I numeri complessi
1. Richiami
2. Dai vettori ai numeri complessi
3. Le operazioni tra numeri complessi
4. Le coordinate polari
5. Numeri complessi e trasformazioni geometriche
6. Polinomi rispetto a una variabile complessa
7. Le radici dell'unità
8. Esercizi
Sintesi
1. Richiami
Abbiamo visto, studiando le funzioni polinomiali, che se con WolframAlpha fattorizzo il polinomio 2/3 + 2 x − x2 + √3 x3 + 7 x4 ottengo:
factor 2/3+2*x-x^2+sqrt(3)*x^3+7*x^4
7(x+0.294221)(x+0.732581)(x-(0.389683+0.53852i))(x-(0.389683-0.53852i))
Abbiamo anche visto che con R [caricato source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")] posso risolvere l'equazione polinomiale ottenuta eguagliando a 0 il termine precedente: P = c(2/3, 2, -1, sqrt(3), 7); solpol(P) Invece col comando polyroot (che sta per "radici del polinomio") ottengo: polyroot(c(2/3, 2, -1, sqrt(3), 7)) Se con R traccio il grafico di F con F(x) uguale a tale polinomio ottengo il grafico a fianco, che evidenzia che le soluzioni di F(x)=0 sono -0.294 e -0.732 . |
Sia da R, usando polyroot, che da WolframAlpha i numeri vengono scritti come "numeri complessi", che hanno la forma
Lo "strano" prodotto
(x-(0.389683+0.53852i))(x-(0.389683-0.53852i))
ottenuto con factor potrei metterlo nella finestra di input di WolframAlpha e ottenere che esso equivale a
x^2-0.779366 x+0.441857
ossia che, senza ricorrere ai "numeri complessi", il polinomio può essere fattorizzato in
(x+0.294221)(x+0.732581)(x^2-0.779366 x+0.441857).
Ma che cos'è questo i che compare? Che ruolo ha in matematica? In questa scheda daremo una risposta a queste domande. Ad un primo livello ci si può fermare al paragrafo seguente e al successivo. Gli altri paragrafi, dal 4 al 6, sono da intendere come approfondimenti per alcuni tipi di scuole.
2. Dai vettori ai numeri complessi
Abbiamo introdotto l'uso delle coppie di numeri per descrivere traslazioni
(vedi qui la scheda La matematica e lo spazio - 1
o la voce Vettori negli Oggetti matematici),
dopo che le avevamo già impiegate per descrivere punti dello spazio bidimensionale (piano cartesiano). Abbiamo introdotto anche una operazione di addizione tra tali coppie, per rappresentare la composizione di due traslazioni. Abbiamo poi introdotto la differenza tra coppie di numeri: le figure seguenti ricordano come la differenza
La traslazione di una figura con passi Δx = 3, Δy = 2 può essere descritta come la applicazione della funzione
il pesce della figura (A) seguente diventa il pesce di (B) mediante una rotazione di 90° (π/2) descrivibile come
il pesce (A) diventa il pesce (C) mediante una rotazione di 180° (π) descrivibile come
il pesce (A) diventa il pesce (D) mediante una rotazione di 270° (3π/2), o 90°, descrivibile come
come si trasforma il vertice della prima pinna superiore
Abbiamo considerato anche le simmetrie rispetto all'asse x e all'asse y e le trasformazioni di scala, come quella raffigurata a lato: si è ottenuto il pesce (E) mediante una trasformazione di scala monometrica (od omotetia di centro O) di fattore 2 descrivibile come Per semplificare la descrizione sia dei punti che delle trasformazioni geometriche (evitando l'uso delle parentesi e delle virgole) e, come vedremo, per trovare un modo semplice per descrivere anche le rotazioni di ampiezza diversa rispetto ai multipli di 90°, si introduce il seguente "trucco", che descriviamo riferendoci alla figura sotto a destra: |
i, in quanto simbolo di costante "inventato", che non corrisponde a un usuale numero, viene chiamato unità immaginaria, e le espressioni del tipo L'espressione "numeri reali" è stata introdotta dopo l'invenzione dell'uso di i, per precisare che si tratta di numeri usuali in cui non compare l'unità immaginaria. Quando si usano rappresentazioni grafiche come quelle illustrate sopra e a sinistra, gli assi delle ascisse e delle ordinate vengono chiamati anche asse reale e asse immaginario. E, dato il numero complesso, |
Sopra sono rappresentati vari numeri complessi. Tra questi vi è anche un numero con parte reale nulla (2i, rappresentato da un vettore verticale) e uno con parte immaginaria nulla (1, rappresentato da un vettore orizzontale), ossia un numero complesso che è anche un numero reale. Con le convenzioni usuali, 22i sta per 2+(2)i, ossia ha 2 come parte immaginaria. |
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3. Le operazioni tra numeri complessi
L'insieme dei numeri complessi viene indicato con C.
