinazione lineare dei vettori v1, v2, …, vn.  Evidentemente, ogni vettore può essere espresso (in modo unico) come combinazione lineare di i, j e k.

  Viene chiamato prodotto scalare o prodotto interno (o dot product, in inglese) di due vettori u e v,  e indicato u·v,  il numero pari al prodotto del modulo di u per la proiezione di v su u:  vedi la prima figura sottostante  (qualche decennio fa esso veniva indicato u×v, notazione oggi usata per il prodotto vettoriale: vedi il prossimo paragrafo).  Se u e v sono perpendicolari il loro prodotto scalare (2ª figura) è nullo.  Se u e v formano un angolo minore di un retto hanno prodotto scalare positivo.  Se (3ª figura) u e v formano un angolo compreso tra un retto e un piatto hanno prodotto scalare negativo.  Se (4ª figura) u e v formano un angolo maggiore di un piatto ci possiamo ricondurre ad una delle situazioni precedenti.  Se u o v è nullo tale è anche il loro prodotto scalare.

    In fisica, se F rappresenta un vettore forza costante applicato per produrre uno spostamento s, si prende come lavoro il prodotto tra la componente di F diretta come s e l'intensità di s, ossia il prodotto scalare s·F.

    La proiezione di un vettore su un'altro è data dalla moltiplicazione di essi e del coseno dell'angolo da essi formato ( direz. e funz. circolari); il valore di questo non dipende dall'ordine con cui prendiamo gli angoli (cos(α) = cos(−α)), per cui possiamo anche scrivere:
u·v = u·v = 0 se u = 0 o v = 0,  altrimenti u·v = ||u|| ||v|| cos(θ), dove θ è ∠uv o, equivalenemente, ∠vu.
    Nei casi estremi (i vettori sono paralleli o perpendicolari) è facile vedere che la definizione precedente di prodotto scalare equivale alla seguente:
u·v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃,  se u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃).
    Questa proprietà e la seguente:   u · (v + w) = u · v + u · w    (la possibilità di distribuire il prodotto scalare rispetto alla somma) valgono in generale   (prova a dimostrarlo; controlla qui le dimostrazioni richieste).

    Si può dimostrare che la distanza tra due punti P e Q sulla sfera unitaria è data dall'arcocoseno del prodotto scalare tra P e Q.

Esercizi:   uno  e  soluz.,   due  e  soluz.

Viene chiamato prodotto vettoriale (o cross product, in inglese) di due vettori u e v,  e indicato u×v,  il vettore  che ha intensità pari all'area del parallelogramma che ha per lati u e v e che è diretto secondo la "regola della mano destra" − vedi la figura sottostante − ossia come è diretto l'asse z se u e v sono diretti come l'asse x e l'asse y  (un tempo veniva indicato u∧v).  Se uno dei due vettori, u e v, è nullo o se i due vettori sono allineati, il loro prodotto vettoriale è il vettore nullo.
Nella figura a destra è illustrato il caso in cui u = (0, 2.5, 1) e v = (0, 2, 2). Il prodotto u×v è (3, 0, 0).     La cosa può essere facilmente verificata direttamente, o come coseguenza del seguente fatto, la dimostrazione del quale lasciamo per esercizio (qui può essere controllata):

u × v =	| | | | |		i		j		k		| | | | |	se u = (ux, uy, uz), v = (vx, vy, vz)
			ux		uy		uz
			vx		vy		vz

dove l'oggetto 3×3 rappresentato sopra (detto determinante, su cui ci si sofferma più in generale alla voce matrici) è una abbreviazione per  i (u_yv_z − u_zv_y) − j (u_xv_z − u_zv_x) + k (u_xv_y − u_yv_x),  che è facile memorizzare pensando allo schema seguente:

| | | | |

i

j

k

| | | | |

| | | | |

i

j

k

| | | | |

| | | | |

i

j

k

| | | | |

ux

uy

uz

ux

uy

uz

ux

uy

uz

vx

vy

vz

vx

vy

vz

vx

vy

vz

    Verifichiamo, usando questa proprietà, che se  u = (0, 2.5, 1)  e  v = (0, 2, 2)  allora  u×v  è  (3, 0, 0):

| | | | |		i		j		k		| | | | |	=  i (2.5·2 − 1·2) − j (0·2 − 0·1) + k (0·2 − 0·2.5)	= 3 i
		0		2.5		1
		0		2		2

