La funzione  x → x^x

La funzione è definita per gli x per cui si può calcolare x^x, ossia per ogni x positivo e, inoltre, per ogni x negativo tale che abbia senso un suo elevamento alla x, ossia per ogni x equivalente a −m/n con m e n numeri interi positivi e n non multiplo di 2.

Ad esempio nel caso di x = −3/2 ho (−3/2)^−3/2 = (−3/2)^−3·1/2 = ((−3/2)⁻³)^1/2 = √(−27/8), che non è definito.
Invece nel caso di x = −2/3 ho (−2/3)^−2/3 = (−2/3)^−2·1/3 = ((−2/3)⁻²)^1/3 = 2.25^1/3 = 1.3103706…, ovvero (−2/3)^−2/3 = (−2/3)^2·(−1/3) = ((−2/3)²)^−1/3 = (9/4)^1/3 = 1.3103706….

Per calcolarla con un mezzo di calcolo conviene operare una di queste trasformazioni, altrimenti si può ottenere un esito di "non definizione" anche nel caso in cui il termine sia definito.

Dunque la funzione x → x^x non è derivabile per x < 0 in quanto ivi non è definita in alcun intervallo di ampiezza non nulla (infatti in ognuno di essi si può trovare un numero irrazionale).

[in qualche "buffo" libro di matematica, anche universitario, si trova scritto che la funzione non è definita per input negativi]

Per x > 0 uso il trucco di trasformare la funzione nel seguente modo:  x^x = exp(log(x^x)) = exp(x·log(x));  a questo punto faccio:
D_x exp(x·log(x)) = exp(x·log(x))·D_x (x·log(x)) = x^x·(log(x)+x·1/x) = x^x·(log(x)+1).

Controllo con WolframAlpha:   d(x^x) / dx = x^x*(log(x)+1)

    Sotto il grafico di questa funzione.  A destra, in blu, il grafico per le ascisse positive.  Qui la funzione è continua.  Per input negativi la funzione, come abbiamo detto all'inizio, è definita solo per input pari a −m/n con m e n numeri interi positivi e n non multiplo di 2.
Ad esempio se x = -3/5  (-3/5)^(-3/5) = √⁵((-3/5)⁴) = √⁵-4.62962962962963 = -1.358655182676538.
Se x = -4/5  (-4/5)^(-4/5) = √⁵((-4/5)⁴) = √⁵2.44140625 = 1.1954406247375462.

    Abbiamo tracciato il grafico a sinistra dell'asse y più sottile e in colore rosso.  Anche qui la funzione sembra continua, ma, come abbiamo visto, gli output alternano valori positivi e negativi, dando luogo alla comparsa di due rami di curva apparentemente continui, ma in realtà composti da un'infinità numerabile di punti.