Funzioni circolari e trigonometria [1ª parte] (2ª)
Richiami sulle funzioni circolari
Abbiamo visto il significato di direzioni e funzioni circolari e, nella stessa voce, diversi modi di indicarle
e alcune loro proprietà, con rimandi al modo in cui
determinarne alcuni valori. La figura a lato richiama, comunque, il valore del seno e del coseno di alcuni angoli d'uso frequente, che è opportuno ricordare a memoria e, nello stesso tempo, saper ricavare facilmente, tenendo presente che si tratta di triangoli rettangoli aventi ipotenusa lunga 1 e i cateti disposti sugli assi: • sin(30°) = sin(π/6) = 1/2 in quanto il triangolo individuato è metà del triangolo equilatero ottenuto per ribaltamento attorno al cateto orizzontale: il cateto verticale è dunque metà dell'ipotenusa; • sin(45°) = sin(π/4) = √2/2 in quanto il triangolo individuato è metà quadrato avente diagonale lunga 1; • sin(60°) = sin(π/3) = √3/2 in quanto il triangolo rettangolo individuato ha ipotenusa lunga 1 e un cateto lungo 1/2: l'altro è lungo √(1-1/4) = √3/2; • cos(60°) = sin(30°), cos(45°) = sin(45°), cos(30°) = sin(60°). |
Abbiamo visto anche alcuni significati delle funzioni circolari in relazione a particolari
trasformazioni geometriche nonché il significiato grafico del loro
periodo.
La figura seguente sintetizza alcune delle informazioni richiamate nelle voci precedentemente citate:
Abbiamo anche, in direzioni e funzioni circolari e in periodo (e frequenza), richiamato il significato delle funzioni inverse delle funzioni circolari. La figura a lato riproduce i grafici delle funzioni inverse circolari. Sono ottenuti scambiando x ed y nei grafici delle funzioni circolari (clicca l'immagine per vederla più grande, assieme ai grafici di sin, cos e tan). |
Abbiamo anche visto (discutendo dei
numeri complessi) come si possono ottenere alcune formule relative ai
valori che le funzioni circolari assumono in
Oltre che di funzioni circolari si parla anche di funzioni trigonometriche. Più in generale si parla di trigonometria (termine che deriva da triangolo e da goniometro) per indicare quella parte della matematica che studia le funzioni circolari e il loro impiego per studiare i triangoli, o figure in cui compaiono triangoli.
Derivazione
La pendenza di y = sin(x), come quella di ogni
grafico di una funzione periodica, ha andamento periodico: se in x il grafico di sin
ha una certa pendenza, la stessa pendenza deve avere in
Tutti ciò fa supporre che
D(sin) = cos. E, infatti, per h → 0, sfruttando quanto richiamato sopra
| = |
| = |
| + |
| → |
|
dove l'ultimo limite deriva dal fatto che sin(h)/h → 1 per h → 0
Analogamente possiamo supporre, e dimostrare, che
D(cos) = sin.
Infatti
Dx(cos(x)) = Dx(sin(π/2−x)) = cos(π/2-x)·Dx(π/2−x) = −sin(x).
Possiamo pure dedurre, facilmente, che:
D(tan) = 1 / cos2 = 1 + tan2 | D(arctan)(x) = 1 / (1+x2) | D(arcsin)(x) = 1 / √(1−x2) |
Infatti: Dx(tan(x)) = Dx(sin(x)/cos(x)) =
D(arctan)(x) =
D(arcsin)(x) = 1/D(sin)(arcsin(x)) = 1/cos(arcsin(x))) =
Si potrebbero, infine, dedurre le derivate di altre funzioni, poco usate:
Esercizio (e soluzione) Esercizio (e soluzione) Esercizio (il 3°) (e soluzione)
Esercizio (il 2°) (e soluzione) Esercizio (il 1°) (e soluzione) Esercizio (il 2°) (e soluzione)
Funzioni circolari e trigonometria (2ª parte)
Altre formule
Da formule viste (quelle richiamate parlando dei
numeri complessi, relative a come trovare una funzione circolare di α+β noti i sui valori
per α e per β) all'occorrenza se ne possono ricavare altre; ad es.