    Il prodotto vettoriale è definito solo nel caso tridimensionale (se ho due vettori non paralleli il loro prodotto vettoriale esce necessariamente dal piano da essi individuato).

Si ha, immediatamente, che i×i = j×j = k×k = 0, i×j = k, j×i = −k, …     Si ha inoltre (vedi figura a sinistra) che anche per il proddoto vettoriale vale la proprietà distributiva  (se aggiungo w a v l'area del parallelogramma cresce in proporzione):       u × (v + w) = u × v + u × w

Si ha inoltre (vedi figura a destra) che  w ·(u × v)  equivale al volume del parallelepipedo avente i tre vettori come lati  (u×v ha come modulo l'area di una faccia ed è diretto perpendicolarmente a questa; il suo prodotto scalare per w è pari al prodotto del suo modulo per la componente di w perpendicolare alla faccia).  Considerando in diverso ordine i lati del parallelepipedo, possiamo esprimere, equivalentemente, tale volume come  u ·(v × w)  o come  v ·(w × u).

Esercizi:   uno  e  soluz.,   due  e  soluz.,   tre  e  soluz.

I prodotti vettoriali sono importantissimi in fisica, per indicare grandezze e relazioni tra esse. Qui ci limitiamo a considerare il momento di una forza, generalizzando considerazioni già svolte in precedenza ( proporzionalità inversa e figure 2):  il momento M di una forza F applicata nel punto P attorno al punto P0 è espresso dalla equazione  M = (P − P0) × F.  Esso è un vettore che ha intensità pari alla distanza P0H tra la retta lungo cui è applicata F e il punto P0  moltiplicata per l'intensità di F (come avevamo già visto),  ed è diretto come illustrato nella figura a fianco, perpendicolarmente al piano individuato da F e P0.     Accanto ai vettori in R³ sono considerati i vettori in Rn con n > 3. Essi si occupano di n-uple di numeri reali e di tabelle di dimensioni maggiori di quelle 3×3, qui considerate. Trovano applicazioni, tra l'altro, in statistica e in economia, oltre che in vari ambiti algebrici e geometrici. Se proseguirai gli studi in ambito matematico avrai occasione di esaminare queste generalizzazioni.

    Ricordiamo che i punti dello spazio sono descrivibili anche mediante coordinate sferiche, in modo analogo a quanto visto per le coordinate polari nel caso di  punti del piano: si prende l'asse z come asse polare, si considera come ρ la distanza dall'origine e si prendono come altre due coordinate la longitudine (o azimut) e la colatitudine (ossia il complementare della latitudine: lo spazio).

  Rette e piani

Una retta nello spazio può facilmente essere descritta generalizzando quanto fatto ( rette tangenti e curve) nel piano.  Ad esempio la retta che passa per i punti (3, 4, 0) e (2, 1, 3) è l'insieme dei punti P che possono essere raggiunti da (3, 4, 0) mediante spostamenti diretti come il vettore (3, 4, 0)-(2, 1, 3) o il vettore opposto:
	P = (3, 4, 0) + (−1, −3, 3)·t   ovvero, indicando P con (x, y, z),     x = 3 − t     y = 4 − 3t     z = 3t.
	Per t > 0 ho i punti che stanno sulla semieretta di origine (3, 4, 0) diretta come il vettore (−1, −3, 3), per t < 0 ho quelli che stanno sulla semiretta diretta come il vettore opposto.
	Vediamo come descrivere il piano che passa per i punti dei tre assi di ascissa 3, di ordinata 3 e di quota 3:

