Funzioni ed equazioni
Modelli matematici per studiare relazioni tra grandezze
Scheda 1
0. Introduzione
1. Funzioni numeriche e non
2. Composizione di funzioni
3. Funzioni a 1 input e 1 output in R - Grafici e trasformazioni geometriche
4. Risoluzione di equazioni: considerazioni generali
5. Manipolazione di equazioni - Funzioni iniettive
6. Esercizi
Sintesi
0. Introduzione
Sin dalla prima u.d. abbiamo usato molte volte funzioni ed equazioni per rappresentare fenomeni di vario genere. In questa u.d. approfondiremo l'esame di tali concetti, che sono ricorrenti in ogni applicazione della matematica.
1. Funzioni numeriche e non |
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La tabella a sinistra rappresenta le tariffe praticate da una società di trasporti
su autobus, che, più precisamente, sono pari a 1.4 € se la percorrenza è
inferiore a 10 km, a 2 € se, alttrimenti, è inferiore a 20 km,
a 2.7 € se, altrimenti, è inferiore a 40, a 3.5 € altrimenti (le
corse non superano gli 80 km). |
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Possiamo pensare la percorrenza come funzione della tariffa?
Evidentemente no: ad es. la tariffa di 2.7 €
può corrispondere ad una percorrenza di 21 km o di 25 km. Se invece consideriamo per ogni tariffa T l'intervallo delle percorrenze P che hanno tale tariffa, possiamo dire che P è funzione di T; ad ognuna delle tariffe T corrisponde un particolare intervallo di percorrenze P. Si tratta di una funzione che ha come input numeri e come output intervalli di numeri. |
| Nell'u.d. Le statistiche abbiamo utilizzato spesso una funzione a cui viene dato in input una sequenza finita di numeri e che ha come output un numero. Di che funzione si tratta? |
Abbiamo considerato anche funzioni a cui si danno in input stringhe e/o hanno come output stringhe. Ad esempio in molte applicazioni esistono comandi che a più stringhe associano la stringa frutto della loro concatenazione, comandi che ad una stringa associano la sua lunghezza o una particolare sottostringa. Qui trovi uno script in cui ciò è esemplificato.
Se gli input di una funzione sono in quantità finita,
essa può essere descritta elencando in una tabella tutte le possibili coppie
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
significato di AND (o &) | concatenazione | media | x → x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
funzione rappresentabile completamente mediante tabella |
funzioni non rappresentabili completamente mediante tabelle |
In molti casi ancora non sono possibili neanche questi tipi di
descrizione. Ad esempio se, fissata una località, associo ad ogni
giorno G la temperatura massima in gradi T che lì si è manifestata in tale data,
sicuramente sono di fronte a una funzione (ad ogni valore di G corrisponde un valore di T) ma non
è detto che disponga di un apparecchio per registrare tale valore e, in ogni caso,
non so quale sarà domani il valore di T. Se uso un dipositivo per registrare i valori di T in continuazione, anche la funzione che associa ad ogni istante passato la temperatura corrispondente non è descrivibile nè con una tabella né con un procedimento di calcolo. |
funzione non rappresentabile né con una tabella né con un procedimento di calcolo |
Ogni funzione a 1 input e 1 output in R
è, comunque, interpretabile come grafico, cioè come insieme di punti,
ovvero come insieme di coppie x,y di elementi di R:
il punto
Possiamo dire che in ogni caso abbiamo l'accoppiamento in modo non ambiguo di un input a un
output
Dati due insiemi I e O di oggetti matematici, una funzione a input in I e output in O è un insieme F di coppie a, b con a ∈ I e b ∈ O tale che per ogni a in I accada uno dei due seguenti fatti: [con "a → b" indichiamo "la coppia a, b", ossia l'accoppiamento di a a b] (1) c'è un unico oggetto b di O tale
che a → b stia in F (ossia per a c'è un solo accoppiamento); (2) non c'è alcun oggetto b di O tale che a → b stia in F (ossia per a non ci sono accoppiamenti). L'insieme degli a per cui F(a) è definito si dice dominio (o insieme di definizione) di F. |
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Mentre la percorrenza non è funzione della tariffa
in quanto, ad es., alla tariffa di 2 € posso far corrispondere
sia la percorrenza di 10 che quella di 11 km, l'associazione
dell'intervallo delle percorrenze alla tariffa corrispondente
è una funzione. Analogamente, nei casi sotto illustrati, mentre (B) e (C) sono funzioni ad input ed output numerici, (A) non lo è: ci sono frecce che partono dallo stesso x ed arrivano ad y diversi. |
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| Quali sono i domini delle funzioni x → x² e x → √x sopra rappresentate al centro e a destra della figura? |
| Nel caso della divisione (x,y → x/y) gli input sono coppie di numeri, cioè I è costituito da coppie di elementi di R, e gli output sono numeri reali, cioè O è R. Qual è il dominio di questa funzione? |
Se fisso un particolare insieme di input A per cui la funzione F è definita,
l'insieme dei corrispondenti output, cioè
• ogni numero tra −1 e 1 ha come quadrato un numero tra 0 e 1:
le frecce che partono da • F(A) è non solo contenuta, ma uguale a [0,1]; infatti ogni numero tra 0 e 1 è ottenibile come quadrato di un numero tra −1 e 1: tutti i punti di [0,1] sull'asse y sono raggiungibili con frecce che partono da [−1,1] sull'asse x. |
2. Composizione di funzioni
Due navi partono dallo stesso punto.