• 2α = x,
cos(x) = cos(2α) = cos(α)2−sin(α)2 =
• e l'analoga
sin(x) = 2t/(1+t2)
avendo posto nuovamente
entrambe note come formule parametriche (il termine "parametro" lo abbiamo
già incontrato in questo significato alla voce
tangente), e, più raramente, le seguenti formule di prostaferesi
(dai termini greci prostesis ed aferesis, che significano "somma" e "differenza"):
• sin(x)−sin(y) = 2 sin((x−y)/2) cos((x+y)/2)
(si ottiene ponendo x =
• sin(x)+sin(y) = 2 sin((x+y)/2) cos((x−y)/2)
• cos(x)−cos(y) = −2 sin((x+y)/2) sin((x−y)/2)
• cos(x)+cos(y) = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)
(ottenibili in modo simile)
un tempo, quando non c'erano le calcolatrici, usate per i calcoli (trasformano un somma in prodotto,
calcolabile usando i logaritmi); ora servono per altri, rari, impieghi.
Usi della trigonometria
Abbiamo già fatto spesso uso delle funzioni circolari, ad esempio per studiare
i moti circolari e a spirale (
rette tangenti e curve) e
per descrivere traiettorie mediante coordinate polari (
numeri complessi). Altri esempi d'uso possono essere
trovati tra gli esercizi. Vediamo, ora, come le funzioni circolari possono essere utili
per affrontare lo studio di alcune proprietà dei
triangoli
non rettangoli.
Vediamo, in particolare, alcuni teoremi che a volte possono essere utili in quanto estendono ai triangoli non rettangoli alcune relazioni tra lati ed angoli (basta sapere che esistono e, all'occorrenza, saperli trovare, leggere ed applicare):
Teorema del coseno (noto anche come teorema di Carnot)
Generalizza il teorema di Pitagora: in un triangolo di lati a, b e c, se α è l'angolo opposto ad
a, vale la relazione
Le figure seguenti (in cui il triangolo dell'enunciato è verde, e si riduce a un segmento nei casi a destra) ne illustrano il significato nei casi estremi, in cui α è di 90°, 180° e 0°, e, al centro, negli altri casi (se non ti ricordi esattamente la formula, ma ti ricordi che entra in gioco una funzione circolare di α, è facile ricavarla ragionando su figure come le seguenti, a partire dal terorema di Pitagora: come generalizzarlo nel caso in cui α sia 0°, in quello in cui sia 180°?).
Esso può essere formulato in altri modi, equivalenti. Ad esempio
Teorema del seno (o dei seni, o della corda) Stabilisce che a/sin(α) = costante = 2R dove R è il raggio del cerchio che circoscrive il triangolo. È una generalizzazione, raffigurata a destra, di una proprietà, raffigurata a sinistra, che è facile dimostrare nel caso il triangolo sia rettangolo (che la costante sia 2R è facile ricordarlo pensando al caso limite in cui α è retto ed a è il diametro: Evitiamo la dimostrazione sia di questa che della proprietà precedente. |
|
A volte capita di usare anche il teorema della tangente (o di Nepero): |
(a+b) / (a-b) = tan((α+β)/2) / tan((α−β)/2) dove a e b sono due qualunque lati di un triangolo mentre α e β sono gli angoli del triangolo ad essi opposti.
