La derivazione di funzioni
Come varia l'andamento di una funzione
1. Il concetto di pendenza
2. La funzione derivata
3. Alcuni esempi di calcolo di derivate
4. Derivabilità e continuità
5. Notazioni e proprietà
6. La derivazione di sin e cos (rinviabile)
7. La derivazione della funzione esponenziale (rinviabile)
8. Esercizi
Sintesi
1. Il concetto di pendenza
Il grafico che segue rappresenta una funzione interessante: la temperatura al variare del tempo rilevata alla stazione meteo di Sassello (paese ad 800 m di altitudine, in provincia di Savona), nei primi 8 giorni del febbraio del 2012. Abbiamo riportato solo i valori registrati ogni 3 ore. [qui lo script in cui puoi recuperare i dati]
Vediamo che c'è stato un periodo di circa 1 giorno e mezzo (36 ore) durante il quale la temperatura non è praticamente cambiata. Ci sono stati poi periodi caratterizzati da brusche variazioni di temperatura: drastiche diminuzioni, seguite da improvvisi aumenti.
| Qual è il periodo in cui la temperatura è rimasta più o meno costante? Intorno a quale valore intero essa ha oscillato? Qual è stata la velocità media di variazione della temperatura (misurata in °C all'ora) nell'intervallo di 6 ore in cui essa è cresciuta più rapidamente? |
A destra un'altra immagine: mostra come è cambiata la temperatura di un termometro che abbiamo tolto da una pentola di acqua calda, lasciandolo poi raffreddare a contatto con l'ambiente esterno. Vediamo che la temperatura è andata sempre diminuendo: più rapidamente all'inizio, poi via via più lentamente al passare dei secondi. [qui lo script in cui puoi recuperare i dati] | ||||
|
Un altro esempio. Riempo con del liquido la piccola cisterna fatta "a scalini" raffigurata sotto, dove le dimensioni sono indicate in cm. Vediamo come varia il livello h (in cm) all'aumentare del volume V (in litri) del liquido immesso:
inizialmente il livello cresce proporzionalmente al volume;
quando si raggiunge il livello 50 la sezione del recipiente si riduce per cui dopo h cresce più rapidamente (la sezione si dimezza per cui il liquido si innalzerà con velocità doppia);
arrivati al livello 100 la sezione si riduce ulteriormente per cui la velocità con cui varia h aumenta ancora.
Il grafico sottostante, al centro, evidenzia come è variato il livello del liquido
al crescere del suo volume.
La velocità con cui h varia al variare di V nel primo tratto è 50/1000 = 0.05 cm/litro. Poi, al dimezzarsi della sezione, la velocità raddoppia e diventa 0.1 cm/litro. Infine nell'ultima parte di cisterna diventa di 0.2 cm/litro. Il grafico a destra illustra come cambia la velocità con cui varia h.
|
L'acqua arriva alla quantità di 1500 litri innalzandosi di 1 mm per litro. Con che velocità
di innalzamento prosegue?
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Consideriamo le funzioni rappresentate a lato: f: x → x2 g: x → √x. |
2. La funzione derivata
Nell'esempio discusso nel quesito 1 abbiamo visto come l'esame della pendenza di un grafico
consenta di discutere efficacemente della velocità con cui varia un fenomeno, in
questo caso della velocità con cui cambia la temperatura in una certa località.
Nel quesito 2 abbiamo considerato un fenomeno in cui la pendenza del grafico
cambia con continuità, in un modo che intuiamo possa essere descritto con una funzione.
Nel caso del fenomeno considerato nel quesito 3 possiamo trovare la pendenza dei tre tratti
che ne costituiscono il grafico. Nei due punti che corrispondono a V=1000 e a V=1500
la pendenza varia di scatto: ad esempio a sinistra di V=1000 è 50/1000 = 0.05, a destra
è 50/500 = 0.1.
Negli ultimi casi siamo di fronte a due grafici di funzioni astratte. Abbiamo visto come
calcolare la pendenza di segmenti che ne congiungono due punti. Si capisce che man mano che
il secondo punto si avvicina al primo abbiamo una stima più precisa della pendenza
della curva nel primo punto. Abbiamo anche visto che la
seconda funzione, che è l'inversa della prima ristretta agli input non negativi,
ha pendenza che in qualche modo è collegata a quella del grafico della prima funzione.
Vediamo, ora, come precisare queste idee.
Avrai sentito parlare di "tasso tendenziale di inflazione", "aumento tendenziale della produzione", . Si tratta di indicatori economici con cui si cerca di descrivere la situazione attuale e individuare come essa evolverebbe se le cose continuassero ad andare come negli ultimi tempi. Analogamente, se nell'ultimo anno la temperatura media sulla Terra fosse salita di 0.04° potremmo dire che questa è la tendenza con cui varia la temperatura sul nostro Pianeta; potremmo prevedere che tra 5 anni la temperatura sarà variata di 0.04·5 = 0.2 gradi. Ma in entrambi i casi si tratta solo di approssimazioni di come evolveranno i fenomeni, che saranno tanto migliori quanto più la produzione o la temperatura della terra varieranno proporzionalmente allo scorrere del tempo; e questo avverrà con una buona approssimazione solo per durate relativamente piccole.
In generale, data una funzione F (continua) di una generica variabile x , possiamo considerare la variazione tendenziale di F(x), ossia la variazione che F(x) subirebbe passando da x a x+Δx se
in tale intervallo le variazioni dell'output fossero proporzionali a quelle dell'input, cioè se la funzione proseguisse con grafico rettilineo, cioè se fosse lineare.
Viene usata la notazione
Nella figura seguente la funzione che ha tale retta come grafico è indicata T. La variazione dell'input per F (Δx)
e per T (dx) sono ovviamente uguali.
La retta considerata viene chiamata tangente al grafico di F nel punto P di esso avente ascissa x.
Passando da x a x+Δx la funzione cambia andamento; a un certo punto inizia addirittura a decrescere.
In questo caso la mia approssimazione di
Il concetto di limite ci consente di descrivere meglio il concetto di retta tangente.
Considero il punto P0 della curva a fianco.
La retta PP0 man mano che P si avvicina a P0 muovendosi
lungo la curva tende a disporsi come la retta che intuitivamente considereremmo la tangente. Posso dunque
pensare di descrivere tale tangente con l'espressione
lim P → P0 P0P. Nel punto P2 si presenta un nodo. Se pensiamo la curva come una traiettoria, si tratta di un punto che viene percorso due volte, in due successivi istanti. Se descrivessi matematicamente la curva, a seconda del percorso con cui mi avvicinassi a P2, otterrei due diverse tangenti. Nel caso di P1 ho invece un'unica tangente. Ora abbiamo gli strumenti per precisare queste idee nel caso dei grafici di funzione. |
Dato un particolare input x0 di una funzione F, si definisce derivata di F in x0 la pendenza della retta a cui tende la retta PQ sotto raffigurata (P è il punto del grafico di F di ascissa x0 e Q è quello di ascissa x0+h) al tendere di h a 0 (con h abbiamo indicato, per brevità, la variazione Δx dell'input):
lim h → 0 | F(x0 + h) F(x0) |
| |
h |
Δx = h ΔF(x) = yQ yP = F(x0 + h) F(x0) P = (x0, F(x0)) Q = (x0+h, F(x0+h)) |
Nota. Nelle immagini abbiamo considerato variazioni h positive, ma è da
intendersi che può essere anche |
Dunque per x→1/2 la funzione è approssimabile con una funzione lineare di coefficiente direttivo 1: T(x) = 1·(x − 0.5) + 0.25 |
| Come puoi dedurre da quanto ora trovato che la derivata di √x in 0.25 è 1? |
La derivata di una funzione F (a 1 input e 1 output, e continua) si chiama così in quanto deriva, si ottiene da F. La derivata di F viene di solito indicata F'. L'operazione di ottenere F' da F viene chiamata derivare F. La funzione originaria si chiama primitiva (o antiderivata) della nuova funzione così ottenuta, ossia F è una primitiva di F'.
3. Alcuni esempi di calcolo di derivate
Vi sono alcuni casi semplici in cui è immediato determinare la funzione derivata.
Se una funzione F è costante (ad es. la temperatura in un buon frigorifero in
funzione del tempo, a patto che esso non venga mai aperto), del tipo F(x) = k, al variare dell'input
(x = tempo) si ha sempre lo stesso output (la stessa temperatura); quindi ΔF(x) vale sempre 0.
Sia da questo fatto che dal fatto che si tratta di un grafico orizzontale e quindi con pendenza nulla,
possiamo subito dedurre che F'(x) = 0 per ogni x.
Se la funzione, invece, ha uscite che crescono proporzionalmente al crescere dell'input (ad es. il peso di un
contenitore cilindrico al variare dell'acqua in esso contenuta), ossia se è una funzione polinomiale
di 1° grado, del tipo F(x) = ax + b, la funzione derivata dovrà avere un valore
costante e positivo (ad ogni tot di acqua in più corrisponde un altro tot di peso in più,
indipendentemente da quanta acqua ci fosse prima). La cosa può essere dedotta più precisamente
pensando al grafico: è una retta inclinata; la sua pendenza è la derivata: F'(x) = a
per ogni x. In altre parole la funzione lineare che approssima F è F stessa, che ha come coefficiente
direttivo a.
Esempio D.
Determiniamo la funzione derivata di x → x2.
Possiamo procedere come per l'esempio C, con un generico x al posto di 1/2.
| = |
| = |
| = |
| = |
|
Esempio E. Determiniamo la funzione derivata di x → x3.
| = |
| = |
| = |
| = |
|
Esempio F. Determiniamo la funzione derivata di x → xn (per n intero positivo).
| = |
| = |
| = |
| = |
|
Nello sviluppo di (x+h)n, ossia nel calcolo del prodotto
tra n fattori (x+h)(x+h)
(x+h), compare la somma di n termini uguali a
I grafici di alcune funzioni x → xn e delle loro derivate:
Usando D per indicare l'operazione di derivazione, possiamo esprimere la regola precedente con:
Evitiamo di dimostrare che la regola si può estendere dai numeri naturali n ad ogni numero reale α:
Quindi: Dx(x2.5) = 2.5·x1.5 Dx(√x) = Dx(x1/2) = 1/2·x−1/2 Dx(1/x) = Dx(x−1) = −1·x−2
Ci limitiamo a verificarlo graficamente, tracciando il grafico di F e di F', approssimando F' nel seguente modo [avendo messo F in function f(x) e F' in function h(x)]:
F è il grafico blu, F' utilizzando la formula è il grafico verde, quello trovato con l'approssimazione grafica è quello rosso, che si sovrappone a quello trovato con la formula, a conferma che la formula è corretta.
Qui puoi trovare gli script che producono i precedenti grafici: uno, due, tre.
4. Derivabilità e continuità
I concetti di derivata e differenziale sono stati introdotti per studiare come al variare dell'input varia l'output di una funzione continua. Non è detto, comunque, che una funzione continua in un intervallo sia derivabile in tutti i punti interni ad esso.
Consideriamo ad esempio la funzione
|
5. Notazioni e proprietà
Abbiamo visto che, data una funzione f, la sua funzione derivata si indica f', dove l'apice "'" sta a indicare che si tratta di una nuova funzione rispetto a f. Ma esistono anche altre notazioni, in alcuni casi più utili di questa. Ecco le notazioni più usate per indicare la derivata di f in x (le ultime due si usano se si è convenuto di indicare f(x) con y):
f '(x) | ( f(x) )'x | D(f)(x) | Dx ( f(x) ) |
|
y '(x) |
|
||||||
(a) | (b) | (c) | (d) | (e) | (f) | (g) |
Può essere comodo pensare la notazione
d f(x) /d x
come una abbreviazione
di
Le formule seguenti, in cui f e g sono funzioni e k è un numero, presentano due proprietà di base delle derivate che facilitano il calcolo delle derivate di vari tipi di funzioni (con esse e quanto visto nell'esempio F siamo in particolare in grado di derivare tutte le funzioni polinomiali):
D(kf) = kD(f) | D(f+g) = D(f)+D(g) |
Dx(k f(x)) = k Dx(f(x)) | Dx(f(x)+g(x)) = Dx(f(x)) + Dx(g(x)) |
Ne vediamo un esempio d'uso e poi le motiviamo:
Dx(3x2 + 2√x) = Dx(3x2) + Dx(2√x) = 3Dx(x2) + 2Dx(√x) = 3·2x + 2·1/(2√x) = 6x + 1/√x
Abbiamo usato la seconda proprietà, poi la prima e, infine,
La validità di queste formule è facilmente giustificabile:
Se, al variare di x, f(x) varia di una quantità Q, allora, alla stessa variazione di x, k·f(x) varia di k·Q. In breve:
Se, al variare di x, f(x) varia di una quantità Q e g(x) varia di una quantità R, allora, alla stessa variazione di x, f(x)+g(x) varia di Q+R. In breve:
Attenzione 1. Dx(7√x) = 7Dx(√x) ma Dx(√(7x)) non equivale a 7Dx(√x).
Attenzione 2.
Prima di mettersi ad usare delle formule conviene sempre ragionare. Per un esempio banale
si pensi a
|
Utilizzando opportunamente il concetto di derivata, individua il vertice della parabola
di equazione y = |
Vedremo altre proprietà delle derivate nei due paragrafi successivi. Si tratta di proprietà che vengono solo accennate: in alcune classi possono servire per affrontare qualche tematica particolare, nelle altre possono essere affrontate successivamente. Nei prossimi anni, comunque, approfondirete lo studio della derivazione.
6. La derivazione di sin e cos
Nella scheda La matematica e lo spazio 2 abbiamo introdotto le funzioni circolari ed abbiamo visto come le rotazioni possono essere espresse sian usando l'unità di misura grado sia come numeri puri, usando la strada che occorre percorrere lungo il cerchio di raggio 1 a partire dal punto più a destra del cerchio. Abbiamo visto anche che, quando si vuole chiarire che non si stanno usando i gradi, si può aggiungere l'espressione radianti.
In fondo alla scheda Il concetto di limite abbiamo considerato lo script seno che ci illustra in modo animato il significato della funzione sin. Sotto ne abbiamo riprodotto un'immagine.
Si vede in particolare che a 210°, ovvero a π+π/6 (radianti), corrisponde il seno di −1/2.
Possimo verificare ciò con la grande CT:
210^ = 3.6651914291880923 sin(3.6651914291880923) = -0.5
Con questo script posso studiare l'andamento della funzione cos, ed osservare che ha lo stesso grafico di sin, traslato a sinsitra di 90°. Con la CT ho cos(3.6651914291880923) = -0.8660254037844386. Ma posso anche usare il teorema di Pitagora: cos(210°) = -√(1-sin(210°)^2) = -√(1-1/2²) = -√(3/4) = -√3/2 = -0.8660254037844386 |
Studiamo la derivata di sin, ovvero la pendenza del grafico y = sin(x). Tale grafico ha andamento periodico e, quindi, avrà andamento periodico anche la sua pendenza, con lo stesso periodo. Possiamo studiare la cosa con uno script analogo a quelli considerati per y=x^n, deriv_sin, che traccia in blu il grafico di sin e in rosso il grafico della sua derivata (sull'asse x sono segnati i radianti, non i gradi):
Si percepisce immediatamente che il grafico rosso non è altro che il grafico della funzione cos. Si può effettivamente dimostrare che D(sin) = cos.
cos ha lo stesso grafico del seno, spostato a sinsitra di π/2. Usiamo, analogamente a prima, lo script deriv_cos:
Il grafico della derivata (F') è quello di sin capovolto verticalmente, ossia cambiato di segno: D(cos) = −sin.
Sotto è riportato il grafico (verde) di
Come si vede, la frequenza viene raddoppiata: moltiplicando per 2 l'input il grafico viene
infittito di un fattore 2, e la pendenza viene moltiplicata per 2. Avevamo che:
Dxcos(x) = −sin(x), abbiamo che:
Analogamente, avevamo che:
Dxsin(x) = cos(x), abbiamo che:
Abbiamo esiti analoghi se al posto di 2 c'è un'altra costante:
| Qual è il periodo di x → sin(3x)? Qual è la pendenza della tangente al suo grafico nel punto di ascissa π/3? |
7. La derivazione della funzione esponenziale
A lato è tracciato il grafico della funzione | |
20.4 = 24/10 = 22/5 = (22)1/5 = 5√4. | |
Con un mezzo di calcolo ottengo valori anche
per altri esponenti; per 2π (2^PI) con la grande CT
ottengo (arrotondato) 8.82497782707629 Ricordiamo come i calcoli con esponenti non finiti sono definti a partire da quelli con esponenti finiti (I Numeri 2): |
π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 | ||
23 = 8 | ≤ 2π ≤ | 24 = 16 |
23.1 = 10√(231) = 8.5741877002 | ≤ 2π ≤ | 23.2 = 10√(232) = 9.1895868399 |
23.14 = 50√(2157) = 8.8152409270 | ≤ 2π ≤ | 23.15 = 20√(263) = 8.8765557765 |
... | ... | ... |
23.141592 = 8.8249738290 | ≤ 2π ≤ | 23.141593 = 8.8249799460 |
... | ... | ... |
Dal grafico si capisce che la funzione cresce via via più rapidamente. Per un esempio pensa ad una agenzia che presta ad una persona una certa somma di denaro e le chiede la restituzione della stessa somma di denaro moltiplicata per 2A, dove A è il tempo trascorso in anni. Se restituisce il denaro subito lo rende non aumentato, in quanto 20 = 1; se lo restituisce dopo 1 anno deve raddoppiarlo in quanto 21 = 2; dopo 2 anni deve quadruplicarlo in quanto 22 = 4; e così via. Dopo un quarto di anno deve moltiplicarlo per 21/4 = 1.1892 .
Per un altro esempio pensa ad una popolazione di numerosi batteri. In opportune condizioni ciascun batterio si duplica trascorso un certo intervallo di tempo, per cui si ha che complessivamente la popolazione viene moltiplicata per 2T, dove T è il tempo trascorso prendendo come unità di misura il tempo per la duplicazione. Se inizialmente i batteri erano 1000, trascorso il tempo 10 T essi sono 1000·210 = 1024000.
Entrambe le situazioni sono rappresentate graficamente da curve simili a quella raffigurata sopra.
Le funzioni x → 2x e, più in generale, x → Bx (con B positivo e diverso da 1)
si chiamano esponenziali in quanto dipendono dal valore dell'esponente. È
evidente quanto sia utile valutare la velocità con cui cresce una funzione di questo genere.
Facciamolo con degli script per tracciare insieme al grafico di una funzione F (blu) quello di F' (rosso) come quelli introdotti
nel §3. La prima delle seguenti figure è ottenuta con 2aX,
che traccia il grafico di y=2^x e della sua derivata. Come si vede, il grafico di questa sembra essere ottenuto da quello
della funzione scalando verticalmente.
L'ipotesi è confermato dalla seconda figura, ottenuta con
23aX,
il grafico di y=2.3^x e della sua derivata. I due grafici sono ora più vicini.
La terza figura è ottenuta con EaX,
in cui viene considerata y=2.718281828459045^x e si ottiene
Si può effettivamente dimostrare che la funzione x → Bx
che ha per derivata sé stessa è quella in cui B = 2.71828182845904523536028747135
.
È un numero irrazionale, indicato con e e chiamato numero di Nepero.
La funzione x → ex viene in genere indicata exp. Negli script
è indicata Math.exp. Dunque:
Nella nostra grande CT il numero di Nepero e è indicato NE e la funzione exp col tasto [exp].
Negli altri casi, Dx(2x) = 0.69314718·2x, Dx(2.3x) = 0.83290912·2.3x. Vedrai successivamente che il coefficiente moltiplicativo lo si ottiene utilizzando la particolare funzione log (logaritmo), presente anche nella nostra grande CT.
| Calcola utilizzando la grande CT log(2), log(2.3), log(e2.5), elog(2.5). |
Dunque: Dx(ax) = log(a)·ax
Le funzioni esponenziali hanno per derivata la stessa funzione esponenziale moltiplicata per una costante positiva; quindi se le derivassimo ulteriormente otterremmo ancora delle funzioni esponenziali moltiplicate per una costante positiva. Le funzioni polinomiali, invece, derivate successivamente assumono un grafico via via più piatto, fino a diventare rettilineo. La funzione log, come avrai capito dal quesito 9, è la funzione inversa di exp.
Tutte le funzioni esponenziali in 0 valgono 1, ossia hanno grafico per passa per (0,1). La funzione exp, avendo come derivata sé stessa, in 1 ha come derivata 1 e quindi ha tangente con pendenza 1. Abbiamo, dunque, quanto rappresentato nella figura qui a destra. |
8. Esercizi
| Espolora i file con cui sono stati tracciati i grafici che precedono il quesito 3, uno e due, e inividua i comandi specifici introdotti per generarli. |
| Schizza il grafico di x → |(x−3)²−2|. Fai uno schizzo della sua derivata (senza l'aiuto del computer). |
| Traccia il grafico di x → (x−2)·(x+2) e schizza quello della sua pendenza. |
| Trova la pendenza della retta tangente a y = 3·x²−1 nel punto di ascissa 1. Traccia il grafico della curva e quello della retta. |
| Traccia il grafico di x → (x−2)·(x−1)·(x+2) (controlla quanto hai prodotto col computer) e schizza quello della sua pendenza. |
| Se F(x) vale x per x < 2 e 2·x−2 altrimenti, esiste F'(2)? |
| Se G(x) vale x² per x < 1 e 2x−1 per x ≥ 1, esiste G'(1)? |
| Se H(x) vale x²/2 per x ≥ 0 e 0 per x < 0, esiste H'(0)? |
| Se una funzione polinomiale ha esponente pari come è (pari o dispari) quello della sua funzione derivata? E se ha esponente dispari? |
|
Modifica questo script, che traccia il grafico di x → 1/(1+x),
in modo che tracci anche il grafico della sua derivata. Prova poi a calcolare |
|
Modifica questo script, che traccia il grafico di x → (x-1)/(x+1),
in modo che tracci anche il grafico della sua derivata. Prova poi a calcolare |
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Se hai affrontato il §6, affronta questo quesito: quanto vale
|
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Se hai affrontato il §6, calcola
|
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Se hai affrontato il §7, traccia il grafico di
|
| Se hai affrontato il §7, esegui questo script e discutine le uscite. |
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Lo script Deriv
consente di tabulare funzioni e approssimare le derivate di funzioni. Attualmente la funzione (in x) è
x1 = 4, x2 = 4.00001 -> DF/Dx = 48.00011999929939 x1 = 4, x2 = 4.0001 -> DF/Dx = 48.00120001004689 x1 = 4, x2 = 4.001 -> DF/Dx = 48.01200100000175 x1 = 4, x2 = 4.01 -> DF/Dx = 48.12009999999947 x1 = 4, x2 = 4.1 -> DF/Dx = 49.2100000000001 x = 4 -> F(x) = 65 x = 3 -> F(x) = 28 x = 2 -> F(x) = 9 x = 1 -> F(x) = 2 x = 0 -> F(x) = 1 Impiegalo (via via modificandolo) per trovare le derivate (o decidere che non esitono) di cui negli esercizi e4, e6, e7, e8. Oppure (per ogni funzione) usa la grande CT, come già fatto alla fine della scheda sui "limiti": (metti in Q il rapporto incrementale usando M come dx, e poi via via scrivi Q come input) |
M = 1e-4 48.00120000993502
M = 1e-3 48.01200100001779
M = 1e-2 48.120099999998445
M = 1e-1 49.20999999999978
1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: differenziale (§2), derivata (§2), rapporto incrementale (§2), primitiva (§2), derivata rispetto ad x di x^α (§3), continuità e derivabilità (§4), derivata di una somma di funzioni (§5) 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |