Velocità di variazione

  Sotto a sinistra è riprodotta la tabella oraria di un certo treno (solo per Castelfranco si sono indicate le ore sia di arrivo che di partenza: nelle altre stazioni il treno riparte subito). A destra la tabella è stata rappresentata graficamente in modo da evidenziare la posizione del treno al passare del tempo dal momento della partenza.
    Il grafico non è un modello esatto del moto del treno: i piccoli segmenti con cui si sono congiunti i punti corrispondenti ai dati della tabella non rappresentano esattamente le ore in cui il treno passa nelle località intermedie tra una fermata e l'altra; sarebbero rappresentazioni esatte solo se il treno viaggiasse a velocità costante tra una stazione e l'altra. Solo registrando rigorosamente lo spazio segnato dal contachilometri si potrebbe ottenere una rappresentazione fedele del moto; si otterrebbe un grafico simile alla linea che sotto à stata tracciata a tratto punteggiato.

km ↓ 0 Padova 1530 11 Campodarsego 1540 15 S.Giorgio 1546 19 Camposampiero  1550 31 Castelfranco 1602 1622 48 Montebelluna 1636 56 Cornuda 1646 66 Fener 1657 83 Feltre 1715 101 Bribano 1733 114 Belluno 1747 121 Polpet 1755 132 Longarone 1808 158   Calalzo 1855

Dal grafico possiamo facilmente individuare i tratti i cui il treno tiene una velocità media [  valori medi 1 ] massima e minima: rispettivamente, Castelfranco-Montebelluna e Longarone-Calalzo. Facendo i conti ad es. per il primo caso (17 km in 14 min: vedi tabella) abbiamo:

velocità media = 17 km / (14 min) = 17 km /(14/60 h) = 17·60/14 km/h = 73 km/h.

  Il grafico seguente rappresenta un altro fenomeno che varia nel tempo: il record di salto in alto maschile. Più precisamente sono indicati gli anni (tra il 1912 e il 1960) in cui sono stati stabiliti record, e per tali anni è stato considerato l'ultimo record stabilito (ad es. per il 1960 si è considerato 222 cm anche se nello stesso anno il record era stato portato prima a 217 cm e poi a 218 cm). I segmenti in questo caso sono stati tracciati solo per facilitare la lettura del grafico: non possono essere interpretati come una progressiva variazione del record tra un anno e l'altro (i record variano a scatti, non con continuità come accade per la posizione del treno).
    Anche in questo caso dal grafico capiamo in che periodi questa specialità sportiva è evoluta più rapidamente e più lentamente: rispettivamente, alla fine degli anni 50 e in corrispondenza della II guerra mondiale.
    Pur se non si tratta del movimento di un oggetto, possiamo descrivere il fenomeno usando la parola velocità: ad es., dato che tra il 1957 e il 1960, in 3 anni, il record è migliorato di 6 cm, possiamo dire che la velocità di crescita del record in tale periodo è stata mediamente di 2 cm/anno; analogamente tra 1941 e il 1953 è stata mediamente di 0.83 cm/anno.
    Nel caso del treno intendevamo la velocità media con cui è variata la posizione del treno lungo la linea ferroviaria, qui intendiamo la velocità media con cui è variato il record di salto in alto.
    Come abbiamo visto, sul grafico questa velocità corrisponde alla  pendenza del corrispondente tratto.
    Più sotto è stato rappresentato anche il grafico della pendenza. Più precisamente in corrispondenza del centro di ciascun intervallo di tempo è stata rappresentata la pendenza del corrispondente tratto di grafico.

Si vede che vi sono due altri periodi in cui la velocità di variazione del record è stata la stessa che alla fine degli anni 50.

  La velocità di variazione può essere valutata anche non rispetto al tempo.
    Ad es. il grafico che segue, a sinistra, rappresenta il sistema di imposizione fiscale sul reddito in vigore in un ipotetico paese la cui moneta sia il Din. Fino a 2000 Din di reddito annuo non vi è imposta. Poi l'imposta aumenta proporzionalmente all'aumentare del reddito fino ad essere di 200 Din per un reddito annuo di 4000 Din. Per redditi superiori continua a crescere proporzionalmente all'aumento del reddito, ma con un fattore di proporzionalità maggiore: il grafico prosegue con una pendenza maggiore.
    Fino a 2000 Din l'imposta non varia: la sua velocità di variazione è nulla. Tra 2000 e 4000 Din di reddito la velocità di variazione è 200/2000 = 0.1 (o 10%): ad ogni Din di reddito in più corrispondono 0.1 Din di imposta in più. Per redditi superiori la velocità è maggiore: da 4000 a 7000 Din (variazione di 3000) l'imposta varia da 200 a 800 (variazione di 600): 600/3000 = 0.2 (= 20%): in questa fascia di reddito, alla variazione di 1 Din di reddito l'imposta varia di 0.2 Din.

