Le funzioni circolari

... e il moto armonico

  0. Introduzione
  1. Derivazione delle funzioni seno e coseno
  2. Integrazione delle funzioni seno e coseno
  3. Alcuni moti
  4. Esercizi
Sintesi

0. Introduzione

    In questa scheda approfondiamo lo studio delle funzioni seno e coseno. Se vuoi rivedere il loro significato puoi rileggere la scheda La matematica e lo spazio - 2  prevista per la classe 2ª in cui sono state introdotte. Un esercizio per richiamarlo:

      
 1 
    Una nave si sposta di 2300 m nella direzione 36° est-nord.  Di quanto è avanzata in direzione est? Di quanto in direzione nord?
 

    La figura a lato richiama il valore del seno e del coseno di alcuni angoli d'uso frequente, che è opportuno ricordare a memoria e, nello stesso tempo, saper ricavare facilmente, tenendo presente che si tratta di triangoli rettangoli aventi ipotenusa lunga 1 e i cateti disposti sugli assi:
•  sin(30°) = sin(π/6) = 1/2  in quanto il triangolo individuato è metà del triangolo equilatero ottenuto per ribaltamento attorno al cateto orizzontale:  il cateto verticale è dunque metà dell'ipotenusa;
•  sin(45°) = sin(π/4) = √2/2  in quanto il triangolo individuato è metà quadrato avente diagonale lunga 1;
•  sin(60°) = sin(π/3) = √3/2  in quanto il triangolo rettangolo individuato ha ipotenusa lunga 1 e un cateto lungo 1/2:  l'altro è lungo √(1-1/4) = √3/2;
•  cos(60°) = sin(30°),  cos(45°) = sin(45°),  cos(30°) = sin(60°).
    Per conferma si puņ ricorrere a WolframAlpha e introdurre:  sin(45°)   cos(30°)  ecc. 		  

1. Derivazione delle funzioni seno e coseno

    Nell'esercizio e8 della scheda Il concetto di limite abbiamo visto una animazione con R che illustra come costruire il grafico della funzione seno. Qui trovi come costruire analogamente il grafico della funzione coseno. Qui trovi come realizzare rappresentazioni alternative.

    Se non l'hai già fatto, affronta il §7 della scheda La derivazione di funzioni in cui viene spiegato come si calcolano le derivate di tali funzioni.

2. Integrazione delle funzioni seno e coseno

    Se non l'hai già fatto, affronta il §4 della scheda Gli integrali in cui viene spiegato come si calcolano gli integrali di tali funzioni.  Comunque vediamo come calcolare l'area della superficie colorata in giallo nella figura di sopra, che sta tra il grafico di sin, l'asse x e i punti di ascissa 0 e π.
    Posso tener conto che la figura a destra ricorda che la derivata di cos è −sin, e che quindi l'antiderivata di sin è −cos, ossia  D(−cos)=sin.  Per calcolare l'area della superficie, ossia  0∫π sin,  occorre fare la differenza dei valori che l'antiderivata assume in π e in 0, ossia come abbiamo visto:  −cos(π) − −cos(0) = cos(0)−cos(π) = 1+1 = 2.  Ricordiamo che, alla disperata, si può ricorrere anche a R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
integral(sin,0,pi)
# 2

3. Alcuni moti

    Nelle immagini animate a cui ti puoi collegare dai seguenti tre link viene introdotto, in breve, quello che vedremo in questo paragrafo. Puoi osservarle (senza preoccuparti di capirle in dettaglio) per introdurti all'argomento.  Uno: il movimento perpendicolare alla riva di chi sta attraversando un canale d'acqua fermo e quello di chi lo sta facendo in un canale d'acqua che sta scorrendo.  Due: il movimento di un oggetto che segue una traiettoria circolare.  Tre: il movimento di un uomo che si allontana dal centro di una giostra che sta ruotando.  Nel seguito discuteremo in breve con quali strumenti matematici possono essere descritti questi movimenti.

Uno.  L'idea della traiettoria di un punto che si muove con continuità, senza salti, ossia della linea a tratto continuo che possiamo ottenere facendo scorrere la punta di una penna su un foglio senza mai staccarla da esso, ci guida nel fissare un particolare concetto di curva, che chiameremo curva continua. Questa è la nostra idea ispiratrice, anche se, come abbiamo visto in altre occasioni, ci saranno delle differenze tra questo concetto intuitivo e la sua "controparte" matematica.

    Partiamo da un esempio. Una barca attraversa un canale dirigendosi con velocità costante perpendicolarmente alla riva. Il suo moto è descritto a sinistra, nel caso in cui l'acqua del canale sia ferma. Se in seguito alla apertura di una chiusa si forma una corrente tale che l'acqua avanzi con la stessa velocità in tutti i punti del canale, la barca, senza interventi da parte del guidatore, cambia traiettoria: vedi figura al centro.  Una situazione analoga si verifica se stando su un tapis roulant ci spostiamo perpendicolarmente alla direzione di avanzamento: per chi osserva la scena da fuori il nostro movimento non è perpendicolare al tapis roulant.

    Come posso descrivere il moto della barca se essa, a canale fermo, si muove alla velocità di 35 m/min e se il canale ha una corrente di 30 m/min verso sinistra?  Posso fissare un sistema di riferimento come quello a lato, dove x e y esprimono metri e t esprime minuti, e considerare il sistema:
  x = −30 t AND y = 35 t, ovvero, più in breve:   P = (−30 t, 35 t)
    Al variare di t ho l'insieme dei punti che formano la traiettoria della barca.  Questa è una traiettoria rettilinea, e potrei descriverla anche come il grafico della funzione x → −35/30 x ovvero mediante l'equazione y = −35/30 x.

Due.  Vediamo come descrivere in modo simile una traiettoria circolare, quella di centro C = (4,3) e raggio 2, illustrata sotto a sinistra. Se A sta sul cerchio e il vettore CA ha direzione α, le componenti di questo sono Δx = 2·cos(α), Δy = 2·sin(α), per cui A = (4 + 2·cos(α), 3 + 2·sin(α)).
Al variare di α tra 0 e 2π, ovvero tra 0° e 360° (1° = π/180), le equazioni seguenti descrivono il cerchio:
 { x = 4 + 2 cos(α),   y = 3 + 2 sin(α) }
    Questa curva non avremmo potuta descriverla come grafico di una funzione; avremmo tuttavia potuta descriverla con l'equazione  (x − 4)2 + (y − 3)2 = 4.

    A destra è illustrata un'altra situazione: il movimento di un punto P che avanza con velocità costante lungo la direzione dell'asse x e che oscilla lungo la direzione dell'asse y allo stesso modo in cui lo farebbe un punto Q ruotante con velocità costante attorno a un centro collocato sull'asse x.  Ovviamente anche nella descrizione di questo moto entrerà in gioco la funzione seno. Se R è la lunghezza (in m) del raggio di rotazione, se φ è la sua direzione iniziale, se la velocità di avanzamento orizzontale è di h m·s–1 e quella di rotazione è di ω s–1 (o ω rad·s–1), la traiettoria di P, esprimendo x e y in metri e il tempo t in secondi, è:  x = ht,   y = R sin(ω t + φ),   ovvero   y = R sin(k x + φ), con k = ω/h.  Curve di questo tipo vengono dette sinusoidi.
    Una funzione del tipo t → R sin(ω t + φ) viene detta funzione sinusoidale. R, ωt+φ e φ vengono chiamate, rispettivamente, ampiezza, fase e fase iniziale. Il periodo è 2π/ω. Anche nel caso in cui t non sia un tempo il reciproco del periodo, ω/(2π), viene chiamato frequenza; ω viene chiamata frequenza angolare (o pulsazione) in quanto non esprime "giri al secondo" ma "ampiezza angolare al secondo".

Tre.  Consideriamo un'altra situazione. Un uomo si allontana dal centro di una piattaforma girevole procedendo in modo rettilineo e con velocità costante, di 0.5 m/s; sotto a destra è riprodotto come l'uomo si muoverebbe se la piattaforma rimanesse ferma. Se la piattaforma ha una velocità di rotazione costante, di 10° al secondo, l'uomo, visto dall'alto, descrive una traiettoria a spirale, come illustrato sotto al centro.

    Se l'uomo mantenesse la direzione iniziale, che indichiamo con l'asse x, la sua posizione dopo t secondi sarebbe x=0.5t. Se la piattaforma ruota, 0.5t diventa la distanza R dal centro raggiunta dopo t secondi; mentre la direzione α verso cui l'uomo sta puntando diventa 10°·t: vedi la figura sinistra.  Da R e α usando cos e sin posso ricavare x e y:

R = 0.5 t,  α = 10° t      x = 0.5 t · cos(10°t),  y = 0.5 t · sin(10°t)

    Queste descrizioni, in coordinate sia cartesiane, in questo paragrafo indicate con x,y,  che polari ( La matematica e lo spazio - 2), qui indicate con R e α, vengono dette parametriche. Infatti viene impiegata una terza variabile (t), chiamata parametro, oltre alle due usate per individuare la posizione dei punti che formano la figura  [siamo di fronte a un nuovo uso della parola parametro rispetto a quello fatto discutendo della risoluzione di equazioni].

    Ecco come fare il grafico di una curva in forma parametrica con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
X <- function(t) -30*t; Y <- function(t) 35*t
paramb(X,Y, 0,10, "brown")

    Ecco come fare il grafico di una curva descritta come equazione con R:

# Cerchio di centro (4,3) e raggio 2
F <- function(x,y) (x-4)^2+(y-3)^2 - 2^2
PLANE(0,6,0,6); CURVE(F, "blue")

    Ecco come fare il grafico di una curva in forma polare con R:

# Devo esprimere l'angolo in radianti.
R <- function(a) a^2
polarb(R,0,40, "red")

4. Esercizi

 e1 
    Sia  P(t) = ( x(t), y(t) )  la posizione che un oggetto ha (rispetto a un sistema di coordinate x,y fissato) all'istante t (espresso in secondi assumendo come riferimento un dato istante fissato).  Sappiamo che l'oggetto si muove lungo una traiettoria rettilinea, che all'istante t = 0 ha la posizione P(0) = (1, 1) e che all'istante t = −4 (ossia 4 secondi prima) ha la posizione P(−4) = (2, −1).
Traccia la traiettoria dell'oggetto.
Descrivi la traiettoria dell'oggetto mediante una coppia di equazioni:
  x(t) = …         y(t) = …
Descrivila, poi, mediante una equazione del tipo y = f(x).

 e2 
    Una particella si muove secondo le seguenti equazioni parametriche. Trova la pendenza della sua traiettoria in un generico punto. Cerca di tracciare la traiettoria della particella e controlla le tue soluzioni aiutandoti col computer.
  x = 3t, y = -2t

 e3 
    Una particella si muove secondo le seguenti equazioni parametriche. Trova la pendenza della sua traiettoria in un generico punto. Cerca di tracciare la traiettoria della particella e controlla le tue soluzioni aiutandoti col computer.
  x = t3-t, y = t

 e4 
    Traccia nel piano x,y il grafico di {x = −1+5·cos(t), y = 3+5·sin(t)} al variare di t tra i numeri reali.

 e5 
    Traccia nel piano x,y il grafico di {x = −1+2·cos(u), y = 3+4·sin(u)} al variare di u tra i numeri reali.

 e6 
    Aiutandoti col software traccia le curve così descritte in forma polare:
    R = cos(3a), 0 ≤ a ≤ π;   R = 1+2·cos(a), 0 ≤ a ≤ 2π;   R = 1−cos(a), 0 ≤ a ≤ 2π

 e7 
    Una formica si allontana dal centro di una piattaforma circolare muovendosi lungo un raggio alla velocità di un 1 cm al secondo. Posizioniamo un sistema di riferimento monometrico con origine nel centro del cerchio e asse x su tale raggio. Fissiamo le scale sugli assi in modo che l'unità corrisponda ad 1 cm. Nel momento in cui la formica parte la piattaforma incomincia a ruotare in verso antiorario a velocità costante, compiendo un giro in 10 secondi. Descrivi in forma parametrica la traiettoria descritta dalla formica.

 e8 
    Sia F: x → R·sin(ωx + φ).  Quanto vale il periodo di F?  Quanto vale l'ordinata del punto di intersezione del grafico di F con l'asse verticale?
    

 e9 
    Sia G: t → M·sin(ωt + α). Qual è il periodo di G? Qual è l'ampiezza? Qual è la fase iniziale? Qual è la frequenza? Qual è la pulsazione?

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

sinusoide (§3),   ampiezza di una funzione sinusoidale (§3),   frequenza di una funzione sinusoidale (§3),   descrizione parametrica di una curva (§3).

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").