Definizione : una collezione di oggetti è un insieme se preso un oggetto qualunque possiamo decidere esattamente se appartiene o no a tale collezione. L'insieme si dice finito se conosciamo esattamente il numero dei suoi elementi. …»
Seguono, ad esempio, esercizi con insiemi di animali selvatici e animali domestici, ai quali è assai ambiguo decidere l'appartenenza (più in generale si pensi all'incertezza circa la stessa appartenza alla collezione degli animali da parte di alcuni microorganismi). Del resto tali asserzioni contraddicono l'essenza stessa dell'attività matematica: se non si fosse ancora dimostrato che p (pi greco) non è un numero razionale non si potrebbe parlare dell'insieme dei numeri razionali? (un problema tipico del matematico come quello dello studio della appartenenza di una certa equazione [o funzione o altro oggetto matematico] a un particolare insieme di equazioni [o funzioni, … ] può essere posto solo dopo aver in qualche modo individuato tale insieme !).
2) «In matematica si dice che due oggetti sono uguali se sono la stessa cosa . Due gemelli un matematico non direbbe mai che sono uguali: non si tratta della stessa persona». Poco dopo si fanno (giustamente, ma contradditoriamente rispetto alle asserzioni precedenti) esempi del tipo: 3+5 è uguale a 4x2, mentre si tratta di due termini ben distinti, o del tipo: due segmenti sono uguali se … , o si pone il simbolo di eguaglianza tra due frazioni equivalenti,… .
3) «Definizione: un piano cartesiano è costituito da due rette che si incontrano formando quattro angoli uguali»; «Definizione : si dice figura solida ogni figura che non è contenuta in un piano».
4)
«In un rettangolo b
h »; cioè: "in
ogni rettangolo non (b=h)" invece che: "non
(in ogni rettangolo b=h)".
5) Esercizi o esempi di applicazione della matematica alla realtà in cui si afferma che l'ombra di un bastone verticale ha rotazione uniforme, che il livello del contenuto di un serbatotio forato si abbassa con velocità costante, che dalla velocità "media" di un treno si può ricavare esattamente la sua posizione in una data ora, che per ottenere di quanto aumenta in tre anni un deposito bancario con interesse del 9% basta calcolare il 9% di esso e moltiplicare per tre, ...
6) Risultati di problemi con dati espressi in centimetri in cui le soluzioni sono espresse con dieci cifre significative che arrivano a rappresentare i decimi o i centesimi di millimetro quadrato (meno di un granello di sale fino, per intenderci), delle quali più della metà sono sbagliate (anche nell'ipotesi che i dati iniziali rappresentassero misure "ideali", non approssimate) essendo stati impiegati "numeri fissi" con tre sole cifre significative.
E' normale commettere qualche errore nella stesura di un testo, è spesso necessario per facilitare la comprensione introdurre in modo impreciso un concetto, che poi verrà man mano meglio chiarito dai contesti operativi, dai confronti con altri concetti, da successivi richiami e precisazioni; altra cosa è la presenza diffusa (con "indice" 4 o 5) di errori in "definizioni" o in applicazioni "reali" quali quelli sopra presentati. Questo è un fenomeno abbastanza grave, non solo per l'incidenza negativa sugli alunni e per il costo di libri che le famiglie "devono" acquistare non corrispondente in alcuni casi neanche a elementari livelli di qualità, ma anche per il fatto che spesso i libri di testo diventano i punti di riferimento per la cultura disciplinare ("scolastica") dell'insegnante.
L'opportunità di un controllo o di un esame della qualità dei testi scolastici è indubbiamente un argomento assai delicato, che potrebbe essere soggetto a interpretazioni burocratiche o censorie. Al di là del problema degli "errori" c'è comunque quello del rispetto delle leggi e dei programmi. Tra i libri di testo elencati solo una minoranza è in accordo con le indicazioni presenti nella parte "orientamenti per la lettura dei contenuti" che conclude la sezione matematica dei programmi del '79: evitare l'appesantimento degli argomenti con regole meccaniche o dispersivi procedimenti ad hoc, evitare trattazioni a sé stanti del linguaggio insiemistico e delle strutture matematiche, non dare rilevanza al calcolo di grosse espressioni e al calcolo letterale avulso da riferimenti concreti, privilegiare una presentazione dei concetti geometrici dinamica e riferita ad obiettivi di educazione spaziale, ecc. Le differenze tra i vari testi risultano più evidenti da un seppur breve esame diretto, anche di non molte pagine, piuttosto che da un'analisi basata su dati e statistiche; comunque le righe RS , LH e PO della tabella 2 presentano alcuni dati che danno un'idea quantitativa del fenomeno. Essi evidenziano anche la responsabilità dei manuali scolastici nella diffusione della pratica "fuori legge" delle attività tradizionali su monomi, polinomi, …, diffusione che, oltre a dar luogo a pressioni e condizionamenti (da parte di colleghi, famiglie, …) nei confronti degli insegnanti che vogliono realizzare un'effettiva educazione all'uso dei modelli matematici (e, quindi, rifiutano tali attività), fa anche buon gioco per chi all'inizio delle superiori vuole concentrare su di esse il suo insegnamento routinario, scaricando poi sull'ordine scolastico precedente la responsabilità degli insuccessi degli alunni.
Gli errori dei tipi 1-3 che ho esemplificato in precedenza sono particolarmente inaccettabili nei libri in cui prevale un'impostazione formale, in cui nella scelta dei contenuti e nella loro presentazione prevale una visione della matematica come disciplina dell'esattezza e dell'educazione astratta al ragionamento. Queste concezioni, come è noto, fanno il paio con molti luoghi comuni sulle caratteristiche della matematica e sulla sua difficoltà: la matematica come garante della incontestabilità di una analisi di un particolare problema o di una particolare scelta ("2+2 fa 4"), l'utilità di una attività su concetti astratti in quanto capace di sviluppare abilità mentali ritenute "di base", la connessa interpretazione della matematica come disciplina "difficile" e capace di discriminare i più intelligenti e i meno intelligenti (o almeno, già a livello della scuola elementare e media inferiore, chi è portato e chi è negato per la matematica).
Tali impostazioni tradizionalmente hanno traduzione didattica soprattutto nel calcolo di complicate espressioni, in cui viene barattata come capacità di ragionamento la destrezza nell'applicazione di procedimenti meccanici, di assai basso livello di impegno intellettuale (ma, in quanto non motivanti, capaci comunque di allargare la forbice tra alunni provenienti da ambienti sociali diversamente "scolarizzati"). Questo aspetto calcolistico (che poteva avere qualche giustificazione quando parecchi decenni fa il calcolo letterale fu ampiamente introdotto nelle scuole superiori in relazione a esigenze di formazione degli impiegati contabili) ora, in alcuni libri nuovi, o di rinnovata edizione, lo troviamo esteso anche ai temi introdotti dai nuovi programmi: si pensi a certe sequenze di esercizi di tipo "interno" a cui spesso viene ridotto il tema delle trasformazioni geometriche, perdendo l'aspetto della rappresentazione dello spazio e dei movimenti nei fenomeni reali.
Considerazioni analoghe valgono per la probabilità, la statistica, il concetto di funzione, …, che vengono spesso presentati in modo tale da snervare le novità introdotte dai programmi del 79. Lo stesso esempio di errore 4, sopra riportato, e altri simili, pur nella loro banalità, affiancandosi negli stessi testi a considerazioni nozionistiche di "logica" su insiemi, proposizioni, connettivi, …, sono indici della separatezza e del carattere opportunistico dei nuovi inserimenti contenutistici in alcuni manuali. Un aspetto connesso è la presenza diffusa di formule e regole da applicare per la risoluzione di esercizi non solo calcolistici; questo aspetto, come testimonia ad esempio la riga INV della tabella 2, è in parte presente anche in testi che non hanno le altre caratteristiche di cui sopra.
La negatività di tali caratteristiche è dovuta non solo al fatto che esse favoriscono pratiche didattiche in cui l'adeguamento a modelli di comportamento prefabbricato prevale sulla partecipazione motivata e attiva dello studente, ma anche all'immagine della matematica che esse tendono a costruire. Anche il prevalere nell'introduzione degli argomenti di definizioni e precisazioni formali che gli alunni non sono in grado di padroneggiare (anche per le contraddizioni e le confusioni concettuali che presentano spesso i manuali così impostati, come evidenziato dagli errori che abbiamo esemplificato), oltre ad essere in contrasto coi processi mentali attraverso i quali si formano i concetti e con l'obiettivo di "costruire" abilità di astrarre particolari concetti matematici da situazioni conoscitive concrete, dà luogo a una visione distorta del ruolo di tale disciplina.