Un altro esempio. Riempo con del liquido la piccola cisterna fatta "a scalini" raffigurata sotto, dove le dimensioni sono indicate in cm. Vediamo come varia il livello h (in cm) all'aumentare del volume V (in litri) del liquido immesso:

– inizialmente il livello cresce proporzionalmente al volume; – quando si raggiunge il livello 50 la sezione del recipiente si riduce per cui dopo h cresce più rapidamente (la sezione si dimezza per cui il liquido si innalzerà con velocità doppia); – arrivati al livello 100 la sezione si riduce ulteriormente per cui la velocità con cui varia h aumenta ancora.    Per tracciare il grafico tengo conto che al livello 50 cm il volume è 100·200·50 cm3 = 1000 litri, per cui il primo tratto rettilineo arriva nel punto (1000,50). Al livello 100 cm si sono aggiunti 100·100·50 cm3 = 500 litri di liquido: il secondo tratto termina in (1500,100). Al livello 200 se ne sono aggiunti 100·50·100 cm3 = 500 litri: il terzo tratto termina in (2000,200). Abbiamo il grafico sotto al centro.

La velocità con cui h varia al variare di V nel primo tratto è 50/1000 = 0.05 cm/litro, ossia mezzo millimetro per litro. Poi, al dimezzarsi della sezione, la velocità raddoppia e diventa 0.1 cm/litro, ossia 1 mm/litro. Infine nell'ultima parte di cisterna diventa di 2 mm/litro. Il grafico a destra illustra come cambia la velocità con cui varia h.

  Negli ultimi due casi à stato facile studiare esattamente come cambiava la velocità di variazione (rispetto al reddito in un caso, rispetto al volume di liquido immesso nel secondo). Vediamo una situazione più complessa. Sotto a sinistra è riprodotta la visione dall'altro di tre mezzi di trasporto a partire da un certo istante in cui sono affiancati. Il "filmato" è costituito da immagini separate di 1 secondo l'una dalla successiva.

Tre mezzi di trasporto visti dall'alto.	La loro posizione al trascorrere del tempo.	La velocità media nel precedente secondo.

L'auto A in 7 s percorre circa 56 m, con una velocità media di 8 m/s. L'auto C in 7 s percorre circa 84 m, con una velocità media di 12 m/s (84/7 = 12). Ma inizialmente A è più veloce di C, e per più di 4 s rimane davanti a C. Invece B rimane sempre dietro ad A, e la sua distanza da A cresce regolarmente.  Il grafico al centro, in cui sono riportate le informazioni (tempo, posizione), ci consente di capire meglio il fenomeno. Quello a destra rappresenta lo spazio percorso nell'ultimo secondo, ossia la velocità media tenuta nel secondo immediatamente precedente: corrisponde alla parte detra della tabella a fianco.

tempo  (s)  posizione (m)  variazione della  posizione in 1 s  A B C A B C 0 0 0 0 - - - 1 8 6 3 8 6 3 2 16 12 9 8 6 6 3 24 18 18 8 6 9 4 32 24 30 8 6 12 5 40 30 45 8 6 15 6 48 36 63 8 6 18 7 56 42 84 8 6 21

Sopra la situazione è riprodotta fermata al 7° secondo.  A e B viaggiano a velocità costante : in 1 sec A percorre 8 m, B ne percorre 6. I grafici delle velocità in m/s.sono quindi delle rette, una con ordinata "8 m", l'altra con ordinata "6 m".
    C, invece, sta accelerando. Più precisamente ha velocità che aumenta proporzionalmente al tempo trascorso: ad ogni secondo aumenta di 3 m lo spazio che percorre in 1 secondo, per cui la velocità media che ha in un certo secondo supera di 3 m/s quella che aveva nel secondo precedente.
    Si dice anche che C si muove con accelerazione costante. Invece di dire che ad ogni secondo la sua velocità aumenta di 3 m/s si dice che ha una accelerazione di 3 m/s².

    Non siamo tuttavia in grado di descrivere esattamente qual è la velocità che ha C in un dato istante t : nei casi in cui la velocità è costante essa può essere determinata direttamente calcolando una velocità media, negli altri casi, come in quello di C, no. Tuttavia, se rilevassimo la posizione di C invece che ogni secondo in intervalli di tempo più piccoli, otterremmo velocità medie che ci consentono di approssimare meglio i valori esatti della velocità. Ecco la tabella che avremmo ottenuto se avessimo rilevato la posizione di C ogni mezzo secondo:

tempo (s)	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7
posizione (m)	0	1.125	3	5.625	9	13.125	18	23.625	30	37.125	45	53.625	63	73.125	84
v. media (m/s)	-	2.25	3.75	5.25	6.75	8.25	9.75	11.25	12.75	14.25	15.75	17.25	18.75	20.25	21.75

    Anche calcolando la velocità media su questi intervalli più piccoli si vede che essa, di secondo in secondo, aumenta di 3 m/s. Ma i valori trovati sono leggeremente più alti di quelli trovati prima (a "tempo = 1 s" ora corrisponde "v.media = 3.75 m/s" invece che "3 m/s): infatti in ogni istante abbiamo fatto il calcolo su un intervallo di tempo più recente. Se restringessimo man mano gli intervallini su cui calcoliamo la velocità media otterremmo via via approssimazioni migliori della velocità.

Rilevando la posizione più frequentemente e calcolando la media su questi intervallini
più piccoli si ottengono valori diversi, man mano più vicini ai valori esatti delle velocità.

Potremmo trovare che il grafico della velocità media tende a stabilizzarsi sulla retta di pendenza 3 che per tempo = 0 (s) ha velocità = 1.5 (m/s)descrivibile con la formula (indicando con t il tempo in secondi e con v la velocità in metri al secondo):     v = 3 t + 1.5.     Il mezzo C nell'istante iniziale aveva la velocità di 1.5 m/s e ha proseguito con una accelerazione di 3 m/s2.

  Consideriamo un fenomeno di natura economica. Vivo in un paese in cui la moneta è il Din e devo acquistare un'automobile che costa 2100 Din. Io dispongo di una tale cifra. Il rivenditore d'auto mi fa questa offerta:
mi paghi in 7 rate annuali da 300 Din; ciascuna però aumentata con un tasso annuo del 5%, e dell'eventuale tasso di inflazione.

[Se vuoi rivedere le variazioni percentuali:  variazione]

    Proviamo a descrivere con delle formule a quanti Din ammonta la rata R(t) dopo t anni, supponendo che non ci sia inflazione:
• R(0) = 300 (rata iniziale);
• R(t+1) = R(t) + 5% R(t) = R(t) · (1 + 5/100) = R(t) · 1.05 (la rata dopo 1 anno aumenta del 5%).

Al 2° anno la rata rispetto all'inizio ha subito due aumenti del 5%, ossia è stata moltiplicata 2 volte per (1 + 5/100) = 1.05; in altre parole è stata moltiplicata per 1.05².
Al 3° anno la rata rispetto all'inizio ha subito tre aumenti del 5%, ossia è stata moltiplicata per 1.05³.
Al t° anno la rata rispetto all'inizio ha subito t aumenti del 5%, ossia è stata moltiplicata per 1.05^t.
    In definitiva:  R(t) = 200 · 1.05 ^t.

A destra è raffigurato il grafico di R in funzione di t. Per evidenziare meglio l'andamento abbiamo considerato anche valori di t maggiori di 7.     Il fatto che il grafico non sia una retta, ma che la sua pendenza man mano cresca, corrisponde al fatto che le rate di anno in anno non aumentano dello stesso valore (il primo anno aumenta del 5% di 300, ossia di 15, il secondo anno del 5% di 315, ossia di 15.75, …).  [In questo caso non ha senso andare a considerare variazioni in intervalli più piccoli dell'anno in quanto le rate devo pagarle di anno in anno]     Qual è la velocità con cui varia R rispetto a t?.

    Ovvero qual è la variazione di R in 1 anno?

vel. di variaz. =	variaz. di R	=	5% di R(t)	= 0.05·R(t)
	—————		—————
	variaz. di t		1

    Siamo di fronte a una situazione in cui la velocità di variazione cresce proprorzionalmente non al tempo (come nel caso del moto con accelerazione costante considerato sopra) ma alla grandezza stessa di cui si studia la variazione. Un andamento di questo tipo si dice esponenziale in quanto si tratta di grandezze descrivibili con formule del tipo di R(t) = 200 · 1.05 ^t, cioè mediante un elevamento alla potenza (con la variabile di input ad esponente).

  Nel caso seguente, invece, siamo di fronte a una grandezza (il livello h di un recipiente di forma conica in funzione del volume V di liquido introdotto) che ha velocità di variazione che man mano decresce: infatti via via che il liquido sale la superficie si allarga per cui il nuovo liquido che entra si distribuisce su un'area maggiore e, quindi, dà luogo ad un innalzamento minore.
    Viene lasciato come esercizio dimostrare che h in funzione di V nel caso in cui il cono abbia altezza 2 e raggio 1 è espresso dalla formula  h = (12 V/π)^1/3  e capire perché il suo grafico abbia effettivamente l'andamento raffigurato sotto al centro. A destra è tracciato il grafico della velocità di variazione di V rispetto ad h, che visualizza il rallentamento progressivo della crescita del livello.

  Nell'ultimo caso non è facile dalla formula che esprime come varia la grandezza (h in funzione di V) dedurre l'espressione e il grafico esatto della velocità di variazione. In una voce successiva vedremo come il concetto di derivata ci renderà semplici deduzioni come questa e ci consentirà di descrivere in modo sintetico e di studiare situazioni di vario genere in cui si conosce la velocità o l'accelerazione con cui varia una certa grandezza (di tipo fisico od economico o …). Alle voci  pendenza 2 e  rette tangenti e curve vengono proposte altre idee e tecniche che possono introdurre al concetto di derivata.

Esercizi:  testo   e   soluzione;   testo   e   soluzione.

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