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NOTE al paragrafo 4
(4.1)
1 - Lo stesso
sviluppo dei sistemi numerici posizionali nelle civiltà
dell'Asia sudoccidentale era avvenuto in relazione a esigenze di
contabilità e in connessione allo sviluppo di sistemi di
misura per particolari beni di scambio. Infatti i documenti scritti
che, a partire dal quarto millennio a.C., testimoniano tale sviluppo
si riferiscono soprattutto a retribuzioni di lavoratori, tasse,
interessi, ..., e mettono in luce che la scelta sessagesimale si è
delineata indipendentemente da considerazioni astronomiche (cioè
dal fatto che un anno è di circa 360 giorni, un mese lunare è
di circa ..., ...), ma in relazione al fatto che la ricchezza di
divisori che ha il numero 60 facilitava equivalenze, calcoli, ... .
(4.2)
2 - Osserviamo
che sono presenti anche aspetti "binari": oltre a varie
potenze di dieci sono quasi sempre presenti anche le loro metà
(5, 50, 500, …) e i loro doppi (20, 200, 2000, …); questo
fatto, legato a ovvie esigenze pratiche, non contraddice la
strutturazione decimale: le procedure binarie si inseriscono su una
gerarchia costruita decimalmente e non viceversa. Notiamo che
all'inizio del secolo, ovvero in paesi la cui unità monetaria
fondamentale vale assai di più della lira attuale (o quando
sarà in vigore la "nuova lira"), il sistema
monetario presenta caratteristiche analoghe: cambia solo l'intervallo
dei numeri interi (relativi) a cui appartengono gli esponenti delle
potenze di 10 che rappresentano i valori delle monete correnti; si
può andare dal centesimo (10 -2)
a mille (10 3),
da dieci (10 1)
a centomila (10 5),
… .
3
- Con il termine "monete" qui e, spesso, nel seguito
intendiamo considerare anche le banconote.
4
- Una moneta color "oro" può valere meno di una
monete color "ferro" e viceversa; una moneta grande può
valere meno di una moneta più piccola; vi sono monete dello
stesso valore che differiscono per le immagini raffigurate sulle
facce o per il materiale in cui sono realizzate;...
(4.3)
5 - Il
bambino, attraverso la vita familiare, la televisione, ..., ha già
acquisito, a livello qualitativo, la capacità di distinguere
in molti casi prodotti più costosi da prodotti meno costosi;
per esempio è sicuramente in grado di confrontare una
caramella, un pennarello, un pallone, una bicicletta, ...
(4.4)
6 - Questa
interpretazione sarebbe invece corretta nel caso del linguaggio delle
calcolatrici, in cui [=] rappresenta il comando di esecuzione dei
calcoli impostati : [1] [2] [+] [8] [=] [x] [3] [=] rappresenta il risultato di (12+8)·3,
ovvero di:
+8 ·3
12 > ... > ...
7
- Cfr. ad esempio Moser[18] e Kieran[16].
(4.5)
8 - Ricordiamo
(a livello adulto) che la proprietà associativa è
quella che consente, a partire dalla addizione definita come
operazione a due argomenti, di estenderla a più argomenti:
essendo (a+b)+c uguale ad a+(b+c) possiamo rappresentare entrambi
con a+b+c. Altre proprietà, come (a+b)+c=(a+c)+b, derivano
da associatività e commutatività: (a+b)+c = a+(b+c) =
a+(c+b) = (a+c)+b.
9
- Pratiche didattiche unilaterali o che puntano direttamente
all'apprendimento astratto sono, invece, all'origine dei difetti
nella padronanza operativa dei significati e delle proprietà
dell'addizione che sono manifestati, ad esempio, dalle difficoltà
(anche queste documentate dalla letteratura) che, in anni successivi,
gli alunni incontrano di fronte a equazioni del tipo ...+13=18
maggiormente che di fronte a equazioni del tipo 13+...=18.