esso è perpendicolare alla retta x = y = z raffigurata a lato, tra l'origine e il punto (5, 5, 5), ossia alla retta diretta come (1,1,1);  un punto P sta nel piano se il vettore da un punto del piano, ad es. (3,0,0), e P è perpendicolare a tale retta, ossia, indicato P con (x,y,z), se    (x−3, y, z) × (1,1,1) = 0, ossia  x−3+y+z = 0, ossia  x+y+z = 3.  Questa è l'equazione del nostro piano, ossia la descrizione di un punto (x,y,z) che sta in esso.     In modo del tutto analogo si trova che il piano contenente il punto  (x0, y0, z0)  perpendicolare al vettore  (a,b,c)  ha equazione  a(x−x0) + b(y−x0) + c(z−x0) = 0 : (x, y, z) che soddisfi questa equazione è tale che il prodotto scalare del vettore (x0,y0,z0)-(x,y,z) per il vettore (a,b,c) sia nullo. Ovviamente, ax+by+cz=m al variare di m sono tutti piani paralleli, perpendicolari al vettore (a,b,c).

Esercizi:   uno  e  soluz.,   due  e  soluz.,   tre  e  soluz.,   quattro  e  soluz.

Lo spazio tridimensionale (2ª parte)

  Grafici di funzioni di due variabili e superfici

Così come le rette non perpendicolari all'asse x sono interpretabili ( figure 2) come grafici di funzioni ad un input ed un output reali, così i piani non perpendicolari al piano di input sono interpretabili come grafici di funzioni ad due input ed un output reali. Ad esempio il piano  x+y+z = 3,  ovvero  z = 3−(x+y),  considerato sopra, non è altro che il grafico della funzione  (x, y) → 3−(x+y).
    In analogia a quanto visto per il cerchio ( figure 1), una sfera può non può essere pensata come il grafico di una funzione di due variabili, mentre possono esserlo o la semisfera che sta al di sopra del piano orizzontale che la taglia in due parti uguali o quella che sta al di sotto di essa.  Consideriamo il caso, più semplice, della sfera centrata in O = (0,0,0) e di raggio 1. Un punto P = (x,y,z) di essa (vedi figura sotto a destra) dista 1 da O, quindi, indicata con Q l'intersezione col piano z=0 della retta verticale passante per P, abbiamo:

OQ² + z² = 1,  ovvero, per il teorema di Pitagora,  x² + y² + z² = 1.

Questa, ovvero, z² = 1 − (x² + y²), è l'equazione della sfera.
z = √(1 − (x² + y²)) è l'equazione della semisfera rappresentata sopra a sinistra,  z = −√(1 − (x² + y²)) è l'equazione della semisfera simmetrica alla precedente rispetto al piano z=0.  Questi sono due altri, semplici, esempi di funzioni a due input e un output reali.

Di queste superfici sappiamo trovare facilmente le curve di livello ( pendenze e curve di livello):  nel caso di un piano si tratta di rette tra loro parallele,  nel caso di una sfera si tratta di cerchi, se la quota sta tra la quota del punto più basso e quella del punto più alto della sfera, e di questi due stessi punti se le quote sono le loro terze coordinate (in corrispondenza di altre quote non vi sono curve di livello).  A lato è raffigurata la curva di livello che corrisponde alla quota z0, con z0 compreso tra 0 ed 1, della sfera considerata sopra.     Consideriamo, ancora, alcune superfici, evitando di sviluppare una trattazione generale, che potrà essere affrontata successivamente, in studi specialistici, da parte di chi è interessato all'argomento.

Sia  z = 5 − √(x2 + y2).  Osserviamo che z ≤ 5.  Inoltre se z = 5  x2 + y2 = 0, ossia l'intersezione col piano z = 5 è costituita dal solo punto x = 0, y = 0.  Se z = 4 abbiamo x2+y2 = 1, ossia il cerchio di raggio 1; se z = 3 abbiamo x2+y2 = 4, ossia il cerchio di raggio 2. Se z = z0 (< 5) abbiamo √(x2 + y2) = 5−z0, ossia il cerchio di raggio 5−z0. Evidentemente, dato che z dipende da x2 + y2, si tratta di un solido di rotazione attorno all'asse z ( altri usi degli integrali).  Esso è generato dalla rotazione della curva che si ottiene intersecando la superficie col semipiano y=0, x≥0, ossia dalla rotazione della semiretta z = 5−x, x≥0 :  è un cono circolare retto.     Consideriamo altre due superfici, raffigurate parzialmente sotto:  il grafico di  f : (x, y) → x2 + y2/4  e quello di  g : (x, y) → sin(x·y).

    La superficie z = x² + y²/4 se la taglio col piano y = 0 dà luogo alla parabola verticale z = x² (vedi figura), se la taglio col piano x = 0 dà luogo alla parabola verticale z = y²/4, se la taglio col piano z =1 dà luogo alla ellisse orizzontale 1 = x² + y²/4.  Questa superficie viene chiamata paraboloide ellittico.

La superficie z = sin(x·y) se la taglio col piano y = 0 dà luogo all'asse x, ossia alla retta  y=0 & z = 0,  se la taglio col piano x = 0 dà luogo all'asse y, ossia alla retta  x=0 & z = 0,  se la taglio col piano y = x dà luogo alla curva  y=x & z = sin(x2), raffigurata a destra.     Il collegamento seguente, quadriche, presenta le forme che può assumere, in generale, una superficie descrivibile mediante una equazione polinomiale di secondo grado.     Come ottenere grafici di funzioni di due variabili con R.

g <- function(x,y) sin(x*y)
x1 <- -3; x2 <- 3; y1 <- -3; y2 <- 3
x <- seq(x1,x2,len=30); y <- seq(y1,y2,len=30); z <- outer(x,y,g)
persp(x, y, z, theta=30, phi=30, expand=0.5, col="lightblue")

Suddivido i due intervalli in 30 intervallini Metto in z le uscite della funzione Traccio il grafico con una certa longitudine (theta)             e una certa inclinazione (phi), in gradi Con expand scelgo il rapporto tra alt. e largh. della figura Con col scelgo il colore del grafico

persp(x, y, z, theta=30, phi=30, scale=FALSE, col="lightblue")

Con scale=FALSE il sistema è monometrico:     la scala delle z è la stessa di quelle delle x     e delle y

persp(x,y,z,theta=30,phi=10,expand=0.3,col="lightblue", ticktype="detailed",zlim=c(-2,2))

Posso far tracciare le tacche (tick)     e scegliere l'intervallo delle z Ho cambiato anche l'inclinazione

Questa figura è stata ottenuta modificando il punto di vista: theta=35, phi=0 e aggiungendo in "persp": shade=0.4, cex.axis=0.8, cex.lab=0.8 dove shade crea l'"ombra" e gli altri comandi dimensionano le coordinate e i nomi degli assi.

contour(x,y,z,col=heat.colors(12),nlevels=5)

Ho tracciato le curve di livello colorate in rosso e con una certa densità (per vederne di più devo aumentare "nlevels")

    Come fare cose più sofisticate:

g <- function(x,y) sin(x*y)
x1 <- -3; x2 <- 3; y1 <- -3; y2 <- 3; z1 <- -1; z2 <- 1
x <- seq(x1,x2,len=30); y <- seq(y1,y2,len=30); z <- outer(x,y,g)
expa <- 0.4    # è il rapporto tra altezza e lato di base della scatola
graf <- function(th,ph) {
par( mai = c(0.3,0.3,0.3,0.3) ) # riduco i margini
   F <- persp(x,y,z,zlim=c(z1,z2), theta=th, phi=ph, expand=expa, col="yellow",
         ticktype="detailed",border="red",shade=0.3,cex.axis=0.75,cex.lab=0.8)
   lines(trans3d(c(x1,0),c(0,0),c(0,0), pmat=F),col="blue",lwd=1,lty=1)
   lines(trans3d(c(0,0),c(0,y1),c(0,0), pmat=F),col="blue",lwd=1,lty=1)
   lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(z1,0), pmat=F),col="blue",lwd=1,lty=1)
   lines(trans3d(c(0,x2),c(0,0),c(0,0), pmat=F),col="blue",lwd=2,lty=1)
   lines(trans3d(c(0,0),c(0,y2),c(0,0), pmat=F),col="blue",lwd=2,lty=1)
   lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(0,z2), pmat=F),col="blue",lwd=2,lty=1)}
# Se metti expa <- … modifichi la scala verticale, con expa <- 1 hai un cubo
# Metti 'scale=FALSE' al posto di 'expand=expa' se vuoi una scala monometrica
# Aggiungendo 'd=20' (d>>1) allontani l'occhio, 'd=0.2' (d<<1) lo avvicini.
# Se non vuoi assi o semiassi, metti lty=0 nelle righe corrispondenti
# Metti lty=3 o lty=2 se li vuoi tratteggiati
# Aggiungi dentro alla function 'graf' comandi per il tracciamento di altre curve;
# es.: per tracciare anche il cerchio unitario sul piano z=0 aggiungi:
# phi <- seq(0,2*pi,len=201);xr <- cos(phi);yr <- sin(phi)
# lines(trans3d(xr,yr,0,F), col="brown", lwd=2)
#
graf(120,40) # cambiando th e ph ottengo altri punti di vista:
graf(100,30)
graf(45,-30)
# Se vuoi ottenere le curve di livello a tre livelli sopra o sotto
# al piano z=0 puoi usare
contour(x,y,z, zlim=c(0,-1), nlevels=3)
contour(x,y,z, zlim=c(0, 1), nlevels=3)
# Se vuoi ottenere curve a determinati livelli e variamente colorate
contour(x,y,z, levels=c(-1/2,-1/4,0,1/2),col=rainbow(4))
contour(x,y,z, levels=c(-1/2,-1/4,0,1/2),col=heat.colors(4))
contour(x,y,z, levels=c(-1/2,-1/4,0,1/2),col=rainbow(10))
# Altra funzione:
f <- function(x,y) x^2+y^2/4
x1 <- -3; x2 <- 3; y1 <- -3; y2 <- 3; z1 <- 0; z2 <- 12
x <- seq(x1,x2,len=30); y <- seq(y1,y2,len=30); z <- outer(x,y,f)
expa <- 1
graf(40,-25)
#
# Sotto il grafico di  q <- function(x,y) sqrt(1-(x^2+y^2)) visto dal
# basso, aggiungendo 'd=20' e 'scale=FALSE' al posto di 'expand=expa'
# e il tracciamento del cerchio unitario in z=0
# e quello ottenuto con 'd=0.5', mettendo 'red' come colore degli assi,
# 'green' come colore della figura e 'blue' come colore dei bordi.
# Sotto ancora quello, da un altro punto di vista, senza il tracciamento
# del cerchio, con box=FALSE e senza 'shade=0.3', che dà l'ombreggiatura.
# Poi delle curve di livello, tracciate con [asp=1 è per il sistema monometrico]:
# contour(x,y,z,levels=c(0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9),asp=1,lwd=2,col=rainbow(7))
# abline(h=axTicks(2),v=axTicks(1),lty=3)

# Altro esempio:
k <- function(x,y) sin(x)+cos(2*y)
x1 <- y1 <- -pi; x2 <- y2 <- pi; z1 <- -2; z2 <- 2

Puoi trovare approfondimenti nella sezione Multi-Variable Calculus del Calculus Tutorial a cui puoi accedere da qui.

[ Qui trovi come tracciare curve di livello e grafici di funzioni di due variabili con altro software gratuito]

Esercizi:   uno  e  soluz.,   due  e  soluz.,   tre  e  soluz.

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