Geometria - Sintesi

    La geometria, come il nome dice chiaramente, nasce dalla necessità di descrivere lo spazio in cui viviamo: distanze tra città, perimetri e aree di appezzamenti di terreno, capacità di serbatoi, ...
    D'altra parte ogni descrizione del mondo passa attraverso l'uso di modelli. Anche le parole che usiamo per descrivere le cose sono soltanto un modello delle cose stesse: occorre quindi riflettere su quel che precisamente intendiamo quando usiamo il termine "modello".

Oggetti Matematici:  Modello

    I modelli della matematica, in generale, nascono dalla necessità di descrivere il mondo reale, ma poi, poco alla volta, acquistano vita propria. Numeri e operazioni nascono come oggetti utili a rappresentare situazioni reali, poi vengono definiti in termini puramente astratti. Nell'insegnamento della matematica accade la stessa cosa: nei primi anni di scuola ci si concentra soprattutto sulle situazioni reali, poi, con il passare del tempo, sempre più l'attenzione si sposta sulle proprietà degli oggetti astratti.
    Lo stesso accade per la geometria. Punti, rette, cerchi, triangoli, ...: sono oggetti creati dalla mente dell'uomo per descrivere alcune proprietà del mondo reale. Quando però leggiamo un manuale di geometria l'interesse si concentra sulle proprietà degli oggetti astratti e sulle relazioni che li legano. Ciò rappresenta un pericolo: a volte ci si dimentica che stiamo parlando di oggetti matematici, e attribuiamo loro proprietà prese in prestito dal mondo reale. O viceversa: pretendiamo che il mondo reale abbia davvero le proprietà possedute dagli oggetti astratti.
    La parola "spazio" indica più o meno il contenitore nel quale le cose si trovano. Quando in geometria parliamo dello spazio ci riferiamo naturalmente a modelli matematici: spazio unidimensionale, bidimensionale, euclideo, vettoriale,...

Oggetti Matematici:  Lo spazio

    I punti dello spazio sono separati da distanze più o meno grandi. La distanza tra la Terra e Proxima Centauri, la stella a noi più vicina, è di 4.2 anni - luce: questo significa che la luce impiega 4.2 anni a compiere il tragitto da Proxima a Terra (o viceversa, che è lo stesso). In generale, misurare la distanza tra due punti significa costruire una funzione che abbia come input i due punti, e come output un numero positivo (o zero, se i due punti coincidono).

Oggetti Matematici:  Distanza

    La prossima figura mette a confronto due diverse nozioni di distanza nel piano: quella euclidea e quella urbanistica. Entrambi gli output sono sempre non negativi: nel caso euclideo abbiamo la radice di una somma di quadrati, in quello urbanistico una somma di valori assoluti.

   Ecco come calcolare le due distanze di P1 da P2 con R:

P1 <- c(8,4); P2 <- c(2,7)
d_euc <- sqrt( (P2[1]-P1[1])^2 + (P2[2]-P1[2])^2 )
d_urb <- abs( P2[1]-P1[1] ) + abs( P2[2]-P1[2] )
d_euc; d_urb

    Nel nostro studio della geometria abbiamo quindi concentrato la nostra attenzione su uno spazio particolare: il piano euclideo. Si tratta di uno spazio a due dimensioni per il quale si è scelto di adottare la distanza euclidea.

    Le cose si muovono: ciò significa che, con il passare del tempo, esse occupano diverse porzioni di spazio. Uno spostamento nello spazio può essere descritto come una freccia che va dal punto di partenza a quello di arrivo. L'oggetto matematico corrispondente si chiama vettore.

Oggetti Matematici:  Vettori

    Un vettore nel piano euclideo (o nello spazio tridimensionale euclideo) è quindi completamente caratterizzato dalle sue componenti.

    Ma c'è un altro modo di caratterizzare un vettore nel piano: mediante la sua lunghezza e la sua direzione. La lunghezza del vettore è data dalla distanza euclidea tra la coda e la punta del vettore. La direzione del vettore si può misurare con un goniometro, o meglio con l'oggetto matematico astratto che gli corrisponde: il cerchio goniometrico, cioè il cerchio di raggio 1 centrato nell'origine degli assi. I vettori applicati nell'origine, la cui punta cade sul cerchio goniometrico, hanno quindi lunghezza 1, e differiscono tra loro soltanto per la direzione.

Oggetti Matematici:  Direzioni e funzioni circolari

    Le funzioni seno, coseno e tangente hanno come input una direzione, e come output un numero. Se indichiamo l'input con a, allora sin(a) è la componente verticale del versore che ha direzione a, cos(a) è la sua componente orizzontale, tan(a) è la sua pendenza.

    Spesso ci occupiamo di porzioni di piano (o in generale di spazio) che hanno una forma ben definita: segmenti, angoli, quadrati, parabole,... Per descrivere una figura abbiamo bisogno di imporre opportune condizioni: i punti del piano le cui coordinate soddisfano queste condizioni appartengono alla figura, gli altri no. Le condizioni sono espresse da formule, che possono essere equazioni oppure disequazioni.

Oggetti Matematici:  Figure 1Figure 2

    La prossima figura mostra alcuni esempi di figure definite da condizioni. In particolare è interessante notare come si possono usare i connettivi AND e OR per costruire figure più complicate.

{(x,y) : x2+y2 ≤ 1/2}
ossia:
{P : d(P,O) ≤ √(1/2)}
{(x,y) : x2+y2 ≤ 2}
ossia:
{P : d(P,O) ≤ √2}
{(x,y) : 1 ≤ x2+y2}
ossia:
{P : 1 ≤ d(P,O)}
{(x,y) : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2}
intersezione
tra B e C
{(x,y) : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2
OR x2+y2 ≤ 1/2}
unione di A e D

    Con R possiamo verificare se un punto, per esempio il punto (1,1), appartiene oppure no alle figure appena definite. Gli operatori di unione e intersezione sono rispettivamente  |  (che significa OR) e  &  (che significa AND):

A <- function(x,y) x^2+y^2 <= 0.5
B <- function(x,y) x^2+y^2 <= 2
C <- function(x,y) 1 <= x^2+y^2
D <- function(x,y) 1 <= x^2+y^2 & x^2+y^2 <= 2 
E <- function(x,y) (1 <= x^2+y^2 & x^2+y^2 <= 2) | x^2+y^2 <= 0.5
A(1,1); B(1,1); C(1,1); D(1,1); E(1,1)
# FALSE  TRUE    TRUE    TRUE    TRUE

    Una figura del piano euclideo può trasformarsi in un'altra applicandole una funzione che ha come input le coordinate di un punto, come output le coordinate di un altro (o eventualmente lo stesso).

Oggetti Matematici:  Trasformazioni geometriche

    Tra le trasformazioni geometriche sono particolarmente importanti quelle che lasciano invariata la forma e le dimensioni di una figura (si chiamano isometrie), e quelle che ne lasciano invariata soltanto la forma (si chiamano similitudini). Alcuni esempi (la figura originale è quella verde, la figura frutto della trasformazione è quella gialla):

    Per conoscere le dimensioni delle figure nel piano abbiamo bisogno di misurare la lunghezza di linee e l'area di superfici. Se la linea è un segmento di retta, per misurarne la lunghezza ci basta calcolare la distanza euclidea tra i suoi estremi. Per una linea curva possiamo solo procedere per approssimazioni successive: approssimiamo cioè la linea con una spezzata fatta di segmenti, ciascuno dei quali ha in comune solo un estremo con il precedente. La lunghezza della spezzata è certamente minore rispetto alla lunghezza della linea, ma se infittiamo la spezzata, facendo tendere all'infinito il numero di segmenti che la compongono, di solito accade che la lunghezza della spezzata tenda verso un limite finito. In tal caso diremo che questo limite finito è la lunghezza della linea.

Oggetti Matematici:  Lunghezza

    L'area di una superficie si misura in modo analogo, tramite cioè un processo di approssimazioni successive. Un'approssimazione per difetto si ottiene contando quante copie di oggetti di forma quadrata si possono inserire, senza sovrapposizioni, in tale superficie. Si può cominciare per esempio con quadrati di area 1 (cioè quadrati il cui lato ha lunghezza 1). L'approssimazione si può migliorare ricorrendo a quadrati di lato 0.1, cioè di area 0.01. Se facciamo tendere a zero l'area dei quadrati, e quindi all'infinito il loro numero, il risultato del conteggio può stabilizzarsi su un limite finito: in questo caso diciamo che tale limite è l'area della superficie che stiamo misurando.

Oggetti Matematici:  Area

    Nella voce precedente abbiamo visto anche come calcolare l'area del cerchio. In questo caso conviene approssimarla calcolando l'area dell'N-agono regolare in esso inscritto. Basta moltiplicare per N l'area di un triangolo isoscele che ha un vertice nel centro e gli altri due sul cerchio. Facendo tendere N all'infinito il risultato ha come limite l'area di un triangolo che ha per base la lunghezza 2πR del cerchio, e per altezza il suo raggio R. L'area del cerchio è quindi π·R². Una conferma numerica si ottiene ragionando sulla figura seguente ...

 N        Area
12    -> 3 
24    -> 3.105829 
48    -> 3.132629 
96    -> 3.13935 
192   -> 3.141032 
384   -> 3.141452 
768   -> 3.141558 
1536  -> 3.141584 
3072  -> 3.14159 
6144  -> 3.141592 
12288 -> 3.141593 
24576 -> 3.141593
A <- function(N) N*sin(pi/N)*cos(pi/N)
N <- 6
for(i in 1:12){N <- N*2; cat( N,'->',A(N),'\n') }

    Tra le figure più importanti delle quali ci si occupa nello studio della geometria vanno certamente annoverati i triangoli, figure che hanno molte proprietà interessanti.

Oggetti Matematici:  Triangoli

    Abbiamo definito la distanza tra due punti, convenendo di usare, tra tutte quelle possibili, la nozione di distanza euclidea. Come possiamo definire la distanza tra due figure, che sono ciascuna un insieme di infiniti punti? L'idea di partenza è abbastanza semplice: consideriamo la coppia di punti (il primo appartiene a una figura, il secondo all'altra) che ha distanza minima. Questa distanza la definiamo come distanza tra le due figure.

Oggetti Matematici:  Distanza tra figure

    Interessanti considerazioni geometriche nascono dal problema di proiettare una superficie, collocata nello spazio tridimensionale, sopra un'altra superficie, collocata in modo diverso. E' quel che accade, per esempio, quando un cartello stradale illuminato dal sole proietta la sua ombra sul piano della strada.

Oggetti Matematici:  Proiezioni tra superfici

    Problemi di questo tipo sono quelli incontrati dai pittori, che riproducono sulla superficie della tela gli oggetti e le figure che osservano nello spazio intorno a loro. La prospettiva è proprio l'arte di rappresentare, in modo realistico, oggetti tridimensionali sopra una superficie bidimensionale.

Oggetti Matematici:  Prospettiva

    Problemi dello stesso tipo sono quelli incontrati dai cartografi, che devono rappresentare la superficie curva della terra, o di una sua porzione, sopra la superficie piana di una carta geografica.

Oggetti Matematici:  Rappresentazioni cartografiche

    Un aspetto interessante di questa voce è la dimostrazione che la superficie della sfera è uguale all'area laterale del cilindro che la circoscrive, cioè a 4πR², dove R è il raggio della sfera.
    Si può infatti verificare che una porzione di superficie sferica ha la stessa estensione della sua proiezione su un cilindro che la circoscrive. Consideriamo la piccola porzione di superficie evidenziata nell'immagine a lato; essa è compresa tra due meridiani e due paralleli "vicini". La sua proiezione sul cilindro è un rettangolo con la stessa area, in quanto è dimostrabile che se il lato AB viene ingrandito dilatandosi di un certo fattore k maggiore di 1, il lato AC rimpicciolisce, dilatandosi del fattore 1/k.
  

    Per il calcolo dei volumi valgono considerazioni analoghe a quelle viste per il calcolo dell'area: si tratta di inserire nel solido, senza sovrapposizioni, cubi di volume 1, poi cubi di volume 0.001, poi... Se il conteggio tende a un limite finito, questo limite è il volume che stiamo cercando.

Oggetti Matematici:  Il volume

    Un risultato interessante di questa voce riguarda il volume delle piramidi. Il risultato è analogo a quello visto nel caso bidimensionale: come l'area di un triangolo è la metà di quella di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza, così il volume di una piramide è un terzo di quello di un prisma con la stessa base e la stessa altezza, come mostrato a sinistra nella prossima figura.

    Per calcolare il volume della sfera, in modo analogo a quanto visto per il calcolo dell'area del cerchio, conviene approssimare la sfera con l'unione di tante piramidi. Al crescere del numero di piramidi, e al decrescere della loro area di base, il volume di questa unione tende al volume della sfera. Il volume di ciascuna di queste piramidi è pari ad un terzo della superficie di base moltiplicata per l'altezza; questa tende a coincidere con il raggio R della sfera, mentre la somma delle superfici di base tende a coincidere con la superficie totale della sfera, che sappiamo calcolare. Quindi il volume della sfera è  Superficie·R/3 = 4πR²·R/3 =4/3·π·R³.

    Tra le figure più importanti dobbiamo ricordare i grafici delle funzioni che hanno per input un numero reale e per output un altro numero reale. Una caratteristica geometrica di grande interesse è la loro pendenza locale, cioè la pendenza della tangente in ciascun punto del grafico. In fisica, per esempio, la pendenza locale del grafico tempo - posizione è la velocità del corpo che si muove. La pendenza locale del grafico tempo - velocità a sua volta, è l'accelerazione del corpo. In generale, il problema di determinare rette tangenti è introdotto nelle voci:

Oggetti Matematici:  Pendenza 2 e Rette tangenti e curve

    Le idee con cui abbiamo affrontato il problema di come determinare la tangente a una curva in un punto possono essere generalizzate e formalizzate per mettere a punto il concetto di derivata, che ci permetterà di affrontare in modo più semplice lo studio delle curve.