Se ritagliamo da un triangolo di carta le "punte" e le riuniamo senza sovrapporle in modo che i vertici si tocchino, osserviamo che esse vengono a formare un angolo di 180°. Per avere una conferma che questo è un fatto generale possiamo ripetere la prova con altri triangoli. Ci conviene farlo al computer, con un'applicazione per l'elaborazione delle immagini: comunque tracciamo un triangolo, se, come illustrato a lato, ritagliamo e spostiamo porzioni dei suoi angoli (traslandole col mouse e facendo fare una rotazione di mezzo giro ad una delle tre), riusciamo a formare un angolo di 180°.

    Questi esperimenti di per sé ci consentirebbero di congetturare, abbastanza fiduciosi, che la somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo è 180°, ma non ce ne darebbero la certezza assoluta. Vediamo una argomentazione che vale invece per qualunque triangolo.

Dato un triangolo, sia AB un segmento su un suo lato.     Lo traslo lungo il lato (nella direzione AB) fino a portare B su un vertice. Compio una rotazione (di ampiezza x) del segmento attorno a tale vertice, fino a che il segmento si dispone su un nuovo lato.     Proseguo con trasformazioni analoghe: traslo e ruoto di ampiezza y, traslo e ruoto di ampiezza z, fino a ottenere un segmento sovrapposto a quello iniziale, ma con gli estremi scambiati: A è stato trasportato in quella che inizialmente era la posizione di B, e viceversa.     La direzione della semiretta AB è complessivamente variata di 180°:

x + y + z = 180°.

    Naturalmente entrambe le argomentazioni valgono nel piano euclideo (cioè nel piano cartesiano dotato della distanza euclidea), nel cui ambito abbiamo definito il nostro concetto di direzione. La proprietà vale, con buona approssimazione, per i triangoli tracciati su un foglio e gli angoli misurati con un goniometro e in tutte le situazioni modellizzabili con il piano euclideo.
  Tuttavia se tracciamo un triangolo su una grande superficie piana (cioè senza rilievi o avvallamenti, salite o discese, …), ad es. su una grande distesa piana ghiacciata, o consideriamo il triangolo individuato dalle traiettorie rettilinee di tre navi, man mano che aumentano le dimensioni di questo triangolo la somma degli angoli si allontana sempre più da 180°. Consideriamo le tre situazioni sotto raffigurate, riferite a traiettorie rettilinee di navi […]