Funzioni ed equazioni

Modelli matematici per studiare relazioni tra grandezze

Scheda 1

0.    Introduzione

1.    Funzioni numeriche e non

2.    Composizione di funzioni

3.    Funzioni a 1 input e 1 output in IR - Grafici e trasformazioni geometriche

4.    Risoluzione di equazioni: considerazioni generali

5.    Manipolazione di equazioni - Funzioni iniettive

6.    Esercizi

0. Introduzione

     Sin dalla prima u.d., abbiamo usato molte volte funzioni ed equazioni per rappresentare fenomeni di vario genere. Rileggi le voci funzione(1) e risoluzione di equazioni in Gli oggetti matematici, dove è sintetizzato quanto si è studiato finora su tali argomenti.  Dopo questo "ripasso", in questa u.d. appro-fondiremo l'esame di tali concetti, che sono ricorrenti in ogni applicazione della matematica.

1. Funzioni numeriche e non

 

 

 

 

km

prezzo

 

 

0 - 4

1200

 

 

5 - 14

1300

 

 

15 - 24

1400

 

 

25 - 34

1500

 

 

35 - 44

1600

 

 

45 - 54

1700

 

 

55 - 64

1800

 

 

65 - 74

1900

 

 

75 - 84

2000

 

 

85 - 94

2100

 

 

95 - 104

2200

 

 

104 - 114

2300

 

 

115 - 124

2400

 

 

125 - 134

2500

 

 

135 - 144

2600

 

 

145 - 154

2700

 

 

155 - 164

2800

 

 

165 - 174

2900

 

 

175 - 184

3000

 

 

185 - 194

3100

 

 

195 - 200

3200

 

 

 

         La tabella a lato rappresenta le tariffe praticate da una società di trasporti su autobus che, su varie linee, effettua corse lunghe al più 200 km.

         Le tariffe sono state determinate

   sommando una quota fissa di 1200 lire e 10 lire per ogni km di percorrenza, cioè calcolando F(n) per ogni n intero compreso tra 0 e 200, dove F:n  1200+10·n,

   e, poi, arrotondando alle centinaia il valore ottenuto:

F(1) = 1200+10·1 = 1210 ® 1200,  F(2) = 1200+10·2 = 1220 ® 1200, …

         Figura 1 rappresenta graficamente la funzione F che è alla base del calcolo; figura 2 rappresenta invece la tabella finale, cioè la funzione G che include l'arrotondamento.

G è calcolata componendo F e arrotondamento alle centinaia. Il grafico è stato traccia-to con GRAFUN, che ha predefinita la funzione arrotondamento agli interi, indicata con @A.  L'arrotondamento alle centinaia è realizzato prima esprimendo il valore in centi-naia (cioè dividendo per 100, per trovare quante volte 100 lire sta nel valore conside-rato), poi arrotondando agli interi (le unità ora rappresentano centinaia di lire), e, infi-ne, moltiplicando per 100:

                     7   ®   1270    ®    12.70  (centinaia)     ®   13  (centinaia)   ®   1300

                           F              /100                                  @A                          *100

 

   Discutete vantaggi e svantaggi del-le varie forme di rappresen-tazione del ta-riffario (tabel-la, formule, grafici).

               figura 1                                                       figura 2

 

    Siano T la tariffa e n il chilome-traggio. T è funzione di n.

    Ma n non è funzione di T: non posso individuare in modo univoco una percorrenza n a cui corrisponda la tariffa T.  Ad es. T=1300 può essere ottenuto sia per n=5 che per n=6 o … o per n=14: ®figura 3.

    Se invece A è l'insieme delle per-correnze a cui corrisponde la tariffa T, posso dire che A è funzione di T: per T=1200 A={0,1,2, 3,4},  per

 

T=1300 A={5,6,7, , 13,14}, … (®figura 3).  Si tratta di una funzione che ha come input numeri e come output insiemi di numeri.

   Nell'u.d. Le statistiche abbiamo utilizzato spesso una funzione a cui viene dato in input una sequenza finita di numeri e che ha come output un numero. Di che funzione si tratta?

     Abbiamo considerato anche funzioni a cui si danno in input stringhe e hanno come output stringhe.  Ad esempio in QB e in altri linguaggi di programmazione il simbolo "+" indica la concatena-zione, che ha come input due stringhe e come output una stringa.

     Invece la funzione LEN del QB associa ad ogni stringa la sua lun-ghezza: ha come input una stringa e come output un numero natura-le.  La funzione MID$ ha input sia numerici che stringa e output stringa: MID$(stringa,m,n) è ottenuta da stringa estraendo, a partire dall'm-esimo carattere, n caratteri.

   Le tabelle seguenti illustrano parzialmente le seguenti tre relazioni:

     (1)  B è una provincia di A,    (2)  B è il capoluogo di regione di A,    (3)  B è l'insieme delle province di A.

     Per ciascuna di esse stabilisci se B è funzione di A e se A è funzione di B.

A

B

 

A

B

 

A

B

Liguria

Genova

 

Liguria

Genova

 

Lazio

{Frosinone,Latina,Rieti,Roma,Viterbo}

Sicilia

Ragusa

 

Sardegna

Cagliari

 

Sardegna

{Cagliari,Nuoro,Oristano,Sassari}

Toscana

Firenze

 

Lazio

Roma

 

Val d'Aosta

{Aosta}

Liguria

La Spezia

 

Puglie

Bari

 

Puglie

{Bari,Brindisi,Foggia,Lecce,Taranto}

Toscana

Pisa

 

Toscana

Firenze

 

Liguria

{Genova,Imperia,La Spezia,Savona}

 

 

             

 

     La funzione G che a n associa T è descrivibile sia graficamente (®fig.2) che mediante una tabella (®fig.3, a sinistra). Consideriamo le tabelle di figura 4.

     La funzione and, che a una coppia di valori di verità A,B (oggetti scelti tra "vero" e "falso") associa il corrispondente valore di A and B, può essere descritta con una tabella: nelle due prime colonne sono indicati i possibili input (le coppie: vero,vero; vero,falso; …) e nella terza l'output.

     Nel caso della concatenazione di stringhe, con una tabella posso solo esemplificare il significato della funzione per alcuni input: le stringhe possibili sono in quantità infinita.  Lo stesso discorso vale per la media aritmetica: non posso elencare tutti gli input, cioè tutte le possibili sequenze di numeri.  Anche della funzione x  x2 con una tabella posso dare solo una descrizione parziale.

figura 4: le ultime tre funzioni non sono rappresentabili completamente mediante tabelle

[I: oggetti matematici di input, O: oggetti matematici di output]

     La media e la funzione elevamento al quadrato possono comunque essere descritte completamente me-diante un procedimento di calcolo.

     Nel caso in cui,  invece,  voglia considerare una funzione che rappresenti come varia la temperatura y

(espressa in una fissata unità di misura) al trascorrere del tempo x (espresso in una fissata unità di misura) in una particolare località, non posso né descriverla completamente mediante una tabella, né individuare un procedimento di calcolo che mi permetta per ogni valore di x di determinare il corrispondente valore di y.  Non tutte le funzioni, quindi, sono tabelle o procedimenti di calcolo.

         Ogni funzione a 1 input e 1 output in IR è, comunque, interpreta-bile come grafico, cioè come insieme di punti, ovvero come insieme di coppie x,y di elementi di IR: il punto (3.81…,23.6…) eviden-ziato nella figura 5 rappresenta l'associazione 3.81  23.6.

Nota.  A volte invece di «coppia x,y» si parla di «coppia ordinata x,y» per specificare che non ci riferisce all'insieme {x,y} ma alla sequenza x,y, che ha x come 1° elemento e y come 2° elemento.

     In genere invece di "coppia x,y" si scrive "(x,y)", non solo quando x e y sono impiegate come coordinate di un punto, oppure "x  y", specie quando si intende esprimere l'associazione di y a x.

     La coppia ordinata 3,7 (3 è il 1° elemento) è diversa dalla coppia ordinata 7,3 (7 è il 1° elemento), mentre l'insieme {3,7} è indistinguibile dall'insieme {7,3}: sono due diverse scritture di una collezione di oggetti (numeri in questo caso) tra i quali non ho stabilito una relazione d'ordine.

     Anche nel caso della concatenazione e della media, per le quali non posso elencare in una tabella tutte le associazioni di input ad output, posso comunque usare una descrizione come insieme di coppie a  b costituite da un oggetto di input a (una coppia di stringhe nel caso della concatenazione, una sequenza di numeri in quello della media) e da un oggetto di output b (una stringa nel caso della concatenazione, un numero in quello della media).   In generale:

     Dati due insiemi I e O di oggetti matematici, una funzione a input in I e output in O è un insieme F di coppie a  b con aÎI e bÎO tale che per ogni a in I accada uno dei due seguenti fatti:

                                 (1)     c'è un unico  oggetto b di O tale che a  b stia in F;

         oppure             (2)     non c'è alcun oggetto b di O tale che a  b stia in F.

     Nel caso (1) si dice che F(a) è definito e b è l'output corrispondente tramite F all'input a, e si scrive F(a)=b o F:a  b.

     Nel caso (2) si dice che F(a) è indefinito ovvero che all'input a F non associa alcun output.

     L'insieme degli a per cui F(a) è definito si dice dominio (o insieme di definizione) di F.

     Riferendosi a figura 3, il fatto che T è funzione di n corrisponde al fatto che da ogni numero naturale n minore di 200 parte una sola "freccia" (fig. a sinistra). Il fatto che n non è funzione di T corrisponde al fat-to che vi sono "frecce" che partono dallo stesso numero T e arrivano in numeri n differenti (fig. al centro).

     In figura 6, nel caso a sinistra vi sono frecce x  y che partono dallo stesso x e arrivano in y diversi: la y dei punti del grafico non è funzione della x.

     Nei casi al centro e a destra, invece, da ogni x parte non più di una freccia: la y dei punti del grafico è funzione della x.

(1)   Quali sono i domini delle funzioni rappresentate al centro e a destra di figura 6?

        (2)   Nel caso della divisione (x,y  x/y) gli input sono coppie di numeri, cioè I è costituito da coppie di elementi di IR, e gli output sono numeri reali, cioè O è IR. Qual è il dominio di questa funzione?

        (3)   Il programma a fianco cal-cola una particolare funzione. In base agli esempi d'uso riportati a destra e analizzando il testo del programma, individua e descrivi a parole la funzione.

10

INPUT x,y,z

a=x : b=x

IF y<a THEN a=y ELSE IF y>b THEN b=y

IF z<a THEN a=z ELSE IF z>b THEN b=z

PRINT a;b

GOTO 10

    Se fisso un particolare insieme di input A per cui la funzione f è definita, l'insieme dei corrispondenti output, cioè {f(x)/xÎA}, viene indicato f(A) e chiamato insieme immagine di A mediante f.

    Ad esempio, se f è l'elevamento al quadrato e A è l'intervallo [–1,1], f(A)=[0,1].  Ciò è evidenziato dalla figura a lato:

  ogni numero tra –1 e 1 ha come quadrato un numero tra 0 e 1: le frecce che partono da [–1,1] sull'asse x arrivano in [0,1] sull'asse y;  cioè f(A) è contenuta in [0,1];

  f(A) è non solo contenuta, ma uguale a [0,1]; infatti ogni numero tra 0 e 1 è ottenibile come quadrato di un numero tra –1 e 1: tutti i punti di [0,1] sull'asse y sono raggiungibili con frecce che partono da [–1,1] sull'asse x.

(A)  Qual è l'immagine dell'intervallo [–1,1] mediante la funzione x  x2+1/2?

   (B)  Qual è l'immagine del medesimo in-tervallo mediante la funzione x  –x2?

   (C)  Quanti sono gli elementi dell'immagi-ne del medesimo intervallo mediante la fun-zione x  0.2?

   (D)  Qual è l'immagine dell'insieme di punti {(x,y) / 1≤x≤3 and 1≤y≤2} me-diante la funzione (x,y)  (x–2,y–3)?

   (E)  Qual è l'immagine dell'insieme delle coppie x,y con xÎ[0,1], yÎ[0,1] median-te la addizione: (x,y)  x+y?

   (F)   Qual è l'immagine dell'insieme dei numeri naturali minori di 20 mediante la funzione G di figura 2?

2. Composizione di funzioni

     Due navi partono dallo stesso punto. Una si muove in direzione nord con la velocità di 40 km/h, l'altra  in direzione est a 50 km/h. Voglio esprimere la distanza tra le due navi in funzione del tempo.

     Rappresento la situazione con un sistema di riferimento in cui (0,0) sia il punto di partenza, la direzione dell'asse orizzontale sia l'est, la direzione dell'asse verticale sia il nord, le unità sugli assi corrispondano a 1 km.

     Indico con t il tempo in ore trascorso dalla partenza. Devo esprimere in funzione di t la posizione x della nave diretta a est e la posizione y della nave diretta a nord. Trovate queste espressioni potrò esprimere in funzione di t anche la distanza d tra le due navi, infatti:  d = .

     In t ore la nave diretta a est percorre 50 km·t, quindi x=50t. La nave diretta a nord percorre 40 km·t, quindi y=40t.  Concludendo:

d   =   =    =    =    =        64t

                             ­                                 ­                                    ­                        ­                         ­

          sostituisco a x e a y le loro        sviluppo                raggruppo i termi-   distribuisco            =t

         espressioni in funzione di t       i quadrati               ni raccogliendo t2      la radice                se t0

     Quindi la distanza tra le due navi aumenta proporzionalmente al tempo trascorso. Possiamo dire che una nave si allontana dall'altra alla velocità di 64 km/h.

     Per costruire l'espressione di d in funzione di t ho dovuto prima esprimerla in funzione di x e di y, e poi ho espresso x e y in funzione di t. Il grafo a fianco descrivere la struttura del termine ottenuto: è la radice quadrata di una somma, ciascun termine della somma è l'elevamento al quadrato del prodotto di una costante per t.

     Ecco un programma per calcolare d in funzione di t:

    10 INPUT t

    x = 50*t : y = 40*t

    d = SQR(x^2+y^2)   [oppure: d = SQR(x*x+y*y) ]

    PRINT d : GOTO 10

     Consideriamo un'altra situazione (già esaminata nel quesito 5.14 dell'eserciziario).

     Voglio studiare quale può essere il volume di una scatola costruita con un quadrato di lamiera di lato 20 cm nel modo il-lustrato a lato:  si tagliano dagli angoli quattro quadrati uguali, poi si piega e salda in modo opportuno la lamiera rimanente (per precisione più che di volume dovrei parlare di capacità).

   Poiché l'aspetto che assume la scatola dipende da come taglio la lamiera, posso individuare in T, cioè nel lato dei qua-

drati che vengono tagliati via, la variabile in funzione della quale esprimere il volume.

   Innanzi tutto devo ricordare come calcolare il volume V di un parallelepipedo: basta fare "area di base per altezza", cioè calcolare l'area A di una qualunque faccia e moltiplicarla per la lunghezza h di uno spigolo ad essa perpendicolare: V=A·h.

   Scelgo come "base" la faccia d'appoggio della scatola, che è un quadrato, e, quindi, come "altezza" prendo T.   Se L è la misura del lato del quadrato di base, ho: A=L2  e,

quindi:  V=L2·T.

  A questo punto, per ottenere V in funzione di T devo esprimere anche L in funzione di T.

    La cosa è facile:  la misura (in cm) del lato della lamiera è 20, quindi, vedi figura a lato, L=20–2T.

 

   Infine, sostituendo L con 20–2T in V=L2·T, ottengo:

V=(20–2T)2·T

 

     Questo è il modello matematico della nostra situazione. Ad essere preciso devo rappresentare matematicamente anche il fatto che non posso operare tagli lunghi a piacere:

la lunghezza T dei tagli, oltre che positiva, deve essere inferiore a 10: dato che la lamiera è un quadrato di lato 20, affinché rimanga qualcosa, i 4 quadrati che taglio via devono avere lato inferiore a 10.

     Quindi il modello completo è:      .

     Ecco un possibile programma per calcolare V in funzione di T:

Via:

INPUT ; "lato dei quadrati da tagliare"; T

L = 20-2*T : A = L*L : V = A*T               [o: V = (20-2*T)^2*T o: V = 4*T^3-80*T^2+400*T]

PRINT TAB(40) "volume della scatola"; V

GOTO Via

     Scrivendo la 3ª riga nel primo modo alternativo indicato tra parentesi quadre, V = (20-2*T)^2*T, la ste-sura sarebbe breve, ma sarebbero più difficili sia l'individuazione di eventuali errori che la comprensione del programma da parte di un'altra persona. Nessun vantaggio porterebbe la seconda alternativa, ottenuta sviluppando l'elevamento al quadrato e la moltiplicazione.

Verifica che sviluppando  (20–2T)2·T  si ottiene effettivamente  4T380T2+400T.

(20–2T)2·T

®

(202+2·20·(–2T)+4T2)·T

®

(    )·T

®

 

­

 

­

 

­

 

 

(a+b)2 = a2+2ab+b2

con a=20, b=–2T

 

sviluppo il termine tra parentesi

 

distribuisco "·T"

 

 

Sotto sono riportati alcuni input e le relative uscite del programma. Se, prima di GOTO Via,  si fosse in-serita la riga PRINT L, quali sarebbero state le ulteriori uscite?

 

   Indica opportunamente la scala orizzontale e la scala verticale sul sistema di riferimento a lato in modo che la figura tracciata sia il grafico di V in funzione di L.

I programmi seguenti a parità di input danno gli stessi output (a lato è illustrato un esempio d'uso). Che cosa calcolano (®Modelli mate-matici per l'economia)? Quali vantaggi/svantaggi ha un programma rispetto all'altro?

 

 

Cf=6E+7 : Ci=100 : Ru=210

10 INPUT ; "n"; n

Ct=Cf+Ci*n : Rt=Ru*n

PRINT TAB(15) "Gt="; Rt-Ct

GOTO 10

Cf=6E+7 : Ci=100 : Ru=210

10 INPUT ; "n"; n

PRINT TAB(15) "Gt="; (Ru-Ci)*n-Cf

GOTO 10

 

     Ogni volta che si deve costruire un termine numerico o un'equazione per rappresentare un fenomeno o per affrontare un problema matematico, questa costruzione viene realizzata attraverso successive compo-sizioni di funzioni, a partire da costanti e variabili con cui si sono rappresentate particolari grandezze o quantità.

     Arrivare gradualmente alla costruzione del termine o dell'equazione finale, senza pretendere di scriverla direttamente, aiuta a non commettere errori e facilita la revisione e il controllo di ciò che si è fatto.

     Anche nel costruire condizioni complesse a partire da equazioni e disequazioni si compongono delle funzioni: gli operatori logici.

  Completa il programma seguente, in modo che si com-porti nel modo esemplificato a lato, scegliendo la condi-zione da inserire nell'istruzione IF tra le quattro elencate.

 

a$="non " : b$="e` un numero naturale"

Via:

INPUT ; x

LOCATE ,10

IF ....................... THEN PRINT a$;

PRINT b$

GOTO Via

(1)    NOT(x>=0 OR INT(x)=x)

(2)    NOT(x>=0 AND INT(x)=x)

(3)    IF x<0 OR INT(x)<>x

(4)    IF x<0 AND INT(x)<>x

 

3. Funzioni a 1 input e 1 output in IR - Grafici e trasformazioni geometriche

     Una funzione che a un input numerico associa un output numerico (cioè una funzione per cui si assume come insieme di input e come insieme di output IR) è rappresentabile graficamente sul piano cartesiano: ogni coppia x  y è rappresentata con il punto di ascissa x e ordinata y (®p.3).

     Quando una figura piana A è interpretabile come grafico di una funzione?

     La definizione generale di funzione di p.3 diventa (®fig.6):  per ogni retta r verticale (cioè parallela all' asse y) accade uno dei due seguenti fatti:  (1)     r interseca A in un unico punto;

                                              (2)   r non interseca A in alcun punto.

Tra le figure a lato, quali possono essere il grafico di una funzione?

     Nel caso delle funzioni a input e output in IR alcune composizioni possono essere interpretate geome-tricamente.

 (1)  Sotto è tracciato il grafico di F:x  x2. I punti evidenziati corrispondono alle coppie x  y della tabella seguente. Aiutandoti con le altre due tabelle (dopo aver completato le celle con "?") traccia il grafico di G: x  F(x)+3 e di H: x  F(x–2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

3

9

 

 

 

x

 

y

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

–3

9

12

 

 

 

 

–3

–5

25

 

–2

4

7

 

 

 

 

–2

–4

16

 

–1

1

4

 

 

 

 

–1

–3

9

 

0

0

3

 

 

 

 

0

–2

4

 

1

1

4

 

 

 

 

1

?

?

 

2

?

?

 

 

 

 

2

?

?

 

3

?

?

 

 

 

 

3

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) Come descrivereste (usando il con-cetto di traslazione) le relazioni che inter-corrono tra il grafico di G e il grafico di F e tra il grafico di H e il grafico di F?

(3)   E la relazione che intercorre tra il grafico di G e il grafico di H?

     Dato il grafico di una funzione F il grafico della funzione x  F(x)+k è una figura uguale al grafico di F ottenibile da esso mediante una traslazione verticale di passo ∆y=k. Se k>0 il nuovo grafico è più in alto, se k<0 è più in basso.

     È facile capire perché accade ciò: gli output (cioè le y dei punti del grafico) sono tutti variati di k.

     Il grafico della funzione x  F(x–h) è una figura uguale al grafico di F ottenibile da esso mediante una traslazione orizzontale di passo ∆x=h. Se h>0 il nuovo grafico è più a destra, se h<0 è più a sinistra.

     Per capire perché accade ciò osserva la tabella della funzione H del quesito precedente:

le uscite che F aveva per gli input –3, –2, –1, 0, … H le ha per gli input –1, 0, 1, 2, …, cioè per input aumentati di 2.  In pratica, se mi muovo nella direzione dell'asse x, incontro il grafico di H in ritardo di 2 rispetto a quando ho incontrato il grafico di F.

  Qual è la funzione K di cui a fianco è tracciato il grafico, assieme a quelli di F, G e H?

     [Se siete in aula-computer verificate la risposta con grafun. Se non ottenete il grafico richiesto, correggete la defi-nizione e riverificatela tracciando il nuovo grafico, e così via]

     In generale, data una funzione F, la funzione che ha come grafico il grafico di F traslato con passi ∆x=h, ∆y=k è: x  F(x–h)+k.

  F ha come grafico la retta di pendenza 0.7 passante per l'origine (0,0).

         A lato sono tracciate tale retta e le rette con la stessa pendenza passanti per (4,–1) e per (–1,4). Queste rette sono ottenibili traslando la retta iniziale con passi ∆x=4, y=–1 e con passi x=–1,y=4.

     (1)  Associa ad ognuna delle due rette la funzione (tra G e H) di cui è il grafico.

         Una delle due rette ha equazione: y=F(x–4)–1,  cioè y=0.7(x–4)–1,  cioè  y=0.7x–3.8.

     (2)  Trova l'equazione dell'altra retta.

(3)  Trova l'equazione della retta con pendenza 0.7 passante per (2,4).

   

  Traccia, sul sistema di riferimento a fianco, i grafici delle funzioni x  |x+2|, x  |x–3|, x  |x|+2 e x  |x–1|–4.

     A lato sono tracciate la figura di equazione y=1/x e la fi-gura ottenuta da questa mediante una traslazione di passi ∆x=3, ∆y=2.

     Sotto è tracciato il grafico della funzione x  |x|.

 

figura 7

     Se mi pongo il problema di trovare le intersezioni con l'asse x della figura di equazione y=(x–2)21 posso tracciarne il grafico a partire dal grafico di y=x2: è ottenibile da questo con una traslazione a destra di 2 e in giù di 1.

     Trovo facilmente (®figura 7) che le intersezioni corrispon-dono a x=1 e x=3.

     Con metodi algebrici avrei proceduto così:

cerco per quali x è vera l'equazione:        (x–2)21=0

trasformo l'equaz. applicando "+1" ®     (x–2)2=1

a2=1 equivale a a=1 or a=1  ®  x–2=1orx–2=–1

trasformo le eq. applicando "+2"   ®  x=3orx=1

     Nel caso della figura di equazione y=0.5(x–2)20.5 posso tener conto che, indicata con F la funzione considerata sopra, cioè posto F(x)=(x–2)21, questa nuova figura è il grafico di x  0.5·F(x).

     In pratica le y vengono tutte moltiplicate per 0.5, cioè la distanza dall'asse x viene dimezzata: il grafico è ottenibile da quello di F mediante una trasformazione di scala (®La matematica e lo spazio, scheda 2) che mantiene intatte le ascisse e moltiplica per un fattore costante (0.5 in questo caso) le ordinate.

     Il nuovo grafico (®figura 8) è quindi deformato verticalmente; ad esempio il grafico di F arriva, in basso, fino alla ordinata –1; il grafico della nuova funzione si ferma all'ordinata 0.5. Tuttavia interseca l'asse x negli stessi punti in cui lo interseca il grafico di F.

     Con metodi algebrici avrei proceduto così:      cerco per quali x è vera l'eq.:     0.5(x–2)20.5=0

                                         trasformo l'equaz. applicando "+0.5"    ®    0.5(x–2)2=0.5

                                          trasformo l'equaz. applicando "/0.5"    ®    (x–2)2=1

     e poi avrei proseguito come nel caso precedente.

Schizza (in fig.8) la figura di equazione y=2(x–2)22.

figura 8     figura 9

     Nel caso della figura di equazione y=(x–2)2+1 posso tener conto che, indicata con F sempre la stessa funzione (x  (x–2)21), questa nuova figura è il grafico di x  F(x).

     In pratica a tutte le y viene cambiato il segno: il grafico è ottenibile da quello di F mediante un ribaltamento attorno all'asse x (®La matematica e lo spazio, scheda 2).

     Il nuovo grafico (®figura 9) si sviluppa, quindi, verso il basso mentre il grafico di F si sviluppa verso l'alto. Mentre il grafico di F arriva, in basso, fino alla ordinata –1, il grafico della nuova funzione arriva, in alto, fino all'ordinata 1. Tuttavia interseca l'asse x negli stessi punti in cui lo interseca il grafico di F.

     Con metodi algebrici avrei proceduto così:      cerco per quali x è vera l'eq.:     (x–2)2+1=0

                                                          trasformo l'equaz. applicando "1"    ®     (x–2)2=–1

                                               trasformo l'equaz. applicando la negazione    ®     (x–2)2=1

     e poi avrei proseguito come nel caso iniziale.

     Avrei anche potuto procedere così:                  cerco per quali x è vera l'eq.:     (x–2)2+1=0

                                               trasformo l'equaz. applicando la negazione    ®     (x–2)21=0

     e poi avrei proseguito come nel caso iniziale.

continua