(4.6)
10 - Anche il
semplice problema del resto, in cui è evidente l'influenza di
aspetti molto specifici, intrinseci alle singole situazioni, come ad
esempio i dati numerici, oltre ad evidenziare l'inopportunità
di isolare metodi astratti precocemente e indipendentemente dai
contesti (e dalle procedure utilizzate nella vita quotidiana), mette
in luce i limiti delle teorie didattiche che catalogano le situazioni
problematiche in alcune grandi classi (situazioni additive,...) e
fissano rigide relazioni di dipendenza tra queste situazioni generali
e le strategie di risoluzione (esempi in questo senso si possono
trovare in Carpenter[10].
11
- Ricordiamo che alle equazioni ...+13=18 e 13+...=18 corrispondono
soluzioni espresse, rispettivamente, da sottrazione e da differenza.
Anche in questo caso l'equivalenza tra i due procedimenti è
riconducibile alla commutatività dell'addizione.
12
- Anche le difficoltà relative a problemi di questo genere
sono largamente documentate dalla letteratura.
(4.7)
13 - Ad essere
precisi, a livello adulto, si tratta della moltiplicazione di una
grandezza espressa in "lire al pezzo" (o in "lire al
chilogrammo" o ...) per una grandezza espressa in "pezzi"
(o in chilogrammi o ...); è comunque una precisazione che,
gradualmente, è bene affrontare in successive fasi di
insegnamento.
L'introduzione della
moltiplicazione come addizione ripetuta, oltre a far riferimento alle
situazioni d'uso più elementari in cui essa compare,
corrisponde anche a come viene in genere definita nei sistemi
formali. Ad esempio, definita l'addizione nel modo illustrato nella
nota 6 del paragrafo 3.8, la moltiplicazione può essere
definita mediante la coppia di equazioni:
(c)
x · 0
= 0 , (d) x · s(y)
= (x · y) + x . Da (c) si ricava che 5 · 0 = 0; da
(d) segue che 5 · 1 = (5 · 0) + 5 = 0 + 5 = 5,
essendo l'ultima identità deducibile dalle equazioni (a) e
(b) ; quindi 5 · 2 = (5 · 1) + 5 = 5 + 5 = 10, ecc.
14
- Generalizzando la divisione per contenenza si ottiene il
concetto di rapporto, in cui possono intervenire grandezze non
omogenee: il rapporto tra A chilometri (lire, abitanti,...) e B ore
(ettogrammi, chilometri quadrati,...) è (A:B) km/h (L/hg,
ab./km2, ...).
15
- La separazione dei due livelli consente di condurre all'abilità
di operare mentalmente con procedure diverse a seconda dei casi, ad
esempio: eseguire la differenza fra 4 e 100 riconducendola alla
sottrazione di 4 da 100, la sottrazione di 96 da 100 ragionando per
differenza, la suddivisione di 2000 in 500 parti uguali ragionando
per contenenza, il rapporto fra 2000 e 4 ragionando per partizione,
la moltiplicazione di 2 caramelle per 25 (persone), facendo 25 ·
2 invece che 2 · 25, ... .
(4.8)
16 - Cfr. ad
esempio il Progetto Nuffield[2], in particolare i volumi "Dalle
esperienze alle relazioni" e "Calcoli e strutture".
17
- Abbiamo già accennato sia alla deformazione del
messaggio verbale dell'adulto (con incomprensione o fraintendimento
dei quesiti o degli insegnamenti presentati) che il bambino spesso
opera se la comunicazione non attiva motivazioni e riferimenti alle
sue esperienze e conoscenze (cfr. ad esempio 2.6), sia alle
difficoltà e alle concezioni erronee che può generare
un'introduzione precoce e generalizzata di termini e simboli speciali
che non tenga conto dei rapporti con il linguaggio comune (cfr. ad
esempio 3.7 e 4.4).
