Complementi di Analisi Matematica
1. Richiami
2. Regole di derivazione
3. Alcuni teoremi
4. Punti particolari del grafico di una funzione
5. Richiami sull'integrazione
6. Tecniche di integrazione
7. Esercizi
Sintesi
1. Richiami
Nei punti 1, 2 e 3c del "ripasso trovi come rivedere, sia sintetizzati che svolti per esteso, i principali argomenti di analisi matematica affrontati finora. Trovi anche alcuni esercizi che ti consentono di controllare/ripassare le tue conoscenze. In questa scheda svilupperemo alcuni aspetti di tali argomenti. Alcune parti saranno indicate come "approfondimenti", per segnalare che saranno affrontabili solo in alcune scuole o in alcune classi.
2. Regole di derivazione Ricordiamo che la derivata di una funzione F nel punto x può essere indicata F'(x) o D(F)(x) o d F(x)/dx: è la pendenza della tangente al grafico nel punto di ascissa x. Δx o dx indicano entrambi la variazione di x. Quindi d F(x) è la variazione che F avrebbe se a partire dal punto del grafico di ascissa x, variando x di dx, procedesse come la retta tangente al grafico. ΔF(x) indica la variazione effettiva di F. L'approssimazione di ΔF(x) con d F(x) è tanto migliore quanto più Δx è piccolo. L'errore di questa approssimazione ossia la distanza tra il pallino blu a destra, che rappresenta F(x)+ΔF(x), e quello rosso soprastante, che rappresenta F(x)+dF(x) tende a 0 più velocemente di Δx, ossia è un infinitesimo "trascurabile" rispetto a Δx.
Da questo significato geometrico, come abbiamo visto qui, si ha che
d k·f(x) / dx = k·d f(x) / dx, ovvero |
Esempi: d 4·x²/dx = 4·d x²/dx = 4·2·x = 8x; d x²+x³ /dx = d x²/dx + d x³/dx = 2·x + 3·x².
Abbiamo visto anche le derivate di vari tipi di funzioni.
| A mano, e controllando i calcoli con R e con WolframAlpha, trova le derivate delle seguenti funzioni. |
f= function(x) x^6;
g= function(x) x^-6; h= function(x) exp(x);
k= function(x) x^6-x
l= function(x) log(x);
m= function(x) 2^x;
n= function(x) sin(x);
o= function(x) cos(x)
Con R batti, ad es., D(body(f),"x")
o, se hai eseguito source("http://macosa.dima.unige.it/r.R"), deriv(f,"x");
con WolframAlpha dx^6/dx.
Rivediamo alcune altre proprietà molto utili.
Che relazione c'è tra la pendenza di una funzione e quelle delle funzioni di cui è il prodotto? È il prodotto di esse? Per controllare facciamo un esempio particolarmente semplice:
f(x) = x, g(x) = x, h(x) = f(x)·g(x) = x²,
La risposta è: no.
Del resto se A varia di ΔA e B varia di ΔB, A·B non varia di ΔA·ΔB, ma, circa, di
A·ΔB + B·ΔA,
come si vede nella figura a fianco. D(f·g) = D(f)·g + g·D(f) ovvero: Dx(f(x)g(x)) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) Vediamo se le cose tornano nell'esempio precedente:
Approfondimento: dimostriamo la proprietà precedente. |
Utilizzo il fatto che F(x+Δx) è pari a F(x)+dF(x)+o(Δx), ossia a
F(x)+F'(x)·Δx+o(Δx):
Dx(f(x)g(x)) =
lim Δx → 0 (f(x+Δx)·g(x+Δx) − f(x)g(x))/Δx.
