Derivazione e Integrazione. La funzione esponenziale - Sintesi
0. Premessa
1. La derivazione delle funzioni
2. Alcuni esempi e alcune regole
3. La derivazione delle funzioni esponenziali e logaritmiche
4. Infiniti e infinitesimi
5. L'integrazione
6. Esercizi
0. Premessa
In questa scheda riassumiamo brevemente l'introduzione ai concetti di derivazione e integrazione e alla funzione esponenziale affrontata negli anni precedenti.
1. La derivazione delle funzioni Il grafico a destra mostra come è cambiata la temperatura di un termometro tolto da una pentola di acqua calda e lasciato raffreddare a contatto con l'ambiente esterno. La temperatura è andata sempre diminuendo: più rapidamente all'inizio, poi via via più lentamente. Nei primi 90 s è scesa di circa 50 °C, nei successivi 90 s di circa 6 °C. Nel primo tratto la pendenza è -50/90 = -5/9, nel secondo è −6/90 = −1/15. Sotto a sinistra è tracciato, in parte, il grafico di F: x → x², a destra quello di G: x → √x, la sua inversa ristretta agli input non negativi. A differenza del caso precedente sono di fronte ai grafici di funzioni astratte. Che relazione c'è tra la pendenza del segmento che va dal primo al secondo punto del grafico di F evidenziati e la pendenza del segmento che congiunge i corrispondenti punti di G, che scambiano le "x" con le "y"? Sono una la reciproca dell'altra. Nel caso di G le ascisse variano da 0.5 a 1.5 e le ordinate da √0.5 a √1.5, e la pendenza del segmento è Δy/Δx = (√1.5−√0.5)/1 = 0.5176 . Nel caso di F Δy/Δx = 1/(√1.5−√0.5) = 1.931 |
La retta tangente al grafico di F nel punto di ascissa di 1 ha pendenza che è il limite della pendenza del segmento analogo al precedente man mano che i sui estremi si avvinano a tale punto. E quella della retta tangente al grafico della funzione inversa G nel punto corrispondente sarà il reciproco di tale valore, come si vede bene nel grafico al centro.
Nel caso di F e G posso calcolare la pendenza in un punto sulla base della loro espressione. Ecco come farlo in generale. Dato un particolare input x0 di una funzione f continua in x0, si definisce derivata di f in x0 la pendenza della retta t a cui tende la retta r raffigurata a lato al tendere di h a 0 (con h si è indicata, per brevità, la variazione Δx dell'input). La retta t viene chiamata tangente al grafico di f nel punto (x0,f (x0)). In formula:
|
Con derivare una funzione f (a 1 input e 1 output, e continua) si intende ottenere da essa una nuova funzione f ' la funzione derivata che associ ad x la derivata di f in x. La funzione originaria si chiama primitiva (o antiderivata) della nuova funzione così ottenuta.
2. Alcuni esempi e alcune regole
Vi sono alcuni casi semplici in cui è immediato determinare la funzione derivata.
Se una funzione è costante (ad es. la temperatura in un buon frigorifero in
funzione del tempo, a patto che esso non venga mai aperto), del tipo f(x) = k, al variare dell'input
(x = tempo) si ha sempre lo stesso output (la stessa temperatura); quindi Δf(x) vale sempre 0.
Sia da questo fatto che dal fatto che si tratta di un grafico orizzontale e quindi con pendenza nulla,
possiamo subito dedurre che f '(x) = 0 per ogni x.
Se la funzione, invece, ha uscite che crescono proporzionalmente al crescere dell'input (ad es. il peso di un
contenitore cilindrico al variare dell'acqua in esso contenuta), ossia se è una funzione polinomiale
di 1° grado, del tipo f(x) = ax + b, la funzione derivata dovrà avere un valore
costante e positivo (ad ogni tot di acqua in più corrisponde un altro tot di peso in più,
indipendentemente da quanta acqua ci fosse prima). La cosa può essere dedotta più precisamente
pensando al grafico: è una retta inclinata; la sua pendenza è la derivata: f '(x) = a
per ogni x.
Determiniamo la derivata della funzione F: x → x² considerata all'inizio.
| = |
| = |
| = |
| = |
|
Nell'esempio inziale abbiamo visto che intorno ad x=1 la pendenza del grafico di F era circa 1.93. Ora abbiamo che è esattamente 2·1 = 2.
Determiniamo la funzione derivata di x → x³.
| = |
| = |
| = |
| = |
|
Tutti gli esempi visti finora sono casi particolari della seguente regola di derivazione (dove D indica l'operazione di derivazione), valida per ogni numero reale α:
Dx (xα) = α xα1
Vediamo in particolare che cosa si ha nel caso di x → √x = x1/2. Dx (√x) = Dx (x1/2) = 1/2·x1/21 = x1/2 / 2 = 1/(2√x) Ritroviamo quanto ottenuto nel caso della funzione G considerata all'inizio. G'(x) per x = 1 vale 1/2·11/2 = 1/2. Là avevamo trovato l'approssimazione 0.517 . Notiamo che in generale la derivata di G in a in cui G vale b è pari al reciproco derivata della funzione inversa F in b. Su ciò ritorneremo. |
Data una funzione h, la funzione derivata di h si nota h' o D(h). La derivata di h in x
si nota h'(x) o D(h)(x) o Dxh(x). Accanto a queste ultime notazioni di usa
Le formule seguenti, in cui f e g sono funzioni e k è un numero, presentano due proprietà di base delle derivate che facilitano il calcolo delle derivate di vari tipi di funzioni (con esse ad esempio siamo in grado di derivare tutte le funzioni polinomiali):
D(kf) = kD(f) | D(f+g) = D(f)+D(g) |
Dx(k f(x)) = k Dx(f(x)) | Dx(f(x)+g(x)) = Dx(f(x)) + Dx(g(x)) |
La motivazione è abbastanza semplice. Per la prima: se dilato verticalmente un grafico di un fattore k la pendenza in ogni punto di esso viene moltiplicata per k. Per la seconda: se faccio la somma di due funzioni la pendenza in ogni punto del grafico di essa è la somma delle pendenze dei grafici delle due funzioni. Vediamone un esempio d'uso:
Dx(3x2 + 2√x) = Dx(3x2) + Dx(2√x) = 3Dx(x2) + 2Dx(√x) = 3·2x + 2·1/(2√x) = 6x + 1/√x
Abbiamo usato la seconda proprietà, poi la prima e, infine, quanto visto per la derivazione di xα.
Attenzione 1.
Dx(7√x) =
7Dx(√x), che vale 7 / (2·√x),
ma
Dx(√(7x))
non equivale a
Attenzione 2.
Non è detto che una
funzione continua in un intervallo sia derivabile in tutti i punti interni ad esso.
Consideriamo ad esempio la funzione |
Il calcolo delle derivate è concettualmente semplice ma può essere un po' macchinoso. In molti casi può essere comodo avvalersi di qualche programma. Ecco come fare il calcolo di una derivata con R, a sinistra, e con WolframAlpha, a destra (per esemplificare abbiamo messo un caso semplice, che occorre saper affrontare "a mano"!):
F <- function(x) x^2-6*x+1/7; D(body(F),"x") | d (x^2-6*x+1/7) / dx |
Dopo aver eseguito source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") in R posso battere semplicemente deriv(F,"x") |
Il calcolo delle derivate ci aiuta a tracciare a mano il grafico di una funzione e ad
individuarne alcuni punti caratteristici. Poniamoci il problema di rappresentare
F'(x) = 2·x − 6. F'(x) > 0 (F cresce) per 2x > 6, ossia per x > 3. F'(x) < 0 (F decresce) per x < 3. F'(x) = 0 per x = 3. Quindi in x = 3 F(x) ha il valore minimo, pari a F(3) = −8.85714 Sapendo che ax²+bx+c=0 ha come soluzioni, se esistono, −b/(2a) ± √(b²−4ac)/(2a), trovo che il grafico interseca l'asse delle x nelle ascisse 0.023904 e 5.976095 |
Rappresentiamo, ora,
F <- function(x) -x^3+x^2+5*x+0.4; graphF(F, -30,30, "brown")
graphF(F, -4,4, "brown")
Il grafico conferma i calcoli. Volendo posso trovare minimo e massimo col software, dando come input gli estremi di intervalli in cui essi cadono:
maxmin(F, -2,0); maxmin(F, 0,2)
-1 1.666667
fraction(maxmin(F, 0,2))
5/3
# Volendo posso usare le formule per risolvere le eq. di 2^ grado:
S <- function(c,b,a) {h <- -b/(2*a); k <- sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a); c(h-k,h+k) }
S(5, 2 , -3) # F'(x) = 5+2x-3x^2
# ottengo 1.666667 -1
3. La derivazione delle funzioni esponenziali e logaritmiche A lato è tracciato il grafico della funzione x→ 2x e sono evidenziati i punti che rappresentano i valori
che essa associa a 0 (1), a 2 (4) e a −2 (1/4). 20.4 = 24/10 = 22/5 = (22)1/5 = 5√4 e, quindi, quelli corrispondenti a esponenti decimali illimitati, ad es. il valore di P = 23.151151115 (che con un mezzo di calcolo troveremmo valere 8.88364113 ): 8 = 2^3 ≤ P ≤ 2^4 = 16 |
Se ci fermassimo al secondo passo potremmo concludere che 23.151151115 = 8.9 ± 0.4, se ci fermassimo al terzo avremmo che vale 8.91 ± 0.04, se ci fermassimo al quarto avremmo che vale 8.886 ± 0.004.
Dal grafico si capisce che la funzione cresce via via più rapidamente.
Per un esempio pensa ad una agenzia che presta ad una persona una certa somma di denaro e le chiede la restituzione della stessa somma di denaro moltiplicata
per 2 ogni volta che passa un anno, o, meglio moltiplicata per 2A dove A è il tempo trascorso in anni.
Se restituisce il denaro subito lo rende non aumentato, in quanto 20 = 1; se lo restituisce dopo 1 anno deve raddoppiarlo in quanto
21 = 2; dopo 2 anni deve quadruplicarlo in quanto 22 = 4; dopo un quarto di anno deve moltiplicarlo per
21/4 = 1.189
.
Per un altro esempio pensa ad una popolazione di numerosi batteri. In opportune condizioni ciascun batterio si duplica trascorso un certo intervallo di tempo,
per cui si ha che complessivamente la popolazione viene moltiplicata per 2T, dove T è il tempo trascorso prendendo come
unità di misura il tempo per la duplicazione. Se inizialmente i batteri erano 1000, trascorso il tempo 10 T essi sono
1000·210 = 1 024 000.
Entrambe le situazioni sono rappresentate graficamente da curve simili a quella raffigurata sopra.
Le funzioni
|
= |
|
= |
|
= |
|
Dunque ho che Dx (ax) = k·ax dove k è la derivata in 0.
Tra tutte le funzioni esponenziali, ha una particolare importanza quella per cui tale k (cioè la derivata in 0)
è 1, ossia che ha come derivata sé stessa.
Il valore della base per cui ciò accade viene indicato con e, numero che viene
chiamato numero di Nepero. Si può trovare che:
Dunque Dx(ex) = ex.
Questa particolare funzione esponenziale, usatissima in matematica e nelle sue applicazioni,
viene spesso scritta "a 1 piano" usando il simbolo exp, ossia scrivendo exp(x) al posto
di ex. Le funzioni inverse delle funzioni esponenziali si chiamano funzioni logaritmiche.
La funzione inversa di exp viene indicata log. La figura seguente, a sinistra, richiama alcune delle
caratteristiche di queste funzioni.
Osserviamo, in particolare, che, in quanto exp(0) = 1,
log(1) = 0.
Dxlog(x) = 1/x. Infatti, essendo log ed exp l'una l'inversa dell'altra,
nel punto (x, y) con y = log(x) la pendenza di log è
il reciproco di quella di exp nel punto (y, x).
La pendenza di exp(y) è exp(y) stesso, ossia exp(log(x)), ossia x. Il suo reciproco è 1/x.
Un trucco comodo per passare dalla base e ad una generica base a (positiva e diversa da 1)
è ricordare la proprietà delle potenze (52)3
= 52·52·52 = 52·3.
Si pensa ad a come elog(a) e si scrive ax =
(elog(a) ) x
= elog(a)·x. Se a < 1 log(a) < 0 e, quindi, la funzione
Prova ad usare R per calcolare, ad esempio:
f <- function(x) 2^x; g <- function(x) log(x); deriv(f,"x"); deriv(g,"x")
e WolframAlpha per calcolare:
d 2^x / dx, d log(x) / dx, d log(2,x) / dx
4. Infiniti e infinitesimi
Se F(x) e G(x) sono due funzioni che per x → α (finito o infinito) tendono entrambe
a 0 o a ∞, si dice che F(x) e G(x) sono asintoticamente uguali e si scrive
limx → α F(x) / G(x) = 1
Se F(x) e G(x) per x → α sono entrambi infiniti [infinitesimi] e se per qualche costante k diversa da 0 F(x) ≈ k·G(x) si dice che F(x) e G(x) sono infiniti [infinitesimi] dello stesso ordine.
Sotto è illustrato il caso di f(x) = x²+x e g(x) = x².
Per
per x → ∞ f(x) / g(x) = (x²+x) / x² = 1 + 1/x → 1
Riassumiamo qui alcune relazioni particolarmente utili.
x → ∞ |
0 ← x |
x → ∞ |
x → ∞ |
x → ∞ |
x → ∞ |
−∞ ← x |
In rosso gli infiniti ↑ o ← gli infinitesimi trascurabili (ossia gli infiniti di ordine inferiore, gli infinitesimi di ord. superiore) |
Per x → 0 sin(x) ≈ x ovvero: sin(x) ≈ x − x³/6 cos(x) ≈ 1 − x²/2 |
Per x → 0 exp(x) ≈ 1 + x ovvero: exp(x) ≈ 1 + x + x²/2 Per x → 1 log(x) ≈ x − 1 ovvero: log(x) ≈ x−1 − (x−1)²/2 |
5. L'integrazione, ed altro.
Come calcolare l'area che sta tra una curva e l'asse x? Se sappiamo descrivere la curva come il grafico
di una funzione F per gli input compresi tra due valori a e b, quest'area si chiama integrale di F tra a e b.
L'area può essere calcolata approssimando la curva con una poligonale: all'aumentare del numero dei lati di questa
si ha una valutazione via via più precisa. Abbiamo anche visto che D(sin) = cos e che D(cos) = sin . Per la revisione di questi ed altri concetti di trigonometria rinviamo al "riassunto" effettuato nella scheda Funzioni trigonometriche e funzioni periodiche. |
6. Esercizi Vai qui.