Funzioni circolari e trigonometria [1ª parte] (2ª)

#1  Richiami sulle funzioni circolari

    Abbiamo visto il significato di direzioni e funzioni circolari e, nella stessa voce, diversi modi di indicarle e alcune loro proprietà, con rimandi al modo in cui determinarne alcuni valori.
    La figura a lato richiama, comunque, il valore del seno e del coseno di alcuni angoli d'uso frequente, che è opportuno ricordare a memoria e, nello stesso tempo, saper ricavare facilmente, tenendo presente che si tratta di triangoli rettangoli aventi ipotenusa lunga 1 e i cateti disposti sugli assi:
  sin(30°) = sin(π/6) = 1/2  in quanto il triangolo individuato è metà del triangolo equilatero ottenuto per ribaltamento attorno al cateto orizzontale:  il cateto verticale è dunque metà dell'ipotenusa;
  sin(45°) = sin(π/4) = √2/2  in quanto il triangolo individuato è metà quadrato avente diagonale lunga 1;
  sin(60°) = sin(π/3) = √3/2  in quanto il triangolo rettangolo individuato ha ipotenusa lunga 1 e un cateto lungo 1/2:  l'altro è lungo √(1-1/4) = √3/2;
  cos(60°) = sin(30°),  cos(45°) = sin(45°),  cos(30°) = sin(60°).
   

    Abbiamo visto anche alcuni significati delle funzioni circolari in relazione a particolari trasformazioni geometriche  nonché il significiato grafico del loro periodo.
    La figura seguente sintetizza alcune delle informazioni richiamate nelle voci precedentemente citate:

    Abbiamo anche, in direzioni e funzioni circolari e in periodo (e frequenza), richiamato il significato delle funzioni inverse delle funzioni circolari.

    La figura a lato riproduce i grafici delle funzioni inverse circolari. Sono ottenuti scambiando x ed y nei grafici delle funzioni circolari  (clicca l'immagine per vederla più grande, assieme ai grafici di sin, cos e tan).

Esercizio  (e   soluzione)

 

    Abbiamo anche visto (discutendo dei numeri complessi) come si possono ottenere alcune formule relative ai valori che le funzioni circolari assumono in  α + β  a partire dai valori che esse assumono in α e in β.

Esercizio  (e   soluzione)

    Oltre che di funzioni circolari si parla anche di funzioni trigonometriche. Più in generale si parla di trigonometria (termine che deriva da triangolo e da goniometro) per indicare quella parte della matematica che studia le funzioni circolari e il loro impiego per studiare i triangoli, o figure in cui compaiono triangoli.

#2  Derivazione
    La pendenza di y = sin(x), come quella di ogni grafico di una funzione periodica, ha andamento periodico:  se in x il grafico di sin ha una certa pendenza, la stessa pendenza deve avere in x + 2π.  Osserviamo inoltre (vedi figura seguente) che in 0 il grafico di sin ha pendenza 1, in π/2 ha pendenza 0, in π ha pendenza -1, ossia in tali punti ha gli stessi valori che assume la funzione cos.

Tutti ciò fa supporre che  D(sin) = cos.  E, infatti, per h → 0, sfruttando quanto richiamato sopra [] per il seno della somma, abbiamo:

sin(x+h)–sin(x)
——————
h
 = 
sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)–sin(x)
——————————————
h
 = 
sin(x) cos(h)–1
———
h
 + 
cos(x) sin(h)
——
h
  
cos(x)

dove l'ultimo limite deriva dal fatto che  sin(h)/h → 1  per  h → 0  [].

    Analogamente possiamo supporre, e dimostrare, che  D(cos) = –sin.
Infatti  Dx(cos(x)) = Dx(sin(π/2−x)) = cos(π/2-x)·Dx(π/2−x) = −sin(x).

    Possiamo pure dedurre, facilmente, che:

D(tan) = 1 / cos2 = 1 + tan2 D(arctan)(x) = 1 / (1+x2) D(arcsin)(x) = 1 / √(1−x2)

Infatti:  Dx(tan(x)) = Dx(sin(x)/cos(x)) = []  (cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)) / cos(x)2 = …
D(arctan)(x) = []  1/D(tan)(arctan(x)) = 1/(1+tan(arctan(x))2) = …
D(arcsin)(x) =  1/D(sin)(arcsin(x)) = 1/cos(arcsin(x))) = …

    Si potrebbero, infine, dedurre le derivate di altre funzioni, poco usate:  secante = 1/cosenocosecante = 1/senocotangente = 1/tangente  (= tangente del complementare).

Esercizio (e soluzione)           Esercizio (e soluzione)           Esercizio (il 3°) (e soluzione)

Esercizio (il 2°) (e soluzione)   Esercizio (il 1°) (e soluzione)   Esercizio (il 2°) (e soluzione)

Funzioni circolari e trigonometria (2ª parte)

#3  Altre formule
    Da formule viste (quelle richiamate parlando dei numeri complessi, relative a come trovare una funzione circolare di α+β noti i sui valori per α e per β) all'occorrenza se ne possono ricavare altre; ad es.
  2α = x,  cos(x) = cos(2α) = cos(α)2−sin(α)2 = (cos(α)2−sin(α)2)/(cos(α)2+sin(α)2) = (1−tan(α)2)/(1+tan(α)2) = (1−t2)/(1+t2)   avendo posto  t = tan(α) = tan(x/2)
  e l'analoga  sin(x) = 2t/(1+t2)  avendo posto nuovamente  t = tan(x/2)
entrambe note come formule parametriche  (il termine "parametro" lo abbiamo già incontrato in questo significato alla voce tangente), e, più raramente, le seguenti formule di prostaferesi (dai termini greci prostesis ed aferesis, che significano "somma" e "differenza"):
  sin(x)−sin(y) = 2 sin((x−y)/2) cos((x+y)/2)   (si ottiene ponendo x = a+b, y = a−b e usando a = (x+y)/2, b = (x−y)/2)
  sin(x)+sin(y) = 2 sin((x+y)/2) cos((x−y)/2)
  cos(x)−cos(y) = −2 sin((x+y)/2) sin((x−y)/2)
  cos(x)+cos(y) = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)   (ottenibili in modo simile)
un tempo, quando non c'erano le calcolatrici, usate per i calcoli (trasformano un somma in prodotto, calcolabile usando i logaritmi); ora servono per altri, rari, impieghi.

#4  Usi della trigonometria
    Abbiamo già fatto spesso uso delle funzioni circolari, ad esempio per studiare i moti circolari e a spirale ( rette tangenti e curve) e per descrivere traiettorie mediante coordinate polari ( numeri complessi). Altri esempi d'uso possono essere trovati tra gli esercizi.  Vediamo, ora, come le funzioni circolari possono essere utili per affrontare lo studio di alcune proprietà dei triangoli non rettangoli.

    Vediamo, in particolare, alcuni teoremi che a volte possono essere utili in quanto estendono ai triangoli non rettangoli alcune relazioni tra lati ed angoli (basta sapere che esistono e, all'occorrenza, saperli trovare, leggere ed applicare):

Teorema del coseno (noto anche come teorema di Carnot)
    Generalizza il teorema di Pitagora:  in un triangolo di lati a, b e c, se α è l'angolo opposto ad a, vale la relazione  a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α).

Le figure seguenti (in cui il triangolo dell'enunciato è verde, e si riduce a un segmento nei casi a destra) ne illustrano il significato nei casi estremi, in cui α è di 90°, 180° e 0°, e, al centro, negli altri casi  (se non ti ricordi esattamente la formula, ma ti ricordi che entra in gioco una funzione circolare di α, è facile ricavarla ragionando su figure come le seguenti, a partire dal terorema di Pitagora: come generalizzarlo nel caso in cui α sia 0°, in quello in cui sia 180°?).

    Esso può essere formulato in altri modi, equivalenti. Ad esempio  cos(α) = (b2 + c2 − a2)/(2bc)

Teorema del seno  (o dei seni, o della corda)
    Stabilisce che  a/sin(α) = costante = 2R  dove R è il raggio del cerchio che circoscrive il triangolo.  È una generalizzazione, raffigurata a destra, di una proprietà, raffigurata a sinistra, che è facile dimostrare nel caso il triangolo sia rettangolo (che la costante sia 2R è facile ricordarlo pensando al caso limite in cui α è retto ed a è il diametro: a/sin(α) coincide con a = 2R; triangoli).
   Evitiamo la dimostrazione sia di questa che della proprietà precedente.
   
   A volte capita di usare anche il  teorema della tangente  (o di Nepero):

(a+b) / (a-b)  =  tan((α+β)/2) / tan((α−β)/2)   dove a e b sono due qualunque lati di un triangolo mentre α e β sono gli angoli del triangolo ad essi opposti.

Esercizio  (e   soluzione)

#5  Equazioni e disequazioni
    Per affrontare equazioni e disequazioni che coinvolgono funzioni circolari occorre, solamente, tener conto delle proprietà di tali fuzioni:  dove sono crescenti/decrescenti, dove sono periodiche, …. Bastano alcuni esempi per capire come procedere.

•  sin(x) = −√3/2     Dalla rappresentazione grafica del seno come ordinata di un punto mobile sul cerchio unitario  e/o  da quella come grafico della funzione seno  abbiamo (vedi figure sottostanti) che i valori x per cui l'equazione è vera sono una coppia del tipo −π/2 − α, −π/2 + α, e gli altri infiniti valori che si raggiungono da questa aggiungendo o togliendo giri (ossia sommnado valori pari a 2πk con k intero), ossia, in breve, le soluzioni sono  x = −π/2 ± α + 2πk  con k intero.

Nel nostro caso particolare [] sappiamo che una soluzione è x = −60°, che un'altra è x = −120°, ovvero che una coppia di soluzioni è x = −90° ± 30°, e che quindi tutte le soluzioni sono x = −90° ± 30° + k360° = −π/2 ± π/6 + 2kπ, k numero intero.

•  cos(x) = −√3/2     Dalla rappresentazione grafica del coseno come ascissa di un punto mobile sul cerchio unitario  e/o  da quella come grafico della funzione coseno  abbiamo (vedi figure sottostanti) che i valori x per cui l'equazione è vera sono una coppia del tipo 3/2 π − α, 3/2 π + α, e gli altri infiniti valori che si raggiungono da questa aggiungendo o togliendo giri (ossia sommnado valori pari a 2πk con k intero), ossia, in breve, le soluzioni sono  x = 3/2 π ± α + 2πk  con k intero.

Nel nostro caso particolare [] sappiamo che una soluzione è x = 150°, che un'altra è x = 210°, ovvero che una coppia di soluzioni è x = 180° ± 30°, e che quindi tutte le soluzioni sono x = 180° ± 30° + k360° = π ± π/6 + 2kπ, k numero intero.

•  tan(x) = √3     Nei due casi precedenti avevamo equazioni del tipo  f(x) = h  con f funzione di periodo 2π. In questo caso la funzione ha periodo π. Se α ha tangente √3, tutte le soluzioni saranno del tipo α + kπ, k numero intero. Ricordando che [] tan(60°) = √3  (infatti  sin(60°)/cos(60°) = √3)  abbiamo che le soluzioni sono  x = 60° + k180° = π/3 + kπ, k numero intero.

•  √3 sin(x) + cos(x) = 1     Compaiono due addendi di periodo 2π che sommati - in quanto non danno luogo ad annullamenti, come accadrebbe se al posto di √3 sin(x) avessimo sin(x+π/2) - danno luogo ad un'altra funzione di periodo 2π.

  

Con l'aiuto del computer o a mano traccio il grafico del termine a sinistra dell'equazione (sopra, in colore più chiaro, sono tracciati anche i grafici delle funzioni di cui è la somma) e quello della costante, 1, a cui è eguagliato dalla equazione, e trovo subito che una soluzione è 0 e l'altra un valore che è circa 2, alle quali devo aggiungere le infinite soluzioni ottenute aggiungendo o togliendo una quantità qualunque di "giri". Per trovare esattamente il valore posso, in questo caso, procedere in vari modi. Vediamone due.

Primo modo. Trasformo sin in cos mediante sin(x) = ±√(1−cos(x)2) e, per comodità, pongo z = cos(x). Ottengo:
±√(3(1−z2)) = 1−z     3(1−z2) = (1−z)2     3(1−z)(1+z) = (1−z)(1−z)     (1−z)(4z+2) = 0     da cui, infine:
z = 1  o  z = -1/2, ossia:  cos(x) = 1  o  cos(x) = −1/2.
Devo tener conto che nel passaggio da ±√… a 3(1−z2) = … ho elevato al quadrato termini che potrebbero avere segni opposti per cui potrei aver aggiunto delle soluzioni. Dovrò, quindi, fare la verifica. Mi limito al primo giro, poi aggiungerò "2kπ".
cos(x) = 1     x = 0     È soluzione: ok.
cos(x) = −1/2     x = 2/3π OR x = 2π-2/3π = 4/3π     La prima è soluzione, la seconda no.
Quindi le soluzioni sono  x = 0  e  x = 2/3 π  e tutti i valori ottenibili da questi aggiungendo multipli (positivi o negativi) di 2π.  I valori trovati sono in accordo con quanto trovato graficamente.

Secondo modo. Usando le formule parametriche in questo caso posso trasformare l'equazione nell'incognita  t = tan(x/2):
2√3t / (1+t2) + (1−t2) / (1+t2) = 1   da cui:
2√3t + 1 − t2 = 1 + t2   ossia:  2t(t − √3) = 0   ossia:  t = 0  OR  t = √3
Dalla prima ho:  tan(x/2) = 0, x/2 = 0,   x = 0.
Dalla seconda ho:  tan(x/2) = √3, x/2 = π/3,   x = 2/3 π.
Ho ritrovato le soluzioni. Occorre, però, notare che nella associazione t = tan(x/2) abbiamo supposto che x/2 non sia ±π/2. In questo caso la verifica è immediata, ma in altre situazioni potrebbe non essere così.

•  √3 sin(x) + cos(x) > 1     Devo capire per quali valori di x è vera la disequazione precedente. La disequazione è analoga alla equazione considerata sopra . Procedo in modo simile a quello utilizzato per risolvere l'equazione tenendo conto dell'andamento della funzione x → √3 sin(x) + cos(x). Trovo che la disequazione, nel periodo [0, 2π), ha come soluzione  0 < x < 2/3 π  (è qui che il grafico della funzione sta sopra alla retta y = 1). Tenendo conto che la funzione ha periodo 2π, ottengo che tutte le soluzioni della disequazione sono:  2kπ < x < 2/3π+2kπ  al variare di k tra i numeri interi.

Esercizio (e soluzione)         Esercizio (e soluzione)         Esercizio (e soluzione)         Esercizio (e soluzione)

#6  Trigonometria sferica
    Alla voce triangoli abbiamo accennato al caso dei triangoli sferici, ossia delle figure delimitate da tre rotte rettilinee percorse su una superficie sferica. Tali rotte sono archi di cerchio massimo (ossia che, se percorsi interamente, tagliano a metà la superficie sferica) e delimitano dei triangoli sferici, le cui proprietà sono oggetto di studio della cosiddetta trigonometria sferica.
    Essa presenta analogie con la trigonometria piana. Ad esempio sia in un triangolo piano sia in uno sferico ogni lato è minore della somma e maggiore della differenza degli altri due. Ma valgono alcune differenze importanti. Ne richiamiamo solo due:
  la somma degli angoli di un triangolo sferico è sempre compresa strettamente tra 180° e 540°;
  due triangoli sferici con gli angoli uguali hanno uguali anche i lati.

#7  Nota Sono, a volte, usate anche le funzioni secante (sec), cosecante (cosec o csc) e cotangente (cotg o cot), definite come i reciproci delle funzioni coseno, seno e tangente.

Esercizi:     

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