f(x+Δx)·g(x+Δx) =
(f(x) + f'(x)·Δx + o(Δx))
(g(x) + g'(x)·Δx + o(Δx)) =
f(x)·g(x) +
f'(x)g(x)·Δx +
f(x)g'(x)·Δx + o(Δx) =
f(x)·g(x) +
( f'(x)g(x) +
f(x)g'(x) ) Δx + o(Δx) Sostituendo e semplificando:
Dx(f(x)g(x)) =
f'(x)g(x) + f(x)g'(x) + lim Δx → 0 o(Δx)/Δx
dove il limite finale è 0 in quanto o(Δx)
indica un infinitesimo di ordine superiore rispetto a Δx.
| Calcola la derivata rispetto ad x di (x²−7x+2)(x−7) sia sviluppando prima il prodotto che usando la regola ora vista. |
| Prova a mettere in WolframAlpha d( f(x)/g(x) )/dx. Che cosa otteni? |
Per il rapporto tra due funzioni ho che:
Approfondimento: dimostriamo la proprietà precedente.
Ci conviene prima trovare Dx(1/g(x)) e poi utilizzare la regola del prodotto per calcolare Dx(f(x)·1/g(x)).
Osservo che Dx(1/g(x)·g(x)) = Dx(1) = 0 essendo 1 una costante. Del resto per la regola della derivata del prodotto
Dx(1/g(x)·g(x)) = Dx(1/g(x))·g(x)+1/g(x)·Dx(g(x)). Quindi
Dx(1/g(x)) = −Dx(g(x))/g(x)².
Dunque Dx(f(x)·1/g(x)) =
Dx(f(x))·1/g(x) + f(x)·Dx(1/g(x)) =
f'(x)/g(x) − f(x)·g'(x)/g(x)² =
(f'(x)·g(x)−f(x)·g'(x)) / g(x)².
| Dimostra che D(tan) = 1/cos² = 1 + tan². |
Come trovare la derivata di una funzione composta? È comodo pensare y = f(g(x)) come y = f(u), u = g(x) e ragionare così:
dy/dx = dy/du · du/dx
Calcolo, ad es., Dx exp( sin(x) ).
Penso a y = exp(u), u = sin(x). So che d exp(u)/du = exp(u) e che d sin(x)/dx = cos(x).
d exp(sin(x)) / dx = d exp(sin(x)) / d sin(x) · d sin(x) / dx = exp(sin(x))·cos(x).
In pratica nel calcolo della prima derivata ho pensato a sin(x) come se fosse una variabile.
La spiegazione sopra utilizzata (dy/dx = dy/du · du/dx) non è, invero,
una dimostrazione rigorosa, ma ci consente di richiamare facilmente la formula esatta.
| Calcola d log(x²+3x+1) / dx. |
Nota. Abbiamo visto varie formule che riconducono il calcolo della derivata di una funzione H
ottenuta a partire da due funzioni F e G al calcolo delle derivate di F e di G. Ma il fatto che non esistano D(F) o D(G)
non implica che non esista D(H). Facciamo alcuni esempi.
• f(x) = g(x) = |x|; f e g non sono derivabili in 0 mentre f·g,
che a x associa |x|·|x| = x2, è derivabile in 0.
•
• f(x) = x², g(x) = |x|; non esiste g'(0) mentre
Come trovare la derivata della funzione inversa di un'altra? Siano F e G le due funzioni. Considera la figura qui a destra, in cui supponiamo che il sistema sia monometrico. La tangente r al grafico di G nel punto B, rispetto alla bisettrice del primo quadrante, è simmetrica alla tangente s di F nel punto A (vengono scambiate ascisse e ordinate). La pendenza pr di r e quella ps di s sono dunque tali che ps = 1/pr. Riassumendo:
La formula precedente può essere ricordata così: dx / dy = 1 / (dy/dx), espressione che si può ricavare facilmente con una manipolazione algebrica. Rivediamo, ad esempio, come ottenere D(log) sapendo che D(exp) = exp: Dx (log(x)) = 1/Dy (exp(y)) = 1/exp(y) = 1/x |
| Sia atan la funzione arcotangente. Dimostra che d atan(x)/dx = 1/(1+x²). |
Abbiamo usato nei vari casi notazioni diverse per indicare la derivata di una funzione. A seconda dei casi può essere più comoda ora una notazione, ora un'altra.