Una si muove in direzione nord con la velocità di 40 km/h, l'altra in direzione est a 50 km/h.
Voglio esprimere la distanza tra le due navi in funzione del tempo. Rappresento la situazione con un sistema di riferimento in cui (0,0) sia il punto di partenza, la direzione dell'asse orizzontale sia l'est, la direzione dell'asse verticale sia il nord, le unità sugli assi corrispondano a 1 km. |
Indico con t il tempo in ore trascorso dalla partenza.
Devo esprimere in funzione di t la posizione x della nave diretta a est e la posizione y
della nave diretta a nord. Trovate queste espressioni potrò esprimere in funzione di t
anche la distanza d tra le due navi, infatti:
d =
d = √(x²+y²) = √((50t)²+(40t)²) = √(2500t²+1600t²) = √(4100t²) = √4100 t ≈ 64 t (se t≥0)
Quindi la distanza tra le due navi aumenta proporzionalmente al tempo trascorso. Possiamo dire che una nave si allontana dall'altra alla velocità di 64 km/h.
Per costruire l'espressione di d in funzione di t ho dovuto prima esprimerla in funzione di x e di y, e poi ho espresso x e y in funzione di t. Qui trovi uno script che effettua tale calcolo. Prova ad usarlo per calcolare la distanza dopo un'ora e dopo 0.5 ore (mezz'ora) [se sei interessato, puoi esaminarne il codice].
Consideriamo un'altra situazione.
Voglio studiare quale può essere il volume (o capacità) di una scatola costruita con un
quadrato di lamiera di lato 20 cm nel modo illustrato sotto:
si tagliano dagli angoli quattro quadrati uguali, poi si piega e salda in modo opportuno
la lamiera rimanente.
• Poiché l'aspetto che assume la scatola dipende da come taglio la lamiera,
posso individuare nel lato dei quadrati che vengono tagliati via, che indico ad esempio con x,
la variabile in funzione della quale esprimere il volume.
• Innanzi tutto devo ricordare come calcolare il volume V di un parallelepipedo.
Basta fare "area di base per altezza", cioè calcolare l'area A di una qualunque faccia
e moltiplicarla per la lunghezza h di uno spigolo ad essa perpendicolare:
• Scelgo come "base" la faccia d'appoggio della scatola, che è un quadrato, e, quindi,
come "altezza" prendo x. Se L è la misura del lato del quadrato di base, ho:
• A questo punto, per ottenere V in funzione di x devo esprimere anche L in funzione di x.
La cosa è facile: la misura (in cm) del lato della lamiera è 20, quindi
(vedi figura)
• Infine, sostituendo L con 20−2x in V = L²·x, ottengo:
Questo è il modello matematico della nostra situazione. Ad essere preciso devo rappresentare matematicamente anche il fatto che non posso operare tagli lunghi a piacere: la lunghezza T dei tagli, oltre che positiva, deve essere inferiore a 10: dato che la lamiera è un quadrato di lato 20, affinché rimanga qualcosa, i 4 quadrati che taglio via devono avere lato inferiore a 10. Quindi il modello completo è:
V = (20−2x)²·x & 0 < x < 10
Qui trovi come è stato tracciato il grafico di V (vedremo, dopo il quesito 5, come sono state trovate le ascisse dei punti di ordinata 300).
| Trova l'approssimazione ai decimi delle soluzioni di V(x) = 300 utilizzando questo zoom dello script precedente. |
| Cosa devi mettere come input in tale script per trovare le soluzioni 0.907103304932525 e 6.638888245840114 (che poi posso arrotondare a 0.91 e 6.64). |
| Trova, arrotondata a tre cifre, l'ascissa del punto più a destra il cui il grafico di V ha ordinata 400. |
3. Funzioni a 1 input e 1 output in R - Grafici e trasformazioni geometriche
Una funzione che a un input numerico associa un output numerico (cioè una funzione
per cui si assume come insieme di input e come insieme di output R)
è rappresentabile graficamente sul piano cartesiano:
ogni coppia
La definizione generale di funzione data in §1 diventa:
per ogni retta r verticale (cioè parallela all'asse y) accade uno dei due seguenti fatti:
(1) r interseca A in un unico punto;
(2) r non interseca A in alcun punto.
| Tra le figure a lato, quali possono essere il grafico di una funzione? |
|
A lato è tracciato il grafico di F: x → x2. Sono
evidenziati i punti che corrispondono ad input interi. Sono schizzati
anche i grafici di (1) Associa ad ognuno di essi la relativa funzione. (2) Come descriveresti, usando il concetto di traslazione, le relazioni tra il grafico di F e quelli di G e di H? (3) E quella tra il grafico di G e quello di H? |
Dato il grafico di una funzione F il grafico della funzione
x → F(x)+k è una figura uguale al grafico di F ottenibile da esso mediante
una traslazione verticale di passo
Il grafico della funzione x → F(x−h)
è una figura uguale al grafico di F ottenibile da esso mediante una
traslazione orizzontale di passo
In pratica se modifico il valore della funzione aggiungendo o togliendo un valore, il grafico viene spostato verticalmente dello stesso valore. Invece se modifico l'input aggiungendo o togliendo un valore, il grafico viene spostato orizzontalmente di un valore opposto.
| Qual è la funzione K di cui in (A) è tracciato il grafico, assieme a quelli di F, G e H? |
In generale, data una funzione F, la funzione che ha come grafico il grafico di F traslato con
passi Δx = h, Δy = k è
|
Nella figura (B) è tracciato il grafico di una funzione F
costituito dalla retta passante per (0,0) con pendenza 0.7.
Sono tracciati i grafici delle funzioni G ed H, ottenibili traslando il grafico di F
con passi, rispettivamente, |
In (C) sono tracciate la figura di equazione y = 1/x e la figura ottenuta
da questa con la traslazione di passi
Con metodi algebrici avrei proceduto così: | ||||||
(1) cerco per quali x è vera l'eq. | (x−2)²−1=0 | (2) applico "+1" | → | (x−2)²=1 | ||
(3) a²=1 equivale a a=1 OR a=−1 | → | x−2=1 OR x−2=−1 | (4) applico "+2" | → | x=3 OR x=1 |
Indicata con F la funzione precedente, ossia posto F(x) = (x−2)²−1,
posso tracciare
Il nuovo grafico è quindi deformato verticalmente;
ad esempio il grafico di F arriva, in basso, fino alla ordinata −1;
il grafico della nuova funzione si ferma all'ordinata −0.5.
Tuttavia interseca l'asse x negli stessi punti in cui lo interseca il grafico di F.
Con metodi algebrici avrei proceduto così: | |||||||
(1) cerco per quali x è vera l'eq. | 0.5(x−2)²−0.5=0 | (2) applico "+0.5" | → | 0.5(x−2)²=0.5 | |||
(3) applico "/0.5" | → | (x−2)²=1 | e avrei proseguito come nel caso precedente |
Nel caso della figura di equazione y = −(x−2)²+1
posso tener conto che, indicata con F sempre la stessa funzione, questa nuova figura
è il grafico di
In pratica − vedi figura (3) − a tutte le y viene cambiato il segno:
il grafico è ottenibile da quello di F mediante un ribaltamento attorno all'asse x.
Il nuovo grafico si sviluppa, quindi, verso il basso mentre il grafico di F si sviluppa verso l'alto.
Mentre il grafico di F arriva, in basso, fino alla ordinata −1, il grafico della nuova funzione
arriva, in alto, fino all'ordinata 1.
