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Da:  L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol.17B, n.4, 1994, 309-316

STATISTICA E PROBABILITÀ NEL BIENNIO:
nodi culturali e didattici da affrontare
1ª PARTE 
Carlo Dapueto ¹
Sabina Ghio, Giovanna Pesce ² 

Introduzione

      Nell'ambito del 16° Convegno dell'U.M.I. sull'insegnamento della matematica il nucleo di ricerca didattica MaCoSa ³  ha "gestito" un gruppo di lavoro sull'insegnamento della probabilità e della statistica nel biennio della scuola secondaria superiore.
      Una sintesi del lavoro di gruppo e della discussione svoltasi verranno pubblicate negli Atti del convegno.
      Qui, nella prima parte dell'articolo, presentiamo le questioni che sono state proposte ai partecipanti, invitando i lettori della rivista ad affrontare i quesiti e a riflettere sui problemi presentati.
      Nella seconda parte dell'articolo verranno discusse, "tecnicamente" e "didatticamente", le questioni proposte, e presentate alcune proposte didattiche.

Questioni

[1]   Giovanni, che è alto 175 cm, a 19 anni pesava 63 kg; oggi, a 43 anni, pesa 77 kg. Su un giornale legge che nella sua regione i maschi tra i 40 e i 50 anni hanno altezza media di 174.5 cm e peso medio di 76.5 kg.

(a)  Ha ragione Giovanni a ritenere, in base a queste informazioni, di avere peso e altezza normali, e di avere un peso perfetto per la sua altezza?
[nella discussione si tenga conto delle ulteriori informazioni sotto riportate: istogrammi di distribuzione delle altezze e dei pesi dei maschi tra i 40 e i 50 anni, nella regione di Giovanni; si noti che la scala verticale è "normalizzata": ad esempio per trovare quante di queste persone hanno altezza in centimetri che cade in [170,175) si osserva che a questo intervallo corrisponde circa una frequenza unitaria del 6%, per cui, essendo l'intervallo ampio 5, vi cadono circa il 30% delle altezze]

(b)  Affrontare in classe situazioni analoghe a questa (fare esempi) quali obiettivi educativi ("matematici" e "generali") importanti potrebbe contribuire a raggiungere?

[2]   Per svolgere alcuni mestieri, molto diffusi, occorre affrontare un test sanitario che accerti l'eventuale presenza (esito positivo) o l'assenza (esito negativo) della malattia X. Il test ha un'attendibilità del 95% (nel senso che in caso di presenza c'è il 95% di probabilità che si ottenga un esito positivo e in caso di assenza c'è il 95% di probabilità che si ottenga un esito negativo). Si sa, da statistiche serie, che l'1% della popolazione in età lavorativa è affetta da tale malattia.
(a)  Se per una persona il test dà esito positivo, qual è la probabilità che essa sia affetta dalla malattia X?
(b)  Affrontare in classe situazioni analoghe a questa (fare esempi) quali obiettivi educativi importanti potrebbe contribuire a raggiungere?

[3]   Si lanciano 3 monete da 50 lire (del diametro di 2.50 cm) su un foglio in cui è tracciato un quadrato di lato 20 cm; si considerano soltanto i lanci in cui tutte e tre le monete si fermano completamente dentro al quadrato. Vogliamo scommettere "1 contro N" (N intero) di ottenere con un lancio tre monete allineate, intendendo con ciò che una delle tre monete cada sulla striscia determinata dalle altre due (vedi figura a fianco).

      Si congetturi (senza calcoli) e poi si stimi (con un calcolo approssimato o con qualche esperimento) come occorre scegliere N per fare una scommessa conveniente. Come si potrebbe determinare più precisamente la probabilità di ottenere tre monete allineate?

[4]   Per studiare le caratteristiche di un elastico, lo si tiene sospeso per un estremo e si appendono all'altro estremo diversi oggetti. Ogni volta si misura il peso dell'oggetto e il corrispondente allungamento dell'elastico.

H (mm) F (g) 11 220 16 350 30 590 47 940

Il peso F degli oggetti viene misurato con una bilancia a molla con divisioni di 10 g (in modo che se l'ago si ferma vicino alla tacca 220 si può assumere che il peso è 220±5 g). Le lunghezze che assume l'elastico vengono misurate con la precisione di 1 mm, in modo che i valori dell'allungamento H (ottenuti come differenza di due lunghezze) hanno la precisione di 2 mm. Si ottengono i valori riportati nella tabella a fianco.

     Sotto sono indicati alcuni possibili procedimenti per trovare k tale che F = H·k.

(a)  Utilizzare un programma per il calcolo della retta di regressione
[cioè la funzione lineare f:x  ax+b per cui è minimo (f(0)-0)² +(f(11)-220)² + (f(16)-350)²+…]:

e concludere che k = 20 (o k = 19.8±1.5) mm/g

    345
    ——— = 19.17 ≈ 19
     18

    945
    ——— = 21
     45

    19 ≤ k ≤ 21, cioè k = 20±1

(d)  Calcolare i rapporti F/H corrispondenti alle varie coppie di dati e studiarne la distribuzione mediante una calcolatrice tascabile:

      Si discutano (dal punto di vista della correttezza culturale e della opportunità didattica, in "matematica", "fisica" o "laboratorio fisico-chimico") i diversi procedimenti.

[5]   Nei libri di testo più diffusi sono presenti esercizi che possono condurre a riflessioni in classe simili a quelle considerate nella discussione dei precedenti quesiti o che possono preparare gli alunni ad affrontare situazioni come le precedenti?

[6]   Si analizzino criticamente i seguenti quesiti, tratti (con modifiche inessenziali) da alcuni libri di testo.

b)  Calcola in ognuno dei seguenti casi la probabilità degli eventi indicati:
1)  In una classe con 13 maschi e 21 femmine, viene chiamato, con una procedura del tutto casuale, un maschio.
2)  Lanciando una sola volta un dado escono due numeri pari.
3)  Alzando un mazzo di carte da 40 ottenere una figura e una carta di cuori [R.: 3/40]
4)  Alzando (e rimettendo a posto) due volte un mazzo di carte da 40 ottenere una figura e una carta di cuori [R.: 3/40=7.5%]

[7]   Nei programmi "Brocca" per il biennio, per il tema 4 (elementi di probabilità e statistica), relativamente alla probabilità, vengono indicati come contenuti:
4.1  Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori, eventi disgiunti e "regola della somma".
4.2  Probabilità condizionata, probabilità composta. Eventi indipendenti e "regola del prodotto".
      E nel commento si legge, tra l'altro:
  Per il consolidamento di una mentalità probabilistica che orienti lo studente anche nei giudizi della vita corrente, sono essenziali un avvio ragionato alle varie definizioni di probabilità ed una ricca esemplificazione tratta da situazioni reali.
  Lo studio delle probabilità costituisce inoltre un contesto in cui la formalizzazione e l'astrazione possono far pervenire ad una strutturazione assiomatica della teoria.

      Sono condivisibili queste indicazioni (quali concetti introdurre, come introdurli, …)?

[8]   Richiamiamo alcune possibili "definizioni" di probabilità, così come sono formulate in alcuni libri di testo.

Definizione classica
      Si chiama probabilità di un evento casuale il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento e il numero dei casi possibili, purché questi siano ugualmente possibili.

Definizione frequentista
      Si assume come probabilità dell'evento E il valore intorno al quale tende a stabilizzarsi la frequenza relativa dello stesso evento, all'aumentare del numero delle prove ripetute nelle stesse condizioni.

Definizione soggettivista
      La probabilità di un evento E, secondo l'opinione di un certo soggetto, è uguale al rapporto s/S dove s è il prezzo che quel soggetto stima equo pagare per avere il diritto di ricevere il compenso S, solo se l'evento E si verificherà.

Definizione assiomatica
      Si dice casuale una variabile i cui valori non sono determinabili con certezza. […] L'insieme di tutti i valori che una variabile casuale può assumere costituisce lo spazio degli eventi, detto anche evento certo. I suoi elementi vengono detti eventi semplici e un suo generico sottoinsieme viene detto evento. […]
      Nello spazio E degli eventi è definita la funzione probabilità P con le seguenti proprietà:
1. Se A è un sottoinsieme di eventi, allora 0 ≤ P(A) ≤ 1;
2. se A e B sono due sottoinsiemi di eventi tali che AB = Ø, allora P(AB) = p(A)+p(B)
3. Se l'evento A è certo allora P(A)=1; in ogni caso p(E)=1

(a) Su vari libri di testo sono presenti critiche alla "definizione classica" simili alle seguenti. Sono "centrate" e utili a chiarire il concetto matematico di probabilità?
(1)  Esistono molti eventi casuali per cui è difficile o impossibile conoscere il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili; e qualora questi ultimi siano noti, non sempre si è in grado di stabilire con certezza se essi siano equiprobabili.
(2)  I matematici moderni hanno sollevato obiezioni sulla validità generale del principio di ragion sufficiente ("due eventi casuali sono da considerarsi equiprobabili quando non vi siano ragioni sufficienti per pensare che uno di essi possa verificarsi più facilmente dell'altro") con cui Laplace ha giustificato la definizione.

(b) Su vari libri di testo sono presenti critiche alla "definizione frequentista" simili alle seguenti. Sono "centrate" e utili a chiarire il concetto matematico di probabilità?
(1)  Per valutare la probabilità con cui il giocatore di pallacanestro X fa centro nei tiri liberi non si può applicare tale definizione in quanto non si mantengono le stesse condizioni (cambia lo stato psico-fisico di X, cambiano le condizioni atmosferiche, …). Subentrano, dunque, delle considerazioni di carattere soggettivo sulle condizioni in cui X, di volta in volta, effettua un tiro libero.
(2)  La definizione frequentista ha dei limiti di applicazione: se un evento non si è mai realizzato, ma si potrebbe realizzare, non è possibile stabilirne la validità; ad esempio come stabilire la probabilità che un UFO atterri davanti alla scuola durante un compito di matematica o che nasca un gatto con tre zampe?

(c) Di seguito sono riportate due possibili critiche alla "definizione soggettivista". Quali considerazioni didattiche possono stimolare?
(1)  Se la probabilità matematica fosse una misura quantitativa del grado di certezza del ricercatore, allora la teoria della probabilità si ridurrebbe a qualcosa affine alla psicologia e tutte le conclusioni tratte da asserzioni probabilistiche sarebbe private del loro contenuto oggettivo.
(2)  La definizione così formulata non è una definizione matematica in quanto fa riferimento a concetti non matematici.

(d) A proposito della "definizione assiomatica" riportata:
(1)  Una variabile casuale è una variabile?
(2)  Quale difficoltà potrebbe essere all'origine del pasticcio che l'autore ha compiuto nel punto 3? [l'evento certo è E; non ha senso «in ogni caso …»]
(3)  Consideriamo il seguente esperimento: lanciamo ripetutamente una moneta fino a che non esce testa. Gli esiti possibili sono le sequenze di testa (T) e croce(C) seguenti: T, CT, CCT, CCCT, …, che possiamo indicare C⁰T, C¹T, C²T, C³T,…. Una funzione P tale che:

P({CⁿT / n è in N}) =1,  P({CⁿT})=1/2ⁿ⁺²,  P({C^mT,CⁿT}) = P({C^mT})+P({CⁿT})

è in accordo con la "definizione assiomatica" riportata. Si calcolino i seguenti valori e si discuta l'adeguatezza di questa definizione assiomatica:

	P({T})=
P({CT})=	P({T,CT})=
P({CCT})=	P({T,CT,CCT})=
P({CCCT})=	P({T,CT,CCT,CCCT})=
…	…

[9]   Nei programmi "Brocca" per il biennio, per la statistica vengono indicati come contenuti:

4.3 Elementi di statistica descrittiva: rilevazione di dati, valori di sintesi, indici di variabilità.

      E nel commento si legge:

I contenuti della parte di statistica costituiscono l'occasione per una messa a punto più rigorosa e formalizzata di concetti e di strumenti in parte già conosciuti, suggerendone una più consolidata familiarizzazione attraverso applicazioni a problemi e contesti di tipo interdisciplinare. Particolare importanza riveste l'analisi e l'interpretazione dei dati presentati in varie forme, da quelle tabellari a quelle grafiche o a quelle più sintetiche, per mettere lo studente in grado di fruire correttamente e criticamente delle informazioni statistiche che a vario tipo gli pervengono.

      E` motivata la netta separazione tra probabilità (vedi quesito 8) e statistica presente nei programmi?
      Può esserci qualche collegamento con il fatto che le distribuzioni continue per alcuni indirizzi (scientifico, tecnologico, …) vengono proposte solo al 5° anno, per gli altri (classico, linguistico-aziendale, …) non vengono nemmeno menzionate?

[10]  La probabilità, la statistica e le altre aree matematiche (interazioni, propedeuticità, sinergie, …): proposte e confronti di esperienze. 
[i lettori dell'articolo possono sostituire il dibattito intercorso tra i partecipanti al gruppo di lavoro con una riflessione sulle proprie eventuali esperienze didattiche o su come penserebbero di attuare i nuovi programmi; potranno poi fare un confronto con le proposte che saranno presentate nella seconda parte dell'articolo]

Note:
(1) Ricercatore universitario presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova
(2) Docenti di Matematica in scuole secondarie superiori della provincia di Genova
(3) Per informazioni su MaCoSa si rimanda alla 2^a parte dell'articolo

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