Osserviamo, infine, che, nel caso di una funzione F definita in un dominio contenente un intervallo Se F è definita in un dominio contenente un intervallo Ad es. di x → |x| posso dire che la derivata da destra in 0 è 1 e che quella da sinistra è −1 (non esiste quindi la derivata della funzione in 0, altrimenti le derivate da destra e da sinistra, che esistono, dovrebbero coincidere). |
3. Alcuni teoremi
Richiamiamo alcuni teoremi che a volte sono utili per affrontare lo studio di alcune funzioni. Il primo è d'uso abbastanza comune, gli altri, d'uso più raro, li lasciamo negli approfondimenti. Il primo afferma che:
se, per x → α, f(x) e g(x) sono entrambe infinitesimi o entrambe infiniti, e
Questo risultato è noto come regola de L'Hopital, dal nome del francese Guillaume Francois de L'Hopital che lo enunciò, nel 1696, nel primo manuale sistematico di analisi matematica. Questa proprietà è abbastanza intuitiva, e la illustreremo con due esempi, rinviando a questo sito la sua dimostrazione. Si tratta di esempi che ti sono già noti. Vedi qui per richiamarli.
•
•
|
f = function(x) sqrt(x)/(1-exp(2*sqrt(x))); n = 1:15; f(10^-n) |
Occorre non usare questa regola a sproposito. Ad es. di fronte a
Approfondimenti Il teorema, illustrato nella figura a fianco, afferma che: se una funzione F è derivabile in un intervallo (a,b) ed è continua anche nei punti a e b, allora esiste almeno un punto c in cui il grafico di F ha la stessa pendenza del segmento r che congiunge i punti del grafico di ascisse a e b.
Esso è abbastanza intuitivo:
se F(x) rappresenta la strada percorsa da un'auto nel tempo x dalla partenza e se a e b
sono le ore di partenza e di arrivo dell'auto, la pendenza del segmento r rappresenta il rapporto
tra strada percorsa e tempo impiegato, ossia la velocità media; allora ho che
in almeno un istante c la velocità dell'auto (rappresentata dalla pendenza della tangente) eguaglia
la velocità media. È pensando a tale esempio che questo teorema è stato chiamato
del valor medio. È chiamato anche teorema di Lagrange (Lagrange, 1736-1813, fu un matematico, fisico e astronomo torinese). |
Una conseguenza del teorema del valor medio è un fatto intuitivo, che abbiamo implicitamente già usato: una funzione F definita in un intervallo e avente in ogni punto di esso derivata nulla è costante. Infatti presi due punti qualunque a e b ho che (F(b)−F(a))/(b−a) = F'(c) per qualche c tra a e b; quindi, essendo F'(c)=0, F(b) = F(a).
|
4. Punti particolari del grafico di una funzione
Ecco i grafici di alcune funzioni (vedi qui se vuoi vedere come sono stati tracciati), con evidenziati alcuni punti particolari:
f1 ha per grafico una retta non orizzontale: non vi sono né punti di minimo né punti di massimo, né altri punti particolarmente significativi.
Invece f2 ha, in −1, un punto di minimo in cui la derivata esiste e, obbligatoriamente, deve valere 0.
Il grafico di f3 ha in −1, un punto di massimo relativo, ossia esiste un intervallo che ha −1 al suo interno in cui f3 non vale più
di f3(−1). Analogamente in 0 ha un punto di minimo relativo. Tuttavia, f3 non è derivabile né in −1 né in 1.
f4 in −1 ha derivata nulla ma, ivi, non ha né un minimo né un massimo. In −1 la curva cambia concavità
(vedi), a sinistra è rivolta verso il basso, a destra verso l'alto. Si dice che in −1 il
grafico di f4 ha un flesso.