Equazioni e disequazioni
Per affrontare equazioni e disequazioni che coinvolgono funzioni circolari occorre, solamente, tener conto delle proprietà
di tali fuzioni: dove sono crescenti/decrescenti, dove sono periodiche
• sin(x) = −√3/2
Dalla rappresentazione grafica del seno come ordinata di un punto mobile sul cerchio unitario e/o da quella come grafico
della funzione seno abbiamo (vedi figure sottostanti) che i valori x per cui l'equazione è vera sono una coppia del tipo
Nel nostro caso particolare
• cos(x) = −√3/2
Dalla rappresentazione grafica del coseno come ascissa di un punto mobile sul cerchio unitario e/o da quella come grafico
della funzione coseno abbiamo (vedi figure sottostanti) che i valori x per cui l'equazione è vera sono una coppia del tipo
Nel nostro caso particolare
Con l'aiuto del computer o a mano traccio il grafico del termine a sinistra dell'equazione (sopra, in colore più chiaro, sono tracciati anche i grafici delle funzioni di cui è la somma) e quello della costante, 1, a cui è eguagliato dalla equazione, e trovo subito che una soluzione è 0 e l'altra un valore che è circa 2, alle quali devo aggiungere le infinite soluzioni ottenute aggiungendo o togliendo una quantità qualunque di "giri". Per trovare esattamente il valore posso, in questo caso, procedere in vari modi. Vediamone due.
Primo modo. Trasformo sin in cos mediante sin(x) =
±√(3(1−z2)) = 1−z
3(1−z2) = (1−z)2
z = 1 o z = -1/2, ossia: cos(x) = 1 o cos(x) = −1/2.
Devo tener conto che nel passaggio da ±√
a 3(1−z2) =
ho elevato al quadrato termini che potrebbero avere segni opposti per cui potrei aver aggiunto delle soluzioni. Dovrò, quindi, fare la
verifica. Mi limito al primo giro, poi aggiungerò "2kπ".
cos(x) = 1 x = 0 È soluzione: ok.
cos(x) = −1/2 x = 2/3π OR x = 2π-2/3π = 4/3π
La prima è soluzione, la seconda no.
Quindi le soluzioni sono x = 0 e x = 2/3 π e tutti i valori ottenibili da questi aggiungendo multipli (positivi o negativi) di
2π. I valori trovati sono in accordo con quanto trovato graficamente.
Secondo modo. Usando le formule parametriche in questo caso
posso trasformare l'equazione nell'incognita t =
2√3t / (1+t2) + (1−t2) / (1+t2) = 1 da cui:
2√3t + 1 − t2 = 1 + t2 ossia: 2t(t − √3) = 0
ossia:
Dalla prima ho: tan(x/2) = 0, x/2 = 0, x = 0.
Dalla seconda ho: tan(x/2) = √3, x/2 = π/3, x = 2/3 π.
Ho ritrovato le soluzioni. Occorre, però, notare che nella associazione
t =
• √3 sin(x) + cos(x) > 1
Devo capire per quali valori di x è vera la disequazione precedente. La disequazione è analoga alla equazione
considerata sopra
Esercizio (e soluzione) Esercizio (e soluzione) Esercizio (e soluzione) Esercizio (e soluzione)
Trigonometria sferica
Alla voce
triangoli abbiamo accennato al caso dei triangoli sferici, ossia delle figure
delimitate da tre rotte rettilinee percorse su una superficie sferica. Tali rotte sono archi di cerchio massimo (ossia che, se
percorsi interamente, tagliano a metà la superficie sferica) e delimitano dei triangoli sferici, le cui proprietà
sono oggetto di studio della cosiddetta trigonometria sferica.
Essa presenta analogie con la trigonometria piana. Ad esempio sia in un triangolo piano sia in uno sferico ogni lato
è minore della somma e maggiore della differenza degli altri due. Ma valgono alcune differenze importanti. Ne richiamiamo
solo due:
− la somma degli angoli di un triangolo sferico è sempre compresa strettamente tra 180° e 540°;
− due triangoli sferici con gli angoli uguali hanno uguali anche i lati.
Nota. Sono, a volte, usate anche le funzioni secante (sec), cosecante (cosec o csc) e cotangente (cotg o cot), definite come i reciproci delle funzioni coseno, seno e tangente.