Ad esso posso estendere l'addizione e la moltiplicazione di R in modo che si mantengano
molte delle loro proprietà, come la possibilità di riordinare somme e prodotti e la proprietà distributiva.
L'addizione non è altro che quella tra vettori:
(4 + 6 i) + (2 + 3 i) = 4+2 + (6i+3i) = 6 + 9i.
Per trasformare 6 i + 3 i in 9 i ho fatto: 6 i + 3 i = 6(0,1) + 3(0,1) = (0,6) + (0,3) = (0+0, 6+3) = (0,9) = 9 i.
Effettuando la moltiplicazione tra due generici numeri complessi in modo che valga la proprietà distributiva ho, ad es.:
(7 + 10 i) · (4 + 3 i) = 7·4 + 10·4 i + 7·3 i + 10·3 i·i = 28 + 61 i + 30 i·i.
Per completare il calcolo trasformando il risultato in una espressione del tipo x+iy devo stabilire quanto fa i·i. | Provo a interpretare geometricamente la moltiplicazione per i: |
1 per i so che fa i; quindi il "vettore 1" è stato ruotato di 90° | |
1 per i so che fa i; quindi il "vettore 1" è stato ruotato di 90° | |
Definisco in modo analogo "i per i": i, ossia (0,1), ruotato di 90° diventa
il vettore |
z → z + (4+3i), in quanto (x+iy)+(4+3i) = x+4+(y+3)i, trasforma ogni punto (x,y) in (x+4,y+3): è la traslazione di vettore (4,3) che trasforma il quadrato F nel quadrato F1; z → z · (4+3i) trasforma i punti del segmento OA nei punti del segmento OP; infatti O = 0+0i rimane invariato, A = 1+0i diventa 4+3i, ossia P; il punto medio di OA, ossia 0.5+0i, diventa 4/2+3/2i, cioè (4/2,3/2) che è il punto medio di OP, e così via. Facendo i calcoli in generale si ottiene: z · (4+3i) = (4x3y) + (4y+3x)i; quindi B = (1,1) diventa Q = (1,7), C = (0,1) diventa R = (3,4); è facile verificare che il poligono OPQR è un quadrato: è il quadrato F2 che si ottiene da F mediante la stessa rotazione attorno ad O e la stessa omotetia (trasformazione di scala monometrica) che trasformano il versore OA dell'asse reale (il numero 1) nel vettore OP (il numero 4+3i). Qui trovi come verificare ciò con R. |
In sintesi, addizioni e moltiplicazioni tra numeri complessi si eseguono operando sulle espressioni che li rappresentano come si fa tra i numeri reali, a patto di operare la sostituzione di i² con 1. E si ha che l'addizione di a+ib a x+iy trasla il vettore (x,y) con passi Δx=a e Δy=b e la moltiplicazione di x+iy per a+ib trasforma (x,y) con la stessa "roto-omotetia" che trasforma il vettore (1,0) in (a,b): alla direzione di (x,y) viene addizionata la direzione di (a,b), il modulo di (x,y) viene moltiplicato per il modulo di (a,b).
Viene chiamato modulo di a+ib, e indicato |a+ib|,
il modulo del vettore (a,b), ossia
√(a²+b²). Ad es. |4+3i| =
La direzione del vettore (a,b) viene invece chiamata anomalia o argomento di a+ib .