A ciò è
da aggiungere che se alle situazioni "vissute" subentrano
troppo presto le situazioni problematiche presentate verbalmente il
bambino tende a non percepire più la "realtà"
di queste, con conseguenze negative sia sul piano delle motivazioni
all'apprendimento che su quello dell'attività intellettuale;
nel linguaggio scolastico si impoverisce così una delle
caratteristiche del linguaggio (comune): permettere di avere a che
fare con oggetti e fenomeni del mondo esterno anche in loro assenza,
di operare "concretamente" sui concetti, sui riferimenti a
esperienze vissute, ragionamenti e connessioni già elaborate,
… evocati dalle parole. Questo vale non solo per il
linguaggio verbale, ma anche per i simboli matematici, per le
rappresentazioni grafiche, … man mano introdotte: se di essi non
viene percepita e utilizzata dall'alunno la capacità di essere
uno strumento del pensiero e di essere usati al livello del
linguaggio "interiore"(cfr. Vygotsky [32]), l'educazione
matematica fallisce; per limitare ciò è necessario che
gli alunni ne percepiscano prima la valenza come strumento di
"comunicazione", ad esempio con attività di:
descrizione col disegno e verbale di situazioni problematiche
affrontate "dal vivo" e dei modi in cui si è cercato
di risolverle, individuazione di forme grafiche o simboliche che
facilitino o rendano più efficace la comunicazione, … .
Tutto ciò mette in luce l'importanza di curare all'interno
dell'attività didattica l'intreccio tra apprendimento
matematico e apprendimento linguistico.
18
- Cfr. ad esempio Trace e altri[28].
(4.9)
19 - Per
alcuni riferimenti rinviamo a Berti -Bombi[5].
20
- Alcune considerazioni interessanti (confermate dalle esperienze
di molti insegnanti con cui abbiamo lavorato) sulla natura
stereotipata di "problemi scolastici" e sulle ambiguità
linguistiche e concettuali a cui danno luogo si possono trovare in
Nesher[19].
21
- Ricordiamo, oltre all'attenzione agli aspetti linguistici messa
in luce nella precedente nota 17, il rilievo da dare alle strategie
risolutive e alle proposte di soluzione che, in situazione,
propongono gli alunni, all'esplicitazione e alla messa in discussione
dei loro sbagli, alla gradualità nel passaggio a medesimi
modelli matematici o a medesimi algoritmi per situazioni
problematiche che si presentano in modi essenzialmente diversi,…
(cfr. ad esempio 3.8, 4.6, 4.7). Il rallentamento che inizialmente
si può verificare nella memorizzazione di meccanismi di
calcolo astratto è compensato dall'avvio di attività
che coinvolgono concetti matematici più ricchi, che
costruiscono una padronanza dei significati delle operazioni e una
competenza sui numeri e attivano una disponibilità a tentare e
ad accettare e riflettere sugli sbagli che permetteranno agli
alunni di affrontare situazioni nuove e di acquisire, e comprendere,
anche tecniche di calcolo più astratte.
22
- In momenti successivi il linguaggio dei grafi consentirà
di affrontare anche equazioni astratte del tipo, ad esempio, di quella riprodotta sotto (che nell'usuale
linguaggio algebrico avrebbe la forma (30 + x) : 2 = 50,
tradizionalmente affrontata alla fine della scuola media). L'utilità
dell'impiego del linguaggio dei grafi nella scuola elementare è
stata sottolineata da Papy - cfr. Papy[21] - anche se con
argomentazioni e all'interno di proposte didattiche non condivisibili (cfr. 6.3)
+? :2
30 > ... > 50
------------
NOTE al paragrafo 5
(5.1)
1 - Ovviamente
ciò comporterà anche riferimenti a obiettivi e abilità
inerenti la padronanza spaziale, riferimenti presenti anche in altre
parti dell'articolo; essi andrebbero collegati a considerazioni più
generali e indicazioni didattiche relative all'educazione geometrica;
per alcuni collegamenti in tal senso, che non possono rientrare nel
contesto del presente articolo, rinviamo a indicazioni presenti in
AA.VV.(1).
(5.2)
2 - A livello
scientifico per semplificare l'espressione delle leggi termodinamiche
è stata introdotta una scala, detta "Kelvin", in cui
esiste lo zero assoluto (corrispondente nella scala Celsius a poco
meno di -273 gradi) e nella quale le temperature sono così
rappresentate da numeri positivi; un tempo si riteneva che alla
temperatura dello zero assoluto si annullasse l'agitazione
molecolare, mentre attualmente si sa che ciò non accade per
alcuna sostanza.