Come f1, f5 non ha punti di minimo, di massimo o di flesso. È anch'essa continua, ma il suo dominio non è tutto R:
in 2 non è definita. Inoltre, mentre f1 è crescente nel suo dominio, f5 decresce in (−∞,2) e decresce in (2,∞),
ma non decresce in tutto il suo dominio: f(1) = 0 e f(3) = 2.
L'ultima funzione, f6, che come le precedenti, ad eccezione di f3, è derivabile in tutto il suo dominio, a differenza di esse è periodica. Ha
punti di massimo in π/2 e in tutti i valori ottenuti da questo variando di multipli di 2π, ha punti di minimo in −π/2 e in tutti i valori ottenuti da
questo variando di multipli di 2π, ha punti di flesso "ascendente" in 0 e in tutti i valori ottenuti da questo variando di multipli di 2π, ed ha
punti di flesso "discendente" in π e in tutti i valori ottenuti da questo variando di multipli di 2π.
L'immagine seguente sintetizza i legami tra la derivata di una funzione e la collocazione dei suoi punti di massimo e di minimo.
I punti c in cui D(f) si annulla (in essi f può avere un massimo o un minimo relativo, ma non è detto che ciò accada, come nel caso di c2) vengono detti punti critici ed f viene detta stazionaria in essi. A lato sono tracciati il grafico di F: x → |x| + x² e, tratteggiato, quello di G: x → |x|.
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In situazioni in cui sia facile studiare le derivate successive di una funzione può essere utile ricorrere all'analisi di queste per studiare la collocazione dei punti di massimo e di minimo. Per affrontare questo argomento è bene mettere meglio prima a punto il concetto di concavità di una funzione.
La funzione f3, considerata sopra, in −1 ha la concavità verso il basso senza essere ivi derivabile.
È intuitivo che
se una funzione f ammette derivata seconda f " in c allora
il grafico di f è strettamente concavo verso l'alto in
Per un altro esempio si pensi a
f: x → x³ − 3x² + x − 2. Determino dove il suo grafico
ha la concavità verso l'alto e dove verso il basso. Capisco che il cambio di concavità avviene in un punto Q la
cui ascissa q vale circa 1. Poiché la funzione è facilmente derivabile due volte,
posso usare quanto osservato sopra: Più in generale ho che se D(f) esiste (tranne eventualmente che in c) e |
Nel caso precedente ho che f '(x) =
3x2 − 6x + 1 = 0 per x =
se f '(c) = 0,
f '
esiste in un intorno di c e f "(c) esiste,
allora f ha
Evitiamo, qui, di provare queste proprietà, di cui è facile convincersi, ma che non sono di banale dimostrazione.
Qui trovi come svolgere questi calcoli con R. Vedi qui per una animazione.
Nota. Per indicare la derivata seconda di f,
oltre che
| Data la funzione x → x4 − 2x3 + 7x − 5, studiane l'andamento, compresa la concavità, eventualmente trovando alcuni valori (zeri o punti di massimo o minimo o ) in forma approssimata. |
Infine, le due figure seguenti richiamano il concetto di asintoto, già incontrato più volte:
L'iperbole rossa a sinistra ha come asintoti i due assi. È evidenziato con un pallino il punto di ascissa 3 e ordinata 1; man mano che esso si sposta verso destra la sua distanza dall'asse x tende a 0. L'iperbole blu ha come asintoti un'altra retta verticale e una retta inclinata. Gli asintoti sono le rette tratteggiate. Un asintoto di una curva è una retta tale che la distanza tra un punto su di essa e la curva "tende a 0" all'avanzare del punto lungo una delle due direzioni della retta. A destra è tracciato l'asintoto di un'altra curva; in questo caso la curva attraversa infinite volte l'asintoto su cui tende a spiaccicarsi. Questo esempio mette in luce che la distanza della curva dall'asintoto tende a 0 non necessariamente con andamento decrescente.
Approfondimenti. Il grafico di una funzione continua ha la concavità verso il basso
attorno al punto
|
5. Richiami sull'integrazione
Ricordiamo che, dato un intervallo finito [a,b] e una
funzione F che sia continua in [a,b], o che sia ivi limitata e continua in intervalli
la cui unione sia [a,b], l'area orientata tra grafico di F ed asse x viene chiamata integrale di F tra a e
b e indicata
Nel primo caso l'integrale tra 0 e 3 è 1+2 = 3. Nel secondo caso, essendo il triangolo alto 1.3·2.5, l'integrale tra 0 e 2.5 è 2.5·2.5·1.3/2 = 4.0625. Nel terzo caso, essendo la curva simmetrica rispetto all'origine, anche senza calcolare l'integrale tra 0 e π, posso concludere che l'integrale tra −π e π è 0.
Come per le derivate ho che: | ∫ [a, b] (F+G) = ∫ [a, b] F + ∫ [a, b] G | ∫ [a, b] (k F) = k ∫ [a, b] F |
Abbiamo visto che integrazione e derivazione sono legate dalla proprietà:
Sia f continua in [a, b]; se
G' = f allora
nota come formula fondamentale del calcolo integrale, che ci permette di calcolare facilmente gli integrali in molte situazioni.
Facciamo un esempio. Dato che D(exp) = exp posso concludere che
un'antiderivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.
Quanto vale l'area tra il grafico di exp e l'asse x
compresa tra le rette Per una stima posso approssimarla con l'integrale tra −1 ed 1
di Si è visto come, in caso di necessità, si possa ricorrere al calcolo degli integrali
mediante il software. Ecco l'uso di R: |
Ricordiamo che se esiste ∫ [a,x] F per ogni x in un intervallo
A causa del legame tra derivazione e integrazione si è diffuso l'impiego di
∫ f(x) dx per indicare un generico termine
• nel caso dell'integrale definito la variabile "integrata" è
• qualcuno usa l'integrale indefinito per indicare un insieme di termini:
• noi useremo quest'ultima convenzione, ogni tanto esplicitando, e ogni tanto no,
la possibilità di aggiungere una costante, ossia qualche volta scriveremo
integral 6*x dx fornisce 3*x^2 + constant.
Le prime due colonne della tabella seguente, e i primi quattro elementi delle terza, riassumono alcune derivate e alcuni integrali d'uso comune, che è bene pian piano incominciare a memorizzare. Gli elementi successivi delle terza colonna (in marrone) possono essere consultati all'occorrenza; è, comunque, un buon esercizio verificare che le derivate di essi sono gli elementi della prima.
∫ g(x) dx | g(x) | |
f(x) | f '(x) | ∫ f(x) dx |
k
xn 1/x ex log(x) ax (a > 0, a ≠ 1) loga(x) (a > 0, a ≠ 1) sin(x) cos(x) tan(x) asin(x) acos(x) atan(x) |
0
n xn−1 −x−2 ex 1/x ax log(a) 1 / x / log(a) cos(x) −sin(x) cos(x)−2 [= 1+tan(x)²] 1 / √(1−x2) −1 / √(1−x2) 1 / (1+x2) |
kx
x log(x) − x
|
|
Calcola "a mano", e controlla con WolframAlpha, il valore di
∫ (ex + x−2 +
x + 3) dx. |
Approfondimenti
Si noti che come integrale di 1/x si sono messe due espressioni: Errato, anche se spesso si trova scritto, è indicare l'integrale di 1/x con log |x| perché sottintenderebbe che una generica primitiva ha la forma log |x| + c con c unico per x positivi e negativi. WolframAlpha indica come integral 1/x dx solo log(x) ma svolge correttamente i calcoli di fronte, ad esempio, a integral 1/x dx from -3 to -2. |
Ricordiamo che oltre agli integrali su intervalli del tipo [a,b] abbiamo considerato integrali su gli altri tipi di intervalli, eventualmente "bucati". Integrali di questo genere vengono chiamati impropri. Richiamiamo e precisiamo il loro significato, illustrando anche il loro calcolo con R e con WolframAlpha.
