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Da:  L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 22B, n. 2, 1999

SOFTWARE PER L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA:
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI FUNZIONI ED EQUAZIONI

Laura Capelli    Carlo Dapueto    Simonetta Greco
Nucleo di Ricerca Didattica MaCoSa
presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova
via Dodecaneso, 35 - 16136 Genova
macosa@dima.unige.it

Summary 
In this paper some questions related to making and using software for graphing functions and equations are discussed. Some (technical and didactical) problems of commercial software are pointed out. Free software prepared and used by MaCoSa Group is presented. Further papers will deal with using computer in particular mathematical areas.

Introduzione e considerazioni generali

01    Questo è il primo di una serie di articoli che illustrano alcuni esempi di impiego di parte del software messo a punto per le classi che utilizzano il progetto (per l'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore) MaCoSa ( [7],[8]) e per alcune attività di aggiornamento. È impiegabile indipendentemente dai volumi di MaCoSa, e , sulla base della sperimentazione, è in continua revisione ed evoluzione.
    Mentre presenteremo gli esempi, svolgeremo anche alcune considerazioni generali e teoriche sull'impiego del calcolatore nell'insegnamento della matematica. Per una illustrazione più estesa di itinerari didattici che intreccino insegnamento della matematica e utilizzo del computer, rinviamo ai volumi del progetto MaCoSa.
    Gli esempi sono riferiti alla scuola secondaria superiore, ma il software è utilizzabile a un primo livello anche nella scuola media inferiore.

02    Nel corso degli ultimi anni quasi tutte le scuole superiori si sono dotate di un'aula adibita a laboratorio di informatica; ma ancora oggi il problema dell'uso del calcolatore nell'insegnamento è tutt'altro che risolto.
    Non solo nel curriculum scolastico degli insegnanti spesso manca una preparazione informatica di base, ma essi, anche quando hanno una certa dimestichezza con il calcolatore, si trovano di fronte alla difficoltà di organizzare il percorso di insegnamento in modo da introdurre in maniera significativa l'uso del calcolatore.
    L'attività nel laboratorio di informatica tende ad essere trascurata o ad essere ridotta a qualcosa che ha poco a che vedere con il programma di matematica che si sta svolgendo in classe e riguarda aspetti molto semplici in cui non risulta del tutto motivato l'uso del calcolatore.
    Il problema dell'uso dei calcolatori scarso e non integrato all'insegnamento delle discipline non riguarda comunque solo l'Italia, ma è un fenomeno internazionale; in molti paesi stranieri tuttavia ciò è dovuto anche al fatto che i curricoli prevedono corsi separati per l'introduzione all'uso del calcolatore, mentre i nuovi programmi per la scuola secondaria superiore italiana messi a punto con l’avvio del Piano Nazionale Informatica prevedevano il laboratorio di informatica come parte integrante dell’insegnamento della matematica (vedremo nei prossimi anni se le tendenze di alcuni settori del Ministero della Pubblica Istruzione Italiana a modularizzare e a spezzare in pillole di sapere scolastico l’insegnamento/apprendimento avranno il sopravvento riducendo lo spazio per le interazioni tra discipline).
    Le case editrici hanno pubblicato nuovi libri di testo o edizioni nuove di libri già esistenti, ma in genere la novità consiste nell'aggiunta di alcuni capitoli con elementi di logica e di informatica, nella riduzione delle dimensioni delle espressioni da manipolare, ma non vi sono sostanziali cambiamenti nell'impostazione generale dell'insegnamento (rilievo alla matematizzazione, interazioni e integrazioni tra aree matematiche, riflessioni sull'uso e il ruolo del computer). Le considerazioni critiche sulla situazione svolte alcuni anni fa nell'introduzione di [5] e in [4] ci sembrano ancora attuali.

03    Il software che illustreremo è "artigianale" dal punto di vista "informatico", ma ha alcune caratteristiche specifiche che lo differenziano da buona parte del software didattico in circolazione.
    Innanzitutto è software libero, in modo che sia impiegabile in ogni scuola e, a casa (senza problemi di licenza), da ogni alunno.
    È infatti importante poter fare un uso individuale del computer: la possibilità di autogestirsi il tempo e di autocorreggersi sulla base degli output, di lavorare senza il controllo inibente dell'insegnante, … è un aspetto rilevante delle potenzialità didattiche del computer. È opportuno anche che l'insegnante usi il software non solo in classe e non solo da insegnante, cioè per fare attività matematiche non solo a livello "alunni": porsi il problema dell'uso del calcolatore per "fare matematica" serve ad affrontare consapevolmente il problema del suo uso nell'insegnamento (rendersi conto dell'utilità del calcolatore ma anche dei suoi limiti, cogliere i possibili intrecci tra calcolatore e matematica, riflettere su come cambia il modo di affrontare i problemi nel momento in cui si utilizza il calcolatore, … ).