Ad es. l'argomento di 4+3i è la direzione del vettore (4,3), ossia la direzione compresa tra 0° e 90° che ha come pendenza 3/4 = 0.75;
per trovarne il valore posso usare ad es. una calcolatrice
(0.75 fornisce
0.64350
= 36.869
°) o del software (ad es. con R ottengo:
Osserviamo che, se z è reale, |z|
inteso come valore assoluto e inteso come modulo coincidono in quanto
Come si possono effettuare i calcoli precedenti con R:
(4+6i)+(2+3i); (7+10i)*(4+3i) 6+9i 2+61i z <- 4+3i; Re(z); Im(z); Mod(z) 4 3 5 Arg(z); paste0(Arg(z)/pi*180,"°") 0.6435011 36.869897645844° |
Per calcolare le divisioni tra numeri complessi basta che stabiliamo, dato z = x+iy, quanto vale
il reciproco 1/z. Infatti la divisione per z la possiamo interpretare come una moltiplicazione per 1/z.
Dobbiamo, dunque, trovare a+ib tale che (a+ib)(x+iy)=1, ossia tale che:
axby + i(ay+bx) = 1, ossia: axby=1 & ay+bx=0
È un sistema di equazioni con incognite a e b che posso risolvere ad es. così:
a=bx/y & (bx2/yby)=1 a=bx/y &
b(x2+y2)/y=1
b=y/(x2+y2) & a=x/(x2+y2)
Quindi:
1/z = 1/(x+iy) = (xiy)/(x2+y2).
Un modo più veloce (basato su
) per ottenere lo stesso risultato è il seguente:
1 | xiy | xiy | xiy | |||
| = | | = | | = | |
x+iy | (x+iy)(xiy) | x² i²y² | x² + y² |
Esempio: calcolo di (2 + 61 i) / (4 + 3 i). Potremmo usare la "formula" vista sopra, ma procediamo direttamente:
2 + 61 i | = | (2 + 61 i)(4 3 i) | = | 175 + 250 i | = 7 + 10 i |
| | | |||
4 + 3 i | (4 + 3 i)(4 3 i) | 42 + 32 |
La divisione con R: (2+61i)/(4+3i) 7+10i
|
Calcola a mano, sviluppando i passaggi, quanto vale (3 + 4 i) / (2 + 3 i). Controlla il risultato con R (battendo il
comando seguente) e con WolframAlpha. z = (-3+4i)/(2+3i); z; fraction( c( Re(z),Im(z) ) ) |
4. Le coordinate polari
Un vettore può essere individuato indicandone le componenti oppure indicandone direzione e modulo. Analogamente un numero complesso può essere individuato indicandone le parti reali e immaginaria oppure indicandone argomento e modulo. E tutto ciò è analogo alla possibilità di individuare un punto del piano mediante le sue coordinate cartesiane oppure mediante le sue coordinate polari (vedi qui la scheda La matematica e lo spazio - 2 o la voce Lo spazio negli Oggetti matematici). Queste sono comode, oltre che per rappresentare fenomeni, per descrivere figure.
Ad es., usando ρ (lettera greca "ro") e θ (lettera greca "teta") per rappresentare rispettivamente la distanza da O e la direzione, il disco forato (corona circolare) illustrato a fianco,
che in coordinate cartesiane è rappresentabile con ρ varia sui numeri reali non negativi, mentre θ varia su tutti i numeri reali. |
|
Naturalmente due numeri θ1 e θ2 che differiscono di 2π (360°)
sono da intendersi diversi come numeri ma uguali come direzioni
(come visto qui nella scheda La matematica e lo spazio - 2). Le coordinate polari ρ e θ vengono chiamate spesso, rispettivamente, raggio vettore e anomalia (come viene spesso chiamato anche l'argomento del corrispondente numero complesso). L'origine del sistema di riferimento viene chiamata polo. Il termine anomalia deriva dall'aggettivo "anomalo" (strano, irregolare). Infatti tra i primi usi delle coordinate polari vi fu quello della descrizione del moto dei pianeti intorno al sole e la scoperta che la direzione del vettore Sole-Pianeta (ossia della anomalia) non variasse proporzionalmente al tempo (i pianeti descrivono un'orbita ellittica e "ruotano" più velocemente quando sono vicini al sole) era stata considerata una cosa "strana" rispetto all'idea allora predominante che i pianeti ruotassero attorno al sole in modo uniforme (ossia con il vettore Sole-Pianeta che varia direzione proporzionalmente al tempo). |
