Note storiche e tecniche

Nota storica.  Il termine logaritmo fu introdotto da Nepero (John Napier, 1550-1617, lo stesso a cui è stato dedicato il numero e). Il nome deriva dalle parole greche arithmos ("numero") e logos, che, tra i vari significati, aveva anche quelli di "rapporto" (e "ragione", come il latino ratio) e di "calcolo". Probabilmente è stato usato questo nome in quanto i logaritmi consentono di trasformare i "rapporti" in differenze, sulla base della proprietà log(p/q) = log(p)-log(q), facilitando notevolmente i calcoli, in un'epoca in cui non esistevano le calcolatrici:  se dispongo di una tabulazione dei logaritmi posso calcolare 1783/2695 trovando sulla tavola log(1783) e log(2695), facendone la differenza (calcolo più semplice della divisione) e cercando poi, sulla tavola, il numero che ha questo come logaritmo. In modo analogo riesco a trasformare i prodotti in addizioni.

Successivamente (1650) furono introdotti dei regoli formati da due scale logaritmiche scorrevoli affiancate che evitavano anche l'esecuzione di differenze e addizioni (la divisione viene ricondotta a una differenza di logaritmi, ossia alla distanza tra due punti su una scala logaritmica, e questa la trovo leggendola sull'altra scala, che ho fatto scorrere in modo da posizionarne l'inizio sul primo dei due punti). Questi stumenti sono stati usati fino intorno al 1970 (ogni ingegnere aveva un regolo nel taschino), quando hanno incominciato ad essere soppiantati dalle calcolatrici tascabili elettroniche. Il regolo riprodotto sotto contiene più scale, per il calcolo anche di radici quadrate e cubiche.

Nota tecnica.  Le proprietà  log(p · q) = log(p) + log(q),  log(1/p) = – log(p)  (e  log(p/q) = log(p)–log(q), che può essere dedotta dalle precedenti) in pratica riconducono il calcolo di moltiplicazioni e divisioni tra numeri positivi al calcolo di addizioni e sottrazioni tra numeri. Possiamo dire i calcoli che si vogliono effettuare nel gruppo (vedi) dei numeri reali positivi rispetto a "×" vengono trasformati applicando la funzione log in calcoli da effettuare nel gruppo dei numeri reali rispetto a "+". I risultati ottenuti qui possono poi essere trasformati nei risultati dei calcoli originari mediante l'applicazione della funzione inversa exp In altre parole la relazione tra i due gruppi che stabiliscono log e exp fa sì che le due strutture siano sostanzialmente equivalenti. I matematici dicono che viene stabilito un isomorfismo tra i due gruppi.