Le funzioni esponenziale e logaritmo

  1. Richiami
  2. La crescita esponenziale
  3. Un altro esempio
  4. Le funzioni esponenziali e la loro derivazione
  5. I logaritmi: un esempio
  6. I logaritmi: la loro derivazione
  7. Altre proprietà delle funzioni esponenziali e logaritmiche
  8. L'integrazione delle funzioni esponenziali e logaritmiche
  9. Alcune tecniche di derivazione
  10. Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi
  11. Approfondimenti
  12. Esercizi
Sintesi

1. Richiami

    Nelle schede per la classe terza abbiamo già incontrato più volte la funzione esponenziale, ed abbiamo accennato alla sua funzione inversa. Lo abbiamo fatto in modo molto veloce, in parti spesso "facoltative", parlando della derivazione di funzioni, degli integrali e del teorema limite centrale.  In questa scheda riprenderemo e approfondiremo lo studio di queste importantissime funzioni.

2. La crescita esponenziale

    Suppongo che sia possibile organizzare l'allevamento di una certa specie di animali in modo tale che ogni anno il numero dei capi aumenti circa della metà, cioè venga moltiplicato per 1.5. Voglio studiare come aumenterebbe il numero dei capi al passare del tempo, escludendo che vengano venduti o eliminati capi.  Se indico con P(n) il numero per cui si è moltiplicata la popolazione iniziale dopo n anni, ossia se P(n) è la popolazione misurata prendendo come unità la popolazione iniziale, possiamo descrivere la situazione così:
  P(0) = 1, P(n+1) = P(n) · 1.5.   Quindi:
P(1) = 1·1.5 = 1.5,  P(2) = 1.5·1.5 = 2.25,  P(3) = 2.25·1.5 = 3.375,  ..., P(20) = 2216.8…·1.5 = 3325.2…,  ....  Ad esempio dopo 20 anni la popolazione arriverebbe ad essere più di 3000 volte quella iniziale.

P è definita per ricorsione. Ecco un modo semplice per definire ricorsivamente in R e in altre applicazioni una funzione come questa. È indicato anche come ottenerne il grafico riprodotto a destra.
P <- function(n) if (n==0) 1 else Recall(n-1)*1.5 max <- 8 S = P(0); for(i in 1:max) S = c(S, P(i)) # 1 1.5 2.25 3.375 5.0625 7.59375 11.3906 17.0859 25.6289 Plane( 0,max, 0,P(max) ) POINT(0:max,S, "blue") polyli(0:max,S, "blue")

    Si vede che all'aumentare di n P(n) cresce in maniera esplosiva.  Si dice che P(n) ha una crescita esponenziale, in quanto, come è facile capire pensando alla definizione di potenza, P(n) può essere espresso come:    P(n) = 1.5ⁿ   (ossia mediante il calcolo di una potenza che ha l'input come esponente).
    Poiché ad ogni anno la popolazione cresce di una quantità pari al 50% della popolazione dell'anno precedente, la velocità con cui la popolazione varia annualmente è proporzionale alla popolazione stessa.  Possiamo interpretare la cosa anche sul grafico, calcolando la pendenza dei segmenti che si otterrebbero congiungendone i punti:
il primo segmento, che congiunge i punti (0,P(0)) e (1,P(1)), ha pendenza:
ΔP / Δn = (P(1)−P(0))/(1−0) = (1.5−1)/1 = 0.5.   Il secondo:
ΔP / Δn = (P(2)−P(1))/(2−1) = (P(1)·1.5−P(1))/1 = P(1)·0.5.   In generale:
ΔP / Δn = (P(n+1)−P(n))/1 = (P(n)·1.5−P(n)) = P(n)·0.5.
    In altre parole, la pendenza dei vari tratti rettilinei secondo cui si sviluppa il grafico cresce proporzionalmente alle ordinate.

1

Considera un allevamento nel quale il numero dei capi aumenti ogni anno del 30%. Traccia un grafico simile a quello precedente, che mostri come varia anno per anno il numero di capi. Si tratta di una crescita esponenziale? Come cresce la pendenza dei tratti rettilinei secondo cui si sviluppa il grafico?

2

Supponiamo che un tessuto tumorale impieghi circa 15 giorni per aumentare del 100% la propria quantità di cellule e che cominci a dare i primi sintomi clinici quando raggiunge i 500 milioni di cellule. Se al momento attuale il tessuto è costituito da 1 milione di cellule, quanto tempo trascorre, approssimativamente, prima che il tumore incominci a manifestare la sua presenza?

    Una situazione analoga è quella della crescita di un deposito in una banca. Per evidenziare l'analogia con l'esempio precedente supponiamo che la banca applichi un interesse del 50% annuo (nella realtà le banche applicano tassi estremamente più piccoli, per cui non si osserva la crescita "esplosiva" che invece evidenzia il grafico seguente).  Supponiamo che il deposito iniziale sia di 100 € e che non vengano nel frattempo fatti altri versamenti (e non vengano fatti prelevamenti).  Se esprimiamo il tempo t in anni, il deposito in euro D(t) dopo t anni è descrivibile come:
 D(0) = 100,  D(t+1) = D(t) · (1 + 50/100) = D(t) · 1.5   ovvero:  D(t) = 100 · 1.5^t

    Mentre sopra aveva senso valutare la popolazione dell'allevamento solo di anno in anno, qui ha senso considerare anche tempi t non interi:  una persona può ritirare i soldi anche in momenti diversi dalla fine dell'anno, ad esempio dopo 5.5 anni.
    Il calcolo del valore del deposito in questi casi non viene fatto usando la formula, ad esempio calcolando 100·1.5^5.5, ma si calcolano i valori del deposito dopo 5 e 6 anni con 100·1.5⁵ e 100·1.5⁶ e si calcolano quelli intermedi facendo variare il deposito proporzionalmente al tempo.
    In altre parole, invece del grafico di  t → 100 · 1.5^t si considera quello che si ottiene da esso congiungendo i punti ad ascissa intera con dei segmenti:

    Questo è dunque un caso in cui l'andamento è "esponenziale" restringendo il dominio a input t interi, ed è "lineare" in ciascun intervallo tra un input intero e il successivo.  Se vuoi, qui trovi come ottenere i grafici precedenti con R.

3

Il deposito in banca dopo 5 anni e mezzo, calcolato usando direttamente la formula, sarebbe 100·1.55.5 = 930.04. Qual è, invece, il valore corretto?

3. Un altro esempio

    L'esempio iniziale dell'allevamento era poco realistico, ma facile per introdurre l'argomento.  Vi sono situazioni in cui le popolazioni hanno effettivamente un andamento esponenziale. È il caso di vari tipi di microrganismi unicellulari che si riproducono per scissione :  quando la cellula raggiunge una certa dimensione si scinde in due.  In particolari condizioni ambientali all'interno di una popolazione di una di queste specie di microrganismi il tempo medio di vita di una cellula (ossia il tempo medio che passa dalla scissione di una cellula a quello di una cellula da essa generata) è pressocché costante.  In alcuni microrganismi esso può essere di pochi minuti, in altri può essere di qualche giorno.
    In queste condizioni esiste un intervallo di tempo T (tempo di duplicazione) tale che, passando da un qualunque istante t all'istante t+T, la popolazione raddoppi:  infatti gli organismi non si scindono tutti esattamente nello stesso tempo, cosicché nel complesso di una popolazione di svariati milioni di individui si ha un ininterrotto duplicarsi di cellule che dà luogo a una crescita della popolazione praticamente continua e regolare, con velocità di variazione proporzionale alla popolazione stessa.
    Se iniziamo a misurare la popolazione a partire da un certo istante t=0 e indichiamo con P(t) il numero per cui si è moltiplicata dopo il tempo t, ossia se P(t) è la popolazione misurata prendendo come unità la popolazione iniziale, possiamo descrivere la situazione così:
      P(0) = 1,  P(t+T) = P(t)·2,  ovvero:  P(t) = 2ⁿ  se n è il numero delle duplicazioni avvenute nel tempo t.
    Tenendo conto che n lo si ottiene dividendo t per il tempo di duplicazione T, abbiamo anche:
      P(t) = 2 ^{t / T}.

    In questo caso la formula è praticamente applicabile per ogni t, per cui, se da un rilevamento sperimentale ogni 5 minuti otteniamo i valori di P rappresentati graficamente sotto a sinistra, ha senso cercare di approssimare tali punti con una curva, come è fatto sullo stesso grafico.

    Ricaviamo che la popolazione si moltiplica per 16 in 105 minuti; 16 = 2⁴; quindi 4T = 105 minuti. Questi microrganismi duplicano la loro popolazione in 105/4 = 26.25 minuti, ossia in 26'15".
    L'andamento di P in questo caso è dunque descrivibile con la funzione t → 2 ^{t / 26.25}.
    Poiché 2 ^{t / 26.25} = (2^1/26.25 )^t e 2^1/26.25 = 1.0268, possiamo descrivere il fenomeno anche con la formula:
      P(t) = 1.0268 ^t.

    Nel prossimo paragrafo vedremo come calcolare la velocità di variazione all'istante t di fenomeni descritti mediante funzioni del tipo t → a ^t.  Se vuoi, qui trovi come ottenere il grafico precedente con R.

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Una popolazione di batteri raddoppia in un quarto d'ora. Posso scrivere P(t) = 2t/15 per indicare, approssimativamente, il fattore per cui viene moltiplicata la popolazione iniziale dopo t minuti.  Infatti se t = 15  P(t) = 2. Se, come nell'esempio precedente, voglio esprimere P(t) come at, quale valore devo dare ad a?

4. Le funzioni esponenziali e la loro derivazione

    Nella scheda sulla derivazione di funzioni abbiamo visto come si definisce 2^π utilizzando la definzione di una potenza ad esponente frazionario, che ricordiamo:

se a > 0  e  m/n è irriducibile,  a^m/n = ⁿ√(a^m).

    Per rinfrescare la memoria, facciamo la stessa cosa per 2^{1.01001000100001…} (1.01001000100001… è irrazionale in quanto non è periodico). Per semplificare i calcoli usiamo WolframAlpha. Indichiamo con z il numero irrazionale 1.01001000100001….
    I calcoli sono fatti nel modo ora detto:  2^1.02 = 2^102/100 = 2^51/50 = ⁵⁰√(2⁵¹).

2^1	≤ 2^z ≤	2^2
2		4
2^1.01	≤ 2^z ≤	2^1.02
2.013911		2.027919
	...
2^1.01001000100001	≤ 2^z ≤	2^1.01001000100002
2.013925060925787…		2.0139250609258010286…
2^1.01001000100001000001	≤ 2^z ≤	2^1.01001000100001000002
2.0139250609257870692416…		2.0139250609257870692555…

    Fermandomi qui posso concludere che 2^z è arrotondabile con 2.013925060925787069. Proseguendo posso arrotondare il valore con quante cifre voglio. Ricordiamo che in modo simile si posso definire le altre operazioni tra numeri reali.

    Abbiamo richiamato il significato delle funzioni esponenziali, ossia del tipo  F: x → a^x con la base a positiva (se no non potrebbero essere definite su tutto R) e diversa da 1 (se no si tratterebbe della funzione costante x → 1). Abbiamo visto nel §2 che esse esprimono fenomeni in cui una grandezza F(x) cambia con una velocità di variazione proporzionale a F(x) stessa.  Ci aspettiamo, quindi, che la derivata F'(x) sia del tipo k·F(x).  Verifichiamo la cosa ricorrendo alla definizione di derivata:

lim h → 0  ax+h – ax ———— h

=

lim h → 0 ax  ah – 1 ——— h

=

ax  lim h → 0  ah – 1 ——— h

=

ax  ( d ax ) x=0 —— d x

    Dunque ho proprio che D_x (a^x) = k·a^x dove k è la derivata in 0.

    Tra tutte le funzioni esponenziali, ha una particolare importanza quella per cui tale k (cioè la derivata in 0) è 1, ossia che ha come derivata sé stessa.  Il valore della base per cui ciò accade viene indicato con e, numero che viene chiamato numero di Nepero. La animazione a cui si accede cliccando qui dà un'idea di come si può determinare e, e trovare che:   e = 2.71828182845904… (si tratta di un numero irrazionale).
    Dunque x → e ^x è la funzione esponenziale il cui grafico nel punto (0,1) ha pendenza 1.
    y = a^x con a > e ha tangente in (0,1) con pendenza maggiore di 1; se 1 < a < e la pendenza è positiva e minore di 1; se 0 < a < 1 la pendenza è negativa.
    y = h^x e y = (1/h)^x, in quanto h^–x = 1/(h^x) = (1/h)^x, hanno grafici tra loro simmetrici rispetto all'asse y.

    Dunque  D_x(e^x) = e^x.  Questa particolare funzione esponenziale, usatissima in matematica e nelle sue applicazioni, viene spesso scritta "a 1 piano" usando il simbolo exp, ossia scrivendo exp(x) al posto di e^x.
    Le derivate delle altre funzioni esponenziali posso ricondurle a questa. Vediamolo nel caso di x → 2^x:
• cerco di esprime 2 come e^... ; la cosa è fattibile ricorrendo al grafico di x → 2^x e a qualche procedimento per tentativi; ad es. usando R o una calcolatrice posso trovare che exp(1)^0.6931472 = 2; quindi, approssimando a 7 cifre, 2 = e^0.6931472.
• 2^x posso dunque scriverlo approssimativamente come (e^0.6931472)^x e quindi come e^0.6931472·x
• il grafico di x → 2^x = e^0.6931472·x è quello di x → e^x scalato orizzontalmente dividendo le ascisse per 0 .6931472; la pendenza dunque viene moltiplicata per 0 .6931472;
• in definitiva, D_x(2^x) = k·2^x dove k è il numero tale che e^k = 2.

In modo analogo ho che, se a > 0, Dx(ax) = k·ax dove k è il numero tale che ek = a.     In pratica, se indico con il simbolo log la funzione inversa di x → ex, posso scrivere che k = log(a), ovvero che:  Dx(ax) = log(a)·ax.  Nel caso particolare in cui  a = e ritrovo la formula Dx(ex) = ex in quanto log(e) = 1:  il numero a cui elevare e per ottenere e è 1.     Quindi 0 .6931472 è l'arrotondamento di log(2).     Le funzioni inverse delle funzioni esponenziali si chiamano funzioni logaritmiche. Di esse si occupano i prossimi paragrafi.

    Quindi  a^x = e^log(a)·x,  ossia il grafico di x → a^x  è quello di x → e^x  scalato orizzontalmente dividendo le ascisse del fattore log(a).  Se il fattore è maggiore di 1 (ovvero a > e) si ha una contrazione, se è minore (ovvero a < e) una dilatazione (vedi).

5

Calcola la pendenza della tangente al grafico di x → 3.5x nel punto (0,1) [in R ed in altro software la funzione logaritmo è indicata con log]. Controlla sulla prima figura del paragrafo il risultato che ottieni.

5. I logaritmi: un esempio

    Quando dico che l'ordine di grandezza di 1000 è 3 o che quello di 96 mila è 4, e quasi 5, intendo dire nel primo caso che si tratta di 10³, nel secondo caso di un numero compreso tra 10⁴ e 10⁵, e molto vicino a 10⁵.
    Il concetto di ordine di grandezza facilita la descrizione sia dei valori molto grandi (milioni, miliardi, …) che di quelli molto piccoli (milionesimi, miliardesimi) e, come vedremo, la loro rappresentazione grafica. Consideriamo, ad esempio, il diagramma seguente e la sua didascalia.

L'orecchio di una persona di udito buono rileva solo i suoni con frequenza compresa tra, circa, 20 Hz e 20000 Hz: il timpano non è in grado di vibrare a una frequenza che stia fuori da questo intervallo e, quindi, l'orecchio non può trasformare un suono con una frequenza di questo tipo in impulsi nervosi da inviare al cervello. I grafici a lato riportano, per due categorie di persone, come al variare della frequenza (in Hz) dei suoni cambia il volume minimo (in dB, decibel: unità di misura per l'intensità, o volume, del suono) a cui si riesce a percepirli. I suoni meglio percepiti sono quelli attorno ai 3000 Hz.

Per visualizzare meglio l'andamento è stata scelta una scala orizzontale "sproporzionata", realizzata nel modo raffigurato a destra:

i valori delle frequenze sono stati segnati in corrispondenza dei loro ordini di grandezza rappresentati su una usuale scala proporzionata; ad es. 100 sulla scala dei grafici corrisponde alla tacca 2 degli ordini di grandezza in quanto 10²=100, 1000 corrisponde alla tacca 3 in quanto 10³=1000; 30 è stato segnato in corrispondenza di 1.4771… in quanto 10^1.4771…=30.

    Nel fare ciò ho esteso il concetto di ordine di grandezza passando dalle potenze ad esponente intero a quelle ad esponente reale. Potrei dire che l'ordine di grandezza di 30 è 1.4771…, ma, come so, si preferisce dire che è 1. Si dice, invece, che 1.4771… è il logaritmo decimale di 30; simbolicamente si scrive: 1.4771… = Log(30). In pratica il logaritmo decimale è un'estensione del concetto di ordine di grandezza.
    In modo sintetico posso dire che la funzione Log è la funzione inversa di x → 10^x :  h è il logaritmo decimale di k se 10^h = k.  Si usa Log riservando il simbolo log, come visto alla fine del paragrafo precedente, alla funzione inversa di exp. Invece di Log si usa anche log ₁₀ .

    La scala per le frequenze usata nel diagramma precedente viene chiamata scala logaritmica in quanto i valori sono rappresentati a distanze proporzionali non ai valori stessi ma ai loro logaritmi decimali.  Si tratta di una scala che si usa quando si vogliono rappresentare assieme valori con ordini di grandezza molto diversi:  in una usuale scala come avremmo potuto rappresentare assieme 30, 50, 80 e 5000?  non saremmo stati in grado di differenziare i primi tre valori, che si sarebbero ammucchiati in uno stesso punto dell'asse.

6      1)  A lato è riprodotto il grafico che alla frequenza di un suono associa il volume minimo a cui una persona sana riesce ad udirlo. È corretto dire che al variare della frequenza tra 30 Hz e 500 Hz il volume a cui si è in grado di percepirlo varia in modo lineare? Perché? 2)  Qui trovi come è stato realizzato il grafico a lato con R. Prova a completare il file in modo da ottenere anche l'altro grafico rappresentato nella figura all'inizio del paragrafo.

6. I logaritmi: la loro derivazione

    Nei punti precedenti abbiamo introdotto due esempi di funzioni logaritmiche, ossia di funzioni inverse di funzioni esponenziali:
• la funzione log, inversa di x → e^x, detta logaritmo naturale e indicata anche col simbolo ln,
• la funzione Log, inversa di x → 10^x, detta logaritmo decimale.
    Più in generale per ogni numero positivo a diverso da 1, si chiama logaritmo in base a e si indica log_a, la funzione inversa di x → a^x. In particolare abbiamo che  Log = log₁₀ e che  log = log_e.
    Ovviamente, avendo exp immagine positiva, il domino di log è (0,∞).
    Ecco i grafici delle funzioni logaritmiche che sono le inverse delle funzioni esponenziali rappresentate graficamente nel §4.  Come si vede, i loro grafici sono simmetrici ai precedenti rispetto alla bisettrice del primo quadrante.  I grafici delle esponenziali erano ottemibili da quello di exp mediante dilatazioni orizzontali di fattore log(a), quelli delle logaritmiche sono ottemibili da quello di log mediante dilatazioni verticali di fattore log(a).

    Sotto a sinistra sono rappresentate exp e log.  La prima in (0,1) ha tangente T1 con pendenza 1, in quanto d(exp(x))/dx = exp(x) ed exp(0)=1;  la seconda in (1,0) ha tangente T2 simmetrica a T1 rispetto alla precedente bisettrice del 1º quadrante, quindi anch'essa è di pendenza 1; quindi la derivata di log in 1 vale 1.  In 1 exp vale e; in (1,e) la tangente ha pendenza e in quanto exp(1)=e;  log in e ha tangente simmetrica alla precedente rispetto alla bisettrice del 1º quadrante, e quindi con pendenza reciproca, pari ad 1/e.
    Qual è la derivata di log in 5? È la pendenza alla tangente alla curva nel punto di ascissa 5. Questo è il simmetrico rispetto alla bisettrice del 1º quadrante del punto di ordinata 5 del grafico di exp, che ha ascissa log(5); qui la tangente a tale grafico ha pendenza exp(log(5)) = 5. Quindi la pendenza in 5 della tangente al grafico di log è il reciproco, 1/5.  In generale, D_x ( log(x) ) = 1/x.

    In modo simile posso determinare d( log ₂ (x) ) /dx, ad esempio in 4. La derivata in 4 è pari al reciproco della derivata di 2^x nel punto q in cui 2^x vale 4 (nel nostro caso q=2). La derivata di 2^x è log(2)·2^x, che, quindi, in q vale log(2)·4.  Quindi la derivata cercata è 1/(log(2)·4).  In modo del tutto analogo trovo che  D_x ( log ₂ (x) ) = 1/(log(2)·x), e, in generale,  D_x ( log _a (x) ) = 1/(log(a)·x).

    Ecco, ad esempio, il calcolo di D_x=2 ( log _1/2 (x) ), ossia della pendenza della tangente nel punto di ascissa 2 del grafico sopra a destra:  1/(log(1/2)·2) = −2.88539 (arrotondamento).

    Abbiamo visto che  D_x(a^x) = log(a)·a^x  e che  D_x ( log _a (x) ) = 1 / x / log(a).
    Abbiamo visto che  a^x = e^log(a)·x.  Analogamente si trova che  log_a(x) = log(x) / log(a).
    Queste sono tutte conseguenze immediate di quanto osservato prima del quesito 5 (vedi), sulle trasformazioni di scala che mettono in relazione grafici riferiti a basi diverse.

    Un trucco che può venire in aiuto se non vengono in mente queste cose è quello di ricorrere opportunamente alle trasformazioni  x = e^log(x)  e  log(p^q) = q·log(p).  Ad esempio x^x, ricordando quanto visto nel paragrafo precedente, posso scriverlo come e^log(x)·x.  Potrei tuttavia arrivare alla stessa espressione usando la prima trasformazione ora richiamata: x^x = (e^log(x) )^x = e^log(x)·x.
 

7

Risolvi le equazioni che seguono.  A volte la soluzione si vede senza bisogno di manipolazioni strane: basta riflettere sul quello che l'equazione significa.  A volte ti conviene usare una calcolatrice per cercare di avvicinarti il più possibile alla soluzione.  Altre volte si vede che non c'è alcuna soluzione. 2x = 16,   log 2 (x) = 3,   3x = −2,   log x (81) = 4,   52 = x,   4x = 20,   log 5 (31) = x, x3 = 10,   log 5 (x) = 2,   log x (5) = 2,   log x (−5) = 2,   log 2 (x) = 2.5

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Trova le equazioni delle rette tangenti a y = 0.5x nel punto di ascissa −2  e a  y = log 0.5 (x)  nel punto di ascissa 3.

Ecco come si possono effettuare i calcoli delle derivate con R:
f=function(x) exp(x); g=function(x) 2^x; h=function(x) log(x); k=function(x) log(x)/log(2)
deriv(f,"x"); deriv(g,"x"); deriv(h,"x"); deriv(k,"x")
#  exp(x)      2^x*log(2)       1/x        1/x/log(2)
Con WolframAlpha basta digitare: d(exp(x))/dx   d(2^x)/dx   d(log(x))/dx   d(log2(x))/dx

7. Altre proprietà delle funzioni esponenziali e logaritmiche

    Il grafico soprastante al centro è, in particolare, quello del logaritmo binario, ossia in base 2; il logaritmo binario non è altro che un'estensione del concetto di ordine di grandezza riferito alla scrittura binaria dei numeri:  in base 2, 8 = 2³ ha ordine di grandezza 3, ovvero log ₂ (8) = 3, e infatti si scrive (1000)₂ (la prima cifra ha posto 3);  1090 = 1024 + 64 + 2 = 2¹⁰+2⁶+2¹ = (10001000010)₂ (la prima cifra ha posto 10).

    Così come gli ordini di grandezza possono essere grandi a piacere, così sono grandi a piacere i logaritmi in base 10, in base 2 e in ogni base maggiore di 1, ossia i loro grafici salgono oltre ogni limite. Possono anche essere negativi con valore assoluto grande a piacere (1 millesimo ha ordine di grandezza -3, 1 miliardesimo -9, …). Simbolicamente, se a > 1:

lim_{x → ∞} log_a(x) = ∞   lim_{x → 0+} log_a(x) = –∞

In accordo col fatto che le funzioni inverse hanno grafici simmetrici rispetto a y=x abbiamo:

lim_{x → ∞} a^x = ∞   lim_{x → –∞} a^x = 0

Se 0 < a < 1 il comportamento del logaritmo [dell'esponenziale] è simmetrico rispetto all'asse x [all'asse y] rispetto al caso a>1, come è evidenziato dal grafico soprastante a destra:

lim_{x → ∞} log_a(x) = –∞   lim_{x → 0+} log_a(x) = ∞

lim_{x → ∞} a^x = 0   lim_{x → –∞} a^x = ∞

    Tutti i limiti precedenti, ovviamente, non sono da ricordare a memoria:  sono tutti facilmente deducibili dai grafici delle funzioni, come quelli presenti nella figura precedente.

    Dalle proprietà delle potenze discendono particolari proprietà dei logaritmi. In particolare:
• dal fatto che a^b+c = a^b·a^c, ossia che x → a^x trasforma la somma di due input nel prodotto degli output, segue che la funzione inversa trasforma, inversamente, il prodotto degli input nella somma degli output:

log_a(p · q) = log_a(p) + log_a(q)

Ad esempio il ragionamento con cui si trasforma 1000·100 è in 10²⁺³ può essere interpretato così:  "a che cosa devo elevare 10 per ottenere 1000·100? alla somma degli esponenti a cui lo elevo per ottenere 1000 e 100", ossia:  Log(1000·100) = Log(1000)+Log(100).
• dal fatto che a^-b = 1/a^b, ossia che x → a^x trasforma l'opposto di un input nel reciproco dell'output, segue che la funzione inversa trasforma, inversamente, il reciproco di un input nell'opposto dell'output:

log_a(1/q) = – log_a(q)

Ad esempio:  "a che cosa devo elevare 10 per ottenere 1/1000? all'opposto del numero a cui lo elevo per ottenere 1000", ossia:  Log(1/1000) = –Log(1000) = –3.
• dal fatto che a^b–c = a^b/a^c, ossia che x → a^x trasforma la differenza di due input nel rapporto degli output, segue che la funzione inversa trasforma, inversamente, il rapporto degli input nella differenza degli output:

log_a(p / q) = log_a(p) – log_a(q)

• Che cosa posso dire di  log_a(p³)?
Usando la prima formula riportata in questo punto abbiamo:  log_a(p³) = log_a(p·p·p) = log_a(p) + log_a(p)+log_a(p) = 3 · log_a(p).  In generale si ha:

log_a(p^q) = q · log_a(p)

anche se q non è intero; questa formula corrisponde alla proprietà delle potenze  a^b·c = (a^b)^c.

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Quante cifre sono necessarie per scrivere per esteso in base 2 il numero naturale pari a 549621 · 4234371? Per rispondere usa opportunamente una funzione logaritmica.

Nota.  A volte si usa  log x  al posto di log(x). Per questa "notazione abbreviata" valgono considerazioni critiche e attenzioni da prestare simili a quelle per le analoghe notazioni usate con sin, cos, tan.  Ad esempio log 3 + 5 è chiaramente equivalente a log(3)+5, ma log(3x)², che dovrebbe essere interpretato come log(3x)·log(3x), rispettando le regole base per l'interpretazione delle espressioni matematiche (analogamente a k², che viene interpretato come k·k), da alcuni, stranamente, viene interpretato come log((3x)²). Tutto il software interpreta, invece, correttamente log(3*x)^2 come fosse log(3*x)*log(3*x), mentre per log((3x)²) occorre battere log((3*x)^2).

8. L'integrazione delle funzioni esponenziali e logaritmiche

    Abbiamo visto che integrazione e derivazione sono legate dalla proprietà:

Sia f continua in [a, b];   se  G' = f  allora  ∫ _{[a, b]} f  =  G(b) − G(a)

nota come formula fondamentale del calcolo integrale.

Dato che D(exp) = exp posso concludere che un'antiderivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.     Quanto vale l'area tra il grafico di exp e l'asse x compresa tra le rette y = −1 e y = 1?     Per una stima posso approssimarla con l'integrale tra −1 ed 1 di x → x+1, che vale 2·2/2 = 2  (l'area del triangolo raffigurato, delimitato superiormente dalla retta y = x+1).     Con precisione, posso calcolare: ∫ [−1, 1] exp = exp(1)−exp(−1) = 2.350402.

Dx(log(x)) = 1/x. Quindi log è un'antiderivata di x → 1/x per x positivo.     Quanto vale l'area tra il grafico di x → 1/x e l'asse x compresa tra le rette y = 1/2 e y = 3?     Per una stima posso considerare che è circa 7 quadretti di lato 1/2, ossia circa 7·1/4 = 1.75.     Con precisione, posso calcolare: ∫ [1/2, 3] 1/x dx = log(3)−log(1/2) = 1.791759.     Notiamo che se x < 0  Dx(log(−x)) = 1/x.  La cosa può essere dedotta dal grafico seguente, ma può essere dimostrata anche nel modo spiegato nel prossimo paragrafo.

Come potrei calcolare la derivata con R: q=function(x) log(-x); deriv(q,"x")                                           #  1/x.     Posso riassumere tutto con  Dx( log( | x | ) ) = 1/x.  10      Calcola   ∫ [−10, 0] exp   e   ∫ [−2, −1] 1/x dx.

Nota.  Se esite ∫ _[a,x] F per ogni x in un intervallo [a, b],  la funzione  x → ∫ _[a,x] F  viene spesso chiamata un integrale indefinito di F:  esprime l'area orientata tra grafico di F ed asse orizzontale compresa tra le rette verticali di ascissa a e di ascissa x.  Per il teorema fondamentale dell'analisi un'integrale indefinito di F non è altro che una antiderivata di F.  Invece del termine antiderivata (che noi privilegeremo), oltre a "integrale indefinito", si usa anche primitiva (la primitiva di F è una funzione che viene "prima" dell'applicazione della derivazione).  In qualche libro vi capiterà di incontrare questi termini (integrale indefinito, primitiva) invece di "antiderivata".

9. Alcune tecniche di derivazione

    Accenniamo a due metodi molto comodi per calcolare le derivate di funzioni (che si affiancano a quelli già visti ), su cui ritorneremo nel prossimo anno.

(A)  Consideriamo il primo, comodo per calcolare le derivate di funzioni composte, rivedendo come calcolare  d( log(−x) ) / dx.  Penso a log(−x) come composizione del "cambio segno" e del "logaritmo":  x → −x = u → log(u).
d(log(-x))/dx = d(log(-x))/d(-x)*d(-x)/dx;
d(log(-x))/d(-x) = 1/(-x) in quanto d(log(u))/du = 1/u;
inoltre d(−x)/dx = -1; quindi
d(log(-x))/dx = 1/(-x)*(-1) = 1/x.
    Questo metodo in inglese viene chiamato chain rule (come puoi vedere anche su WolframAlpha, digitando tale espressione), ossia "regola della catena", in quanto la derivata di una funzione viene spezzata in una catena di derivate, usando la "semplificazione" 1/dt·dt = 1.
    Altro esempio, più complesso:  d( cos(sin(x²)) / dx, pensando a  x → x² = u → sin(u) = v → cos(v).
d(cos(sin(x²)))/dx = d(cos(sin(x²)))/d(sin(x²)) * d(sin(x²))/d(x²) * d(x²)/dx;
d(cos(v))/dv = -sin(v)  [v = sin(x²)];
d(sin(u))/du = cos(u)   [u = x²];
d(x²)/dx = 2x; quindi
d(cos(sin(x²)))/dx = -sin(sin(x²)) * cos(x²) * 2x = -2x·cos(x²)·sin(sin(x²)).
    Posso verificare il calcolo con WolframAlpha digitando d(cos(sin(x^2)))/dx.
    Con R posso battere f=function(x) cos(sin(x^2)); deriv(f,"x").

(B)  Consideriamo il secondo metodo, comodo per calcolare la derivata del prodotto di funzioni. Vediamolo direttamente con WolframAlpha. Se digito d(f(x)*g(x))/dx ottengo la somma dei prodotti di una funzione per la derivata dell'altra:

ovvero:   D(f·g) = D(f)·g + f·D(g)

    Vediamo l'uso su d(x⁴·x²)/dx, che sapremmo calcolare direttamente:
d(x⁴·x²)/dx = d x⁶/dx = 6·x⁵.
d(x⁴·x²)/dx = 4·x³·x² + x⁴·2·x = 4x⁵+2x⁵ = 6x⁵.  Ritroviamo il valore ottenuto sopra.
    Altro esempio:
d(log(x)·x)/dx = 1/x·x + log(x)·1 = 1+log(x)..

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Calcola   (A)   Dx(exp(x³))   e   (B)   Dx(exp(x)·log(x))

    Qui puoi trovare una tabella che riassume come calcolare derivate ed antiderivate delle funzioni più usate.
 

10. Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi

    La risoluzione di equazioni e disequazioni che coinvolgono funzioni esponenziali e logaritmiche non comporta problemi nuovi  (rispetto a quelli considerati nella scheda 2 sulle funzioni ed equazioni),  se non quelli legati alle caratteristiche di queste funzioni.  Facciamo qualche esempio:

• Risolvere rispetto a x     3 x2 – 2x = 1/3
log 3 (3 x2 – 2x) = log 3 (1/3)		ho applicato la funzione inversa di x → 3x
x2 – 2x = –1		ho tenuto conto che 1/3 = 3-1
x2 – 2x + 1 = 0
(x – 1)2 = 0
x = 1		[verifica: 31-2 = 3-1 = 1/3: OK]

• Risolvere rispetto a x     log 3 √x = 2
√x = 32		ho applicato la funzione inversa di x → log3(x)
x = (32)2		ho applicato la funzione inversa di x → √x
x = 92 = 81		[verifica: log3√81 = log39 = 2: OK]

• Risolvere rispetto a x     log x 5 = 3
x3 = 5		logab = c  quando  ac = b
x =51/3		ho applicato la funzione inversa di x → x3
x = 3√5 = 1.70997…	[verifica: log 51/3 5 = 3: OK]

• Risolvere rispetto a x     log(2x-5) > log(7-2x)
La disequazione è definita quando 2x-5>0 & 7-2x>0, ossia x>5/2 & x<7/2
2x-5 > 7-2x		ho applicato x → ex, che è crescente
x > 3		ho aggiunto ai due membri 2x, poi 5 e poi ho diviso per 4
3 < x < 7/2		ho tenuto conto del dominio e del fatto che 3 > 5/2

• Risolvere rispetto a x     log(x2 – 2) ≤ log(x)
La disequazione è definita quando x2>2 & x>0, ossia x>√2
x2 – 2 ≤ x		ho applicato x → ex, che è crescente
x2 – x – 2 ≤ 0
(x – 1/2)2– 1/4 – 2 ≤ 0		ho "completato il quadrato"
(x – 1/2)2 ≤ 9/4
-3/2+1/2 ≤ x ≤ 3/2+1/2
√2 < x ≤ 2		ho tenuto conto del dominio
[invece di completare il quadrato potevo osservare subito che x2 – x – 2 si azzera per x=2, fare la divisione per x-2, ottenere x+1, dedurre la scomposizione (x-2)(x+1); oppure potevo usare la formula per esprimere le eventuali soluzioni di una equazione polinomiale di 2° grado: x = 1/2 ± √(1+8)/2 = 1/2 ± 3/2; in entrambi i casi deducevo che y = x²–x–2 è una parabola con la concavità verso l'alto che sta sotto l'asse x tra -1 e 2]

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Risolvi rispetto a x l'equazione 8x+1 = 2x2, dove 2x2 sta per 2(x2).   Quindi risolvi la disequazione 8x+1 ≥ 2x2.

11. Approfondimenti

    x → log(e^x)  e  x → e^log(x), pur essendo il logaritmo la funzione inversa dell'esponenziale, non sono la stessa funzione:
•  la prima è definita per ogni input (equivale alla funzione identità x → x),  mentre la seconda è definita solo per input positivi (equivale alla funzione identità ristretta agli input positivi), in quanto log(x) è definito solo per x numero reale positivo;
•  la prima ha per grafico la retta bisettrice del I e III quadrante,  la seconda ha per grafico la semiretta bisettrice del I.

    Ecco due link ad altri approfondimenti sui temi affrontati in questa scheda:
•  le catene di Sant'Antonio,
•  note storiche e tecniche.

12. Esercizi

e1      A lato è tracciato parte del grafico di F. Quale, tra le seguenti, è la definizione di F? Perché?    (A)  F(x) = 3x+1    (B)  F(x) = 3x+1    (C)  F(x) = 3x−1    (D)  F(x) = 3x−1    (E)  F(x) = 31−x    (F)  F(x) = 3|x|

e2	Quanto vale  log 1/2 (1/8)?  Quanto  log 2 (1/8)?

e3      La figura a lato, tratta da una rivista scientifica, rappresenta graficamente come le specie si distribuiscono per classi dimensionali (questa rappresentazione mette in luce, ad es., come vi siano poche specie di animali "grandi" e molte di animali "piccoli"). Quanto vale, approssimativamente, il rapporto tra il numero delle specie di dimensioni "0.05-0.1 metri" e quello delle specie di dimensioni "0.5-1 metri", cioè per ogni specie di dimensione tra 0.5 e 1 metro quante ve ne sono di dimensione tra 5 e 10 centimetri?

e4      A lato sono tracciati alcuni grafici di funzioni in una scala in cui le "x" sono rappresentate usualmente e le "y" sono rappresentate logaritmicamente.  Associa ad ogni grafico la relativa funzione, scelta tra  y = 1.5x,   y = 2x,   y = 3x,   y = 4x,   y = 5x,   y = 10x (clicca qui se vuoi vedere come è stato realizzato il grafico)

	e5      A lato sono tracciati i grafici di tre funzioni  x → log(A·x+B).  Scegli, per F, G ed H, valori di A e B scelti tra i seguenti:    0,   2,   −2,   1,  −1.
	e6      Risolvi rispetto a x l'equazione  log 3 (log 2 x) = 3.

e7	Sia F(x) = xx.  Quanto vale F(−2/5)?  Qual è l'intervallo di ampiezza massima in cui F è definita?  E quello in cui è derivabile?  Traccia, ivi, con l'ausilio del computer, il grafico di F.

e8	Quanto valgono i limiti per x → ∞ di  (1 + 1/x)x  e di  (1 + 1/x)√x ?  (usa il "trucco" prima del quesito 7)

e9	Calcola le derivate rispetto ad x di  log(log(x))  e di  x·ex.

e10	Calcola l'area della figura compresa tra y = e–x, y = 0, x = 0, x = k (k>0). Quindi calcola l'area della figura illimitata compresa tra y = e–x e y = 0 che sta nel semipiano x ≥ 0.

e11	Calcola l'area della figura compresa tra il grafico della funzione x → 3/(2·x), l'asse x e le rette y = −5 ed y = −1.

e12	Calcola  d(x·log(x)−x)/dx  e deducine qual è l'antiderivata di  log(x).

e13	Risolvi rispetto a x la disequazione  log(7−2x) < log(2x−5).

e14	So che  d(1/x)/dx = d(x−1)/dx = −1/x2,  1/(f(x)) = f(x)−1 = g(f(x)) con  g: q → 1/q.  Quindi, usando quanto visto in §9,  d( 1/f(x) ) / dx = d(1/f(x)) / d(f(x)) · d(f(x)) / dx = ...

e15	Usando quanto visto nell'esercizio precedente e in §9 ho che  d( f(x)/g(x) ) / dx = d( f(x)·(1/g(x)) ) / dx = ...

e16

Un gatto riesce a percepire suoni con la frequenza che va da circa 50 a circa 8·104 cicli al secondo. È più o meno ampio l'intervallo delle frequenze dei suoni che riesce a percepire un uomo sano? Affronta problemi simili per l'udito dei cani, dei topi e dei cavalli, cercando le informazioni su siti affidabili.

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:  crescita esponenziale (§2),  tempo di duplicazione (§3),  funzioni esponenziali (§4),  numero di Nepero (§4),  logaritmo decimale (§5),  scala logaritmica (§5),  logaritmo naturale (§6),  derivazione di esponenziali e logaritmi (§6),  cambio base di esponenziali e logaritmi (§6),  proprietà varie di esponenziali e logaritmi (§7),  antiderivata della funzione esponenziale (§8),  antiderivata della funzione reciproco (§9). 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").