Le tassellazioni di Escher

È facile realizzare moduli di figure più o meno regolari che ripetendosi riempano il piano:

Non è facile capire come poter costruire figure che non siano banalmente quadrati o poligoni comunque regolari. Una risposta a questo problema è data dal seguente teorema (dovuto al cristallografo Friedrich Haag), utlizzato dall'artista Maurits Cornelis Escher (vedi) e spesso chiamato "teorema di Escher":

Teorema

Dal vertice A di un triangolo equilatero ABC si tracci un segmento AD di lunghezza e direzione arbitrarie (AD potrebbe, per esempio, anche essere più lungo di AB e/o secare BC); poi si tracci il segmento AE tale che AE=AD e DAE=120°.  Si tracci EC; poi si tracci il segmento EF tale che EC=CF e ECF=120°.  Infine si congiungano F con B e B con D.

Si ha che: DB=BF e FBD=120°, e che il piano è completamente riempibile senza sovrapposizioni da esagoni uguali ad ADBECF.

   

Per approfondimenti si vedano The Mathematical Side of M. C. Escher di D. Schattschneider e Napoleon, Escher and Tessellations di J.F. Riflby.

Costruito un "esagono", partendo dall'enunciato del teorema, si possono costruire (su carta con strumenti "tradizionali" o impiegando il computer) figure che confermano la validità del teorema. Le figure possono essere arricchite inscrivendo negli esagoni altre immagini, eventualmente colorate:

   

Una tassellazione di Escher:

 

Ecco alcune tassellazioni generate (sulla base del teorema precedente) col programma per R presente qui (vedi gli "esempi - 14");  batti source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") e poi escher():

Per altri tipi di tassellazioni vedi qui.

Una problematica collegata a quella delle tassellazioni è quella dei colori necessari per colorare le figure di una mappa in modo che non vi siano mappe dello stesso colore in contatto per singoli punti; vedi il teorema dei quattro colori; vedi anche qui. Vedi il link nel paragrafo precedente per la colorazione delle tassellazioni poligonali.

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