griglia  obiettivi  metodi  contenuti  geometria  algebra/anal.  prob./stat.  logica/inform.

Una griglia per la lettura dei nuovi programmi
(usata per un'iniziativa sui programmi della scuola secondaria superiore nel 1992)

Punti in cui articolare la lettura di ciascuna area matematica

A) Uno dei problemi di fondo per l'attuazione dei programmi è quello del raccordo con la scuola media inferiore [programmi del 1979], che si può articolare nei seguenti punti:
	1) Ciò che gli alunni dovrebbero sapere dalla scuola media (in relazione a questa area). 2) Ciò che (mediamente) sanno dalla scuola media. 3) Ciò che l'insegnante ("standard") dà per scontato che sappiano. 4) Che cosa cambia, al riguardo, per chi svolge i "nuovi programmi".

[analoghi problemi esitono, a monte, per il raccordo con i programmi della scuola elementare, del 1985, via via richiamati nei punti successivi]

B) Per cogliere meglio il senso dei cambiamenti è utile confrontare i programmi della Commissione Brocca [1991] sia con i vecchi programmi [1944] che con quelli del P.N.I. [1987] (rispetto a questi ultimi, alcuni temi sono stati riscritti rendendo meno esplicite le innovazioni). Per valutare la direzione dei cambiamenti "reali" nella pratica dell'insegnamento è utile tener conto di come nuovi e vecchi programmi sono stati "interpretati" dai libri di testo.

1) Cambiamenti rispetto ai programmi vecchi (del Liceo Scientifico o di altra scuola): che cosa resta, che cosa sparisce, che cosa viene modificato (in questa area). 2) Confronto tra "Brocca" e "P.N.I." (riguardo sia ai contenuti che ai commenti). 3) "Interpretazione" dei vecchi e dei nuovi programmi da parte dei libri di testo (riguardo sia ai contenuti che alla loro impostazione).

C) Dalla lettura del complesso dei programmi di matematica, da quelli per le elementari fino a quelli per il 1° biennio della scuola secondaria superiore, emerge l'indicazione di un insegnamento a spirale: gli argomenti vengono man mano ripresi con successivi livelli di approfondimento, formalizzazione e integrazione con altre aree matematiche.
	1) Aspetti che, in questo senso, caratterizzano (in questa area contenutistica) gli obiettivi del biennio superiore rispetto a quelli della scuola media. 2) Alla luce di quanto in 1), abilità e concetti da dare per "scontati" e da "recuperare". Quanto questa valutazione dipende dal tipo di scuola secondaria superiore.

D) Nei nuovi programmi sono presenti avvertenze didattiche (sia nella parte generale che in quella articolata per temi) relative al modo in cui introdurre e sviluppare gli argomenti, anche al fine di focalizzare meglio gli aspetti significativi della matematica e delimitare il peso, nell'insegnamento e nella valutazione, degli aspetti più nozionistici e fuorvianti.
	1) Obiettivi di apprendimento da perseguire (in sintesi) e cose "da non fare" e metodi da non seguire (esempi). Eventuali perplessità riguardo a queste indicazioni. 2) Come accogliere (per quest'area contenutistica) l'indicazione di «partire da situazioni didattiche che favoriscano l'insorgere di problemi matematizzabili, …» ( primo capoverso delle "Indicazioni didattiche"): esempi.

E) Nei programmi è data l'indicazione di non usare l'ordine di presentazione dei temi come ordine di svolgimento ma di sviluppare i temi in modo integrato.
	Aspetti di questa area contenutistica che possono essere sviluppati in maniera integrata (risparmiando "tempo" e favorendo reciproche "motivazioni") con quelli di altre aree contenutistiche o del "laboratorio". Esempi e difficoltà a realizzare questa integrazione.

Nota. Il punto A1 della griglia è un po' ambiguo: si pone il problema "dovrebbero sapere" rispetto a che cosa? (1) agli obiettivi dei programmi della SMI o (2) alle esigenze della SSS? Il problema in parte dipende dalla soluzione del nodo: biennio come ultimo segmento della scuola dell'obbligo o no?
    Comunque a noi è parso che ci si debba riferire essenzialmente a (1): ogni livello scolastico deve raccordarsi con quello precedente e deve tener conto dei programmi ivi in vigore. Invece spesso accade che chi è nel livello precedente si preoccupi (o sia indotto a preoccuparsi) più che dei propri programmi di quello che potrebbe essere preteso nel livello successivo. E` un problema che si ripropone ad ogni passaggio di scuola o di ciclo (anche tra biennio e triennio). In particolare spesso l'insegnante di SSS non conosce neanche i programmi della SMI.
    Del resto la SMI deve fornire/sviluppare un bagaglio di conoscenze e di "atteggiamenti" utile sia a chi conclude la scuola che a chi prosegue gli studi. Quindi, affrontando A1 e A2, occorre tener conto della propria esperienza con gli alunni delle classi prime per individuare quali aspetti ritenuti prioritari dai programmi della SMI sono scarsamente o malamente perseguiti e sarebbero invece importanti per innestare l'insegnamento secondario superiore.

PREMESSE E OBIETTIVI

Commissione Brocca

P.N.I.

Scuola Media Inferiore

Obiettivi per Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali.
    È obiettivo qualificante del processo educativo attraverso tali insegnamenti l'acquisizione da parte dell'alunno del metodo scientifico, quale metodo rigorosamente razionale di conoscenza che si concretizza nelle capacità concettuali e operative di:
- esaminare situazioni, fatti e fenomeni;
- riconoscere proprietà varianti e invarianti, analogie e differenze;
- registrare, ordinare e correlare dati;
- porsi problemi e prospettarne soluzioni;
- verificare se vi è rispondenza tra ipotesi formulate e risultati sperimentali;
- inquadrare in un medesimo schema logico questioni diverse;
- comprendere la terminologia scientifica corrente ed esprimersi in modo chiaro, rigoroso e sintetico;
- usare ed elaborare linguaggi specifici della matematica e delle scienze sperimentali, il che fornisce anche un contributo alla formazione linguistica;
- considerare criticamente affermazioni e informazioni, per arrivare a convinzioni fondate e a decisioni consapevoli.

