da:  La Vita Scolastica, 1989, anno XLIV, n.7, pp.10-15
 

Carlo Dapueto
Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova

    Fornire indicazioni metodologiche per l'insegnamento aritmetico nel secondo ciclo della scuola elementare richiederebbe un approfondimento ben maggiore di quello offerto dal presente articolo. Esso si limiterà a illustrare, possibilmente attraverso esempi, le parti più specificamente rivolte all'aritmetica del secondo ciclo presenti nella sezione dei Nuovi Programmi di Matematica per la scuola elementare dedicata alle "indicazioni metodologiche", intitolata "Indicazioni didattiche" nella forma finale assunta dal testo dei programmi. In realtà non è ivi presente una netta distinzione tra primo e secondo ciclo; ci riferiremo, quindi, a quegli aspetti che, pur essendo spesso già avviabili nel primo ciclo, hanno un più compiuto sviluppo nel secondo.

    Le Indicazioni si soffermano soprattutto sull'apprendimento del calcolo e sviluppano l'idea chiave già presente nella parte dei programmi che introduce gli obiettivi dell'insegnamento aritmetico: «la formazione delle abilità di calcolo va fondata su modelli concreti e strettamente collegata a situazioni problematiche»; ciò non a scapito dell'acquisizione di una padronanza degli algoritmi, ma per una loro acquisizione meno superficiale e più duratura. E' «esclusivamente» a questo fine che nelle Indicazioni si insiste più volte sulla gradualità che deve avere lo sviluppo delle tecniche di calcolo.

    Val la pena di ricordare che con modelli concreti non si intendono affatto i cosiddetti "materiali strutturati"; "concreto" non è sinonimo di "materiale", ma significa «avente un legame particolarmente stretto con la realtà così come essa viene percepita nella vita di ogni giorno, o con la realtà come oggetto o sede di attività ed esperienze specifiche» (Zingarelli, X ediz.); i cosiddetti materiali strutturati sono un tipico esempio di modelli astratti. Situazioni problematiche che abbiano riferimento alla realtà, e che, per altro, offrano occasioni di manipolazione di materiali che abbiano concretezza e ricchezza di contenuto matematico (e in questo senso siano "strutturati"), ve ne sono molte: alcune sono citate nelle Indicazioni per l'aritmetica (operazioni di misura con grandezze fisiche, analisi di dati economici e demografici, …) altre sono ritrovabili nelle Indicazioni per la geometria, la statistica, … , molteplici altre sono offerte all'insegnante dai temi e le attività che affronta con la propria classe.

    Vediamo, dunque, come è possibile interpretare i suggerimenti presenti nelle Indicazioni. Il primo suggerimento è quello di limitare il numero delle cifre impiegate nei calcoli privilegiando l'acquisizione e il consolidamento della notazione posizionale e dei "cambi". I modelli concreti, sia attraverso attività pratiche (es. lavorare con monete e banconote, con misuratori di capacità, lunghezze, … ), sia, poi, attraverso riferimenti verbali e grafici (illustrare graficamente e verbalmente situazioni di scambio economico, attività di misurazione, …), possono essere di aiuto nella limitazione e isolamento delle cifre che effettivamente entrano in gioco nei calcoli e nella focalizzazione dell'idea dei cambi: per sommare tremila lire e venticinquemila lire non devo fare una somma tra numeri con 4 o 5 cifre, ma, usando l'unità "mille lire", posso fare 3 mila + 25 mila = 28 mila; suddividere un litro di latte in tre parti non comporta una divisione in cui intervengono cifre decimali se si considera considera che 1 l = 1000 ml e si fa 1000:3, eventualmente trasformando poi il risultato in litri; per fare trenta centesimi per 5 (ad esempio nel contesto di in un'indagine sui valori monetari all'inizio del secolo) si può fare 30 cent.x5 = 150 cent. = 1 lira e 50 cent. prima di aver messo a punto la tecnica per le moltiplicazioni tra numeri con virgola; …

    Attività di questo genere, oltre a consentire di svolgere calcoli concettualmente alla portata degli alunni senza man mano attendere l'intervento di nuove regole e tecniche "magiche" che consentano di affrontare i numeri più "difficili", sviluppano la competenza numerica e la padronanza "operativa" delle proprietà aritmetiche (commutatività, associatività, distributività, moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, …). Una volta che tali abilità si sono consolidate nei "contesti", è più facile, grazie alla presenza di questi modelli di riferimento che fungono da "prototipi" concettuali, trasferile alle attività con i numeri puri. Considerazioni simili valgono per l'introduzione dei numeri relativi appoggiandosi a situazioni significative (temperature, livello di fiumi, differenza temporale rispetto a un giorno o a un'ora fissata che da "futuro" diviene poi "passato", … ).

    Contestualmente al suggerimento di non svolgere precocemente calcoli per iscritto che comportino troppe cifre, si sottolinea l'opportunità di sviluppare gradualmente le tecniche di calcolo, di cui gli alunni (come si dice nella parte dei programmi dedicata agli Obiettivi) devono essere messi in grado di comprendere il significato. Nelle figg. 1-4 sono esemplificati alcuni possibili sviluppi attraverso cui si possono introdurre alcune tecniche. Fig.1 e fig.2 propongono alcune schematizzazioni grafiche che inizialmente si configurano come la registrazione su carta di operazioni svolte praticamente (con monete, …) e acquisiscono man mano la forma di schemi che "incorporano" le proprietà aritmetiche coinvolte. In fig.3 sono presentati due possibili esiti del calcolo di una divisione: dopo aver visto che 100x8 è inferiore a 1650, che 100x8 è inferiore al resto 850, arrivati al resto 50 si può procedere ulteriormente (205 con resto 5) o, ad esempio in un contesto di divisione di una valore monetario che non ammetta il ricorso alle monete da 5 lire, ci si può arrestare (200 con resto 50); se poi si deveno mettere insieme 1650 lire tra 8 persone senza creare disparità, occorrerà che ciascuno metta 210 lire (il valore monetario corrente immediatamente successivo alle 205 lire). In fig. 4 è esemplificato come si può avviare alla "semplificazione" delle divisioni e come il tipo di schematizzazione impiegato consenta di procedere per tentativi (1100 è maggiore di 900, allora 50 non va bene, proviamo con 40 …).

    Tecniche di calcolo che impieghino schematizzazioni simili a quelle sopra illustrate possono costituire un passaggio intermedio per un'introduzione motivata di procedimenti più "automatici", ma possono essere impiegate pure in seguito: oltre ad essere più "controllabili" di questi ultimi, in molti casi sono anche più efficaci. Infatti esse non prevedono uno sviluppo univoco, ma consentono di procedere in modi differenti a seconda delle caratteristiche dei numeri coinvolti (e dei gusti del soggetto che esegue il calcolo). Attività di questo genere e, più in generale, l'impiego di algoritmi differenti per ottenere un medesimo risultato sono assai importanti e opportunamente sottolineate nelle Indicazioni.

    In fig.5 è invece presentato un esempio di diverse descrizioni dello stesso algoritmo. In fig.6, dato un algoritmo, (bxh):2, sono esemplificati algoritmi diversi ma equivalenti descritti nello stesso linguaggio (quello delle formule) e lo stesso algoritmo descritto in un linguaggio differente (quello dei grafi).

    In fig.7 sono presentate alcune attività di trasformazione di un algoritmo in algoritmi equivalenti tipiche del calcolo mentale rapido. Questo è un terreno di esercizio delle proprietà aritmetiche evidenziato nelle Indicazioni, assieme a quello del calcolo approssimato. Due esempi per quest'ultimo: 78x93 ≈ 80x90 = 7200 ≈ 7000; 119 milioni (abitanti):372 mila (km²) ≈ 120 milioni:400 mila = 1200 : 4 = 300 abitanti per km². Il primo è anche un esempio di calcolo mentale rapido, diverso dal calcolo mentale esatto illustrato in precedenza.

    A proposito del calcolo approssimato le Indicazioni ricordano la sua utilità come strumento per il controllo dei risultati delle calcolatrici. In effetti, la perdita di importanza, culturale e sociale, delle abilità di calcolo meccanico e l'ulteriore spostamento dell'attenzione didattica da queste verso l'approfondimento concettuale operato dai nuovi programmi rispetto a quelli del '55 sono da collegare anche alla diffusione dei mezzi di calcolo elettronico. Nell'attività in classe le calcolatrici consentono di eseguiere operazioni (ad esempio richieste da un approfondimento tematico) il cui significato è alla portata degli alunni ma i cui fattori richiederebbero altrimenti macchinose attività calcolistiche. Le calcolatrici consentono inoltre di svolgere attività di verifica o scoperta (congettura) di proprietà aritmetiche.

    Non mi soffermo oltre sulle calcolatrici, altrimenti "sconfino" nella parte delle Indicazioni dedicata all'informatica. L'insegnante, invece, deve "sconfinare" da una parte all'altra. Ad esempio non è possibile isolare il lavoro aritmetico dalle attività sulla geometria e la misura o da quelle di statistica. Quest'ultime (grafici, istogrammi, mode, ordinamenti, mediane, percentuali, areogrammi, medie, … impiegando materiali come carta quadrettata, carta millimetrata, cerchi graduati, …) sono particolarmente utili per sviluppare la padronanza numerica, la comprensione dei significati di operazioni e rapporti, l'avvio all'uso delle potenze del dieci. Per fare due sole esemplificazioni (vedi fig.8) si pensi al ruolo nella comprensione della scrittura posizionale della attività di lettura/scrittura di dati su un asse (che possono essere viste come uno sviluppo delle analoghe attività con gli strumenti di misura a scala graduata) e al ruolo delle percentuali nella comprensione dei collegamenti tra numeri decimali e altre espressioni frazionarie.

    Con l'accenno alla statistica siamo ormai giunti all'utlimo capoverso delle Indicazioni dedicate all'aritmetica (la statistica è richiamata come «analisi di dati economici e demografici»). Concludiamo riferendoci all'aspetto presente in questa parte finale che non abbiamo ancora discusso: le occasioni di lavoro con numeri in basi diverse dalla decimale che possono essere offerte dalle attività di misurazione e di uso di grandezze fisiche. E' abbastanza evidente a quali contesti si riferiscono soprattutto i programmi: il tempo e le rotazioni (angoli). In realtà si tratta di sistemi di rappresentazione numerica a più basi; essi comunque si prestano a consolidare l'idea dei "cambi", alcuni aspetti della notazione posizionale, la padronanza di alcune proprietà aritmetiche, il concetto di frazione, … . Un altro contesto di attività operative con basi diverse può essere la riflessione su unità di misura locali del passato o del presente (sono frequenti i sistemi di misura in cui le unità hanno rapporti eguali a potenze di 2). Qualche esempio per chiarire queste osservazioni:

–  37 giorni = 5 settimane e 2 giorni (37:7=5 con resto 2);

–  dalle 3:45 alle 5:05 passano 1h e 20 min ( da 3:45 alle 4 passano … e dalle 4 alle 5:05 …; oppure: 5:05 = 4 e 65 min, 5-4=1 e 65-45=20 …);

–  1h e mezza : 2 = 90 min : 2 = …; 100m in 10sec equivale a 600m in 1min, a 600x60m in 1h, a … km/h;

–  mezz'ora dopo le 10 e tre quarti = due quarti d'ora dopo le 10 e 3 quarti = un quarto d'ora dopo le 11 = …;

–  …

    Naturalmente si tratta di attività in cui il ricorso a ragionamenti analoghi a quelli svolti nei sistemi decimali è implicito: non è assolutamente il caso di trarre spunti per proporre attività in cui i numeri siano formalmente espressi ricorrendo a un insieme di cifre diverso da {0,1,2,…,9}. Del resto negli Obiettivi per Geometria e Misura si osserva che occorre operare con le unità di misura non decimali solo in casi problematici reali, senza eccedere nella riflessione autonoma dai contesti d'uso. Sarebbe contraddittorio proporre addirittura attività con "numeri puri" espressi in notazione posizionale non decimale. Eppure … bisogna osservare che questa contraddizione è presente nei Nuovi Programmi (assieme a varie altre contraddizioni e compromessi, relativamente sia alla Matematica che ad altre discipline): nella parte iniziale delle Indicazioni per l'aritmetica si accenna al fatto che «può risultare vantaggiosa l'introduzione di sistemi di numerazione diversi da quello decimale». Non mi sembra il caso di spendere parole per confutare la pretesa di trasformare abilità sviluppate in contesti astratti e culturalmente non significativi per il bambino in padronanza concettuale e operativa.

    Per chi, comunque, voglia "persistere", propongo qualche attività che ha qualche parentela con l'uso di basi diverse e che può avere qualche valenza didattica e culturale. Si tratta dell'impiego di sistemi di simboli diversi dall'insieme delle cifre decimali per codificare (o enumerare) oggetti. Vi sono vari esempi di tali codifiche nella vita reale, dei quali il più noto è sicuramente quello delle targhe automobilistiche. Si possono analizzare alcune di questi metodi di codifica o, traendo spunto dalla loro esistenza, si può proporre agli alunni di generare con lo stesso algoritmo con cui si generano i numeri naturali le espressioni che impiegano come undicesimo simbolo la lettera A, quelle che impiegano solo le cifre 0 e 1, … , e mettere in luce vantaggi e svantaggi di una codifica rispetto all'altra (numero di simboli impiegati, diversa lunghezza delle espressioni corripondenti alla medesima posizione, …). Ricordo, esprimendomi a "livello adulto", che l'algoritmo è: generare in ordine "alfabetico" le "parole" non inizianti per zero di lunghezza 1, poi quelle di lunghezza 2, … essendo 0-1-2-… l'ordine dell'"alfabeto".