La riga EG della tabella 2 considera uno dei molti aspetti che in questo senso permettono di confrontare i vari manuali scolastici: lo scimmiottamento degli Elementi di Euclide attraverso la premessa di tentativi di definire le "idee" di punto, retta, ... e di descriverle riferendosi a particolari oggetti reali come loro immagini imperfette o, viceversa, l'introduzione graduale di concetti geometrici (e specifiche terminologie) come modelli matematici di particolari aspetti della realtà, che essi rappresentano in modo semplificato e non sempre fedele, ma utile per facilitarne lo studio. Naturalmente considerando altri argomenti rispetto a quello a cui è riferita la riga EG e operando analoghi confronti sui modi in cui essi vengonon introdotti (e ricorrendo ad una analoga codifica), gli "1" possono disporsi diversamente (comunque in genere non compaiono ai primi tre posti, mentre compaiono quasi sempre agli ultimi sei posti della riga …).
Gli errori presentati come esempio 5 sono tipici di quei testi che (in ossequio alle indicazioni dei programmi o per adeguarsi a nuove tendenze della didattica della matematica) a tali approcci astratti e nozionistici affiancano applicazioni alla realtà senza neanche verificare la corrispondenza tra i concetti matematici impiegati e la situazione di cui questi dovrebbero costituire un modello. Gli errori del tipo 6 sono assai frequenti, nonostante che in tutti i testi siano state introdotte considerazioni sulle approssimazioni, sulla statistica, sull'uso delle calcolatrici tascabili e sul funzionamento dei calcolatori.
A conferma della scarsa interazione tra questi inserimenti e la "vecchia" presentazione degli altri argomenti, si pensi all'uso buffo dei diagrammi di flusso (o di strane cose che vengono presentate con tale nome) a cui si fa estesamente ricorso in vari testi: piuttosto che essere impiegati per rappresentare efficacemente procedimenti e algoritmi basati sull'esecuzione ripetuta di operazioni elementari e sulla verifica di semplici relazioni matematiche ed educare, così, all'uso delle calcolatrici tascabili per la risoluzione per tentativi e approssimazioni successive di problemi (ricerca di radici quadrate o cubiche, di soluzioni di equazioni, di massimi e minimi,…), piuttosto che per rappresentare e avviare l'analisi della logica di funzionamento dei calcolatori e di altri automatismi (e mettere in luce le differenze rispetto alle capacità e ai comportamenti mentali dell'uomo) e per introdurre la costruzione di programmi per i calcolatori, essi vengono invece utilizzati per illustrare i procedimenti "tradizionali" per la ricerca del minimo comune multiplo, per il calcolo della radice quadrata, per le operazioni con le frazioni, per la risoluzione di proporzioni, per il calcolo di aree,… (che per altro spesso, avendo natura non iterativa, si rappresentavano più efficacemente in modi tradizionali) o per rappresentare comportamenti umani, da come si studia una poesia o come ci si comporta se in casa si sente suonare un campanello a come si risolve in generale un "problema" (sic!).
Sicuramente il modo in cui vengono affrontati i rapporti tra modelli matematici e realtà è l'aspetto culturale più importante rispetto al quale confrontare i vari testi, anche se non è facilmente rappresentabile con statistiche né sono sufficienti tabelle come quella che ho elaborato: dalla lettura dei libri è facile distinguere quelli in cui i riferimenti alla realtà sono occasionali e scarsamente significativi, senza che i problemi affrontati siano mai inquadrati in contesti più ampi; anche le considerazioni storiche in tali testi sono spesso ridotte a vignette o notizie curiose su qualche grande matematico o a elenchi cronologici, piuttosto che all'illustrazione delle situazioni economiche, tecnologiche, sociali, culturali,… che hanno condotto a determinati sviluppi della matematica.
Tutto ciò è negativo perché non fa percepire neanche il significato delle attività "interne" sui modelli matematici, l'utilità e il ruolo della dimostrazione: essi non possono essere fatti comprendere tanto con qualche teorema di geometria euclidea, di cui gli alunni non colgono le motivazioni culturali, quanto attraverso attività di messa a punto o di verifica di metodi, relazioni, algoritmi,… finalizzati a una elaborazione dei modelli matematici che consenta di ricavare nuove informazioni sulle situzioni che con essi si rappresentano. Esplicitare tali finalità del lavoro interno, cioè sui concetti matematici in quanto tali, così come evidenziare i limiti dell'"intuire" e l'esigenza non fine a se stessa, ma legata a garanzie di applicabilità, del "dimostrare" sono aspetti importanti per costruire un'immagine culturale della matematica, che comunque la scuola dell'obbligo dovrebbe dare; a questo fine, naturalmente, non è il caso di affiancare sempre o far prevalere gli aspetti dimostrativi alle giustificazioni intuitive: non si tratta di fare dei "piccoli matematici", ma è opportuno dare un'idea di che cosa fanno i matematici. Altrettanto importante è cogliere la parzialità della attività di matematizzazione nell'analisi di un problema, la necessità di intrecciare conoscenze e metodi relativi ad altre discipline, la possibilità di impiegare più modelli matematici per affrontare da diversi punti di vista una stessa situazione problematica,…
Questi aspetti, così come anche la presenza di connessioni tra temi matematici differenti invece che una trattazione per capitoli rigidamente separati, sono tutti elementi da prendere in considerazione per discriminare i testi culturalmente dignitosi dagli altri; a mio parere (ma è bene che ciascun insegnante cerchi di analizzare in prima persona i vari manuali) man mano che si scende in fondo all'elenco presentato nella tabella 1 si incontrano testi sempre più lontani da tale categoria Purtroppo tali testi sono spesso i più adottati (ad esempio penso che i testi successivi al numero 10 costituiscano complessivamente la grande maggioranza delle adozioni). Quali sono i motivi di ciò?
L'insegnante routinario preferisce libri nei quali vi siano molti esercizi di tipo standard (di cui sia facilmente controllabile l'esattezza della soluzione o che rientrino in schemi risolutivi stereotipati); nel caso usi anche le parti di "teoria", egli privilegia i testi in cui prevalgono le definizioni, le formule, le trattazioni "interne" o le esemplificazioni superficiali,… la cui spiegazione o la relativa interrogazione degli alunni risulta sicuramente poco impegnativa e i cui esiti sono più facilmente scaricabili sulla "bravura" dell'alunno. Ciò non toglie che la fruibilità didattica sia un aspetto da tenere sicuramente presente nella scelta dei testi; essa è da riferire alle modalità e all'impostazione dell'insegnamento che il docente vuole seguire.
Ad esempio un insegnante che segue una articolata programmazione interdisciplinare (elaborata personalmente o insieme ad altri colleghi o riferendosi a "progetti" predisposti da gruppi di ricerca didattica) può, se non ne fa a meno del tutto, appoggiarsi a un libro di testo oltre che per assegnare esercizi significativi per attività di consolidamento, per farne leggere e discutere parti che sintetizzano e inquadrano culturalmente alcuni aspetti disciplinari. In questo senso possono essere utilizzati ad esempio i testi 1, 2 e 3 della tabella. Se invece, in relazione alla programmazione scelta, risulta più adatto un testo che affianca a molti esercizi significativi una parte utilizzabile come "manuale di consultazione" poco nozionistico, può far riferimento al testo 4.
Questi testi sono ovviamente utilizzabili anche dagli altri insegnanti (mi riferisco agli insegnanti effettivamente tali, non a quelli routinari: si tratta comunque di testi che, pur essendo sufficientemente flessibili, richiedono certamente una partecipazione culturale e un impegno didattico da parte dell'insegnante). I primi tre testi dedicano tutti un ampio spazio ai rapporti tra matematica e realtà, a inquadramenti culturali complessivi, a connessioni interdisciplinari non strumentalizzate solo alla giustificazione di qualche concetto matematico. Esiste tuttavia (e per fortuna: l'insegnante deve essere messo in grado di fare delle scelte culturali) qualche differenza di impostazione: nel testo 2 sono un po' più accentuati gli aspetti linguistici e di inquadramento disciplinare, mentre nei testi 1 e 3 sono maggiormente messi in rilievo i rapporti tra modelli matematici e realtà e gli inquadramenti culturali più generali. A sua volta il testo 3 si distingue dal testo 1 (il quale tuttora, a molti anni di distanza dalla prima edizione, è sempre uno dei libri di testo più "belli" a livello internazionale) in quanto forse meno "coerente" ma probabilmente utilizzabile con maggiore facilità da un insegnante più "normale"; rispetto al testo 1, tuttavia, la scansione triennale (questo vale anche per il testo 2) può renderne meno agevole l'uso da parte di insegnanti che vogliono distribuire diversamente alcuni temi matematici nell'arco dei tre anni.
Il testo 4, essendo organizzato in schede+sommario+esercizi, consente di affiancare a una valutazione dinamica dell'apprendimento degli alunni la possibilità di articolare secondo propri criteri la successione e la scansione temporale dei vari temi. Rispetto ai precedenti testi sono più carenti gli inquadramenti complessivi e la presentazione di situazioni di uso dei modelli matematici che mettano in luce l'interazione di questi con altri aspetti disciplinari e culturali. Il testo si presta comunque all'ampliamento di questi aspetti da parte dell'insegnante.
I testi 5 e 7 hanno un'impostazione apparentemente "tradizionale" (come risulta anche da alcuni aspetti messi in luce dalla tabella 2), presentano tuttavia una presentazione concettualmente e didatticamente curata dei temi matematici previsti dai programmi, anche se con un taglio decisamente più "interno" rispetto ai primi tre testi della tabella.
I testi 6 e 8 hanno invece un'impostazione più "moderna", anche se in essi, rispetto sempre ai primi tre testi, è maggiormente presente l'aspetto più "tradizionale" dell'educazione a ragionare ed esprimersi in modo preciso, a lavorare correttamente sui modelli matematici mentre è meno presente quello dell'educazione a "matematizzare". Tra i due, Il testo 6 presenta indubbiamente più esempi di uso dei concetti matematici ed è più ricco di proposte di attività, ma è anche di uso meno flessibile: presenta itinerari didattici molto sequenziali e con tante indicazioni su ciò che di volta in volta deve fare l'alunno che renderebbero difficile la gestione del lavoro in classe agli insegnanti che vogliono condurre dinamicamente l'interazione con le conoscenze, le concettualizzazioni, i fraintendimenti, i bisogni,… degli alunni.
Fin qui ci siamo riferiti ai manuali a mio parere "migliori" tra quelli elencati nella tabella 1. Val la pena di accennare anche ai testi 9 e 10, che (nonostante il fatto che la veste di testo innovativo nasconda un'impostazione in più punti contradditoria) sono più utilizzabili didatticamente dei libri successivamente elencati: tra i due, il primo è di impianto più tradizionale ma cura meglio la presentazione dei riferimenti alle situazioni reali; il secondo ha una presentazione forse più stimolante e contiene più riferimenti a situazioni tratte dalla vita quotidiana, ma questi sono spesso superficiali.
In Gran Bretagna e in altri paesi stranieri sono presenti testi strutturati in una parte articolata in unità didattiche, ciascuna sviluppata attraverso una sequenza di schede di lavoro (intese non come elenco di quiz ma come traccia relativamente flessibile per attività, riflessioni,… non strettamente disciplinari) affiancata da una guida per l'insegnante (volta a suggerire modalità di gestione e attività collaterali alle varie schede di lavoro, oltre a fornire informazioni e inquadramenti culturali "a livello adulto"), più una parte in cui le conoscenze matematiche introdotte nelle unità didattiche vengono riprese (con sintesi, approfondimenti o collegamenti di tipo disciplinare) e presentate in modo facilmente accessibile (a mo' di manuale di consultazione). In Italia ciò non accade; alcuni testi presentano schede di lavoro e altri presentano guide per gli insegnanti, tuttavia con impostazioni differenti da quelle sopra esposte.
Indubbiamente ciò è legato a differenze di tradizioni e modalità organizzative del sistema scolastico. Tuttavia, dopo l'epoca delle grandi discussioni su "libro di testo: sì - libro di testo: no", forse la predisposizione e la diffusione di testi che avessero caratteristiche simili, ed esplicitassero le diversità di impostazione culturale, potrebbe più concretamente incidere sul prevalere del cosiddetto "insegnamento tradizionale" oltre che sul livello del dibattito a cui spesso nelle scuole si riduce la discussione sui testi da adottare.