Se indichiamo con x, y, ρ, θ e con xn, yn, ρn, θn rispettivamente le parti reale e immaginaria, il modulo e l'argomento del numeri complessi z e zn, possiamo scrivere:
se z = z1· z2,
se z = 1 / z1,
se z = z1/ z2,
Naturalmente, ρ = |z|. Se la direzione di z viene espressa con un numero θ tale che 0≤θ<2π, tale numero viene indicato con
A lato è illustrato come le
funzioni circolari mettono in relazione parti reale e immaginaria (coordinate cartesiane) con modulo ed argomento (coordinate polari). |
x=ρcos(θ) y=ρsin(θ) ρ=√(x2+y2)
|
nel caso di 2+5i (figura A), ρ = √(4+25) = √29 = 5.3851
, θ =
nel caso di 3+2i (figura B), ρ = √(9+4) = √13 = 5.3851
, θ0 =
Se x = 0, non posso calcolare arctan(y/x). Ovviamente ho: θ = π/2 quando y > 0,
θ = 3π/2 (o
I calcoli effettuati con R:
z = 2+5i; Mod(z); Arg(z); Arg(z)/pi*180 5.385165 1.19029 68.19859 z = 3+2i; Mod(z); Arg(z); Arg(z)/pi*180 3.605551 2.55359 146.3099 z = 0+2i; Mod(z); Arg(z); Arg(z)/pi*180 2 1.570796 90 z = 02i; Mod(z); Arg(z); Arg(z)/pi*180 2 1.570796 90 |
Nota. La parte "arco" della parola arcotangente deriva dal fatto che
direzioni e angoli sono "quantificati" interpretandoli come lunghezze di archi di cerchio.
In modo simile sono chiamate le funzioni inverse di seno e coseno ("arcoseno", "arcocoseno").
5. Numeri complessi e trasformazioni geometriche
L'uso dei numeri complessi consente di descrivere in modo compatto diversi tipi di figure.
Ad esempio il cerchio di centro C = (3,1) e raggio 2 può essere descritto dalla equazione |
Si è visto (in §2) che le trasformazioni geometriche tra figure piane possono essere descritte invece
che come funzioni A sinistra è illustrata la trasformazione del rettangolo A mediante una funzione F ottenuta componendo |
|
Dato z = x+iy, si pone = xiy. È il numero che si ottiene cambiando segno alla parte immaginaria di z;
viene chiamato il coniugato di z. Geometricamente, Invece z → z = xiy è la simmetria rispetto a (0,0) (in forma polare è: ρ' = ρ, θ' = θ+180°).. Le rotazioni attorno ad O sono un caso particolare delle trasformazioni richiamate sopra, prima del quesito 3: sono descrivibili come funzioni |
|
Usando le coordinate cartesiane questa trasformazione diventa: (x, y) → (x·cos(α)y·sin(α), x·sin(α)+y·cos(α)), infatti:
z · (cos(α) + i sin(α)) = (x+iy)(cos(α)+isin(α)) =
Non è una formula da imparare a memoria: la si ricava facilmente nel modo appena illustrato. |
|
Sotto è esemplificata l'azione di z → z²: viene raddoppiato "θ" e viene elevato al quadrato "ρ", per cui ogni semicerchio centrato in O sopra all'asse x viene trasformato nel cerchio centrato in O con raggio elevato al quadrato, e lo stesso accade per il semicerchio simmetrico che sta sotto all'asse x. [vedi qui e qui]
Ad es. il punto (0,2), ossia 0+2i, viene trasformato nel punto (4,0), ossia
Geometricamente (vedi figura (A) sotto) possiamo interpretare anche il fatto noto che non solo 1 ma anche 1
elevato al quadrato fa 1 (1 ha θ=180°, per cui moltiplicare per 1 equivale a ruotare di 180°, e quindi 1 per sé
stesso diventa 1). In (B) è invece illustrato che sia i che i al quadrato fanno 1
(i ha direzione 90°, il suo doppio è 180°, che è la direzione di 1; i ha direzione
90° il cui doppio è 180°, che è un altro modo di esprimere la direzione di 180°).
La figura (C) illustra in un modo alternativo che i al quadrato fa 1 (la direzione di i posso indicarla con
270° il cui doppio è 540° che, come si è già osservato, equivale a 180°).
Più in generale ogni punto e il suo simmetrico rispetto ad O sono trasformati da z → z² nello stesso punto.
| I punti (1,0), (−1,0) e (0,−2) in che punti sono trasformati da z → z²? |
Come nel caso in cui x sia un numero reale positivo con √x (radice quadrata di x) si
indica uno dei due numeri (quello positivo) che al quadrato fanno x, così, più in generale, se z è un numero complesso,
con √z si indica uno dei numeri complessi che al quadrato fanno z, e precisamente quello con direzione in
E, per esempio, come
√(3/4) = √(3/4·(1)) =
√(3/4)·√(1) =
Posso, invece, dire che z² = 3/4 ha come soluzioni entrambi i numeri,
ossia |
Nella figura a sinistra si vede come una particolare funzione a input e output complessi
trasforma un reticolato: si vede che cambia la forma ma che le linee tra loro perpendicolari si mantengono perpendicolari
[vedi qui o qui
].
Quella di mantenere gli angoli con cui si incontrano le linee è una caratteristica delle trasformazioni descrivibili
come Si può intuire come questo tipo di trasformazioni (chiamate "conformi", in quanto conservano la forma degli incroci) possano essere utili per studiare come cambia il flusso di un fluido al cambiare della forma di un canale, per studiare questioni di aerodinamica e altri fenomeni di tipo fisico: una situazione in cui il comportamento di una grandezza vettoriale (una velocità, una forza, ) varia lungo certe linee può essere ricondotta ad una in cui le linee lungo cui agisce la grandezza siano più facili da rappresentare e, quindi, consentano di semplificare lo studio matematico del problema. |
A destra è si vede come T: z → z² + z + 1
trasforma il cerchio di raggio 1 centrato nell'origine in una curva che forma un
nodo in O. In particolare il semicerchio rosso viene trasformato nella parte di curva blu, quello
marrone nella parte di curva nera.
Il punto a=(1,0) viene trasformato in (3,0), b=(0,1) e c=(0,−1) vengono trasformati in sé stessi,
d=(−1,0) viene trasformato in (1,0). Negli archi tra b e d e tra c e d
vi devono essere due punti (evidenziati in giallo) che vengono trasformati in (0,0), ossia nel nodo.
Questi due punti rappresentano i due numeri complessi z tali che |
6. Polinomi rispetto a una variabile complessa
Quando per descrivere il piano invece delle coordinate cartesiane si usano i numeri complessi si parla di piano di Argand, dal nome del matematico francese che, verso la fine del XIX sec., ha avuto l'idea di usare i numeri complessi per descrivere figure e trasformazioni geometriche, e, in particolare, di rappresentare le rotazioni di 90° come moltiplicazioni per i.
Ma i numeri complessi sono stati "inventati" nel XVI sec. come "trucco" per risolvere alcune equazioni polinomiali di 3° grado. Il procedimento è stato descritto in quegli anni dall'italiano Gerolamo Cardano, anche se probabilmente non è stato lui ad avere l'idea iniziale. Il termine numeri immaginari fu introdotto (circa 100 anni dopo) da Cartesio, e il simbolo i fu introdotto (dopo circa altri 100 anni) da Eulero (prima si usavano altri nomi e altre notazioni).
Si era trovato (nel 16º secolo)
che un'equazione del tipo x³ + p x + q = 0
ha come soluzione rispetto ad x il numero
Ad esempio per
x³ + 6 x 2 = 0
si trova
R = √(2³+1²) = √9 = 3
da cui
x =
Ma per
x³ 15 x 4 = 0
si trova
R = √(5³+2²) = √(121), che non sarebbe definito,
mentre si sa che una soluzione ci deve essere (le funzioni polinomiali di 3° grado assumono valori sia positivi che negativi quindi
ci si aspetta che assumano anche il valore 0). Si è allora provato a inventare i per indicare
x = ³√(2 + 11i) − ³√(2 11i) = 2+i 2i = 4 che è effettivamente una soluzione della nostra equazione. |
Dunque, i numeri complessi sono stati introdotti come "numeri fittizi" per potere estendere l'uso delle formule
risolutive di alcune equazioni polinomiali e trovare i numeri reali che le risolvono. Non c'era, invece, alcun interesse a trovare
i numeri complessi che risolvono una equazione, interesse che è nato, invece, con gli usi dei numeri complessi descritti nei paragrafi precedenti,
in cui si è avuto a che fare con equazioni polinomiali di variabile complessa, come la equazione
|
L'equazione in z z²−i = 0 può essere risolta in R e in WolframAlpha
nei seguenti modi:
Risolvi poi, con entrambi i software, le seguenti equazioni rispetto a z, e verificane le soluzioni "a mano": |
Abbiamo visto come sia facile, usando il software, scomporre un polinomio di grado n in n polinomi di primo grado.
Di fronte a z4 − 3iz3 − 3z2 + iz
ecco che cosa possiamo ottenere, ad esempio, con R e con WolframAlpha:
polyroot( c(0, 1i, -3, -3i, 1) ) 0+0i 0+1i 0+1i 0+1i factor z^4-3*i*z^3-3*z^2+i*z = 0 z (z-i)^3
Trovo che il polinomio è fattorizzabile in z·(z−i)³ ovvero che le sue radici sono 0 e i, dove i viene scritta da R tre volte per ricordare che si tratta di una radice tripla, ossia che è la soluzione del prodotto di tre equazioni che hanno i come soluzione.
In realtà giustificare teoricamente, in generale, la scomponibilità di un polinomio di grado maggiore di 1 nel prodotto di polinomi di primo grado non è semplice. La cosa può essere provata ma la dimostrazione non è semplice. Nel seguente riquadro trovi qualche approfondimento.
Questo è il motivo per cui i programmi che svolgono calcoli simbolici in genere svolgono le loro manipolazioni operando nei numeri complessi: in tale ambito è possibile fattorizzare i polinomi e, quindi, è più facile semplificare un'espressione complessa contenente termini polinomiali.
Ciò, tuttavia, crea anche dei problemi. Infatti può accadere che una semplificazione eseguita
nell'ambito dei numeri complessi conduca a un termine che non è equivalente nell'ambito dei numeri reali.
Ecco, sotto, un esempio di funzione, g: x → x−1+√(4x)/√x di cui viene
tracciato il grafico anche in
E se chiedo al programma di risolvere l'equazione WolframAlpha e, soprattutto, R si comportano meglio di gran parte dell'altro software. |
Ad esempio WolframAlpha con plot y=x-1+sqrt(4*x)/sqrt(x) dà
il grafico anche per x negativo, ma con plot y=x-1+sqrt(4*x)/sqrt(x), 0 < x <= 10 ottengo
il grafico corretto. Per ottenere il garfico su un rettangolo cartesiano che comprenda ascisse non appartenenti al dominio posso usare il seguente
trucco (in cui aggiungo un termine 1/q con q che si azzera al di fuori del dominio):
plot y=x-1+
Anche per la soluzione di x−1+√(4x)/√x = 0 devo aggiungere le condizioni sul
dominio di x: solve x-1+
L'applicazione R, invece, se eseguo:
f = function(x) x-1+sqrt(4*x)/sqrt(x);
Plane(-2,2, -1,3); graph(f,-2,2, "blue")
traccia il grafico correttamente, solo per gli input positivi. Solo se specifico che gli input
sono numeri complessi ottengo il grafico anche per gli input negativi:
g = function(x) f(x+0i); graph1(g, -2,2, "brown")
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7. Le radici dell'unità
È interessante osservare che le soluzioni di A lato è illustrato il caso |
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Ecco come realizzare l'immagine a fianco e come svolgere i calcoli con R.
Ricordiamo che |
sol = polyroot(c(-1,0,0,0,0,1)); sol
# 0.309017+ 0 .9510565i -0.809017+ 0 .5877853i -0.809017-0.5877853i
# 1.000000+0.0000000i 0.309017-0.9510565i
sol = polyroot(c(-1,0,0,0,0,1)); sol
PLANE(-1,1, -1,1)
circl(0,0, 1, "brown")
POINT(Re(sol),Im(sol),c("red","blue","brown","magenta","seagreen"))
P = c(sol[4],sol[1],sol[2],sol[3],sol[5],sol[4])
polyl(Re(P),Im(P),"black")
coldash = "red"; for(i in 1:5) line(0,0, Re(sol[i]),Im(sol[i]),0)
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8. Esercizi
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1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: modulo (§2), argomento (§3), argomento principale (§4), coniugato (§5), piano di Argand (§6), teorema fondamentale dell'algebra (§6) 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |