Funzioni numeriche e calcolo algebrico - Sintesi
0. Premessa
1. Il concetto di funzione
2. Le funzioni ad 1 input e 1 output numerici
3. Le funzioni continue
4. I limiti
5. Proprietà utili per il calcolo dei limiti
6. Il calcolo algebrico
7. I sistemi di equazioni
8. Esercizi
0. Premessa
In questa scheda riassumiamo brevemente l'introduzione al concetto di funzione e le prime riflessioni sul calcolo algebrico.
1. Il concetto di funzione
Tra gli oggetti matematici che abbiamo trattato in questo corso, le funzioni hanno un ruolo di particolare importanza. Una funzione F, per dirla molto in breve, è un modo per associare ad un input appartenente ad un insieme I (consistente in una qualche collezione di oggetti matematici) o un unico output appartenente ad un insieme O (che, a sua volta, è una qualche collezione di oggetti matematici) o nessun output. L'eventuale output di un input a viene indicato F(a). L'insieme degli input a cui la funzione associa un output viene chiamato dominio della funzione. Se A è un insieme di input, l'insieme degli output corrispondenti viene chiamato insieme immagine di A mediante F, e indicato F(A).
Consideriamo cinque esempi molto semplici:
| F: x → − x, | G: (x,y) → (minimo tra x e y, massimo tra x e y), |
| H: (x,y) → x / y, | K: regione → capoluogo |
| Q: (a,b) → "grafico di x → x² al variare di x tra a e b" | |
F associa ad un numero la sua negazione: F(5) = −5, F(−3) = 3, F(0) = 0. Ha come dominio e come immagine l'insieme di tutti i numeri reali.
G associa ad una coppia di numeri la corrispondente coppia ordinata: G(1, 2.7) = (1, 2.7), G(5, −2) = (−2, 5). Ha sia come dominio che come immagine
l'insieme di tutte le coppie di numeri reali.
H associa ad una coppia di numeri il loro rapporto: G(3,2) = 1.5, G(−2,4) = −0.5. Ma alla coppia (7,0) non posso associare
un output: non posso calcolare 7 / 0. H, mentre ha come immagine tutti i numeri reali, ha come
dominio tutte coppie di numeri reali il cui secondo elemento non è 0.
K e Q, a differenza delle precedenti funzioni, non hanno input e output entrambi numerici.
|
K (supponendo di limitarsi all'Italia) ha come dominio tutte le regioni italiane e come immagine tutti i capoluoghi di regione. Nel seguito della scheda ci occuperemo delle funzioni ad 1 input e 1 output numerici. |  |
2. Le funzioni ad 1 input e 1 output numerici
Nei casi sotto illustrati (B) e (C) sono funzioni ad 1 input ed 1 output numerici, x → x²
e x → √x. (A) invece non è una funzione:
ci sono frecce che partono dallo stesso x ed arrivano ad y diversi. (C) è una funzione iniettiva, ossia ogni y può provenire da
un solo x, mentre (B) non lo è: sia 1 che − 1 (o, ad esempio, √2 e −√2) hanno lo stesso output.
Sia x → x² che x → √x hanno come insieme immagine l'intervallo [0,∞),
ma mentre la prima ha come dominio (−∞,∞) la seconda ha come dominio solo [0,∞).
| Se agli output di una funzione f si applica un'altra funzione g
il risultato è una nuova funzione h. A fianco è illustrato il caso in cui f e g
siano È interpretabile come una composizione di funzioni anche l'applicazione di due successive variazioni percentuali: |  |
| un aumento del 10% e uno successivo del 20% equivalgono a x → x·(1+10%) e a x → x·(1+20%), ossia complessivamente a x → x·(1+10%)·(1+20%) = x·1.1·1.2 = x·1.32: un aumento del 32% (non del 30%). | |
| Quando, sia applicando prima f e poi g, sia, viceversa, applicando prima g e poi f, si riottiene l'input
dato alla prima funzione, come nel caso a fianco, si dice che f e g sono funzioni una inversa dell'altra:
raddoppiare e poi dimezzare o, viceversa, dimezzare e poi raddoppiare ha, comunque, come risultato il numero di partenza. Anche l'elevamento al quadrato - funzione rappresentata in (B) - e l'estrazione della radice quadrata - rappresentata in (C) - sono una l'inversa dell'altra. Ma l'elevamento al quadrato deve essere ristretto agli input maggiori o eguali a zero, in modo da ottenere una funzione iniettiva. |
 | |||
| La funzione inversa di un aumento del 20%, x → x·(1+20/100), non è una riduzione del 20%: | ||||
| ||||
Osserva i grafici seguenti, in cui gli assi tracciati si incrociano in (0,0) e le divisioni orizzontali e verticali della griglia sono ampie 1. Cerca di capire perché B, D, E ed F sono iniettive e perché A e C non lo sono. Nel caso di A due input che hanno lo stesso output sono, ad esempio, 1 e −1; quanto vale l'output? Nel caso di C due input che hanno lo stesso output sono, ad esempio, 2 e −2; quanto vale l'output?
Le funzioni rappresentate in B ed E sono crescenti:
a due input x1 e x2 con x1 < x2 associano due output y1 e y2 con y1 < y2.
Quella rappresentata in D è decrescente:
a due input x1 e x2 con
Ecco come alcune modifiche nella definizione di una funzione producono delle trasformazioni geometriche del suo grafico.
• In (A)
come dal grafico di F(x) = x² si ottengono quelli di G(x) = F(x)+3, H(x) = F(x−2), K(x) = F(x−2)+3.
• In (B)
come dal grafico di x → 1/x si ottiene quello di x → 1/(x−3) + 2.
• In (C) come dal grafico di T(x) = (x−2)² − 1
si ottengono quelli di U(x) = −T(x), V(x) = 0.5·T(x).
|
3. Le funzioni continue
Le funzioni considerate negli esempi precedenti sono tutte continue. Intuitivamente, una funzione F
è continua se presi comunque due punti a e b tali che l'intervallo [a,b] stia nel dominio di F,
posso tracciare il grafico di F tra a e b senza mai staccare la penna dal foglio. Ma questa è una descrizione
intuitiva. |  |
E non potrei valutarne neanche la lunghezza: si può dimostrare che essa sarebbe infinita. Del resto si pensi alla somma dei numeri 1, 1/2, 1/3, 1/4, …; all'aumentare del numero degli addendi essa cresce oltre ogni limite:
n <- 1; sum(1/(1:n)) # 1 n <- 2; sum(1/(1:n)) #1+1/2 n <- 3; sum(1/(1:n)) # 1+1/2+1/3 n <- 10; sum(1/(1:n)) # 1+1/2+...+1/10 n <- 100; sum(1/(1:n)) # 1+1/2+...+1/100 n <- 1000; sum(1/(1:n)) # 1+1/2+...+1/1000 n <- 10000; sum(1/(1:n)) # 1+1/2+...+1/10000 |
ho: 1
1.5
1.833333
2.928968
5.187378
7.485471
9.787606 |
Possiamo precisare questa "definizione" dicendo che F è continua in un intervallo
se per "piccole" variazioni degli input anche gli output hanno "piccole" variazioni, o, meglio,
se all'infittire degli input si ottengono output man mano più fitti. Si può dimostrare che tutte le funzioni
Invece la funzione rappresentata graficamente sotto (che ad ogni x associa la parte frazionaria) non è continua in alcun intervallo che
contenga 1 o 2 o 3 …: la funzione ha sempre un "salto" di altezza 1. Ad es. avvicinandosi a 2 da destra la funzione tende ad assumere il valore 0,
che è il valore che la funzione ha in 2, mentre avvicinandosi a 2 da sinistra tende al valore 1.
Una equazione come, ad esempio,
7 / (x² +1) − x³ = −5
può essere risolta intrecciando metodi grafici e metodi numerici.
Risolvere l'equazione equivale a trovare per quale input la funzione continua
Un procedimento simile a questo è eseguito automaticamente da molto software. Ad es. in R basta battere uniroot(f, c(a,b), tol= P)$root per ottenere il valore di x per cui f(x) = 0; occorre mettere come a e b gli estremi di intervallo in cui f cambia segno, e come P la precisione con cui si vuole ottenere x ("root" vuol dire "radice", "tol" sta per "tolleranza").
F <- function(x) 7/(x^2+1)-x^3+5
uniroot(F, c(0,3), tol=1e-10)$root
# ottengo 1.871478
4. I limiti
La parola "limite" viene usata con due significati diversi.
Ad esempio si dice che:
– il numero delle copie fatte mensilmente con una fotocopiatrice non può aumentare oltre ogni limite.
In questo caso "limite" indica qualcosa che non può essere superato.
In altre situazioni la parola limite viene usata con un significato un po' diverso:
– che sia inizialmente più caldo o più freddo non importa: la stanza raggiungerà al limite la temperatura
su cui è posizionato il termostato del condizionatore.
Stiamo considerando un certo processo che evolve verso una condizione limite; qui usiamo "limite"
nel senso di uno stato che un certo fenomeno tende ad assumere.
Soffermiamoci sul secondo uso: "limite" come stato a cui tende un processo.
Due esempi:
• Consideriamo le successive
approssimazioni per troncamento della radice quadrata di un numero, generate con un algoritmo
che procede per tentativi; nel caso di √5, se indico
con F(N) l'approssimazione con N cifre, ho F(1) = 2, F(2) = 2.2, F(3) = 2.23, F(4) = 2.236, …,
F(21) =
|
• Nel
caso della produzione di un bene che sia descrivibile con un modello come il seguente
(il costo unitario è costituito da 0.4 € di costi incorporati e
da una frazione dei 50 mila € di costi fissi):
Nel primo caso fissato ad es. il numero ε = 0.01 ho sicuramente che F(3) (= 2.23) dista da √5 meno di ε, e lo stesso vale per F(N) con N > 3; fissato ε = 0.001 ho che F(4) (= 2.236) dista da √5 meno di ε, e lo stesso vale per F(N) con N > 4, e così via. Comunque fissi una distanza ε ("epsilon") trovo un N tale che per ogni N > N |F(N) − √5| < ε. |
 |
Anche nel secondo caso ho che Cu(x) si avvicina quanto voglio a 0.4 purché prenda valori di x sufficientemente grandi.
Ad esempio, scelto ε = 0.5, ho che se
Consideriamo il grafico precedente. Osservo che man mano che diminuisce il numero x dei pezzi prodotti il valore di Cu(x) tende a salire sempre più. Facendo i conti:
| x | Cu = 50000 / x + 0.4 |
| 100 000 | 0.5+0.4 = 0.9 |
| 1 000 | 50+0.4 = 50.4 |
| 10 | 5000+0.4 = 5000.4 |
| 0.1 | 500000+0.4 = 500000.4 |
Posso dire che man mano che x tende a 0 Cu tende all'infinito. Nella realtà x non può avvicinarsi a piacere al valore 0 (si può andare da 1 pezzo prodotto a 0 pezzi prodotti; x non può assumere valori intermedi), ma è comodo usare l'espressione precedente, che sarebbe comunque corretta in astratto, ragionando sulla formula e considerando x come un generico numero reale positivo, senza preoccuparmi del contesto a cui mi riferisco. Posso sintetizzare le considerazioni precedenti con scritture come le seguenti:
| • 50000 / x + 0.4 → 0.4 per x → ∞ |
|
|||
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• lim x → 0+ (50000 / x + 0.4) = ∞ |
Nell'ultima espressione "0+" ricorda che x tende a 0 "da destra", ossia rimanendo maggiore di 0.
Per consolidare l'idea del concetto di limite vediamo qualche altro esempio, riferito a funzioni a 1 input e 1 output reali. Nelle figure seguenti i "..." indicano che il grafico prosegue mantenendo un andamento analogo; più precisamente nel caso di F prosegue tendendo a spiaccicarsi sulla retta y=1; nel caso di G prosegue a zig-zag, periodicamente; nel caso di H prosegue a destra e a sinistra spiaccicandosi sulla retta y=–1, in alto e in basso spiaccicandosi sulla retta x=1; nel caso di K prosegue a sinistra spiaccicandosi sull'asse x, a destra continuando a salire, sempre più rapidamente.
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Le due ultime notazioni stanno a indicare il comportamento limite di H(x) per x che tende a 1 crescendo, ossia provenendo "da sinistra", e decrescendo, ossia "da destra".
Ancora un esempio, dove
F è la funzione, definita in
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5. Proprietà utili per il calcolo dei limiti
È utile mettere a punto alcune proprietà che ci facilitino nel calcolo dei limiti di funzioni ottenute componendo altre funzioni di cui ci sia già noto il comportamento.
Se per
Posso esprimere ciò dicendo che il passaggio al limite conserva le somme. Più in generale, in modo analogo, si ha che il passaggio al limite conserva somme, prodotti, quozienti e le relazioni d'ordine ≥ e ≤ .
Consideriamo ad esempio f(x) = (3+5/x) (2+7/x) / (15−1/x) + 3/x.
Come si comporta f(x) per x → ∞?
3+5/x → 3, 2+7/x → 2, 15-1/x → 15, 3/x → 0,
quindi l'intero termine tende a 3·2/15+0, ossia a 2/5.
Si noti che il passaggio al limite conserva le diseguaglianze in senso
lato, non stretto. Ad es. per x positivo 1/x è positivo ma, se L =
Con qualche semplice ragionamento intuitivo si può capire come estendere
le proprietà considerate nel paragrafo precedente ai casi in cui i limiti siano infiniti.
Ad esempio se F(x) → L e G(x) → ∞, G(x) sale oltre ogni limitazione e (dato che F(x) tende a
stabilizzarsi su L) altrettanto accade a
Analogamente ho:
Siano h(x) = x+1/x2, k(x) = −3+5/x4.
Che cosa puoi concludere sui limiti per x tende a 0 e per x che tende a ∞ di h(x) e di k(x)? |  |
 |
Invece in altri casi, sintetizzabili nel modo seguente, non posso trarre conclusioni:
Ad esempio nel caso raffigurato a lato, per x → ∞ | |
|
Consideriamo il limite di una funzione composta.
Se cerco di capire come si comporta 101/x per | ||
6. Il calcolo algebrico
| Ricordiamo che un termine numerico è una espressione usata per rappresentare numeri. Può essere: | | | | | | | | | | • una costante, cioè un nome che rappresenta un numero fissato o che, nel contesto della situazione che stiamo considerando, riteniamo fissato | ||
| • una variabile, cioè un nome per rappresentare un numero generico | ||||
| • o costruito a partire da varibili e costanti introducendo opportunamente simboli di funzione numerica (quattro operazioni, radici quadrate, potenze, …, simboli di funzioni via via definite) ed eventuali parentesi |
| ||||||||||
| ||||||||||
La manipolazione di un termine o di una formula per riscriverla in una forma equivalente (ad esempio la riscrittura di un termine per poi poterlo calcolare più facilmente con una CT o a mente, la riscrittura di un'equazione che si vuole risolvere rispetto a una certa variabile, …) viene chiamata calcolo simbolico per distinguerla dal calcolo numerico, con cui si ottiene un nuovo valore numerico a partire da altri valori numerici:
3·2 → 6 è un calcolo numerico, 3·2 → 2·3 e x·a·x → a·x² sono calcoli simbolici.
A volte invece che di calcoli simbolici si parla di calcoli letterali (con riferimento al fatto che oltre che su numeri si opera anche su espressioni che contengono lettere e nomi) o di calcoli algebrici. Quest'ultima dizione deriva dalla parola algebra, con cui si intende quella parte della matematica che si occupa, tra l'altro, dello studio delle proprietà delle operazioni e delle formule (equazioni, disequazioni, …).
| Non è facile dimostrare in generale le proprietà algebriche. È comunque possibile individuarle o trovarne spiegazioni mediante esempi numerici o mediante giustificazioni geometriche. Ad esempio, interpretando la moltiplicazione come modello matematico per il calcolo dell'estensione di una superficie rettangolare, possiamo convincerci del fatto che a·d+b·d+c·d equivale a (a+b+c)·d. |  |
Sotto sono esemplificate alcune trasformazioni algebriche d'uso molto comune:
|
Ecco altre due, usate sia "da destra verso sinistra" che viceversa, e la loro interpretazione "geometrica":
a2 – b2 = (a – b)(a + b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Vediamo ad esempio lo sviluppo di
(z3 − 5)(z + 2)(z3 + 5).
Richiamiamo alcuni errori frequenti:
| (3x+3)(x–1–x+1)+4 → (3x+3)(x/ – 1/ – x/ + 1/ ) +4 → 3x+3+4 (ho "cancellato" invece di trasformare x−x e −1+1 in 0) | ||||||||||
| ||||||||||
| 3xy+y+9y² → (3x+9y)y (ho "portato fuori" la y invece che dividere per y) |
I procedimenti per riscrivere termini sono spesso impiegati per trasformare formule. Ad esempio per trasformare 181 = x + 127 nella forma x = … faccio:
181 = x + 127 <==> 181 – 127 = x + 127 – 127 <==> 54 = x <==> x = 54
In generale si applica a entrambi i membri una stessa funzione. Vediamo qualche altro esempio:
| (A) | negazione | – x = 42 <==> – – x = – 42 <==> x = – 42 |
| (B) | reciproco | 1/x = 8 <==> (1/x)–1 = 8–1 <==> x = 1/8 [= 0.125] |
| (C) | divisione | 2x = 15 <==> 2x/2 = 15/2 <==> x = 15/2 [= 7.5] |
| (D) | radice quadrata | A = L² <==> √A = √(L²) <==> √A = L <==> L = √A |
Il caso (D) rappresenta l'equivalenza tra la formula che esprime l'area di un quadrato in funzione della misura del lato e la formula inversa che esprime il lato in funzione dell'area. Se con A e L avessimo inteso rappresentare numeri qualunque l'equivalenza corretta sarebbe stata:
(A = L² e 0 ≤ L) <==> L = √A ovvero A = L² <==> (L = √A o L = −√A)
Una funzione F : x → an xn +
an–1 xn–1 +
…a2 x2 +
a1 x + a0
con
Un termine dalla forma an xn +
an–1 xn–1 +
…a2 x2 +
a1 x +a0
viene chiamato polinomio in x di grado n, anche se i
coefficienti non sono costanti, ma variabili o termini più
complessi (purché non contenenti x); i termini di grado inferiore ad n
possono, in parte o tutti, essere anche assenti.
I polinomi hanno due caratteristiche importanti:
• Sono divisibili con un algoritmo simile a quello della divisione tra numeri. Se eseguo la divisione
• Vale la seguente proprietà, nota come teorema del resto (o di Ruffini):
la divisione di A(x) per x – h ha come resto il numero A(h)
che ha due immediate conseguenze:
se A(h) = 0 il polinomio A(x) è divisibile esattamente per x – h
e, quindi,
una equazione polinomiale di grado n ha al più n soluzioni
Questo risultato, assieme al fatto che le funzioni polinomiali sono
continue, ci consente di risolvere facilmente, in modo approssimato, le equazioni polinomiali
con vari tipi di software. Vediamo ad esempio come studiare
• Ad es. con R posso tracciarne il grafico e operare degli zoom:
T <- function(x) 7*x^4+sqrt(3)*x^3-x^2+2*x+2/3
plot(T,-5,5); abline(h=0)
plot(T,-2,2); abline(h=0)
plot(T,-1,0); abline(h=0)
Il grafico, a parte qualche serpentina interna, deve avere una forma ad
U. Infatti per x che cresce oltre ogni limite
Possiamo
trovarne velocemente molte cifre con il procedimento descritto alla fine del §3. Ecco come applicarlo
usando R ai due intervalli, ricavabili dall'ultimo grafico,
uniroot(T, c(-1, -0.6),tol=10^-9)$root
-0.732581
uniroot(T, c(-0.6, 0),tol=10^-9)$root
-0.2942209
• Potremmo, poi, usare programmi che consentono di risolvere direttamente
le equazioni polinomiali. Vediamo, ad es., come farlo usando ancora R (vedi l'help
apposito per ulteriori spiegazioni): si mettono in un apposito comando ("polyroot", che sta
per "radici del polinomio") i coefficienti, in ordine (la costante, quello di grado 1, ...
fino a quello di grado massimo, indicando 0 quando il termine di un certo grado è
assente):
polyroot(c(2/3, 2, -1, sqrt(3), 7))
-0.2942209-0.0000000i -0.7325810+0.0000000i
0.3896830-0.5385201i 0.3896830+0.5385201i
I numeri vengono scritti in un modo "strano", che comprenderai negli anni prossimi:
sono scritti come "numeri complessi", che hanno la forma
-0.2942209 -0.7325810
Abbiamo nuovamente ritrovato gli stessi valori.
• Potrei infine battere solve 7*x^4+...+2/3 for x real in WolframAlpha ed ottenere risultati analoghi ai precedenti.
Esistono anche tecniche per risolvere esattamente le equazioni polinomiali. Richiamiamone una facile per le equazioni polinomiali di 2º grado introducendo solve a*x^2 + b*x + c = 0 for x in WolfranAlpha (fallo e annota il risultato).
Proviamo a risolvere rispetto ad x l'equazione
Non è detto che ci siano soluzioni o ce ne può essere una sola.
Ciò corrisponde ai casi in cui, sotto radice (vedi quanto hai annotato sopra), abbiamo
Per un breve approfondimento sulla risoluzione di equazioni vedi la voce risoluzione di equazioni -2 (su dominio, quantità di soluzioni, parametri, verifica, …) degli Oggetti Matematici. Alla voce funzioni circolari vedi approfondimenti sulle equazioni in cui compaiono funzioni trigonometriche. Alla voce esponenziale e logaritmo vedi approfondimenti sulle equazioni in cui compaiono le funzioni esponenziale e logaritmo. Oppure vedi le schede e le altre voci indicate in questo ripasso.
7. Sistemi di equazioni
Abbiamo più volte considerato condizioni ottenute combinando equazioni con &, indicato anche con AND. Condizioni di questo genere sono chiamate sistemi di equazioni. In genere sono scritte in modo "abbreviato", usando una parentesi graffa invece di &:
| Equazione1 & Equazione2 & Equazione3 | → |
|
x2+y2=100 & x=6, x2+y2=100 & y=x2−12 sono i sistemi che indicano l'intersezione del cerchio di centro (0,0) e raggio 10 con una retta e con una parabola.
|  |
La risoluzione del secondo sistema è leggermente più complessa. Prova a risolverlo e controlla la risposta mettendo solve x^2+y^2=100 & y = x^2-12 in WolframAlpha.
| Come dividere una quantità A in tre parti, in modo che la prima sia il doppio della seconda e che la seconda sia il triplo della terza? Indicando le tre parti con x, y e z, possiamo esprimere il problema con il seguente sistema (1) di 3 equazioni e risolverlo assumendo (x,y,z) come terna incognita e A come parametro (ossia come variabile che non assuniamo come "incongnita"). |
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | |||||||||||||||
| { | x+y+z = A | { | x+y+z = A | { | 6z+3z+z = A | { | 10z = A | { | z = A/10 | ||||||||||
| x = 2y | x = 6z | x = 6z | x = 6z | x = 6A/10 | |||||||||||||||
| y = 3z | y = 3z | y = 3z | y = 3z | y = 3A/10 | |||||||||||||||
A destra del sistema (1) sono riportate alcune successive trasformazioni, fino al sistema finale (5) in cui x, y e z sono espresse in funzione del parametro A.
Risolvendo un sistema mediante manipolazioni in genere
si cerca di "eliminare" delle incognite da una o più equazioni, fino ad arrivare a un'equazione in cui ce n'è una sola:
l'equazione
Per manipolare un sistema di equazioni trasformandolo in un sistema ad esso equivalente, oltre che manipolare le
singole equazioni, posso usare specifiche riscritture. Le più usate sono le seguenti:
• Volendo, si può cambiare l'ordine delle equazioni. infatti l'operatore & è commutativo.
| { | a + b + 4 = 0 | equivale a | { | b − 1 = a |
| b − 1 = a | a + b + 4 = 0 |
•
Si può sostituire un sottotermine α con un termine β se nel sistema è presente l'equazione
Nella trasformazione (1)→(2) si è sostituito y della 2ª equazione con 3z, perché la 3ª equazione impone che y e 3z siano uguali. Nella trasformazione (2)→(3) si sono sostituiti x e y della 1ª equazione con 6z e 3z rispettivamente, perché la loro uguaglianza a x e y è imposta dalla 2ª e dalla 3ª equazione.
•
Si possono addizionare al 1° e al 2° membro di un'equazione rispettivamente
il termine α e β
se nel sistema è presente l'equazione
Esempio. Osservando il sistema (1) qui sotto, vedo che se addiziono x−y a x+y posso eliminare la y. Quindi trasformo la prima equazione addizionando x−y al 1° membro e 3 al 2°: posso farlo perché l'uguaglianza tra x−y e 3 è imposta dalla seconda equazione. In questo modo ottengo il sistema (2), che posso semplificare in (3), in cui la prima equazione contiene solo la variabile x:
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | |||||||||||||
| { | x+y = 1 | { | x+y+x−y = 1+3 | { | 2x = 4 | { | x = 2 | { | x = 2 | { | x = 2 | { | x = 2 | ||||||
| x−y = 3 | x−y = 3 | x−y = 3 | x−3 = y | y = x−3 | y = 2−3 | y = −1 | |||||||||||||
Alcuni tipi di sistemi sono particolarmente facili da risolvere, sia graficamente (se non contengono parametri), sia con manipolazioni. Si tratta dei sistemi interpretabili come intersezione tra due rette.
| A lato è raffigurato il sistema x+y = 1 & x−y = 3, che abbiamo appena risolto. Avrei potuto concludere subito, anche senza grafici, che questo sistema ha esattamente 1 soluzione: la 1ª equazione è trasformabile in Volendo tracciare a mano le due rette, possiamo completare la trasformazione nella forma |
 |
| Per tracciare le rette potevo anche, per ciascuna di esse, trovarne due punti e disegnare un tratto rettilineo passante per essi. In genere una coppia di punti facile da determinare è quella costituita dalle intersezioni con gli assi. |
| { | eq. 1ª retta | { | x+y = 1 | { | x =1 | { | eq. 1ª retta | { | x+y = 1 | { | y = 1 | |||||
| equaz. asse x | y = 0 | y = 0 | equaz. asse y | x = 0 | x = 0 |
| { | eq. 2ª retta | { | x−y = 3 | { | x = 3 | { | eq. 2ª retta | { | x−y = 3 | { | y = −3 | |||||
| equaz. asse x | y = 0 | y = 0 | equaz. asse y | x = 0 | x = 0 |
Per stabilire se due rette sono parallele spesso si può fare a meno di calcolarne
le pendenze. Basta osservare che, ad esempio, le equazioni
Come abbiamo chiamato funzioni lineari le funzioni x → k x + h che hanno per grafici rette, così chiamiamo equazioni lineari in x e y queste equazioni.
I sistemi costituiti da due equazioni lineari (rispetto alla stessa coppia di variabili) vengono detti sistemi lineari. Essi possono avere:
•
1 soluzione, se le due equazioni rappresentano rette non
parallele,
•
0 soluzioni, se esse rappresentano due rette parallele,
•
o come soluzione
ogni coppia (x,y) che sia un punto della retta
rappresentata dalle due equazioni, se queste sono equivalenti.
6. Esercizi Vai qui.
a ·