04    È software realizzato in modo da essere abbastanza "trasparente", da privilegiare la "sostanza" delle cose, da costringere gli alunni a pensare e usare anche carta e penna, da prestarsi all'approfondimento di alcuni concetti matematici di base e di alcuni problemi connessi ai rapporti tra matematica-computer-software.
    È pensato per l'uso in un contesto di insegnamento attivo, che voglia fare i conti con le questioni discusse in 02 e tenga presente che l'uso del calcolatore:
•  può favorire tipi di attività e problemi diversi da quelli "tradizionali" (rispetto a: dimensioni, tempi, chiarezza delle consegne, …, atteggiamento operativo, possibilità di ragionamenti euristici, …, rilievo e ruolo del linguaggi formali e della formalizzazione dei concetti, … ), offrire occasioni per osservare gli alunni meglio e/o da punti di vista diversi (e scoprire potenzialità e scale di valori diverse), … ( [6]);
•  può dar luogo a momenti di lavoro in cui gli alunni vanno spontaneamente oltre le cose che la classe sta affrontando (svolgono approfondimenti, si pongono quesiti, … per esplorare le potenzialità del calcolatore, per interpretare uscite, per provare varianti, … ), ponendo anche l'insegnante di fronte a questioni non previste che magari non sa o non riesce ad affrontare o che lo mettono in uno stato di "ricerca"; l'insegnante, così, acquista una dimensione nuova, ha spunti per introdurre riflessioni sui limiti delle conoscenze matematiche, ha occasioni per ritrovare il gusto della scoperta, per entrare più in sintonia con gli alunni, …;
•  deve essere considerato una parte integrante dell'insegnamento della matematica anche in quanto esso per vari aspetti ha cambiato il modo in cui (sia nella ricerca applicata che in quella teorica) si fa matematica ( [11]).

05    In [4] è presente una breve analisi critica dei rapporti tra calcolatore e insegnamento della matematica in genere prospettati nella ricerca didattica. Abbiamo tenuto conto di tali considerazioni nella elaborazione del nostro software, dandogli le caratteristiche citate in 04 e rendendolo atto a stabilire collegamenti con attività di programmazione e a offrire, indirettamente, stimoli alla realizzazione di programmi da parte degli alunni.
    In Italia, ma non solo, c'è il rischio che dalla parola d'ordine "programmare in Pascal" (che, secondo noi, ha avuto scarso successo anche perché si tratta di un linguaggio per molti aspetti meno adeguato a questo contesto scolastico rispetto ai basic strutturati), si passi al "solo software già confezionato", perdendo le potenzialità didattiche che possono offrire le attività di programmazione ( [13]):
•  le attività di programmazione possono dare maggiore concretezza alle considerazioni sui linguaggi formali, sul ruolo dell'algebra nella modellizzazione e risoluzione di problemi, sul concetto di termine e di equazione, …
•  nel mettere a punto un programma, individuare e correggere gli errori, … si sviluppano abilità di analisi e di sintesi, forme di autovalutazione, … e atteggiamenti più attivi nei confronti dell'apprendimento scolastico, avvicinandolo all'apprendimento in contesti extrascolastici, che, purtroppo, è in genere molto più efficiente, in quanto integra meglio tra loro aspetti esperienziali e aspetti riflessivi ( [12]);
•  costruire un programma che faccia certe cose costringe a selezionare, raccordare e utilizzare opportuni concetti matematici (e non); questa è un'occasione per l'esercizio (e la verifica) di conoscenze disciplinari, specifiche e globali, e di abilità organizzative che hanno valenza generale (quali sono gli obiettivi? come realizzarli in relazione al tempo a disposizione e alla destinazione d'uso del programma? …).