Obiettivi per la Matematica
    Nell'ambito degli obiettivi enunciati nella premessa agli insegnamenti, l'insegnamento della matematica si propone di:
- suscitare un interesse che stimoli le capacità intuitive degli alunni;
- condurre gradualmente a verificare la validità delle intuizioni e delle congetture con ragionamenti via via più organizzati;
- sollecitare a esprimersi e comunicare in un linguaggio che, pur conservando piena spontaneità, diventi sempre più chiaro e preciso, avvalendosi anche di simboli, rappresentazioni grafiche,  che facilitino l'organizzazione del pensiero;
- guidare alla capacità di sintesi, favorendo una progressiva chiarificazione dei concetti e facendo riconoscere analogie in situazioni diverse, così da giungere a una visione unitaria su alcune idee centrali (variabile, funzione, trasformazione, struttura,...);
- avviare alla consapevolezza e alla padronanza del calcolo.

Scuola Elementare

vedi

Liceo Scientifico

PREMESSA
    L'insegnamento della matematica ha speciale valore nella formazione e nel disciplinamento dell'intelletto. Ma occorre conciliare lo spirito dell'indeterminatezza dei giovani con la proprietà, la sobrietà, la sintesi e la precisione che tale disciplina impone, senza però scoraggiarli, comprimendo la loro iniziativa. Anche qui, dunque, si condurranno ricerche collettive seguendosi il metodo delle approssimazioni successive, perché la consapevolezza delle parole, dei concetti, delle proprietà, dei ragionamenti si consegue a poco a poco, per gradi insensibili. E conviene, per tenere sempre vivo l'interesse ai successivi sviluppi, dare largo posto all'intuizione, al senso comune, all'origine psicologica e storica delle teorie, alla realtà fisica, agli sviluppi che conducono ad affermazioni pratiche immediate, mettendo da parte le nozioni statiche e rigide, e quelle puramente logiche, ma che astraggono da ogni impulso intuitivo.
    Le suddette esigenze non possono essere conciliate certamente dalle definizioni statiche, ma dall'uso spontaneo di quelle dinamiche, più aderenti all'intuizione. Metodo dunque intuitivo-dinamico, in stretto contatto col processo storico, senza esclusivismo di vedute, perché solo così il patrimonio spirituale acquistato nella scuola media inferiore può essere veramente ripreso, evoluto e rafforzato nella scuola dell'ordine superiore.

INDICAZIONI METODOLOGICHE

Commissione Brocca

INDICAZIONI DIDATTICHE
    Non ci si può illudere di poter partire dalla disciplina già confezionata, cioè da teorie e da concetti già elaborati e scritti, senza prendersi cura dei processi costruttivi che li riguardano. È invece importante partire da situazioni didattiche che favoriscano l'insorgere di problemi matematizzabili, la pratica di procedimenti euristici per risolverli, la genesi dei concetti e delle teorie, l'approccio a sistemi assiomatici e formali. Le fonti naturali di queste situazioni sono il mondo reale, la stessa matematica e tutte le altre scienze. Ciò lascia intravedere possibili momenti di pratica interdisciplinare, prima nella scoperta e nella caratterizzazione delle diverse discipline in base al loro oggetto e al loro metodo, poi nel loro uso convergente nel momento conoscitivo.
    Dei processi di matematizzazione esistono modelli storici esemplari in grado di illustrarne anche le intrinseche difficoltà: si pensi alla matematizzazione pre-euclidea in ambito geometrico e al suo difficile rigoroso approdo euclideo-hilbertiano, al sistema formale dell'aritmetica, delle teorie riguardanti i numeri reali, alla logica, alla probabilità, ecc.. riguardanti i numeri reali, alla logica, alla probabilità, ecc.. In tale senso proprio la riflessione sul ruolo dei modelli e del linguaggio matematico in fisica e nei sistemi complessi della biologia e della sociologia fa cogliere la portata di questo riferimento anche per la didattica della matematica.
    Il problema didattico centrale che si pone al docente nell'attuazione dei programmi risiede nella scelta di situazioni particolarmente idonee a far insorgere in modo naturale congetture, ipotesi, problemi. Per una pratica didattica così finalizzata, offrono prioritaria ispirazione i risultati delle ricerche in campo storico-epistemologico, in quello psico-pedagogico, nonché in quello metodologico-didattico.
    La scelta delle situazioni e dei problemi rientra in un quadro più vasto di progettazione didattica che si realizza attraverso la valutazione delle disponibilità psicologiche e dei livelli di partenza dei singoli studenti, l'analisi e la determinazione degli obiettivi di apprendimento, l'analisi e la selezione dei contenuti, l'individuazione di metodologie e tecniche opportune, l'adozione di adeguate modalità di verifica. Questa progettazione sostiene il lavoro didattico, favorisce la collocazione dei contenuti nel quadro del sapere scientifico, permette di individuare con più chiarezza la loro importanza e la difficoltà del loro apprendimento.
    Il programma si articola in cinque temi. A questi si aggiunge un laboratorio di informatica, con valore operativo trasversale rispetto ai temi.
    Non è prevista una scansione annuale dei contenuti.
    L'ordine con cui sono proposti i cinque temi non è da interpretare come ordine di svolgimento. Si suggerisce che il docente li sviluppi in modo integrato, partendo da situazioni o contesti che ne mettano in luce le reciproche relazioni e connessioni, nel rispetto dell'identità caratteristica degli argomenti. Ferma restando per tutti l'acquisizione dei contenuti indicati, è necessario che il docente produca esemplificazioni, situazioni e applicazioni tendenzialmente orientate secondo le esigenze e gli interessi preminenti dei vari indirizzi di studio.
    I linguaggi di programmazione, gli algoritmi risolutivi dei problemi e l'aspetto operativo offerto dai calcolatori si possono utilizzare come occasioni per valorizzare nuovi accessi all'astrazione, modalità più dirette e distinte di familiarizzazione con i linguaggi formali.
    La verifica dell'apprendimento deve essere strettamente correlata e coerente, nei contenuti e nei metodi, con il complesso di tutte le attività svolte durante il processo di insegnamento-apprendimento.Non può quindi ridursi ad un controllo formale sulla padronanza solo delle abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche; deve invece vertere in modo equilibrato su tutte le tematiche e tenere conto di tutti gli obiettivi evidenziati nel programma. A tale fine il docente può servirsi di verifiche scritte e orali.
    Le verifiche scritte possono essere articolate sia sotto forma di problemi ed esercizi di tipo tradizionale, sia sotto forma di test; possono anche consistere in brevi relazioni su argomenti specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti nell'ambito del laboratorio di informatica.
    Le interrogazioni orali sono utili soprattutto per valutare le capacità di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nel!a proprietà di espressione.
    Nel corso delle verifiche scritte è giustificato l'uso degli stessi sussidi didattici utilizzati nell'attività di insegnamento-apprendimento (calcolatrici tascabili, strumenti da disegno, e, se ritenuto opportuno, manuali e testi scolastici).