Tuttavia interseca l'asse x negli stessi punti in cui lo interseca il grafico di F.
Con metodi algebrici avrei potuto procedere ad es. così: | |||||||
(1) cerco per quali x è vera l'eq. | −(x−2)²+1=0 | (2) applico la negazione | → | (x−2)²−1=0 | |||
e poi avrei proseguito come nel caso iniziale |
4. Risoluzione di equazioni: considerazioni generali
La modellizzazione mediante un'equazione di una certa situazione è, in genere, finalizzata a ottenere una rappresentazione quantitativa di come una grandezza varia al variare di un'altra o di altre. Questo era il caso del primo esempio del §2: esprimere la distanza tra le due navi in movimento in funzione del tempo, ovvero determinare la velocità con cui le due navi si allontanano. Nel caso del secondo esempio abbiamo espresso il volume V della scatola in funzione del taglio x. Il grafico di questa funzione ci permette di avere in un colpo d'occhio l'idea di come varia il volume, ci permette di stimare come operare il taglio in modo da ottenere il volume massimo o, ad esempio, da ottenere un volume di 300 cm³. In questo paragrafo ci occuperemo in particolare dei metodi per risolvere le equazioni rispetto a una variabile fissata. Alcuni aspetti verranno approfonditi nel paragrafo successivo.
A. Metodo grafico-numerico
È impiegabile quando: • si ha a che fare con un'equazione che coinvolge solo due variabili e che si è in grado di rappresentare graficamente ("a mano" o con l'ausilio di un opportuno programma), • si vuole trovare, fissato un valore di una delle due variabili, quale o quali valori assume l'altra variabile.
Riferendosi al caso, appena citato, della costruzione della scatola, fissato V = 300,
possiamo risolvere graficamente l'equazione
|
A lato è rappresentata graficamente l'equazione y = h(x) per una particolare funzione h.
Deducine quali sono le soluzioni delle equazioni −0.9, −0.73, −1.098, 1.1 |
B. Prima di mettersi a manipolare l'equazione
è bene cercare di capire se è effettivamente necessario fare manipolazioni o se è possibile risolvere l'equazione direttamente; nel caso si debba procedere con manipolazioni, è bene cercare di scegliere le trasformazioni più convenienti: non esiste un'unica ricetta per risolvere un'equazione! Ad esempio di fronte all'equazione:
6/x = 3 senza fare trasformazioni devi comprendere che l'unica soluzione è 2: risolvere (rispetto a x) questa equazione vuol dire rispondere alla domanda «per quali numeri si può dividere 6 ottenendo 3?» e dovresti sapere che per ottenere 3 occorre che 6 sia diviso per 2;
7 w = 7 devi capire immediatamente che essa ha per soluzione w = 1: l'unico numero che moltiplicato per 7 dà come risultato 7 è 1;
t²+1 = 0 devi subito concludere che non ci sono soluzioni:
qualunque sia t, t² ≥ 0 e, quindi,
(a + 1)/a = 1 devi subito concludere che non ci sono soluzioni: il rapporto tra numeri differenti non è mai 1;
x (x + 1) = 0 senza sviluppare x(x+1) in x²+x devi osservare che affinché il prodotto tra x e x+1 sia 0 occorre o che x sia 0 o che x+1 sia 0 (cioè x sia −1), per cui le soluzioni sono 0 e −1.
|
In quali dei seguenti casi potete dire a priori (senza manipolazioni, grafici,
) quante sono
le soluzioni? √x / (√x + 1) = 1.5 x² / (x²+1) = 1.5 x³ / (x³+1) = 1.5 (x−1)² + (x+3)² = 0 |
C. È opportuno tener conto di eventuali restrizioni alla variazione della incognita
In alcuni casi devo risolvere un'equazione rispetto a una variabile v
che rappresenta una grandezza o una quantità che può variare non in tutto R
ma solo in un suo sottoinsieme. Cioè devo trovare v per cui siano vere non solo
l'equazione, ma anche altre condizioni.