06    In questo articolo illustreremo in particolare alcuni usi di Grafun, applicazione volta essenzialmente allo studio con tecniche grafico-numeriche di funzioni (a input e output in R) e alla rappresentazione/trasformazione di file di dati.
    Faremo anche cenni ad applicazioni-software "commerciali" (come Derive) e svolgeremo alcune considerazioni generali sull'insegnamento/apprendimento dei concetti matematici coinvolti (sviluppando analisi già introdotte in [2]-[5]).
    In successivi articoli verranno illustrati altri impieghi di Grafun e di altre applicazioni, elaborate nell'ambito del progetto MaCoSa o commerciali, riferendosi ad altre aree matematiche: algebra, calcolo infinitesimale, geometria, statistica e probabilità.
    Per informazioni più dettagliate (e aggiornate: il software viene man mano modificato) su Grafun rinviamo al relativo help. Per altro materiale su "matematica e calcolatore" si veda [10].
    Chi è interessato ad avere indicazioni su come reperire il software o altre informazioni sul gruppo MaCoSa può prendere contatto via Internet, direttamente ( [9]) o inviando un messaggio in posta elettronica a macosa@dima.unige.it o a dapueto@dima.unige.it, o può inviare un fax (010-3536980).

Grafun

07    Nella figura 1 è riprodotto lo stato dello schermo in un particolare momento di lavoro con Grafun, in particolare durante l’esecuzione di un "demo" attivabile dal programma stesso. Anche le figure 2-5 sono tratte da questo demo.
    Lo schermo è articolato in:   una finestra in basso in cui compaiono domande, menu, … , dedicata alla introduzione di dati, scelte di comandi, definizioni, … e alla visualizzazione di alcune uscite;   una finestra quadrata in cui sono tracciati i grafici e possono essere introdotte scritte, usabile interamente (finestra T) o articolabile in 4 sottofinestre (A, B, C, D);   e una finestra laterale in cui compaiono alcune indicazioni sullo stato del sistema (finestra grafica attiva, funzioni e costanti attualmente definite, scala associata alla finestra attiva, …) e in cui possono essere visualizzati file.   Al momento è attiva la finestra C in cui era stato tracciato il grafico di percorrenza in km prezzo in lire (ferrovie italiane nel 1996), il rettangolo cartesiano associato a C è [–100, 3100]  [–10000, 130000]; C sta per essere cancellata (sta per essere inviato il comando cls: vedi ultima riga in basso).  La curva in B (grafico della relazione inversa di F) è stata realizzata (vedi i comandi nella finestra in basso) come x=F(t), y=H(t).

08    Questo programma cerca di combinare aspetti presenti nei fogli di calcolo elettronico con aspetti presenti in software "matematico", consente la costruzione ed esplorazione dei file (che registrano dati, funzioni, grafici, demo, …) con un qualunque editor e lo scambio di file con software per altre attività matematiche e presenta i comandi organizzati in modo tale da costringere l'utente ad alcune attività e riflessioni che, secondo noi, sono didatticamente utili. Su questo aspetto ci soffermeremo nei prossimi paragrafi.
    L'organizzazione dello schermo in tre finestre fisse e non "scorrevoli" ha evidenti limiti rispetto alle applicazioni che consentono di registrare in un unico documento, ripercorribile durante il lavoro, definizioni, grafici, … man mano realizzati, ma ha il vantaggio di offrire una visione immediata e sintetica e di essere più facilmente gestibile in un'aula computer con molti alunni. L'utente (o l'insegnante) può comunque rivedere (anche in esecuzione animata) le ultime sessioni di lavoro.

Scale e domini

09    L'indicazione della scala è a lato, non lungo gli assi, sia perché è opzionale il tracciamento degli assi (anche la griglia è eliminabile: vedi figura 3), sia perché si vuole far esercitare gli alunni ad associare numeri a posizioni. Si è ritenuto, inoltre, forse meno immediata, ma più facile da comprendere e utilizzare, l'indicazione del rettangolo cartesiano rispetto all'indicazione di centro dello schermo e ampiezza delle tacche, a cui ricorre, ad esempio, Derive (se è visualizzato un rettangolo cartesiano che non contiene (0,0) Derive non visualizza altre informazioni: con tale programma non è possibile tracciare assi con origine diversa da (0,0)).
    La scelta delle scale, l'interpretazione di ciò che accade se si sceglie la "scala automatica" o si fanno degli zoom, … sono importanti anche per sviluppare la padronanza e la sensibilità numerica degli alunni.
    Attività di costruzione di grafici "a mano" (scelta della porzione di piano cartesiano da associare alla porzione di carta millimetrata o quadrettata in cui si vuole tracciare il grafico, tracciamento di punti, "lettura" di punti, …) sono da ritenersi propedeutiche ad attività grafiche col computer: per capire come scegliere i comandi, per comprendere il ruolo della scala, … .
    Ovviamente non è detto che il rettangolo cartesiano associato alla finestra grafica, che è quadrata, sia anch'esso quadrato. È importante che gli alunni comincino a distinguere i concetti della geometria "fisica" (lunghezze come misure con il righello, ampiezze angolari come misure con il goniometro, …) da quelli della geometria "matematica" (per es., lunghezze come distanze rispetto alla metrica euclidea, ampiezze angolari come differenze di direzioni, …): in figura 6 il quadrilatero raffigurato in due scale diverse è un quadrato, anche se gli angoli retti nella rappresentazione a destra non sono di 90° "per un goniometro".

10    Nel tracciamento di grafici di funzione è possibile scegliere il dominio (indicato con [a,b]) più piccolo delle base del rettangolo cartesiano ([x1,x2]).
    Per fare un esempio, se voglio studiare graficamente quanto può valere il volume V di un recipiente ottenuto tagliando quadrati di lato T dalla lamiera in figura 7 (V=(20–2T)²·T AND 0<T<10) posso considerare x  x*(20–2*x)^2*x. Per veder meglio il grafico posso scegliere [x1,x2] più ampio di [0,10]. Poi prenderò [a,b] uguale a [0,10].

    La possibilità di prendere [a,b] più piccolo di [x1,x2] è importante didatticamente. È presente anche in altro software (Theorist, Maple, …), ma poco diffuso a scuola. In Derive ciò non può essere fatto con i comandi grafici e neanche dichiarando come dominio di x un intervallo I limitato (il grafico di x  f(x) viene tracciato anche per x che non sta in I); si può tuttavia rimediare definendo una nuova funzione, nel caso precedente: f(x) := if(x>0 and x<10, x*(20–2*x)^2*x).

Modelli matematici

11    La possibilità di tracciare assi non passanti per (0,0) e di restringere il grafico a sottointervalli sono state introdotte per facilitare/migliorare la rappresentazione di funzioni come modello di situazioni, non solo per esercitazioni astratte. Per lo stesso motivo è stata introdotta la possibilità di introdurre e memorizzare facilmente insiemi finiti di punti, per realizzare, oltre che figure geometriche, descrizioni di funzioni numeriche "finite" (insiemi finiti di coppie input,output).
    Ad es. in figura 8 è riprodotto il grafico del valore arrotondato agli interi della temperatura (in ° C) alle ore 12 al variare del giorno, in un dato mese, in una data località; è stato ottenuto con l'opzione "punti non congiunti". Con l'opzione "punti congiunti" si ottiene il grafico riprodotto a destra (sovrapposto al grafico a "punti non congiunti"). È un modello della stessa situazione, che evidenzia meglio l'andamento del fenomeno, ma che è meno "fedele" (i tratti interpolanti non rappresentano rilevamenti di temperatura).
    I dati possono essere scritti con un editor o generati e scritti usando un programma o introdotti da Grafun, che man mano li rappresenta graficamente, consentendo di associare immediatamente ogni coppia di coordinate alla sua rappresentazione grafica, e, per altro, di controllare dal grafico se si sono commessi errori, ed eventualmente correggerli. Sui file possono poi essere operate varie trasformazioni, come mediante medie mobili (in figura 2 sono rappresentati sia un file che contiene i millimetri di pioggia mensili a Genova che quello ottenuto applicando 5 volte le medie mobili), calcolo della "pendenza", concatenamenti con altri file, … e trasformazioni geometriche (in figura 5 sono raffigurati un insieme di punti che "riempe" il quadrato [0,1]  [0,1] e il suo trasformato mediante una trasformazione conforme). Su questi ultimi aspetti ci soffermeremo in un altro articolo.

"Limiti" del software

15    Nell'help di Grafun sono presenti commenti ed esempi che illustrano i limiti del software.Per quanto riguarda la grafica, si osserva, ad esempio, che, oltre alle approssimazioni dovute alla finitezza dell'insieme dei pixel, vi sono problemi legati alla finitezza dei numeri macchina (Grafun approssima i valori numerici a circa 16 cifre). L'utente deve usare il software tenendo conto di queste limitazioni. Ad es. il fenomeno illustrato in figura 12 (che si presenta in modo analogo in Maple) è frutto della cancellazione delle cifre, cioè alla perdita di cifre significative, che al crescere di x interviene nel calcolo di R(x^2+1)–x. Derive, che, come Maple, offre la possibilità di svolgere i calcoli con una quantità potenzialmente illimitata (o "quasi") di cifre, durante l'esecuzione dei grafici opera, invece, in precisione semplice (arrotonda a circa 7 cifre), per cui il fenomeno qui illustrato in una situazione "limite", si presenta più frequentemente, rendendo in alcuni casi difficile praticare attività di ricerca grafica (con successivi zoom) di soluzioni di equazioni o sistemi, di massimi e minimi, … . Sui problemi legati ai numeri macchina ritorneremo in un successivo articolo.

figura 12 Grafici per 4999.9999 ≤ x ≤ 5000.0001 di x  R(x^2+1)–x–0.0001 (termine "bello", grafico "brutto") e di x  1/(R(x^2+1)+x)–0.0001 (termine "brutto", grafico "bello") [R, per Grafun, è la radice quadrata]

16    Nell'help sono evidenziati anche i problemi legati al tracciamento di grafici di funzioni continue e discontinue.
    Nel programmare Grafun si è deciso, per quanto riguarda il tracciamento dei grafici di funzioni, che essi siano realizzati "per punti": l'utente può/deve chiedere un infittimento della tabulazione (fatta automaticamente da Grafun) ed eventualmente anche il congiungimento dei punti tracciati. Ecco che cosa accade attraverso successivi infittimenti per una funzione continua:

figura 13
		…
primo tracciamento	altri punti	… fino a ottenere un insieme di pixel attaccati

    Se si sa che la funzione è continua si può, invece che avanzare nei successivi infittimenti, far congiungere i punti. Far congiungere i punti può essere utile anche in altri casi, ad es. per ottenere l'istogramma di figura 11.
    Vediamo le motivazioni di fondo della scelta operata nel realizzare Grafun.
    Prima di tutto, in questo modo si dà agli studenti un'idea più chiara del modo di procedere del calcolatore: affinché realizzi il grafico di una funzione, occorre programmarlo in modo tale che ne effettui una tabulazione, e il tracciamento per punti evidenzia questo procedimento (è l'ottica, già sottolineata, che il programma sia il più trasparente possibile).
    Inoltre, riferendosi all'infittimento dei punti del grafico, si può introdurre in modo intuitivo, sin dall'inizio della scuola superiore, il concetto di continuità (su intervalli, cioè di uniforme continuità), concetto, secondo noi, fondamentale in quanto strettamente collegato con il concetto di numero reale (completezza), con la geometria (intersezioni tra cerchi, tra rette e cerchi, …), con la risoluzione grafica di equazioni (e quindi con gli zeri di un polinomio,…).
    Sulle problematiche didattiche dell'analisi matematica ritorneremo in un successivo articolo. Qui vogliamo solo sottolineare come l'impiego del calcolatore consenta di anticipare l'introduzione di concetti solitamente presentati in tempi successivi, e consenta di affrontare direttamente i nodi concettuali, posticipando (e motivando) il momento della formalizzazione. È in quest'ottica che abbiamo inserito in Grafun anche la possibilità di tracciare direttamente il grafico della funzione "pendenza" e della funzione "area sottesa" di una funzione già definita, senza passare attraverso il calcolo differenziale.

17    Derive automaticamente congiunge o no i punti a seconda della continuità/discontinuità della funzione. Ma, nel caso di funzioni discontinue con salti "infiniti" spesso si ottengono esiti strani. Ecco sotto, a destra, che cosa si ottiene per x  x^4/((2x)^4–1); a sinistra c'è quello che si può ottenere con Grafun.

figura 14

	figura 15
		Il comando "plot" di Maple consente di introdurre una opzione per far "saltare" i punti di discontinuità. Nel caso in questione, tuttavia, non riesce a tenerne conto e traccia comunque tratti rettilinei in corrispondenza degli asintoti verticali (vedi figura 15).     Naturalmente, la scelta di ridurre gli automatismi in Grafun è legata anche alla impossibilità da parte nostra di investire molte risorse (di tempo e di mezzi) nella programmazione.
Tuttavia questa scelta ha anche motivazioni didattiche, sia quelle della trasparenza e della possibilità di introdurre alcuni concetti matematici importanti, già citate, sia quella di evitare problemi come quelli evidenziati in questi ultimi esempi, che sono tollerabili se la persona che usa il software è una persona matematicamente colta, ma che possono dar luogo a difficoltà non indifferenti in una situazione di apprendimento pre-universitario.

19    Esplorare i limiti del software, capire come usarlo al meglio, individuare rappresentazioni e modelli matematici che impiega internamente e gli ambienti in cui opera le trasformazioni, … possono offrire spunti sia per mettere a fuoco le abilità e gli atteggiamenti importanti per comandare e controllare il software e le attività ad esso delegabili (e, nel contempo, gli aspetti prioritari/secondari nell'insegnamento e apprendimento della matematica) sia per introdurre concetti utili a interpretare razionalmente i comportamenti "non attesi" del software.
    Affinché un'insegnante possa realizzare attività didattiche di tal genere, il software dovrebbe essere corredato da indicazioni sull'uso in cui siano presentati in modo trasparente i suoi limiti (nell'help e nelle guide dei programmi commerciali quasi mai sono citati né i problemi di grafica né quelli, forse maggiori, che essi manifestano nel calcolo simbolico, sui quali non ci soffermiamo in questo articolo).

Inoltre, l'insegnante deve organizzare il curricolo in modo da poter introdurre in tempi e modi adeguati i contenuti matematici coinvolti, e ciò non è sempre facile da realizzare.     Ad esempio per interpretare uscite come quelle di figura 17 che Derive e Maple forniscono come grafici di x  x·x e di x  ln(x+1)-ln(x), tracciati anche per ascisse non appartenenti al dominio delle funzioni, occorre tener conto che tali programmi interpretano i due termini come equivalenti, rispettivamente, a x e a ln((x+1)/x) poiché operano nell'ambiente dei numeri complessi (  [3], [2], [1]); per risolvere questi problemi grafici occorre definire nuove funzioni, ad es. R(x) := if(im(sqrt(x))=0, sqrt(x)) come "nuova" radice quadrata.

figura 17

Altre potenzialità didattiche di Grafun

20    Accenniamo (rinviando all'help per ulteriori informazioni) ad altre due opzioni di Grafun, non presenti in altro software, pensate per impieghi didattici.
    La prima è la possibilità di memorizzare i grafici (dopo averli tracciati a partire da equazioni parametriche o equazioni implicite) sotto forma di file di punti, non direttamente come immagini, in modo da poterli richiamare e visualizzare graficamente (occupando poca memoria) o elaborare mediante il menu per la trasformazione di file. Questi file possono poi essere utilizzati, ad es., per mettere a punto esercizi in cui gli alunni devono (usando Grafun) individuare funzioni o equazioni di cui essi siano grafico.

21    La seconda è la possibilità di realizzare facilmente "demo", come quello a cui si è accennato in 07. Si tratta di file contenenti comandi per Grafun. Richiamando uno di questi file, Grafun esegue automaticamente i comandi contenuti in esso. In questo modo possono essere realizzate (dall'insegnante o dagli alunni) presentazioni animate di argomenti matematici che occupano poca memoria, possono essere inviate facilmente via e-mail, … in quanto le immagini sono ricostruite da Grafun a partire dai comandi elencati nei file.

Inoltre è possibile utilizzare questi demo come "macro". Ad esempio, si può realizzare un demo che, richiamato, carichi automaticamente un insieme di dati e di funzioni per svolgere poi un certo tipo di attività o realizzarne uno che, richiamato dopo che l'utente ha introdotto opportune funzioni o costanti, tracci un fascio di curve al variare di un certo parametro (in figura 18 è raffigurato un fascio di coniche di eccentricità variabile), effettui una particolare trasformazione geometrica su una figura data o costruisca un particolare tipo di figura geometrica.

figura 18

22    In articoli successivi, relativi ad altre aree matematiche, saranno affrontate ulteriori problematiche relative alla rappresentazione grafica di funzioni ed equazioni.

Riferimenti