P.N.I.

COMMENTO AI CONTENUTI (parte generale)
    In analogia con il testo del programma della scuola media, il programma viene proposto per "grandi temi".
    L'ordine con cui sono stati elencati i cinque "grandi temi" non deve tradursi in un ordine di svolgimento; al contrario, essi saranno esposti prevalentemente in modo parallelo, valorizzando e mettendo in evidenza le reciproche connessioni.
    Nel trattare i vari argomenti l'insegnante terrà presente che ciò che qualifica in modo più pertinente l'attività matematica è il porre e risolvere problemi, nella accezione più ampia del termine. Pertanto ognuno dei temi esposti deve essere anzitutto considerato come un campo di problemi. Pur non escludendo del tutto la presenza di esercizi di tipo ripetitivo, come rinforzo dell'apprendimento, non v'è dubbio che l'educazione matematica si attua soprattutto nella sfida a risolvere problemi nuovi. Nella verifica è dunque necessario controllare sino a che punto l'allievo è in grado di trasferire le sue conoscenze ed abilità su casi e situazioni diversi da quelli già affrontati.
    Dall'esame del problema dovrà scaturire l'esigenza di una impostazione teorica che ne consente la risoluzione e le nozioni teoriche che così saranno via via apprese dovranno essere quindi opportunamente collegate e sistemate.
    Coerentemente con questa impostazione le nozioni più astratte non saranno proposte a priori, ma dovranno scaturire come sintesi di situazioni incontrate in vari settori.
    La stessa sistemazione teorica è fonte peraltro di problemi, la cui soluzione contribuisce a rendere più "fine" la sistemazione stessa.
    In questa stessa prospettiva è importante che l'insegnante inquadri qualche argomento sotto l'aspetto storico, facendo vedere come lo sviluppo della matematica sia stato determinato dalla necessità di risolvere i problemi, anche teorici, che man mano venivano prospettati (es.: la scoperta dell'incommensurabilità, il metodo delle coordinate, ecc.).

Scuola Media Inferiore

Suggerimenti metodologici per Scienze m., f., c., n.
a) Attività sperimentale
    Il processo di avviamento al metodo scientifico proposto agli alunni dovrà rispettare i tempi e le modalità di apprendimento caratteristici della loro età: dovrà quindi muovere da ciò che può stimolare la loro curiosità e la loro intuizione, da esperienze facilmente comprensibili, dalla operatività e indirizzare alla sistematicità, grazie alla progressiva maturazione dei processi astrattivi. Pertanto gli allievi saranno impegnati, individualmente e in gruppo, in momenti operativi, indagini e riflessioni opportunamente guidati ed integrati dall'insegnante, giungendo, secondo la natura del tema, a sviluppi matematici più approfonditi e generali e, rispettivamente, a un quadro coerente di risultati sperimentali. In molti casi l'indagine sperimentale e quella matematica potranno proseguire a lungo assieme, integrandosi senza confondersi. Si sottolinea l'importanza di questa attività di laboratorio non solo, come è ovvio, per le scienze sperimentali, ma anche per la matematica (procedimenti di misura, rilevazioni statistiche e costruzioni di grafici, costruzioni di geometria piana e spaziale, ecc.). Peraltro, l'insegnante, nello sviluppo dei concetti matematici, non dovrà rimanere esclusivamente ancorato a modelli materiali, tenendo conto che la matematica ha specifici obiettivi e il suo apprendimento progredisce attraverso i metodi che le sono propri. Si metteranno in rilievo le differenze fra certo e probabile, fra continuo e discreto, fra leggi matematiche e leggi empiriche.
b) Studio, lettura e consultazione.
    A conclusione del corso, in modi e in forme adeguati alla sue età e ai compiti formativi della scuola media, l'allievo giungerà ad acquisire:
(a) i quadri generali nei quali le conoscenze scientifiche si collocano;
(b) una prima sistemazione dei concetti portanti e delle strutture specifiche della matematica e delle scienze sperimentali.
    Le nozioni acquisite nel corso del triennio non dovranno quindi rimanere sconnesse e occasionali; inoltre per evitare genericità gli alunni dovranno impadronirsi di conoscenze precise, da considerare irrinunciabili. I risultati delle osservazioni e delle conoscenze acquisite mediante procedimenti attivi di ricerca verranno integrati con l'utilizzazione critica di informazioni ricavate dalla lettura e la consultazione di uno o più libri e dal ricorso a mezzi audiovisivi.
Avviamento alla collocazione storica della scienza
    L'insegnante di scienze avvierà l'alunno a una prima riflessione sulla dimensione storica della scienza, presentando, con esempi significativi, sia le linee di sviluppo della scienza dal suo interno, sia la stretta correlazione esistente fra l'evoluzione scientifica e quella della condizione umana.
Rapporti tra le varie discipline
    I docenti, oltre a realizzare in modo naturale, all'interno della cattedra, correlazioni e collegamenti fra le discipline che vi afferiscono, dovranno sviluppare stretti rapporti di collaborazione con i docenti di tutte le altre discipline. È nell'ambito di questa collaborazione che troverà un posto importante l'impegno di tutti i docenti nel programmare una serie di attività concernenti l'educazione sanitaria.
Ripartizione oraria
    La matematica e le scienze sperimentali concorrono unitariamente a realizzare gli obiettivi dell'educazione scientifica; ciò non esclude la specificità dei contributi che esse autonomamente recano. Pertanto i programmi che seguono sono articolati secondo le due componenti predette. Dati i frequenti collegamenti e la costante interazione prevista nel lavoro di classe fra la matematica e le scienze sperimentali, non è possibile stabilire una rigida ripartizione dell'orario settimanale fra le due aree. Appare tuttavia necessario prevedere per ciascun anno una distribuzione equilibrata dei tempi da dedicare rispettivamente alla matematica e alle scienze sperimentali.

Suggerimenti metodologici per la Matematica
    Per il conseguimento degli obiettivi predetti, si farà ricorso ad osservazioni, esperimenti, problemi tratti da situazioni concrete così da motivare l'attività matematica della classe, fondandola su una sicura base intuitiva.
    Verrà dato ampio spazio all'attività di matematizzazione intesa come interpretazione matematica della realtà nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici, economici, linguistici ...) con la diretta partecipazione degli allievi.
    Nel programma i contenuti sono raggruppati in "temi" e non elencati in ordine sequenziale, al fine di facilitare la individuazione di quelle idee che appaiono essenziali allo sviluppo del pensiero matematico degli allievi. I temi non devono essere quindi intesi come capitoli in successione, ma argomenti tratti da temi diversi potranno, in sede di programmazione, alternarsi ed integrarsi nell'itinerario didattico che l'insegnante riterrà più opportuno.
    Ciò consentirà di introdurre taluni argomenti in anticipo rispetto alla loro sistemazione logica, il che può essere utile per analizzare situazioni concrete, interpretare fenomeni e collegare fra loro nozioni diverse; in tal caso l'insegnante si limiterà in una prima fase, a fornire una visione d'insieme adeguata allo sviluppo mentale degli alunni, per ritornare sugli stessi argomenti con maggiore profondità, in momenti successivi. Nello stesso spirito, l'insegnante utilizzerà subito, con naturalezza, le nozioni che l'alunno possiede dalla scuola elementare. Si terrà conto, in ogni caso, della necessità di richiamare, volta a volta, i concetti e le informazioni necessari per innestare lo sviluppo dei nuovi temi e problemi.
    La matematica potrà fornire e ricevere contributi significativi da altre discipline.
    Si tenga presente, al riguardo, che la matematica fornisce un apporto essenziale alla formazione della competenza linguistica, attraverso la ricerca costante di chiarezza, concisione e proprietà di linguaggio, e, anche, mediante un primo confronto fra il linguaggio comune e quello più formale, proprio della matematica.
    Con l'educazione tecnica la matematica può integrarsi sia fornendo mezzi di calcolo e di rappresentazione per la fase progettuale, sia ricevendone ausilio per la propria attività.
    Analogamente, possono essere trovati momenti di incontro della matematica con la geografia (metodo delle coordinate, geometria della sfera . . .), con l'educazione artistica (prospettiva, simmetrie . . .) ecc.

Orientamenti per la "lettura" dei contenuti
[in parte sono stati riportati sotto, nei commenti ai vari "temi"]
    Nello svolgimento del programma si terrà presente che una nozione può assumere più chiaro significato se messa a raffronto con altre ad essa parallele o antitetiche: così, per illustrare una proprietà si daranno anche esempi di situazioni in cui essa non vale; ad esempio la numerazione decimale potrà essere pienamente intesa se confrontata con altri sistemi di numerazione.
...
    Si terrà presente che "risolvere un problema" non significa soltanto applicare regole fisse a situazioni già schematizzate, ma vuol dire anche affrontare problemi allo stato grezzo per cui si chiede all'allievo di farsi carico completo della traduzione in termini matematici.
...
    Va sconsigliata l'insistenza su aspetti puramente meccanici e mnemonici, e quindi di scarso valore formativo. Si eviterà l'imposizione di regole che potrebbero essere più naturalmente individuate in altri contesti più appropriati.

Scuola Elementare

vedi

Liceo Scientifico

Vedi quanto presente nella PREMESSA

CONTENUTI

Viene seguita la scansione dei programmi della Commissione Brocca. Nel caso dei programmi "Brocca" e "PNI" le parti in corsivo sono quelle presenti solo nella versione "forte" (indirizzi tecnologici e scientifici). Dei "vecchi programmi", per economia di spazio, si sono riportati solo quelli del liceo scientifico, che possiamo considerare come una versione "forte"; come versione "debole" possiamo considerare i programmi del biennio del liceo classico (ginnasio), che coincidono con i programmi per la classe 1^a del liceo scientifico.

GEOMETRIA

Commissione Brocca

GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO

1.1.	Piano euclideo e sue trasformazioni isometriche. Figure e loro proprietà. Poligoni equiscomponibili; teorema di Pitagora.
1.2.	Omotetie e similitudini del piano. Teorema di Talete.
1.3.	Piano cartesiano: retta, parabola, iperbole equilatera.
1.4.	Coseno e seno degli angoli convessi. Relazione fra lati ed angoli nei triangoli rettangoli.
1.5.	Esempi significativi di trasformazioni geometriche nello spazio. Individuazione di simmetrie in particolari solidi geometrici.

Commento
    Lo studio della geometria nel biennio ha la finalità principale di condurre progressivamente lo studente dalla intuizione e scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale e rappresenta come tale una guida privilegiata alla consapevolezza argomentativa. A ciò il docente può pervenire adottando un metodo che, facendo leva sulle conoscenze intuitive apprese dall'allievo nella scuola media, proceda allo sviluppo razionale di limitate catene di deduzioni; è tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito, quali che siano le ragioni che inducono ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento.
    Al docente compete poi l'impegno di avviare la fase euristica su processi di assiomatizzazione partendo da semplici situazioni assunte nei vari campi. Ciò nelle prospettiva di familiarizzare gli studenti con il metodo ipotetico-deduttivo e pervenire negli eventuali studi successivi alla costruzione di un sistema di assiomi per la geometria elementare. A tal fine è bene programmare, in un quadro di riferimento organico, una scelta delle proprietà (teoremi) delle figure piane da dimostrare, utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso più tradizionale.
    Un traguardo importante dello studio della geometria è il piano cartesiano, come modello del piano euclideo. Con la sua introduzione sono disponibili, per la risoluzione dei problemi geometrici, sia il metodo della geometria classica che quello della geometria analitica, e lo studente va stimolato ad usare l'uno o l'altro in relazione alla naturalezza, alla espressività e alla semplicità che essi offrono nel caso particolare in esame. La rappresentazione della parabola e dell'iperbole equilatera va effettuata rispetto a sistemi di riferimento scelti opportunamente.
    Il coseno e il seno di un angolo sono introdotti, limitatamente agli angoli convessi, in relazione allo studio delle proprietà dei triangoli e per le necessità proprie delle altre scienze; lo studio delle funzioni circolari è rinviato al periodo successivo.
    Gli elementi di geometria dello spazio hanno lo scopo di alimentare e sviluppare l'intuizione spaziale. E in facoltà del docente presentare prima la geometria piana e poi quella dello spazio, oppure fondere, in relazione agli argomenti comuni, le due esposizioni.

P.N.I.

Scuola Media Inferiore

La geometria prima rappresentazione del mondo fisico
a) Dagli oggetti ai concetti geometrici: studio delle figure del piano e dello spazio a partire da modelli materiali.
b) Lunghezze, aree, volumi, angoli e loro misura.
c) Semplici problemi di isoperimetria e di equi-estensione. Il teorema di Pitagora.

Il metodo delle coordinate
a) Uso del metodo delle coordinate in situazioni concrete; lettura di carte topografiche e geografiche.
b) Coordinate di un punto della retta, coordinate di un punto del piano. Rappresentazione e studio di semplici figure del piano, ad es. figure poligonali di cui siano assegnate le coordinate dei vertici.
c) Semplici leggi matematiche ricavate anche dal mondo fisico, economico, ecc. e loro rappresentazione nel piano cartesiano; proporzionalità diretta e inversa, dipendenza quadratica, ecc.

Trasformazioni geometriche
a) Isometrie (o congruenze) piane - traslazioni, rotazioni, simmetrie - a partire da esperienze fisiche (movimenti rigidi). Composizioni di isometrie. Figure piane direttamente o inversamente congruenti.
b) Similitudini piane, in particolare omotetie, a partire da ingrandimenti e rimpicciolimenti. Riduzioni in scala.
c) Osservazione di altre trasformazioni geometriche: ombre prodotte da raggi solari o da altre sorgenti luminose, rappresentazioni prospettiche (fotografie, pittura ecc.), immagini deformate,...

Commenti da "Orientamenti per la lettura dei contenuti"
    Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure, che ne renda evidenti le proprietà nell'atto del loro modificarsi; sarà anche opportuno utilizzare materiale e ricorrere al disegno. La geometria dello spazio non sarà limitata a considerazioni su singole figure, ma dovrà altresì educare alla visione spaziale. È in questa concezione dinamica che va inteso anche il tema delle trasformazioni geometriche.
    Il metodo delle coordinate con il rappresentare graficamente fenomeni e legami fra variabili, aiuterà a passare da un livello intuitivo ad uno più razionale. Alcune trasformazioni geometriche potranno essere considerate anche per questa via.

Scuola Elementare

vedi

Liceo Scientifico

GEOMETRIA
Classe 1a. Rette, semirette, segmenti. Piani, semipiani; angoli. Triangoli e poligoni piani. Uguaglianza dei triangoli. Rette perpendicolari. Rette parallele. Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono. Disuguaglianze tra elementi di un triangolo. Parallelogrammi; loro proprietà e casi particolari. Circonferenza e cerchio. Mutuo comportamento di rette e circonferenze: cenni sul mutuo comportamento di circonferenze complanari. Angoli nel cerchio (al centro o alla circonferenza). Poligoni regolari. Qualche problema grafico fondamentale. Poligoni equivalenti. Teorema di Pitagora.
Classe 2a. Proporzioni tra le grandezze, similitudini dei triangoli e dei poligoni, teoria della misura, area dei poligoni.

ALGEBRA E ANALISI

Commissione Brocca

INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

2.1.	Operazioni, ordinamento e loro proprietà negli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali.
2.2.	Valori approssimati e loro uso nei calcoli elementari. Introduzione intuitiva dei numeri reali. Radicali quadratici ed operazioni elementari su di essi.
2.3.	Il linguaggio dell'algebra e il calcolo letterale: monomi, polinomi, frazioni algebriche.
2.4.	Equazioni e sistemi di primo e di secondo grado. Disequazioni di primo grado.

RELAZIONI E FUNZIONI

3.1.	Insiemi ed operazioni su di essi. Prime nozioni di calcolo combinatorio.
3.2.	Leggi di composizione ed individuazione di particolari strutture. Prodotto cartesiano. Relazioni binarie: relazioni d'ordine e di equivalenza. Applicazioni (funzioni).
3.3.	Funzioni x  ax+b, x  ax2+bx+c, x  a/x e loro grafici.

Commento a Insiemi numerici e Calcolo
    I numeri naturali, interi, razionali, già noti agli studenti, sono ripresi in forma più sistematica; si può pervenire ai vari ampliamenti a partire da effettive necessità operative, mettendo in luce la permanenza delle proprietà formali e della relazione d'ordine. L'esposizione può anche essere arricchita con l'illustrazione dell'evoluzione storica dei concetti di numerazione e di numero.
    Il numero reale va introdotto in via intuitiva, come processo costruttivo che può nascere sia da esigenze di calcolo numerico, sia da un confronto fra grandezze omogenee. é importante premettere esempi di calcolo approssimato, in cui porre l'accento sulla significatività delle cifre, anche al fine di far vedere come il risultato del calcolo possa essere illusorio in assenza di una corretta valutazione dell'errore.
    Il docente deve programmare lo sviluppo da dare al calcolo letterale per abituare l'allievo alla corretta manipolazione di formule, sempre sostenuta dalla comprensione delle procedure da seguire. Si sottolinea, a questo proposito, l'inopportunità del ricorso ad espressioni inutilmente complesse, tenendo presente che la sicurezza nel calcolo si acquisisce gradualmente nell'arco del biennio. é invece opportuno fare osservare che un'espressione algebrica è interpretabile in modo naturale come uno schema di calcolo che può essere illustrato da un grafo; si può anche collegare il calcolo letterale ai linguaggi formali introdotti negli elementi di informatica.
    Lo studio delle equazioni, delle disequazioni e dei sistemi va connesso alla loro rappresentazione sul piano cartesiano, con relative applicazioni a problemi di varia natura; nella risoluzione è sufficiente considerare le soluzioni nell'insieme dei numeri reali.
    Nel presentare argomenti tradizionali di algebra è opportuno evitare di dare carattere di teoria ad argomenti che si riducono a semplici artifizi e di fornire classificazioni e regole distinte in situazioni in cui valgono gli stessi principi generali.
Commento a Relazioni e funzioni
    Il docente, dopo aver riorganizzato le conoscenze sugli insiemi che gli allievi hanno già acquisito nella scuola media, deve aver cura di stabilire opportuni collegamenti tra le nozioni logiche e quelle insiemistiche: connettivi logici ed operazioni tra insiemi, predicato con un solo argomento e sottoinsiemi dell'insieme universo, predicati binari e relazioni, ecc...
    Lo studio del calcolo combinatorio si limita alle disposizioni, permutazioni, combinazioni e loro proprietà principali; il docente può approfittarne, tra l'altro, per abituare lo studente a dimostrazioni di tipo algebrico.
    Dall'esame delle relazioni d'ordine, delle proprietà formali negli insiemi numerici, delle composizioni di isometrie e dall'esame di altri esempi, il docente può arrivare, attraverso il riscontro di analogie strutturali, ai concetti di gruppo, di anello, di campo, e di struttura d'ordine, senza tuttavia dare alla trattazione una sistemazione teorica, che viene rinviata ai successivi studi.
    Alla nozione di relazione d'equivalenza va associata quella di insieme quoziente, con varie esemplificazioni (direzione di rette, classi di resti, ecc...).
    Il concetto di funzione, fondamentale per stabilire relazioni di dipendenza, consente di visualizzare leggi e fenomeni in connessione interdisciplinare con altri ambiti.
    L'introduzione delle funzioni x  ax+b, x  ax²+bx+c, x  a/x trova un naturale collegamento con la rappresentazione della retta, della parabola e dell'iperbole equilatera nel piano cartesiano; analogamente la nozione di zeri di tali funzioni trova collegamento con la risoluzione delle corrispondenti equazioni.
    La nozione di grafico di una funzione va illustrata anche su esempi diversi, osservando che non è necessario attendere il possesso degli strumenti del calcolo differenziale per avere un'idea qualitativa dell'andamento di funzioni definite da semplici espressioni. In questo contesto l'impiego del calcolatore può essere importante, purché lo studente abbia consapevolezza del carattere approssimato delle rappresentazioni ottenute.

P.N.I.

GLI INSIEMI NUMERICI E IL CALCOLO

a)	Operazioni fra insiemi finiti e prime nozioni di calcolo combinatorio.
b)	Le operazioni e l'ordinamento nell'insieme dei numeri razionali relativi.
c)	Valori approssimati e loro uso nei calcoli elementari; significatività delle cifre. Introduzione intuitiva dei numeri reali. Radicali quadratici nell'insieme dei numeri reali positivi ed operazioni elementari su di essi.
d)	Il linguaggio dell'algebra ed il calcolo letterale.

RELAZIONI E FUNZIONI

a)	Prodotto cartesiano; relazioni di ordine e di equivalenza; applicazioni (funzioni) e loro composizione.
b)	Funzioni lineari e quadratiche; funzione x   k/x. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado. Sistemi.

Commento a Gli insiemi numerici e il calcolo
    Gli insiemi numerici saranno introdotti in forma intuitiva, ma con enunciazione precisa e completa delle proprietà formali delle operazioni algebriche e della relazione d'ordine (così da pervenire implicitamente alla nozione di campo ordinato).
    Il carattere intuitivo dell'introduzione dei numeri reali sta ad indicare che il numero reale s'identifica con un processo costruttivo di approssimazione, in cui le proprietà formali delle operazioni e le proprietà di ordinamento vengono conservate. E` importante premettere esempi di calcolo approssimato, anche al fine di far vedere come il calcolo possa essere illusorio in assenza di una corretta valutazione dell'errore.
    La proprietà di completezza della retta reale ed eventualmente la teoria "costruttiva" dei numeri reali saranno rinviate ad un periodo successivo.
    Per una introduzione chiara e coerente del calcolo letterale si potrà far riferimento ai linguaggi formali introdotti con il tema 1. Nello stesso tempo si farà vedere che un'espressione algebrica è interpretabile in modo naturale come uno schema di calcolo, che può essere anche illustrato da un grafo.
    Nell'addestramento al calcolo letterale si avrà cura di evitare espressioni inutilmente complesse, tenendo presente che il calcolo deve essere sempre diretto consapevolmente ad uno scopo e che la scioltezza nel calcolo dovrà essere conseguita gradualmente nell'arco del biennio.
Commento a Relazioni e funzioni
    Si noterà che il programma non contiene esplicitamente nozioni introduttive di teoria degli insiemi. Infatti si presuppone che all'allievo sia già familiare il linguaggio di tale teoria; sarà cura dell'insegnante stabilire un collegamento tra le nozioni logiche e quelle insiemistiche: fra predicato con un solo argomento e sottoinsiemi dell'insieme "universo", tra predicati binari e relazioni, ecc.
    Alla nozione di relazione di equivalenza potrà essere associata quella di insieme quoziente, con varie esemplificazioni (direzione di rette, ecc.).
    Verrà data particolare cura alla illustrazione geometrica sul piano cartesiano dei sistemi di equazioni e disequazioni, con le relative applicazioni a vari problemi (elementi di programmazione lineare).
    Nel presentare argomenti tradizionali di algebra, occorrerà guardarsi dal dare carattere di teoria ad argomenti che si riducono a semplici artifizi e dal fornire classificazioni e regole in situazioni in cui deve bastare l'applicazione di semplici principi generali (es.: tecniche per la risoluzione di sistemi lineari e di disequazioni).

Scuola Media Inferiore

INSIEMI NUMERICI
a)   Numeri naturali. Successivi ampliamenti del concetto di numero: dai naturali agli interi relativi, dalle frazioni (come operatori) ai numeri razionali. Rapporti, percentuali. Proporzioni. Rappresentazione dei numeri sulla retta orientata.
b)   Scrittura decimale. Ordine di grandezza.
c)   Operazioni dirette e inverse e loro proprietà nei diversi insiemi numerici. Potenza e radice. Multipli e divisori di un numero naturale e comuni a più numeri. Scomposizione in fattori primi. Esercizi di calcolo, esatto e approssimato. Approssimazioni successive come avvio ai numeri reali. Uso ragionato di strumenti di calcolo (ad es. tavole numeriche, calcolatori tascabili, ecc.)

PROBLEMI ED EQUAZIONI
a)   Individuazione di dati e di variabili significative in un problema. Risoluzione mediante ricorso a procedimenti diversi (diagrammi di flusso, impostazione e calcolo di espressioni aritmetiche, …)
b)   lettura, scrittura, uso e trasformazioni di semplici formule
c)   semplici equazioni e disequazioni numeriche di primo grado

CORRISPONDENZE - ANALOGIE STRUTTURALI
Richiami, confronti e sintesi dei concetti di relazione, corrispondenza, funzione, legge di composizione incontrati in ambiti diversi. Ricerca e scoperta di analogie di struttura.

Commenti da Orientamenti per la lettura dei contenuti
    Il linguaggio degli insiemi potrà essere usato come strumento di chiarificazione, di visione unitaria e di valido aiuto per la formazione di concetti. Si eviterà comunque una trattazione teorica a sé stante, che sarebbe, a questo livello, inopportuna.
    Analogamente, grafi e diagrammi di flusso potranno essere utilizzati come un linguaggio espressivo per la schematizzazione di situazioni e per la guida alla risoluzione di problemi.
    L'argomento "proporzioni" non deve essere appesantito imponendo, come nuove, regole che sono implicite nella proprietà delle operazioni aritmetiche, ma deve essere finalizzato alla scoperta delle leggi di proporzionalità (y = kx; xy = k).
    Nella trattazione delle potenze verrà dato particolare risalto alle potenze di 10, per il ruolo che esse hanno nella scrittura decimale dei numeri e, quindi, nella notazione di ordine di grandezza, anche in relazione al sistema metrico decimale. Ove se ne ravvisi l'opportunità, si potrà accennare anche alla legge di accrescimento esponenziale.
    Si terrà presente che "risolvere un problema" non significa soltanto applicare regole fisse a situazioni già schematizzate, ma vuol dire anche affrontare problemi allo stato grezzo per cui si chiede all'allievo di farsi carico completo della traduzione in termini matematici.
    Nell'ambito di questo lavoro di traduzione si troverà tra l'altro, una motivazione concreta per la costruzione delle espressioni aritmetiche e per le relative convenzioni di scrittura.
    Anche le equazioni e le disequazioni troveranno una loro motivazione nella risoluzione di problemi appropriati. L'insegnante potrà, inoltre, presentare equazioni e disequazioni in forma unificata, utilizzando l'idea di "frase aperta" (enunciato con una o più variabili).
    Il tema "Corrispondenze e analogie strutturali" non darà luogo ad una trattazione a se stante. Nel corso dei tre anni, tutte le volte che se ne presenti l'occasione, si faranno riconoscere analogie e differenze fra situazioni diverse, come approccio alle idee di relazione e struttura.
    Va sconsigliata l'insistenza su aspetti puramente meccanici e mnemonici, e quindi di scarso valore formativo. Si eviterà l'imposizione di regole che potrebbero essere più naturalmente individuate in altri contesti più appropriati. Ad esempio, argomenti come la scomposizione in fattori primi, la ricerca del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo, il calcolo di grosse espressioni aritmetiche, l'algoritmo per l'estrazione della radice quadrata, il calcolo letterale avulso da riferimenti concreti, non dovranno avere valore preponderante nello insegnamento e tanto meno nella valutazione.

Scuola Elementare

vedi

Liceo Scientifico

ALGEBRA
Classe 1a. numeri razionali relativi e le quattro operazioni fondamentali su di essi. Potenze con esponenti interi relativi. Polinomi (razionali, interi); operazioni su di essi. Prodotti notevoli. Casi semplici di scomposizione di polinomi in fattori. Frazioni algebriche, calcoli con esse. Equazioni e problemi di primo grado ad un'incognita.
Classe 2a. Concetto di numero reale. Calcolo dei radicali, cenno sulle potenze con esponenti frazionari. .
  Equazioni di secondo grado o ad esse riconducibili. Esempi di sistemi di equazioni di grado superiore al primo risolubili con equazioni di primo e secondo grado. Cenni sulle progressioni aritmetiche e geometriche.
  Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Funzioni di una variabile e loro rappresentazione grafica; in particolare le funzioni: y = ax + b, y = ax², y = a/x, y = a^x.

PROBABILITÀ E STATISTICA

Commissione Brocca

ELEMENTI DI PROBABILITÀ E DI STATISTICA.
4.1.   Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori, eventi disgiunti e "regola della somma".
4.2.   Probabilità condizionata, probabilità composta. Eventi indipendenti e "regola del prodotto".
4.3.   Elementi di statistica descrittiva: rilevazione di dati, valori di sintesi, indici di variabilità.
Commento
    Lo studio delle probabilità, da un lato, sviluppa un corretto approccio alla analisi di situazioni in condizioni di incertezza, dando strumenti per trattare razionalmente le proprie informazioni e assumere decisioni coerenti e, dall'altro, fornisce nuovi ambiti in cui è possibile svolgere interessanti esempi di matematizzazione.
    Per il consolidamento di una mentalità probabilistica che orienti lo studente anche nei giudizi della vita corrente, sono essenziali un avvio ragionato alle varie definizioni di probabilità ed una ricca esemplificazione tratta da situazioni reali.
    Lo studio delle probabilità costituisce inoltre un contesto in cui la formalizzazione e l'astrazione possono far pervenire ad una strutturazione assiomatica della teoria. Nella soluzione dei problemi è bene utilizzare una molteplicità di strumenti quali il calcolo combinatorio, i diagrammi di Eulero-Venn e grafi di vario tipo.
    I contenuti della parte di statistica costituiscono l'occasione per una messa a punto più rigorosa e formalizzata di concetti e di strumenti in parte già conosciuti,suggerendone una più consolidata familiarizzazione attraverso applicazioni a problemi e contesti di tipo interdisciplinare. Particolare importanza riveste l'analisi e l'interpretazione dei dati presentati in varie forme, da quelle tabellari a quelle grafiche o a quelle più sintetiche, per mettere lo studente in grado di fruire correttamente e criticamente delle informazioni statistiche che a vario tipo gli pervengono.

P.N.I.

Scuola Media Inferiore

Matematica del certo e matematica del probabile
a)   Affermazioni del tipo vero/falso e affermazioni di tipo probabilistico. Uso corretto dei connettivi logici (e, o, non): loro interpretazione come operazioni su insiemi e applicazioni ai circuiti elettrici.
b)   Rilevamenti statistici e loro rappresentazione grafica (istogrammi, aerogrammi...); frequenza; medie.
c)   Avvenimenti casuali; nozioni di probabilità e sue applicazioni.
Commenti da Orientamenti per la lettura dei contenuti
    La riflessione sull'uso dei connettivi concorre alla chiarificazione del linguaggio e del pensiero logico.
    L'introduzione degli elementi di statistica descrittiva e della nozione di probabilità ha lo scopo di fornire uno strumento fondamentale per l'attività di matematizzazione di notevole valore interdisciplinare. La nozione di probabilità scaturisce sia come naturale conclusione dagli argomenti di statistica sia da semplici esperimenti di estrazioni casuali.
    L'insegnante, evitando di presentare una definizione formale di probabilità, avrà cura invece di mettere in guardia gli allievi dai più diffusi fraintendimenti riguardanti sia l'interpretazione dei dati statistici sia l'impiego della probabilità nella previsione degli eventi. Le applicazioni non dovranno oltrepassare il calcolo delle probabilità in situazioni molto semplici, legate a problemi concreti (ad esempio nella genetica, nell'economia, nei giochi).

Scuola Elementare

vedi

LOGICA E INFORMATICA

Commissione Brocca

ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA
5.1.   Logica delle proposizioni: proposizioni elementari e connettivi, valori di verità di una proposizione composta. Inferenza logica, principali regole di deduzione.
5.2.   Variabili, predicati, quantificatori.
5.3.   Analisi, organizzazione e rappresentazione di dati, costruzione strutturata di algoritmi e loro rappresentazione.
5.4.   Automi finiti, alfabeti, parole e grammatiche generative. Sintassi e semantica. Prima introduzione ai linguaggi formali.
LABORATORIO DI INFORMATICA.
Utilizzazione di un linguaggio di programmazione, analisi di problemi e loro soluzioni sia mediante linguaggi di programmazione, sia con l'utilizzo di un opportuno "ambiente informatico".

Commento a Elementi di Logica e Informatica
    Gli elementi di logica non devono essere visti come una premessa metodologica all'attività dimostrativa , ma come una riflessione che si sviluppa man mano che matura l'esperienza matematica dello studente. Fin dall'inizio bisogna abituare lo studente all'uso appropriato del linguaggio e delle formalizzazioni, a esprimere correttamente le proposizioni matematiche e a concatenarle in modo coerente per dimostrare teoremi, mentre solo nella fase terminale del biennio si può pervenire allo studio esplicito delle regole di deduzione. Così, ad esempio, si può osservare che la risoluzione delle equazioni si basa sull'applicazione di principi logici che consentono di ottenere equazioni equivalenti o equazioni che sono conseguenza logica di altre.
    Le riflessioni linguistiche e logiche acquistano una caratteristica operativa nello sviluppo della parte di programma relativa all'informatica e ai linguaggi di programmazione. Ciò consente, tra l'altro, di cogliere le differenze tra il piano linguistico e il piano metalinguistico, tra il livello sintattico e il livello semantico, particolarmente evidenziate dalla pratica al calcolatore. Va dato opportuno risalto alle analogie e alle differenze che intercorrono tra il linguaggio naturale e i linguaggi artificiali, tra il ragionamento comune e il ragionamento formalizzato.
    L'introduzione di elementi di informatica avvia lo studente alla costruzione di modelli formali di classi di problemi che conducano all'individuazione di una corretta ed efficiente strategia risolutiva. Per questo è determinante abituare lo studente, partendo dal concetto di informazione, a individuare dati e relazioni tra di essi e a descrivere i processi di elaborazione che consentono di pervenire alla soluzione con mezzi automatici.
    Durante l'attività di programmazione lo studente deve essere condotto a riconoscere ed utilizzare consapevolmente i tipi di dati e le loro più elementari strutture, nonché le regole di costruzione degli algoritmi (sequenza, selezione, iterazione). In tale attività si devono evidenziare continuamente le analogie e le differenze tra gli "oggetti" matematici e le loro rappresentazioni informatiche.
    La riflessione sulla formalizzazione di un processo favorisce l'acquisizione dei concetti di automa e con ciò la possibilità di riconoscere l'aspetto logico-funzionale di alcune realtà (i linguaggi formali, l'elaboratore, altri sistemi automatici).
    I contenuti proposti trovano il loro naturale sviluppo nell'integrazione con l'attività di laboratorio.
Commento al Laboratorio di Informatica 
    L'attività di laboratorio, distribuita lungo tutto l'arco del biennio, integra gli elementi di contenuto dei vari temi e costituisce essa stessa un momento di riflessione teorica. Essa consiste in:
a)  analisi di problemi e loro soluzione informatica attraverso sia la costruzione di un programma e il controllo della sua esecuzione, sia l'utilizzo di programmi già disponibili e di software di utilità; in quest'ultimo caso l'utilizzazione di tali "ambienti" abitua lo studente ad operare consapevolmente all'interno di diversi sistemi dotati di regole formali e con limiti operativi;
b)  esplorazioni e verifiche di proprietà matematiche, rappresentazioni grafiche e calcoli, come momenti che concorrono al processo di apprendimento della matematica.

P.N.I.

Scuola Media Inferiore

Vedi i temi Insiemi numerici e Matematica del certo e matematica del probabile.

Scuola Elementare

vedi qui e in parte qui