3
- Anche per tali grandezze si possano fissare in situazioni opportune
dei sistemi di riferimento che comportano l'impiego di numeri
negativi: quota rispetto al livello del mare, bilancio economico,
deposito bancario, latitudine,… . Osserviamo, per inciso, che
alle ampiezze angolari corrisponde una scala limitata, da 0 a 360
gradi (eventualmente estesa, appunto, a valori negativi come per le
latitudini; fisicamente diverso è il concetto di rotazione):
l'operazione di sommare due ampiezze angolari non è sempre
possibile.
4
- Tale distinzione non è netta. Ad es. da un lato per
indicare il costo unitario di un certo bene acquistato in grandi
quantità può avere senso andare a considerare
frazioni di lira sempre più piccole, dall'altro la materia, e
quindi le lunghezze, le masse,… , hanno natura discontinua,
anche se ciò non appare a livello macroscopico. Ciò
che in realtà è continuo è l'insieme dei numeri
reali (cioè comprendente anche i numeri con parte decimale di
lunghezza infinita), con i quali vengono rappresentate in genere le
misure "esatte",cioè i valori ideali che si
otterrebbero con strumenti di misura infinitamente precisi,
nell'ipotesi che le grandezze misurate fossero continue.
5
- Si pensi alle stime di velocità in km/h che sa fare un
adulto che non è capace di misurare una velocità
(costante) attraverso un rapporto tra spazio percorso e tempo
impiegato e che percepisce il tachimetro come una "scatola
nera"; o a chi è capace di stimare volumi in cc senza
conoscere di questi l'interpretazione come cubi di lato un centimetro
o sapendoli esprimere verbalmente solo come "cicì";
… .
6
- Ad esempio per le lunghezze brevi si utilizzarono genericamente
spanne, avambracci, piedi, passi, … finchè lo sviluppo
del commercio e, di volta in volta, l'espandersi degli stati
condussero a far fronte alle difformità legate alle differenze
tra uomini e razze o tra usanze diverse attraverso l'introduzione di
campioni (spesso riferiti agli arti del sovrano).
7
- La quantificazione dei terreni attraverso le unità di
produzione era assai diffusa nei grandi stati dell'antichità
in quanto consentiva di esprimere efficacemente il valore economico
di un terreno (soprattutto per stabilire le imposte dovute al sovrano
o allo stato in relazione alla fertilità del terreno).
Probabilmente le prime misurazioni di aree vere e proprie sono
consistite in ricoprimenti con pelli di animale utilizzate come
unità; è possibile che la misura indiretta delle
estensioni di forma rettangolare attraverso la moltiplicazione delle
dimensioni sia stata suggerita dalla disposizione righe per colonne
assunta dalle pelli in questi casi; le difficoltà che incontrò
l'uso di questo metodo sono evidenziate da documenti che testimoniano
l'impiego da parte degli Egizi del "modello matematico"
della moltiplicazione delle lunghezze di due lati consecutivi anche
per estensioni con forma di parallelogramma non rettangolo (tali
forme non erano comuni in quanto in genere i terreni venivano
suddivisi attraverso linee tra loro perpendicolari).
(5.3)
8 - Gli
esempi fatti e in particolare le considerazioni svolte all'inizio
del paragrafo mettono in luce come non sia possibile descrivere
attraverso un unico concetto astratto di misura i vari procedimenti
di misurazione e usare esso come riferimento per l'analisi o la
programmazione dell'apprendimento aritmetico; tentativi di questo
genere vanno inevitabilmente incontro a forzature ed errori
concettuali (di matematica o relativi al contesto applicativo), come
accade anche in Vergnaud[31] (la cui lettura, se non ci si sofferma
sugli aspetti formali e definitori, offre tuttavia diversi spunti di
riflessione sulle situazioni problematiche inerenti la misurazione).
Ciò non toglie che esistano sistemazioni teoriche che danno
una definizione concettuale corretta ed esauriente delle grandezze
(e delle misure) fisiche; ma esse risultano significative e
comprensibili solo in un contesto disciplinare specializzato.
9
- Molti materiali didattici per la prima elementare "coltivano"
invece l'uso assoluto di questi concetti: si pensi agli esercizi in
cui si chiede agli alunni di disegnare in differenti riquadri molti e
pochi palloncini (mentre se vediamo un bambino con 3 palloncini
diciamo che ne ha "molti"; nel caso di un venditore di
palloncini diremmo che ne ha "pochi"), o agli esercizi
analoghi con vicino, lontano, … . Per attività
alternative e per altre considerazioni si vedano, rispettivamente,
2.3 e 2.7.
10
- Come è stato messo in luce da varie ricerche (alcune sono
riferite in Donaldson[15] e in Veggetti[29]; cfr. anche 2.6) i limiti
individuati da Piaget nella percezione da parte del bambino della
conservazione di lunghezze, volumi, pesi, … sottoposti a
traslazioni, travasi, spezzamenti, … dipendono dalla mancanza di
attività che caratterizzassero il significato delle grandezze
e delle operazioni su cui si incentravano i test e che, quindi,
facessero comprendere ai bambini il significato dei quesiti o dei
compiti loro proposti. Ad esempio la verifica dell'equivalenza di
contenitori di forma diversa è una attività operativa
che contribuisce a individuare il concetto di volume; sul significato
così costruito si potranno poi sviluppare o verificare altri
apprendimenti; non viceversa. I pregiudizi del bambino ad accettare
i "principi di conservazione" sono del resto motivati e
sono segno di un atteggiamento conoscitivo che a volte la scuola
soffoca: non ci sono motivi a priori per cui certe operazioni su un
oggetto debbano conservarne il peso, il volume, … . E' anzi
importante educare a tener presente sempre la situazione contestuale
in cui si opera: nelle esperienze di sperimentazione didattica che
abbiamo condotto i bambini di sette anni affrontano con molta serietà
e partecipazione la discussione sul perché i cosiddetti
principi di conservazione non valgono in diverse attività di
trasformazione di beni: il peso complessivo degli ingredienti che
differisce dal peso finale della torta dopo la cottura; il
cambiamento di volume in sostanze sottoposte a macinatura,
frullatura, grattugiatura, … . Di altra natura è il
fatto che la misura totale di una grandezza può non coincidere
esattamente con la somma delle misure delle parti in cui essa è
suddivisa; anche la comprensione di ciò è alla portata
di bambini che siano stati educati alle approssimazioni.
(5.4)
11 - Ciò
non esclude lo svolgimento di misure in successive attività di
consolidamento; anche tali attività, del resto,
costituiscono un contesto significativo per il bambino se si
presentano come fasi funzionali in un itinerario didattico che egli
percepisce come rispondente ai propri bisogni conoscitivi.
12
- In questo modo le "marche" non vengono percepite tanto
come elementi di una "scaletta" da imparare a memoria: la
comprensione dei rapporti numerici tra unità di misura
effettivamente usate (grammi e ettogrammi, metri e chilometri,...)
consente anche di acquisire il significato dei singoli prefissi (c,
m, h, k,...), che, come dovrebbe essere noto, separati dalla unità
"fondamentale", non hanno alcun significato (o hanno
significati diversi: h =1 ora, m= 1 metro,...).
13
- L'utilità della rappresentazione delle misure con numeri
decimali e motivazioni ad approfondire l'uso di essi potranno poi
essere messe in luce dallo sviluppo di altri strumenti matematici:
si pensi alle rappresentazioni grafiche, all'uso di vari modi in cui
rappresentare i rapporti e, in particolare, alla possibilità
di eseguire le operazioni attraverso la calcolatrice : essa spinge a
impostare i calcoli riferendo misure della stessa specie alla stessa
unità, costringe a interpretare i risultati delle divisioni
(che si presentano con molte cifre decimali e senza resto), conduce
all'uso delle potenze del dieci, può essere sfruttata come
sussidio per la scoperta di proprietà aritmetiche e regole di
calcolo,…
14
- Ciò almeno accade se non si pretende di formalizzare
precocemente questa attività e di passare già nella
scuola elementare all'uso astratto dei numeri negativi (magari con
esercizi e riflessioni che vorrebbero mettere in luce la struttura
algebrica di tale insieme numerico, come si fa in alcune proposte
didattiche di insegnamento "moderno" o con "giochi
strutturati" ; cfr. 6.2).
NOTE al paragrafo 6
(6.1)
1 - Si veda ad
es. Dienes [13]; ricordiamo che più volte Piaget e i
suoi allievi hanno criticato la lettura superficiale e limitata delle
teorie elaborate dalla scuola di Ginevra da parte dei proponenti
l'insegnamento della "matematica moderna"; famoso in tal
senso è l'intervento di Piaget al Convegno Internazionale di
Educazione Matematica del 1972 a Exeter (cfr. Sitia [27]).
2
- Sono passati ormai più di 15 anni dalla
(auto)dichiarazione del fallimento del progetto bourbakista di
riorganizzare le conoscenze (e le ricerche) matematiche assumendo
come criterio ordinatore la classificazione secondo alcuni tipi di
strutture: tale progetto si rivelò infatti capace di
inquadrare, e parzialmente, solo alcune particolari aree
matematiche; cfr. Dieudonné[14].
(6.2)
3 - Nei
libri e nei materiali di Dienes gli esempi in tal senso abbondano;
non ci pare il caso di descriverne uno in particolare.
4
- Queste considerazioni, che sintetizzano le esperienze raccolte
nell'ambito delle numerose attività di aggiornamento e di
lavoro con insegnanti di scuola elementare che abbiamo svolto, sono
confermate dalle analisi condotte in Francia da diversi I.R.E.M.
(Institut de Recherche sur l'Ensegnement des Mathematiques) per
individuare l'origine degli insuccessi delle proposte di Dienes, che
in quel paese avevano avuto una larga diffusione; utili riflessioni
sui rapporti tra allievo e insegnante, non solo in relazione
all'impiego dei giochi strutturati, possono essere suggerite dai
modelli per rappresentare le situazioni didattiche proposti in
Brousseau[8].
(6.3)
5 - «Giudici
finali della verità, invece di essere gli insegnanti, saranno
i fatti e le esperienze, perchè la verità diventerà
chiara ed evidente da sola. In questo modo prepareremo i bambini ad
una società più schiettamente democratica piuttosto che
- come si fa ora - ad una società autoritaria». La
natura forse "illuministica" ma comunque poco "democratica"
di questa argomentazione di Dienes (che ben sintetizza le
caratteristiche che abbiamo messo in luce nel precedente paragrafo) è
confermata anche dai limiti e dagli esiti negativi che tali proposte
didattiche hanno evidenziato nei confronti degli alunni con
difficoltà o provenienti da ambienti sociali culturalmente
svantaggiati di cui abbiamo riferito nel paragrafo 4.8.
6
- Cfr. Papy [22]
7
- Cfr. Pontecorvo [26]; si veda anche il paragrafo 2.6.
(6.4)
8 - Sui
collegamenti tra quantità e configurazioni geometriche si
vedano anche le considerazioni svolte in 2.3.
9
- Sull'intreccio tra numero-cardinale e numero-ordinale in
attività simili a giochi di questo tipo ricordiamo alcune
indagini e analisi (suscettibili di approfondimenti) condotte da C.
Comiti (cfr.Comiti [11] ; alcuni aspetti sono ripresi in articoli
comparsi sulla stessa rivista in anni successivi).
10
- Giocando a sette e mezzo anche con bambini di sei anni o con
bambini che comunque non abbiano ancora affrontato a scuola l'uso
delle frazioni per rappresentare parti di oggetti, grandezze,... si
osserva che essi, motivati e in un contesto linguistico che
padroneggiano, non incontrano in genere particolari difficoltà
nell'operare con mezze unità: "mezzo" viene
percepito facilmente come un punteggio che vale meno di uno e di cui
ne occorrono due per fare un punto. Gli stessi bambini dopo qualche
anno, se si saranno trovati di fronte a un insegnamento scolastico
che non avrà costruito motivazioni e curato il passaggio
graduale alla formalizzazione, avranno difficoltà a trovare
quanto fa "un mezzo" più "un mezzo".
11 - Cfr. il
paragrafo 4.6.
(6.5)
12 - Più
dei molti articoli sul ruolo del gioco nello sviluppo psicologico del
bambino ci pare utile ricordare il libro di Arnold [3] sui giochi dei
bambini.
13
- Questo aspetto ha avuto anche un grosso rilievo nella storia
della scienza: si considerino ad esempio la elaborazione di concetti
probabilistici (motivata in gran parte da esigenze legate allo
svilupparsi delle attività assicurative) realizzata attraverso
la riflessione sui giochi di azzardo o ai sistemi economici "ideali"
sui quali sono stai messi a punto i primi modelli matematici
dell'economia. Il ruolo di questi aspetti è ulteriormente
cresciuto con lo sviluppo dei computer e delle attività di
simulazione da essi consentite.
14
- Senza ricordare gli innumerevoli problemi, indovinelli,
filetti, … (cfr.Arnold [3]), rammentiamo un solo esempio, di
tipo prettamente "aritmetico": indovinare un numero
inferiore a cento attraverso il minor numero possibile di tentativi
(a ogni tentativo fallito viene risposto se occorre cercare un numero
maggiore o minore). La strategia migliore (provare a metà,
con 50, poi se la risposta è "più grande" a
metà dell'intervallo residuo, con 75, e così via) è
analoga al metodo della ricerca binaria con cui viene affettuata ad
esempio la ricerca automatica di un nominativo in un elenco ordinato
alfabeticamente; analoga è la strategia che si impiega nel
gioco delle venti domande (partire da caratteristiche molto generali
in modo da ridurre progressivamente il campo delle possibilità).
Questo gioco esemplifica bene anche le considerazioni svolte alla
fine del paragrafo precedente.
15
- Nelle proposte didattiche incentrate solo sul "problem
solving" si perde la dimensione culturale che darebbe
significatività alle situazioni problematiche e attiverebbe
una partecipazione cognitiva più profonda (cfr. 4.9). Alla
base di tali proposte vi sono spesso la tesi "psicologica"
che l'abilità di risolvere problemi sia una abilità
mentale che prescinde dai singoli contesti (cfr.2.6) e quella
"culturale" per la quale il procedere per problemi
particolari sarebbe un metodo generale per la formazione delle
conoscenze (perdendo di vista il ruolo avuto nella storia della
scienza e della cultura in generale dalle concezioni teoriche
complessive - nella definizione o nella scelta dei "problemi"
-, dagli aspetti sociali - nella trasmissione ed elaborazione delle
conoscenze -,...).
Delle proposte
didattiche incentrate sul "gioco al calcolatore", su cui
sarebbe utile un approfondimento specifico, ci limitiamo a ricordare
quelle che prevedono l'introduzione e lo sviluppo di molti concetti
matematici (aritmetici e, soprattutto, geometrici) nella scuola
elementare mediante il linguaggio Logo. Osserviamo, ad
esempio, che in queste proposte i movimenti sul video e
rappresentazioni su di esso piatte, stereotipate, con prospettive
spaziali errate, … di oggetti reali diventano il terreno su cui
l'alunno dovrebbe sviluppare le abilità geometriche. Le
considerazioni pedagogiche con cui S. Papert [20] , coordinatore
dell'equipe che ha messo a punto il Logo, propone il suo impiego nel
primo insegnamento evidenziano una lettura parziale di Piaget e la
mancanza di riferimenti ai problemi didattici e di psicologia
dell'apprendimento attualmente dibattuti. Ciò non toglie che
alcune versioni del linguaggio Logo possano costituire utili
"strumenti" di lavoro didattico in successive fasce
scolastiche (quando sia già stata sviluppata un'adeguata
padronanza di alcuni modelli matematici fondamentali).
16
- In questo senso segnaliamo ad es. i modelli di abaco realizzabili
utilizzando come "palline" bottoni molto spessi, anelli da
guarnizione, pasta secca forata,… e come bacchette stecchi per
spiedini infilzati in una base di plastilina o polistirolo (e segnati
o tagliati all'altezza corrispondente a 9 "palline"); e
quelli - simili agli abachi veri utilizzati nell'antichità -
realizzabili con contenitori a reticolo (contenitori per confezioni
di cioccolatini, palline di ghiaccio,…, tavolette di legno
opportunamente forate,…) affiancati da una striscia numerata
da 0 a 9 in corrispondenza delle "linee orizzontali",
usando come "palline" sassi, noccioline, bilie,…
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