Ad esempio nel caso della scatola già richiamato all'inizio del paragrafo devo trovare x per cui
siano vere sia l'equazione
Nel caso del problema «trova un numero naturale il cui quadrato aumentato di 1
sia 100» posso considerare la equazione
D. ed esaminare il dominio dell'equazione
In altri casi può accadere che l'equazione non sia definita su
tutto R in quanto per alcuni valori della variabile rispetto a cui si vuole risolvere
l'equazione qualche sottotermine diventerebbe indefinito. In tali casi l'esame preventivo
del dominio può far risparmiare inutili manipolazioni:
√(x − 4) = √(2 − x)
è definita se x−4 ≥ 0 & 2−x ≥ 0, cioè
se x ≥ 4 & 2 ≥ x, ma le condizioni x ≥ 4 e 2 ≥ x sono contraddittorie;
in altre parole il 1º termine dell'equazione è definito per x ≥ 4,
il 2º per x ≤ 2, e quindi l'equazione non è definita per alcun x.
Non ha quindi senso cercare per quali x è vera.
| Qual è il dominio dell'equazione √(−x) = √x? Qual è l'insieme delle sue soluzioni? |
E. Possono esserci diverse quantità di soluzioni
Per alcuni tipi di equazioni si può stabilire a priori quante sono le soluzioni. Ma non c'è un metodo generale per stabilirlo. La quantità delle soluzioni può variare da caso a caso:
3(x+1)−1 = 3(x+1)+1 equivale a −1=1, che è falsa; in questo caso ci sono 0 soluzioni: comunque sostituisca a x un numero ottengo un'equazione falsa. Invece di dire che l'equazione è falsa per ogni x si usa dire, più in breve, che è falsa (qualche libro dice che l'equazione è impossibile intendendo: "è impossibile risolvere l'equazione rispetto a x").
3(x+1)−1 = 2(x+1)+x equivale a 3x+2 = 3x+2, che è vera per ogni x: in questo caso ci sono infinite soluzioni; anzi, ogni numero è soluzione. Si dice anche, più in breve, che l'equazione è vera. Le equazioni vere vengono chiamate anche identità.
|2x+1||x1|x = k risolta rispetto a x, può avere 0, 1, 2 o
infinite soluzioni a seconda del valore di k:
il grafico di | ||
0 volte se k < 1 1 volta se k = 1 (la soluzione è 1/2) 2 volte se 1 < k < 2 (se k = 0 le soluzioni sono 1 e 0) infinite volte se k = 2 (l'insieme delle soluzioni è 1 volta se k > 2 |
|
Di ciascuna delle equazioni seguenti stabilite quante soluzioni ha. 2/x = 8/(4x) 2x²/x = 2x round(x) = x (round indica l'arrotondamento agli interi] |
F. Verifica
Dopo la risoluzione di un'equazione attraverso manipolazioni, è utile verificare se le soluzioni trovate sono effettivamente soluzioni, cioè se, sostituite alla variabile assunta come incognita, rendono vera l'equazione: nel corso delle manipolazioni potrebbero essersi verificati degli errori; ad es. se dopo la seguente risoluzione di equazione:
2 2 2 2 2 2 12 + = 3x + > 12 + = 3x + > 12=3x > x=4 x-4 x-4 | x-4 x-4 x-4 x-4 | | | | 2 | applico /3 e applico - semplifico x-4 inverto l'eq.verifico quanto ottenuto sostituendo 4 a x nell'equazione originale, ottengo:
2 2 2 2 12 + = 3·4 + > 12 + = 12 + 4-4 4-4 0 0che non è definita. L'errore che è stato commesso nel corso della manipolazione è discusso nel paragrafo 5.
G. Incognite, parametri, variabili di input e di output
Di fronte a equazioni contenenti più variabili, come le seguenti, si può scegliere in più modi l'incognita:
(1) L = F s (2) Gt = (Ru − Ci) n − Cf (3) x² + y² = 1 (4) A = (B+b) h /2
In questi casi risolvere l'equazione rispetto alla variabile assunta come incognita consiste nel
trovare non valori numerici ma termini (che possono contenere tutte o alcune delle altre variabili)
che sostituiti a tale variabile rendono l'equazione vera, cioè un'identità:
nel caso (1) se prendo s come incognita ottengo la soluzione:
s = L/F;
nel caso (2) se prendo Ru come incognita ottengo la soluzione:
Ru = (Gt+Cf)/n + Ci;
nel caso (3) se prendo y come incognita ottengo le soluzioni:
y = √(1−x²) e
y = − √(1−x²).
| Verifica se questi termini sono effettivamente soluzioni delle prime tre equazioni. |
| Risolvi (4) sia rispetto a b che rispetto a B. |
Quando si fissa una variabile come incognita le altre variabili che compiaono nell'equazione sono
chiamate parametri. Ad esempio nel caso di L = F·s se considero s come incognita,
L e F sono i parametri. Analogamente nel caso di una funzione, come
Nota.
La parola parametro viene usata anche con un significato diverso.
Ad esempio la descrizione di una semiretta con P =
Con il metodo grafico non posso risolvere una equazione con parametri, ma solo le particolari equazioni ottenibili da essa dando valori numerici ai parametri. Tuttavia, tracciare (quando è possibile) i grafici corrispondenti all'equazione per diversi valori dei parametri, può essere utile per studiare il numero delle soluzioni.
Ad es. di fronte a x³2xq=0,
cioè a x³=2x+q, osservando
come al variare di q cambiano le intersezioni tra il grafico di
x → x³
e quello di x → 2x+q, grafici che è facile schizzare anche a mano
(vedi la figura a lato), capisco che: c'è un valore c di poco superiore a 1 tale che per q = c e q = c ci sono esattamente 2 soluzioni (la retta "tocca" y=x³ in un punto e la attraversa in un altro); per q > c c'è una sola soluzione; lo stesso accade per q < c; per c < q < c ci sono 3 soluzioni. Per trovare il valore esatto di c occorre ricorre a metodi algebrici, che per ora non siamo in grado di affrontare. |
Nel caso delle equazioni contenenti parametri la verifica delle soluzioni è particolarmente importante: in presenza di parametri è spesso più difficile studiare il dominio dell'equazione. Consideriamo ad esempio l'equazione a lato, prendendo x come incognita. | k x = x+k x+k |
A
denominatore in entrambi i membri abbiamo x+k. Quindi l'equazione è
definita per | |
Moltiplico entrambi i membri per x+k e semplifico, ottenendo: k = x. La soluzione sarebbe quindi x=k. | |
Facciamo
la verifica sostituendo k a x L'equazione ottenuta è vera se k ≠ 0. Concludendo se k ≠ 0 l'equazione ha come soluzione x=k. Se k=0 l'equazione non ha soluzioni (in questo caso la soluzione x=k non verifica l'equazione). |
k k = k+k k+k |
Se fossimo stati attenti avremmo potuto concludere che per k=0 non vi sono soluzioni anche senza la verifica: all'inizio abbiamo detto che per x=k l'equazione non è definita; per k=0 si ha k=k e quindi in tal caso la soluzione x=k non è accettabile.
| Risolvi 5 /(x−a) + a = x + 10 /(2x−2a) prendendo x come incognita. |
5. Manipolazione di equazioni - Funzioni iniettive
Per manipolare un'equazione si possono operare diversi tipi di trasformazioni.
Uno, semplice, è lo scambio dei due membri:
Cambio del dominio
Nel trasformare i termini che compaiono in un'equazione
occorre tener presente che può
cambiare il dominio dell'equazione e che, quindi, si
possono trovare delle soluzioni in più o in meno
rispetto all'equazione originale.
Nell'esempio già considerato discutendo
della verifica delle soluzioni,
4 è soluzione di 12=3x ma non è
nel dominio dell'equazione iniziale, che è stato allargato
operando la "semplificazione"
Anche nell'esempio considerato discutendo
della verifica nel caso delle
equazioni parametriche, k è soluzione di k=x ma non è
nel dominio dell'equazione iniziale, che, dopo l'applicazione di
|
La risoluzione (rispetto ad x) di √(x2) = 2,
che equivale a |x| = 2, fornisce |
Caratteristiche della funzione applicata ai due membri
Se a è uguale a b e F è una funzione a input e
output in R posso concludere che |
|
(A − 2) / 5 = 1/4 applico x → x·5 ottenendo: A − 2 = 5/4 e poi x → x+2 ottenendo: A = 5/4 + 2 = 4.25 | |
Se un certo valore verifica l'equazione iniziale (a=b) esso deve verificare anche
l'equazione finale |
In alcuni casi, però, si possono ottenere come soluzioni dei numeri
che soluzioni non sono. Un esempio:
√(2x+5) = x+1 → 2x+5 = (x+1)²
→ 2x+5 = x²+2x+1
→ 4 = x²
→ x² = 4
→ x=2 or x = −2.
Se faccio la verifica della soluzione 2 ottengo √9 = 3, che è vera. Per la soluzione −2 ottengo √1 = −1, che è falsa. Quindi −2 non è una soluzione.
| Per capire in quale passaggio l'equazione è stata trasformata in un'equazione con una soluzione in più, individuate qual è la prima tra le equazioni man mano ottenute che è verificata da −2. Cercate, poi, di capire che cosa è all'origine del fenomeno. |
Le funzioni che a input diversi fanno corrispondere output diversi vengono dette funzioni iniettive.
| Tra i grafici seguenti individua quelli corrispondenti a funzioni iniettive e quelli corrispondenti a funzioni non iniettive. Per queste ultime funzioni determina (approssimati) almeno due input con output uguali. | ||
L'applicazione di funzioni non iniettive ai due membri di un'equazione può rendere uguali "cose" che
non sono uguali. Ad esempio nel caso dell'equazione discussa prima del quesito 20 l'applicazione
dell'elevamento al quadrato, come abbiamo visto, fa sì che i due membri dell'equazione diventino uguali anche nel caso
in cui assumano valori opposti.
Invece, cambiando segno ai due membri dell'equazione (x → −x), elevandoli al cubo
(x → x³), applicando la radice quadrata
Applicando la radice quadrata o il reciproco si potrebbe invece – in casi molto particolari – perdere
qualche soluzione in quanto queste funzioni non sono definite su tutto R:
la prima non è definita sui numeri negativi (grafico B precedente), la seconda non è
definita in 0 (grafico F).
Aggiunta di qualche termine
Abbiamo visto, all'inizio del paragrafo, esempi in cui si è applicata una stessa funzione a entrambi i membri dell'equazione e a un termine aggiuntivo contenente variabili, introdotto per poi effettuare delle semplificazioni; e abbiamo osservato che si possono aggiungere o perdere delle soluzioni. Vediamo un altro esempio.
x(x+2) x x(x+2)=x > = > x+2=1 > x = -1 x x | |
Nel primo passaggio si è applicato "/x", cioè la divisione per
il termine x (vedi figura a lato);
si è ottenuta una nuova equazione che ha un dominio più piccolo (non è
definita per |
6. Esercizi
|
Traccia su carta quadrettata il grafico della funzione x → 2x2 e la figura
ottenuta da questo mediante la traslazione |
|
Traccia su carta quadrettata il grafico della funzione x → x/2 e le figure
ottenuta da questo mediante le traslazioni |
| Per schizzare il grafico di x → (x+3)/(x+2) si può trasformare il termine a numeratore in (x+2)+1 e procedere in modo da ricondursi ad una funzione simile a quella considerata nella figura (C) di §3. Prova a farlo. |
|
A fianco sono riprodotti parzialmente i grafici di Traccia. Riscrivi F(x–h)+k, cioè 0.3(x−h)²+k, sviluppando (x−h)² mediante: (a+b)² → |
|
Ho due vini A e B analoghi, ma con diverse gradazioni (cioè con diverse percentuali di alcool): A di 10.8 gradi
(10.8% di alcool), B di 11.3 gradi. Per ottenere 10 litri a 11.0 gradi quanto devo prendere dei due vini?
Indico con x la quantità di litri che dovrò prendere di A.
La quantità di B da prendere è 10−x.
L'alcool che è in A è |
|
Traccia un grafico che possa essere considerato quello di una funzione F tale che
|
| Inventa delle equazioni che abbiano 0, 1, 2, 3 e infinite soluzioni. |
| Considera la funzione V studiata in §2. V è una funzione iniettiva di x? |
|
Traccia il grafico (dopo una tabulazione) della funzione
x → |2x|+|x−3|. Trova, se possibile, valori da attribuire a P affinché l'equazione
|
|
Schizza il grafico di x → ax²
per diversi valori di a (anche con segno diverso).
Al variare del valore di a cambia la quantità delle soluzioni dell'equazione
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Individua
l'errore nella seguente "dimostrazione" che ogni numero è
uguale a 1 (nella descrizione dei passaggi non sono state elencate le
applicazioni dei riordini di addizioni e moltiplicazioni). Sia x un qualunque numero.
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| Impiegando lo script parabole traccia le figure seguenti e scrivi quali sono le funzioni di cui esse sono i grafici. |
1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:
coppia ordinata (§1), funzione (§1), insieme immagine (§1),
grafico di x → F(x−h)+k (§3),
2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |