Le coniche

  1. Richiami
  2. Le sezioni di un cono
  3. Le equazioni polinomiali delle coniche
  4. Le parabole
  5. Le ellissi
  6. Le iperboli
  7. Approfondimenti
  8. Esercizi
Sintesi

1. Richiami

    Sotto a sinistra è rappresentato il cerchio di centro (4,3) e di raggio 4, che, come sappiamo, posso descrivere con l'equazione  {P : d(P, (4,3)) = 4}, ovvero  {(x,y) : (x−4)²+(y−3)² = 16}.
    Tutti i cerchi sono ottenibili anche dal cerchio di centro (0,0) e raggio 1, che ha equazione x²+y²= 1, mediante similitudini, cioè componendo trasformazioni di scala monometriche e movimenti piani.  Ad es. il cerchio precedente posso ottenerlo trasformando il cerchio di centro (0,0) e raggio 1 (α nella figura sotto al centro) mediante la similitudine ottenuta componendo la trasformazione di scala (monometrica) con moltiplicatore 4 (α → β) e la traslazione T4,3 (β → γ).

    Invece le figure ottenibili dal cerchio x²+y²= 1 componendo trasformazioni di scala anche non monometriche e movimenti piani vengono chiamate ellissi.  L'ellisse γ raffigurata sopra a destra è ottenibile dal cerchio α componendo la trasformazione di scala (x,y) → (8x,4y) e un movimento piano (rotazione di −30° attorno a (0,0) e traslazione di passi Δx=4 e Δy=3).

    Le figure di equazione y = a x² (a numero reale diverso da 0) e tutte quelle ottenibili da esse mediante movimenti piani e trasformazioni di scala anche non monometriche vengono chiamate parabole.  Sotto a sinistra è raffigurata la parabola di equazione y = x², quella ottenuta da essa mediante la rotazione di 30° attorno a (0,0) e la traslazione di passi Δx=−4 e Δy=2, e quella ottenuta con la rotazione di 60° attorno a (0,0), la traslazione di passi Δx=−2 e Δy=2 e la trasformazione di scala (x,y) → (1.5·x, 2.5·y)

    Le figure di equazione y = a / x  (a numero reale diverso da 0) e tutte quelle ottenibili da esse mediante movimenti piani e trasformazioni di scala anche non monometriche vengono chiamate iperboli.  Sopra al centro è raffigurata l'iperbole di equazione y=1/x e quella ottenuta da essa mediante la rotazione di 90° attorno a (0,0) e la traslazione di passi Δx=3 e Δy=2.  A destra è raffigurata l'iperbole equilatera α ottenuta ruotando di 45° l'iperbole y=1/x e l'iperbole (non equilatera) β ottenuta applicando anche una moltiplicazione per 75% delle y.  Qui, se vuoi, puoi trovare come realizzare le precedenti immagini.

 1 
   Che cosa rappresentano nel piano x,y le equazioni seguenti (per rispondere, tracciane il grafico col computer):
      x²+y²−2yx+2y+2x+1 = 0       x²−y²+x−y = 0
      x²−xy+y²/3 = 1                   x²−4xy+y²/3 = 1
 

    Come vedremo meglio fra poco, tutte le coniche sono descrivibili nel piano x,y come grafici di particolari equazioni polinomiali di 2º grado in x ed y.  Ma ciò che le accomuna particolarmente è il fatto, a cui abbiamo già accennato ( La prospettiva), che le rappresentazioni prospettiche non permettono di distinguere una parabola da una ellisse o da un'iperbole. Abbiamo ad esempio osservato (vedi l'illustrazione seguente) come la parabola y = (x−5)² nel piano xy osservata da diversi punti di vista possa sembrare un'ellisse: nel caso (C), con un punto di vista inclinato 90° rispetto al piano xy, appare come una parabola, negli altri, inclinati di 60° (B) e di 1° (A), appare come un'ellisse (le porzioni di assi tracciate sono lunghe 10).

2. Le sezioni di un cono

    Le apparenti stranezze dell'immagine precedente non dovrebbero stupire:  abbiamo già visto, ad esempio, che le rotaie di un binario collocato in un piano, pur essendo parallele e non incontrandosi mai, alla nostra vista appaiono convergere in un punto.
    Per capire meglio immaginiamo di tagliare un cono circolare retto (avente come asse di simmetria l'asse z) con un piano che abbia inclinazione rispetto al piano z = 0 maggiore, minore od uguale a quella delle generatrici del cono (ricordiamo che viene chiamata generatrice del cono una retta che passa per il vertice di esso e sta sulla superficie di esso; il suo nome deriva dal fatto che una sua rotazione attorno all'asse del cono genera il cono stesso).
    Nel primo caso ottengo un'iperbole, nel secondo un'ellisse, nel terzo una parabola.  Ma se guardo queste intersezioni dal vertice del cono, dirigendo lo sguardo come l'asse di rotazione, le vedo tutte circolari o, meglio, come un cerchio (l'ellisse) o un cerchio bucato (la parabola) o un arco di cerchio (l'iperbole).
  

    Il fatto che ellissi, iperboli e parabole possono essere ottenute dalla intersezione di un cono con un piano è all'origine del fatto che tali curve vengono chiamate, complessivamente, coniche.  Cliccando qui puoi studiare meglio il fenomeno.

    Ciò che abbiamo visto sopra può essere esaminato anche in altro modo: proiettando un fascio di luce conico su una superficie piana, al buio, posso vedere che, a seconda della inclinazione di questa, si ottiene una ellisse (o in particolare un cerchio), una parabola o un ramo di iperbole:

 2 
   Se taglio il cono con un piano passante per il vertice del cono stesso, che intersezioni ottengo al variare dell'inclinazione del piano?
 

3. Le equazioni polinomiali delle coniche

    Le coniche possono essere tutte ottenute, nel piano x,y, come grafico di una equazione polinomiale di 2° grado, ossia di un'equazione in x ed y del tipo  a·x² + b·x·y + c·y² + d·x + e·y + f = 0  (affinché sia di 2° grado occorre che a, b e c non siano tutti nulli).
    Un'equazione di questo genere ha alcuni casi "degeneri":
• casi in cui non ha "punti" (x,y) che la risolvono (ad es. x²+y²+1=0),
• o ha per soluzione solo un punto (ad es. x²+y²=0, soddisfatta solo se x=0 e y=0)
• o una retta (ad es. (x−y)²=0, soddisfatta solo se y=x)
• o una coppia di rette (ad es. x²−y²=0, soddisfatta solo se y=x o y=−x).
    Negli altri casi rappresenta un'ellisse, un'iperbole o una parabola.
    Si può dimostrare che la classificazione in queste tre categorie dipende solo dai valori di a, b e c. Vediamo la casistica:
se  b²−4ac = 0  è una parabola, se  b²−4ac > 0  è una iperbole, se  b²−4ac < 0  è una ellisse.

Naturalmente ciò non vale nei casi degeneri  (in cui le tre curve, in ordine, diventano una retta, come nel caso di x²+y²−2xy=0,  una coppia di rette, come nel caso di x²−y²=0,  o un punto o l'insieme vuoto, come nel caso di x²+y²=0 e di x²+y²+1=0).

    Ecco i grafici delle equazioni considerate nel quesito 1:
x²+y²−2yx+2y+2x+1 = 0x²−xy+y²/3 = 1x²−4xy+y²/3 = 1x²−y²+x−y = 0:

 3 
   Indicando con a·x² + b·x·y + c·y² + d·x + e·y + f = 0 una generica curva polinomiale di 2º grado, calcola b²−4ac per ogni curva considerata sopra.
 

4. Le parabole

    Conosciamo, ormai, abbastanza bene le parabole con asse di simmetria verticale, e conosciamo, di conseguenza, anche quelle con asse di simmetria orizzontale. Sappiamo individuarne il vertice, sappiamo che forma ha il loro grafico.  Ad esempio a destra è raffigurata la parabola y = −3x²+5x+2. Essendo il coefficiente direttivo negativo sappiamo che tende a −∞ per x che tende a ∞ e per x che tende a −∞. Il vertice ha come ascissa il valore in cui si annulla la derivata:  −6x+5=0 quando x = 5/6 = 0.8333….  La parabola x = −3y²+5y+2 è la stessa curva ribaltata rispetto alla bisettrice del primo quadrante, y=x. La ordinata del suo vertice è 5/6. La ascissa è −3(5/6)²+5·5/6+2 = 4.0833….  

    La figura seguente illustra alcuni impieghi delle parabole.  In (A) è illustrato il moto di un particolare proiettile:  c'è una componente orizzontale x(t), che suppongo avere velocità costante (essendo trascurabile l'attrito) pari a  x(t) = 120·t  (esprimendo lo spazio in metri e il tempo in secondi), e una componente verticale pari a  y(t) = 150·t−4.9·t².  Ricavando t in funzione di x posso ottenere che la traiettoria è la parabola  y = −x²/2940+5/4·x  (x ed y espressi in metri).  L'uso delle parabole per modellizzare il moto dei proiettili (e di tutti gli oggetti lanciati in aria), che dovresti già conoscere, risale circa al 1600, ed è essenzialmente dovuto a Galileo Galilei. Vediamo, ora, alcuni usi più antichi e più recenti.

    Risale a parecchi secoli avanti Cristo l'uso degli specchi con sezione parabolica per concentrare i raggi del sole in particolari punti. È la stessa idea - vedi (C) - che sta dietro a moderne forme per utilizzare l'energia solare o, viceversa, - vedi (B) - per trasformare la luce prodotta da una sorgente in un fascio di raggi paralleli.
    Ciò che sta dietro a questi usi è spiegabile facendo riferimento alla figura (D), in cui è rappresentata (in scala monometrica) la parabola y = x², alla quale posso ricondurre tutte le parabole (so infatti che le parabole, così come i cerchi e le iperboli equilatere, sono tutte simili tra loro - vedi la voce Figure 2 degli Oggetti Matematici):

consideriamo la parabola y = x² e una semiretta verticale non limitata superiormente che viene ad incidere sulla parabola;
sia u l'ascissa di tale retta; essa tocca la parabola nel punto (u, u²); la tangente in tale punto ha pendenza pari alla derivata della funzione, ossia a 2u;
consideriamo ad esempio u = 1/2; la tangente ha pendenza 1, ossia è inclinata di 45°; quindi la semiretta s1 viene "rimbalzata" nella semiretta di pendenza 0; essa incide la bisettrice della parabola nel punto di ordinata u² = 1/4, ossia nel punto F raffigurato;
nella figura si vede che anche nel caso u = −1 la semiretta s2 viene "rimbalzata" in una semiretta r che incontra la bisettrice della parabola nello stesso punto di ordinata 1/4; è facile verificare che le cose stanno effettivamente così:
la perpendicolare p ha pendenza 1/2 e direzione atan(1/2), s2 ha direzione π/2, l'angolo formato da esse, in gradi, è 90-atan(1/2)*180/pi = 63.43495 (arrotondamento); verifichiamo che è uguale l'angolo formato dalla semiretta che parte dal punto di incidenza e passa per F;  atan(1/2)*180/pi-atan(-3/4)*180/pi = 63.43495: OK.
 la cosa può essere provata qualunque sia u, ma evitiamo di esaminarne la dimostrazione.

    Il punto F viene chiamato fuoco della parabola. Il nome è dovuto al fatto che in esso si concentrano i raggi del sole proiettati da uno specchio parabolico con asse diretto come essi: con uno specchio parabolico è possibile appiccare il fuoco, appunto, nel "fuoco".

    Qual è il fuoco della parabola y = a·x²?
Essendo questa parabola simile a y = x², ed essendo la trasformata di essa mediante la scala 1/a  (y=3·x² sale più velocemente, ed ha il grafico ristretto ad 1/3 delle dimensioni originali), il suo fuoco ha ordinata  1/(4·a).

 4 
   Trova il fuoco della parabola y = −3x²+5x+2 considerata all'inizio del paragrafo.
 
 

        Vediamo un altro modo con cui posso descrivere le parabole:  una parabola è l'insieme dei punti equidistanti dal suo fuoco e dalla retta perpendicolare all'asse di simmetria della parabola tale che il vertice sia equidistante tra essa e il fuoco stesso.  Tale retta viene chiamata direttrice della parabola.  Riferendoci alla figura a lato  (in cui è rappresentata la parabola "standard", y = x²)  è l'insieme dei punti P tali che d(F,P) = d(P,d), se d è la direttrice.


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   Descrivi come, secondo te, funziona il dispositivo a fianco, in cui l'anello P descrive una parabola (qui puoi vedere un'animazione).
  

 6 
   Qual è l'equazione della parabola avente il punto (0,1) come fuoco e la retta y = −1 come direttrice?
    E quella della parabola avente il punto (1,0) come fuoco e la retta x = −1 come direttrice?
 

5. Le ellissi

    Le parabole hanno un unico asse di simmetria. Le ellissi ne hanno invece due, tranne i cerchi, che ne hanno infiniti: ogni retta passante per il centro.
    L'intersezione C degli assi di simmetria di una ellisse è anche il suo centro di simmetria: se P sta sulla ellisse ci sta anche il punto P' tale che C è il centro del segmento PP'.
    Ricordiamo che possiamo descrivere direttamente le ellissi in forma parametrica (vedi la scheda Funzioni circolari). Ecco sotto a sinistra l'ellisse x = -1+3·cos(t), y = 3+2·sin(t), al variare di t tra 0 e 2π.
  

       Sotto sono illustrate altre situazioni modellizzabili usando le ellissi.  In (A) è rappresentata la superficie di un liquido in un cilindro non in posizione verticale. Un aspetto simile ha un anello visto con lo sguardo non perpendicolare al piano in cui esso sta. A destra un'immagine che ricorda che il centro dell'anello non è al centro dell'ellisse, infatti la sua distanza dal bordo dell'anello a noi più lontano appare minore di quella dal bordo più vicino (vedi la scheda La prospettiva).   

    In (B) e in (C) sono richiamati altri impieghi.  In (B) è illustrato il tracciamento di una aiuola facendo scorrere un gesso lungo una corda di cui sono fissati i capi; i punti in cui sono fissati i capi vengono chiamati fuochi della ellisse. È evidente che è una generalizzazione del tracciamento di un cerchio, ottenuto quando i due capi sono collocati nello stesso punto; questo uso era già diffuso migliaia di anni fa.  In (C) un impiego successivo, noto da qualche centinaio d'anni: due persone poste nei fuochi dell'ellisse che dà forma al soffitto possono parlare sottovoce e sentirsi in quanto le onde sonore vengono riflesse da un fuoco all'altro (qui puoi vedere un'animazione).

    A destra viene ricordato un successivo impiego delle ellissi (dovuto a Keplero, agli inizi del XVII secolo):  la descrizione del movimento dei pianeti. I pianeti si muovono lungo un'ellisse con il sole collocato in uno dei due fuochi. Inoltre, fissato un intervallo di tempo t, la parte di piano spazzata nel tempo t dal segmento che congiunge il sole e il pianeta ha area costante, indipendentemente dalla posizione.   

  
 7 
   Completa i comandi seguenti in modo che diano luogo alla figura qui a sinistra.
source("http://macosa.dima.unige.it/R/curve.txt") 
boxm(-2,4,-1,5)
F1x <- -0.5; F1y <- 2; F2x <- 2.5; F2y <- 2; S <- 6
d <- function(x,y,u,v) sqrt((x-u)^2+(y-v)^2)
f <- function(x,y) d(x,y,F1x,F1y)+d(..,..,F2x,F2y)-S
curva(f,"red")
punto(.., "blue"); punto(.., "blue")

    Per generalizzare il concetto di raggio di un cerchio, nel caso di una ellisse non circolare si chiamano semiasse maggiore e semiasse minore le lunghezze dei segmenti che congiungono il centro dell'ellisse e l'ellisse stessa lungo, rispettivamente, la retta passante per i fuochi (3, nella figura a lato) e lungo la perpedicolare ad essa (2, nella figura).   

6. Le iperboli

    Le iperboli equilatere con asintoti orizzontali e verticali le abbiamo utilizzate per rappresentare graficamente molte funzioni che legano grandezze di vario genere (fisiche, economiche, geometriche, …). Ma si tratta di usi relativamente recenti. Prima l'uso principale delle iperboli era quello della costruzione delle meridiane: in un dato giorno il movimento che descrive la punta di un bastone o di un'asta metallica (o un altro oggetto a punta) fissata per terra o in un muro descrive una traiettoria iperbolica.
    La spiegazione di questo fenomeno è da collegarsi a quanto discusso nel 2: durante un giorno, a causa della rotazione della terra su sé stessa, i raggi di sole che passano per la punta dell'asta descrivono un cono e proiettano (sul terreno o sul muro) un'ombra la cui punta descrive una conica (l'intersezione del cono con la superficie del terreno o del muro). Alla nostra latitudine questa conica è un'iperbole (vedi la figura sotto a sinistra, in cui la meridiana segna le 3); vicino ai poli è un'ellisse.

    Sopra a destra è descritto un modo alternativo per tracciare una iperbole (qui puoi vederlo in un'animazione). L'asta ruota attorno a F1. Il punto P, che descrive la curva, è tale che se aumenta PF1 della stessa quantità diminuisce PF2, ossia la differenza tra PF1 e PF2 è costante. In questo modo, in realtà, è tracciato solo uno dei due rami dell'iperbole.

    Ecco destra il grafico dell'iperbole in cui i fuochi F1 e F2 sono (−√2,0) e (√2,0). Nel caso del punto P la differenza tra la distanza da F1 e quella da F2 è positiva. Nel caso di Q è invece negativa.  In entrambi i casi essa, in valore assoluto, è pari al valore che ha quando P sta sull'asse x, ossia a 2. Gli asintoti sono le bisettrici del 1º e del 2º quadrante.    
 8 
   (a) Verifica col computer che la curva precedente è il grafico di x²−y²=1.  (b) [facoltativo] Verifica, poi, (algebricamente) che questa equazione equivale a quella che esprime il fatto che  |d(P,F1)−d(P,F2)| = 2  [qui trovi un file per fare questa verifica graficamente con R]
 

       Come si fa a tracciare un'iperbole passante per un punto dato e avente due rette date come asintoti.  Come sappiamo, nel caso in cui gli asintoti siano le rette x=0 e y=0, descrivibili con l'equazione  x·y = 0, e il punto sia (3,1), basta considerare l'equazione x·y − 3·1 = 0. Infatti essa è vera per x=3 e y=1 e sia per x → ∞ che per y → ∞ il suo grafico tende a confondersi con la curva x·y = 0.  In modo analogo si procede in generale. Ad esempio un'iperbole avente per asintoti le rette x−1 = 0 e x+2y+1/2 = 0, posto g(x,y) = (x−1)·(x+2y+1/2), ha equazione  g(x,y) = k; affinché passi per (2,−2), ha equazione  g(x,y) = g(2,−2)  (qui trovi come realizzare la figura a lato con R).

    Anche per le iperboli, sempre con qualche analogia col concetto di raggio di un cerchio, si usa il termine semiasse maggiore. Esso indica la distanza dell'iperbole dal suo centro. A fianco è raffigurata un'iperbole con semiasse maggiore 1.4.     

7. Approfondimenti

    C'è un modo alternativo per descrivere le coniche, mediante un'unica rappresentazione in coordinate polari dipendente da un parametro, maggiore o eguale a 0, che noteremo con la lettera e, chiamato eccentricità:   ρ = 1/(1+e·cos(θ).
    A seconda del suo valore (maggiore, minore o eguale ad 1), si ha una iperbole, un'ellisse o una parabola (quando è 0 si ha un cerchio):
    Per eventuali approfondimenti cerca "eccentricity" in WolframAlpha.
    Ecco, sotto, come ottenere in questo modo le coniche.
  

source("http://macosa.dima.unige.it/R/r1.R") 
boxm(-3,3, -3,3)
ro <- function(a) 1/(1+e*cos(a))
# 1+e*cos(a)=0 quando cos(a)=-1/e
# se e=1 a=pi,3*pi,...
e <- 1
polar(ro,0,3.14, 'blue')
polar(ro,3.15,2*pi, 'cyan3')
# se e=2, cos(a)=-1/2, a=acos(-1/2),pi+(pi-acos(-1/2))
e <- 2
acos(-1/2); pi+pi-acos(-1/2)
# 2.094395  4.18879
polar(ro,0,2.09, 'red')
polar(ro,2.095,4.1, 'orange')
polar(ro,4.2,2*pi, 'red')
# se e=1/2, cos(a)=-2, denom. mai nullo
e <- 1/2
polar(ro,0,2*pi, 'green3')

8. Esercizi

 e1 
    Che cosa rappresentano nel piano x,y le seguenti equazioni?
x2/2+y2+3y−4=0     (2y−x)2+3y−4=0   (x+2y)(x−y)+3y−4=0;

 e2 
    Se una parabola ha equazione y = 3x2+x+1, qual è il suo fuoco? [Traccia. Tieni conto che un raggio verticale che incide la parabola in un punto di pendenza 1 viene riflesso orizzontalmente]

 e3 
    Scrivere l'equazione dell'iperbole che passa per il punto (3,1) e ha per asintoti gli assi coordinati.

 e4 
    Scrivi l'equazione dell'iperbole che passa per il punto (1,2) e ha per asintoti le rette x+3·y−1=0 e 2·x+y−1=0.

 e5 
    Nel piano x,y la curva x = 3·sin(t), y = −2·cos(t), al variare di t tra i numeri reali, che cosa è?

 e6 
    Una particella si muove secondo le equazioni parametriche x = 1/(t+1), y = 1/(2t-1). Trova la pendenza della sua traiettoria in un generico punto. Cerca di tracciare la traiettoria della particella e controlla le tue soluzioni aiutandoti col computer.

 e7 
    Determina le equazioni della:
(A) parabola con vertice in (2,4) e fuoco in (2,3)
(B) ellisse con i fuochi in (0,2) e in (0,−2) e asse maggiore lungo 6
(C) iperbole i cui due rami distano 2 e i cui due fuochi sono (0,2) e (0,−2).

 e8 
    Traccia e stabilisci che cosa sono le curve descritte dalle equazioni in x ed y seguenti:
(A) 2x+x²+y²+1 = 0     (B) 2x−y+x²−3 = 0
(C) 4x²+y²−4y = 0       (D) x²+3x−2y²+4y = 2

 e9 
    Siano ε un numero positivo, D ed F una retta e un punto fissati. Indicata con d(A,B) la distanza tra le figure A e B, che cosa rappresenta, al variare di ε, l'insieme dei punti P tali che d(P,F)/d(P,D) = ε?

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

  coniche (2),   fuoco di una parabola (4),   direttrice di una parabola (4),   fuochi di un'ellisse (5),   fuochi di un'iperbole (6).

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").