∫ e−x dx = −e−x (+ costante); 0 ∫ ∞ e−x dx = lim u → ∞ 0 ∫ u e−x dx = lim u → ∞ (−e−u + e0) = 0+1 = 1
f <- function(x) exp(−x); integral(f,0,Inf) # o: integrate(f,0,Inf)$value
# 1 int exp(-x) dx, x=0..Inf
L'antiderivata di g: x → 1/√(2π)·e−x²
non è una funzione elementare, ma sappiamo che
−∞ ∫ ∞ g =
lim u → −∞ u ∫ 0 g +
lim u → ∞ 0 ∫ u g =
1/2 + 1/2 = 1
g = function(x) dnorm(x,mean=0,sd=1); integral(g,-Inf,Inf)
# 1 int 1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2) dx, x=-Inf..Inf
∫ 1/√x dx = 2√x (+ costante); 0 ∫ 5 1/√x dx = lim u → 0 u ∫ 5 1/√x dx = lim u → 0 (2√5 + 2√u) = 2√5
h = function(x) 1/sqrt(x); integral(h,0,5)
# 4.472136 int 1/sqrt(x) dx, x=0..5
q: x →
1/√|x| è una funzione dal grafico simmetrico rispetto all'asse y. Quindi:
−5 ∫ 5 1/√|x| dx =
2 0 ∫ 5 1/√x dx =
2·2√5 = 4√5
q = function(x) 1/sqrt(abs(x)); integral(q,-5,0)+integral(q,0,5)
# 8.944272 int 1/sqrt(sqrt(x^2)) dx, x=-5..5
Ovviamente non tutti gli integrali impropri "convergono". Ad esempio il grafico delle funzione
Note.
•
Se derivo o integro una funzione polinomiale ottengo ancora una funzione polinomiale.
Ad es. se
•
Di fronte a una funzione espressa mediante una formula usuale siamo sempre in grado di esprimerne mediante
una formula la derivata e l'integrale? Dobbiamo precisare che cosa intendiamo per "formula usuale":
se chiamiamo funzioni elementari le funzioni ottenibili mediante successive composizioni di funzioni polinomiali,
di elevamento a potenza, esponenziali, logaritmiche, circolari e circolari inverse, la risposta è positiva per la derivazione
(abbiamo visto tutti i procedimenti per derivare una funzione elementare ottenendo una funzione elementare), ma è
negativa per l'integrazione.
Ad es. so che
d (1/√(x4+1) / dx = −2x3/√((x4+1)3); infatti
la composizione di x → u =
Ovviamente ciò non toglie che integrali definiti di questo tipo siano calcolabili numericamente con ad esempio il metodo visto nella scheda di avvio allo studio degli integrali o con R. Gli integrali indefiniti possono essere espressi impiegando funzioni non "elementari", come puoi osservare provando ad usare per il caso precedente WolframAlpha.
•
Si definiscono altri concetti: funzione razionale, funzione algebrica e funzione trascendente. Se sei interessato,
per approfondimenti su questi argomenti vedi qui.
L'aggettivo trascendente è usato, in matematica, anche con altro significato: per indicare
un numero (reale o complesso) che non sia soluzione di alcuna
equazione polinomiale a coefficienti interi.
Si può provare che π e che e, oltre ad essere irrazionali,
sono trascendenti. Le dimostrazioni sono recenti, rispettivamente
del 1882 e del 1873. Tuttora vi sono molti numeri che si sanno esprimere mediante gli
usuali simboli funzionali per i quali non si sa se siano trascendenti o no.
6. Tecniche di integrazione
In questa voce vedremo alcuni "trucchi" per trovare, in molti casi, l'integrale di una funzione data.
Integrazione per sostituzione
Questo è il più importante metodo di integrazione. Esso si basa sulla regola della derivazione delle funzioni composte. Partiamo da un esempio abbastanza semplice:
∫ sin(3x) dx
posso affrontarlo con la sostituzione t = 3x, da cui cui dt/dx = 3, dx = dt/3:
∫ sin(3x) dx = 1/3·∫ sin(t) dt
1/3·∫ sin(t) dt = −cos(t)/3
∫ sin(3x) dx = −cos(3x)/3 (+ c)
Un altro esempio:
∫ 2x(x2−1)4 dx
posso affrontarlo con la sostituzione u = x2−1, du/dx =2, du = 2x dx:
∫ 2x(x2−1)4 dx = ∫ u4 du
∫ u4 du = u5/5
∫ 2x(x2−1)4 dx = =
Posso controllare la soluzione con WolframAlpha digitando integral 2*x*(x^2-1)^4 dx.
In generale,
∫ f(g(x)) g'(x) dx
si affronta ponendo u = g(x),
Non è facile individuare la sostituzione da effettuare. Occorre, poi, stare attenti nei casi in cui siano presenti discontinuità. Puoi vedere al riguardo alcuni esempi negli esercizi. Negli esercizi trovi anche esempi di applicazione di altri metodi che si basano sulla tecnica di "sostituzione".
Facciamo un esempio di integrale definito: ∫ [0,1] sin(3x) dx.
Trovato, come visto sopra, che ∫sin(3x) dx = −cos(3x)/3, faccio:
∫ [0, 1] sin(3x) dx = −cos(3·1)/3 − (−cos(3·0)/3)
= −cos(3)/3 + 1/3
Abbiamo potuto procedere così in quanto non sono presenti discontinuità.
Integrazione per parti
Questo "trucco" si basa su una riscrittura della regola della derivazione del prodotto.
Qualche esempio.
∫ x ex dx
Idea: è il prodotto di due termini, x ed ex, dei quali
il primo ha una derivata più semplice
il secondo è facile interpretarlo come la derivata di un altro termine
∫ x ex dx = ∫ x Dx(ex) dx =
x ex − ∫ Dx(x) ex dx =
x ex − ∫ ex dx =
x ex − ex (+ c)
∫ x² ex dx
Idea: è simile al precedente con il primo termine, x², che
ha come derivata
∫ x² ex dx = ∫ x² Dx(ex) dx =
x² ex − ∫ Dx(x²) ex dx =
x² ex − 2 ∫ x ex dx = (*)
∫ x ex dx = x ex − ex
(*) =
x² ex − 2(x ex − ex)
=
ex (x² − 2x + 2) (+ c)
Posso controllare l'esito con WolframAlpha battendo integral x^2*exp(x) dx
∫ log(x) dx
Idea: immagino la presenza di un fattore "·1" da interpretare come D(f):
∫ 1·log(x) dx = ∫ Dx(x)·log(x) dx =
∫ log(x) dx =
Ecco un esempio di integrazione per parti di un integrale definito.
Non faccio altro che calcolare l'integrale indefinito (cosa che in questo
caso abbiamo appena fatto) e poi procedere nel modo usuale:
∫ [1, 2.5] log =
[x·log(x)−x]x=2.5 − [x·log(x)−x]x=1 =
2.5·log(2.5)−2.5 − 1·log(1)+1 = 2.5·log(2.5) = 0.7907268.
Posso controllare l'esito con R: con integral(log,1,2.5) ottengo lo
stesso valore.
7. Esercizi
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1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: derivata di una funzione (§2), regola de L'Hopital (§3), flesso (§4), asintoto (§4), integrazione definita (§5), funzione elementare (§5), integrazione per sostituzione (§6), integrazione per parti (§6) 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |