Funzioni ed equazioni

Modelli matematici per studiare relazioni tra grandezze

Scheda 2

1.    Funzioni continue

2.    Sistemi di equazioni

3.    Risoluzione di disequazioni - Funzioni crescenti e funzioni decrescenti

4.    Funzioni polinomiali

5.    Esercizi

1. Funzioni continue

     Ritorniamo sul metodo grafico per risolvere equazioni, già discusso nella scheda 1 (®p.10).

     Consideriamo l'equazione (20–2T)2T=300. Per risolverla graficamente posso, ad esempio con grafun, tracciare i grafici di x (20–2x)2x e di x 300, e vedere dove essi si intersecano.

     Oppure posso trasformare  (20–2x)2x=300  in  (20–2x)2x–300=0  e limitarmi a vedere dove il grafico di x (20–2x)2x–300 interseca l'asse x. Questo procedimento è decisamente più comodo.

  Tracciando il grafico per x tra 0 e 10 (il modello matematico del "problema della scatola" include la condizione 0<T<10) ottengo (con "scala automatica") il grafico sottostante a sinistra.

  Per trovare la soluzione maggiore, che vedo stare tra 6 e 7, con uno "zoom" traccio il grafico con xÎ[6,7], ottenendo il grafico al centro. Posso dedurre che la soluzione sta in [6.6,6.7].

  Con un ulteriore zoom traccio il grafico con xÎ[6.6,6.7], ottenendo il grafico a destra. Posso dedurre che la soluzione sta in [6.63,6.64].

  Se voglio una approssimazione migliore proseguo.

     Non disponendo di grafun o di un programma analo-go, potrei usare un programma come quello in fondo a p.5 della scheda 1, o anche una CT, per:

   tabulare la funzione F:x (20–2x)2x e schizzarne il grafico e, poi,

   trovare le soluzioni con procedimenti per tentativi ragio-nati (®risoluzione di equazioni in Gli oggetti matematici); ad es. (®calcoli a lato):

   far variare x di 1 fino a che f(x) scavalca 300 (passa da   384 a 252),

   poi (partendo dall'ultimo x prima dello scavalcamento)    far variare x di 0.1 fino a che f(x) scavalca 300 (passa     da 305.1… a 291.8…)

   poi …

6 -> 384

7 -> 252              ®[6,7]

6.1 -> 371.124

6.2 -> 358.112

       

6.5 -> 318.5

6.6 -> 305.184

6.7 -> 291.852     ®[6.6,6.7]

6.61 -> 303.851

6.62 -> 302.518

6.63 -> 301.185

6.64 -> 299.852  ®[6.63,6.64]

     Con il metodo grafico o con questo metodo numerico posso determinare, con la precisione che voglio, x tra 6 e 7 tale che (20–2x)2x=300 (ossia tale che (20–2x)2x–300=0).

     Da un certo punto in poi, come si è già accennato più volte, possono intervenire alcuni errori di appros-simazione e, in ogni caso, più di una certa quantità di cifre non posso conoscere.

     Tuttavia con opportuni programmi in grado di eseguire calcoli con più cifre o procedendo "a mano" (con tempo e pazienza a disposizione) potrei conoscere la soluzione con quante cifre voglio (®La automazione, scheda 2, p.12; I numeri, scheda 3, p.19).

   A lato puoi vedere parte del grafico di x fix(x) (troncamento agli interi di x, usando la notazione di QB; I(x) in grafun).

        Sullo stesso sistema traccia il grafico di x 2.6.

        Ha soluzioni l'equazione  fix(x)=3?

          E l'equazione  fix(x)=2?

          E l'equazione  fix(x)=2.6?

   Se tabulo questa funzione facendo variare gli input di 1 gli output variano di 1:           -1 -> -1

                               0 ->  0

                            1 ->  1

                            2 ->  2

     ma anche facendo variare gli input di 0.1 o di 0.01 gli output possono variare di 1:

            2.1 -> 2           2.98 -> 2

                           2.99 -> 2

         2.9 -> 2           3    -> 3

         3   -> 3            

                           3.99 -> 3

         3.9 -> 3           4    -> 4

         4   -> 4

     Dunque, per questa funzione, infittendo gli input (x) non posso ottenere una tabulazione con gli output (y) fitti (cioè vicini l'uno al successivo) quanto voglio.

   Per la funzione x (20–2x)2x posso affermare che se ne faccio una tabulazione in [0,10] con input man mano più fitti posso ottenere output fitti quanto voglio?

     Tracciando il grafico di x (20–2x)2x con grafun ottengo prima una successione di pixel distinti (figura seguente, a sinistra). Chiedendo il tracciamento di "altri punti" (cioè l'infittimento delle x tabulate) ottengo la figura al centro. Con altri tracciamenti di punti, arrivo alla figura a destra, formata da una sequenza di pixel attaccati, senza spazi bianchi in mezzo.

     In particolare trovo sicuramente un pixel in comune con il grafico di x 300.

              

          primo tracciamento                                      altri punti   fino a ottenere un insieme di pixel attaccati

     Avrei potuto anche fermarmi al primo o al secondo tracciamento di punti e, poi, rispondere affermati-vamente alla domanda "congiungo i punti?". Avrei ottenuto direttamente una sequenza di pixel attaccati praticamente uguale a quella ottenuta con ulteriori tracciamenti di punti.

    Invece con x fix(x) all'aumentare dei punti tracciati il gra-fico tende a stabilizzarsi su un insieme di segmenti disgiunti (®figura del quesito 1).   Se poi faccio congiungere i punti otten-go un insieme di pixel differente (®figura a destra), che non corrisponde al grafico della funzione:

    questa funzione ha solo output interi, quindi il suo grafico non può avere punti con ordinate non intere; i tratti verticali non possono essere parti del grafico.

    Se una funzione in un intervallo [a,b] è definita e all'infittire degli input in tale intervallo fornisce output man mano più fitti, come x (20–2x)2x in [0,10], si dice che tale funzione è continua in [a,b].

     Nel linguaggio comune l'aggettivo continuo si usa con vari significati. Quello più vicino alla definizione ora data è «senza interruzioni»: per dare un'idea della differenza tra il grafico di x (20–2x)2x e quello di x fix(x) possiamo infatti dire che, al variare di x, nel primo caso y varia in modo continuo, nel secondo caso y varia presentando degli "scatti".

     Vedi anche quanto detto a proposito dei segnali analogici (®La automazione, scheda 4, p.3).

   Sapete individuare qualche intervallo in cui la funzione x fix(x) sia continua?

   Siano F1 e F2 le funzioni definite nell'intervallo [0,1000] nel modo seguente, già considerate (con altre notazioni) e rappresentate graficamente a p.12-13 della scheda Modelli matematici per l'economia:

F1(x) =

 

F2(x) =

   Tali funzioni sono continue in [0,1000]?

   Hanno soluzioni in tale intervallo le equazioni  F1(x) = 1550000  e  F2(x) = 1550000?

     Tutte le funzioni del tipo x f(x) con f(x) termine costruito (a partire da x e da costanti) solo mediante applicazioni delle "quattro operazioni" o dell'elevamento a potenza e della radice quadrata (o, anche, delle funzioni seno, coseno, tangente) sono continue in ogni intervallo [a,b] in cui siano definite.

     Infatti i risultati di queste operazioni variano con continuità al variare degli input: per "piccole" variazioni degli input i risultati hanno "piccole" variazioni. Ciò discende da come sono stati definiti gli algoritmi di queste operazioni sui numeri decimali limitati e da come essi sono stati estesi ai numeri reali (®strutture numeriche in Gli oggetti matematici). Su questi argomenti ritornerai negli anni prossimi.

2. Sistemi di equazioni

     Abbiamo più volte considerato condizioni costituite da equazioni combinate con degli and. Condizioni di questo vengono chiamate sistemi di equazioni.

     In genere sono scritte in modo "ab-breviato", usando una parentesi graffa invece di and, come a lato, a destra.

equazione1 and equazione2 and equazione3                                                                                

     Sotto sono riportati alcuni sistemi di equazioni utilizzati per indicare l'intersezione del cerchio di centro (0,0) e raggio 10 con alcune rette e con una parabola.

            

     Nel primo caso le intersezioni sono i punti (6,8) e (6,–8).

Infatti sostituendo 6 a x e 8 a y il sistema assume la forma a lato.  Entrambe le

equazioni sono vere quindi (poiché "vero" and "vero" fa "vero") il sistema è

vero.  Se sostituisco 6 a x e –8 a y il sistema si trasforma nello stesso modo.

     Si dice anche che (6,8) e (6,–8) sono soluzioni del sistema x2+y2=100 and x=6 rispetto alla coppia incognita (x,y).

     Si dice anche che le soluzioni sono   (x,y)=(6,8) e (x,y)=(6,–8)   o che sono   e

 o che il sistema equivale a:   (x=6 and y=8) or (x=6 and y=–8).

   Risolvete, rispetto a (x,y), il secondo sistema, cioè: x2+y2=100 and y=6

     e il terzo, cioè: x2+y2=100 and y=x.

  Quante soluzioni, rispetto all'incognita (x,y), ha il quarto sistema, cioè: x2+y2=100 and y=x212?

     Per rispondere a quest'ultimo quesito senza fare calcoli ci siamo riferiti ai grafici delle due equazioni. Ad essere rigorosi, il solo fatto che dalle rappresentazioni grafiche si veda che una curva "scavalca" l'altra non ci assicura che effettivamente tale curve abbiano ivi un punto in comune.

     Tuttavia la parabola e il cerchio sono curve "continue", senza "buchi": la prima è il grafico di una funzio-ne continua, mentre la seconda è l'unione dei grafici delle due funzioni continue x e x

     Anche nella scheda Modelli matematici per l'economia ab-biamo più volte affrontato problemi che si presentavano come la ricerca di un'intersezione tra due grafici.

     Ad esempio per trovare il volume di produzione n per cui i ricavi pareggiano i costi posso intersecare i grafici delle funzio-ni F e G che esprimono CT e RT in funzione di n (CT=F(n), RT=G(n)).

     Questo problema grafico si traduce nel sistema

     Dall'equazione F(x)=G(x) posso ricavare la ascissa del punto di intersezione.  Per ricavare l'ordinata (cioè, in questo caso, l'ammontare dei ricavi, ovvero dei costi) posso poi impiegare y=F(x) o y=G(x).

  Come dividere una quantità A in tre parti in modo che la prima sia il doppio della seconda e che la seconda sia il triplo della terza?  Indicando con x, y e z le tre parti, possiamo esprimere il problema con il seguente sistema (1) di 3 equazioni e risolverlo assumendo (x,y,z) come terna incognita e A come para-metro.                            (1)                    (2)                 (3)    (4)   (5)

 

     A destra del sistema (1) sono riportate alcune successive trasformazioni, fino al sistema finale (5) in cui x, y e z sono espresse in funzione del parametro A.              Qual è la soluzione del problema se A è 100?

   Spiegate procedimenti e ragionamenti che si sono operati durante le trasformazioni.

     Per la risoluzione dei sistemi valgono considerazioni generali analoghe a quelle svolte a proposito della risoluzione delle equazioni:

   in assenza di parametri e quando l'incognita è una coppia di variabili si può ricorrere a metodi grafici;

   prima di mettersi a fare manipolazioni è bene comprendere il significato delle relazioni espresse dalle equazioni che compongono il sistema, per vedere se ci sono modi semplici per individuare direttamente le soluzioni e, comunque, cercare d' intraprendere la strada più conveniente;

[per il sistema  y = x+2 and y = x  posso concludere subito che non esistono soluzioni in quanto x è sempre diverso da x+2]

   è opportuno prestare attenzione al dominio delle varie equazioni (il sistema è definito quando lo sono tutte le equazioni che lo compongono);

[y=and y2+3=–(1–x)  è definito se 1–x≥0; posso dedurne la falsità della 2ª equazione, e quindi dell'intero sistema]

   la quantità delle soluzioni può variare da sistema a sistema;

   è opportuno verificare le soluzioni trovate.

     Risolvendo un sistema mediante manipolazioni, in genere, come si è fatto per il sistema del quesito 7, si cerca di "eliminare" delle incognite da una o più equazioni fino a arrivare a un'equazione in cui ce n'è una sola: l'equazione 6z+3z+z=A del passo (3).  Si risolve questa e poi si ricavano, utilizzando le altre equazioni, i corrispondenti valori delle altre variabili: passo (5).

     Per manipolare un sistema di equazioni, trasformandolo in un sistema ad esso equivalente, oltre che manipolare le singole equazioni che lo compongono con i procedimenti già esaminati nella scheda 1, si possono usare specifiche riscritture. Le più usate sono le seguenti:

   Volendo, si può cambiare l'ordine delle equazioni; infatti l'operatore and è commutativo.

equivale a  

   Si può sostituire un sottotermine a con un termine b se nel sistema è presente l'equazione a=b (o b=a) che impone l'eguaglianza tra a e b.

Nel quesito 7, nella trasformazione (1)®(2) si è sostituito y della 2ª equazione con 3z, essendo imposta dalla 3ª equazione l'eguaglianza tra y e 3z.  Nella trasformazione (2)®(3) si sono sostituiti x e y della 1ª equa-zione con i termini la cui eguaglianza a x e y è imposta dalla 2ª e dalla 3ª equazione.

   Si possono addizionare al 1° e al 2° membro di un'equazione rispettivamente il termine a e il termine b se nel sistema è presente l'equazione a=b (o b=a) che impone l'eguaglianza tra a e b.

Esempio. Osservando il sistema (1) sottostante osservo che se addiziono x–y a x+y posso eliminare la y. Quindi trasformo la prima equazione addizionando x–y al 1° membro e 2 al 2° membro (l'eguaglianza tra x–y e 2 è imposta dalla seconda equazione).  In questo modo ottengo il sistema (2), che posso semplificare in (3), la cui prima equazione contiene solo la variabile x.

   (1)                  (2)                                (3)                  (4)                  (5)                  (6)                    (7)

Poi procedo ricavando x e poi (dopo avere sostituito x nella seconda equazione con il valore così trovato) y.

Nota. Non c'è un'unica strada risolutiva. Ad esempio l'ultimo sistema avrei potuto risolverlo così:

o così:

o …

  Quali tipi di trasformazioni sono state operate nelle due risoluzioni esemplificate nella nota precedente?

  Risolvi il seguente sistema operando le trasformazioni indicate (se è il caso svolgi qualche trasforma-zione intermedia su un altro foglio di carta)

 

applica 3" alla 1ª eq. e 2" alla 2ª

applica la negazione alla 2ª eq.

addiziona al 1° e al 2° membro della 2ª eq. 1° e 2° membro della 1ª eq.

risolvi la 2ª eq.

sostituisci nella 1ª eq. ad a la soluzione appena trovata

 

 

risolvi la 1ª eq.

 

 

 

     A volte anche le equazioni contenenti più variabili vengono risolte non rispetto a una variabile ma a una coppia o a una terna di variabili.

     Ad esempio di fronte all'equazione x2+y2=r2 (r>0) posso pormi il problema di risolverla rispetto a y (cercare termini che esprimano y in funzione di x), ottenendo y=e y=–o quello di risol-verla rispetto a (x,y) (trovare coppie di numeri che sostituiti, in ordine, a x e y rendano vera l'equazione): in questo secondo caso le soluzioni sono le coordinate dei punti del cerchio di centro (0,0) e raggio r.

     Proviamo a risolvere rispetto a (x,y) l'equazione (x–2)2+(2x–y+3)2=0. Poiché a2+b2=0 è vera solo quando a=0 and b=0 posso ricondurmi alla risoluzione del sistema  x–2=0 and 2x–y+3=0.

     Completa la risoluzione di questa equazione.

     Alcuni tipi di sistemi sono particolarmente facili da risolvere, sia graficamente (se non contengono parametri), sia con manipolazioni.

     Si tratta dei sistemi interpretabili come intersezione tra due rette.

     A fianco è rappresentato il sistema

già risolto nella pagina precedente.

     Avrei potuto concludere subito, anche senza grafici, che questo sistema ha esattamente 1 solu-zione: la 1ª equazione è trasformabile in y=–x+… per cui rappresenta una retta con pendenza –1, la 2ª è trasformabile in y=x+… per cui rappresenta una retta con pendenza 1. Avendo pendenze diver-se le due rette si intersecano.

     Volendo tracciare a mano le due rette, possiamo completare la trasformazione nella forma y=… e trovare le intercette (®La matematica e lo spazio, scheda 2, p.14), 1 e2, e poi far partire da (0,1)

una retta con pendenza 1 e da (0,–2) una retta con pendenza 1.

     Per tracciare le rette potevo anche, per ciascuna di esse, trovare due suoi punti e tracciare una linea rettilinea passante per essi.  In genere una coppia di punti particolarmente facile da determinare è quella costituita dalle intersezioni con gli assi:

        

        

        

     Per stabilire se due rette sono parallele spesso si può fare a meno di calcolarne le pendenze.

     Basta osservare che, ad esempio, le equazioni 3x+2y+1=0, 3x+2y–7=0, 30x+20y+10=0, 6x+4y–2=0, –6x–4y–1=0, …  … rappresentano rette parallele in quanto sono tutte trasformabili nella forma y=3/2x+ [30/20=6/4=6/(4)=…=3/2].

    Più in generale data la retta di equazione ax+by+c=0, ogni retta ad essa parallela è descrivibile con un'equazione del tipo ux+vy+w=0 con (u,v)=k(a,b) per qualche k≠0.

    Ad esempio sono parallele a 3x+2y+1=0 anche 0.3x+0.2y–9=0, x+y=0, –9x–6y+8=0, ottenute con k=0.1, k=1/2, k=3.

    È facile, infatti, dimostrare che la retta di equazione ax+by+c=0 è paral-lela al vettore (b,a).  E vedi figura a lato  i vettori paralleli a un vettore dato sono quelli ottenibili da esso moltiplicandone le componenti per uno stesso numero diverso da 0 (®La matematica e lo spazio, scheda 2, §3).

     Le equazioni del tipo ax+by+c=0 rappresentano rette (a patto che a e b non siano entrambi nulli, altrimenti ci ricondurremmo all'equazione 0x+0y+c=0, che è o sempre vera – e rappresenterebbe l'intero piano – o è sempre falsa – e rappresenterebbe l'insieme vuoto).

     Come abbiamo chiamato funzioni lineari le funzioni x kx+h che hanno per grafici rette, così chia-miamo equazioni lineari in x e y queste equazioni.

     I sistemi costituiti da due equazioni lineari (rispetto alla stessa coppia di variabili) vengono detti sistemi lineari.

     I sistemi lineari possono avere:

   1 soluzione, se le due equazioni rappresentano rette non parallele,

   0 soluzioni, se rappresentano due rette parallele,

   o come soluzione ogni coppia (x,y) che sia un punto della retta rappresentata dalle due equazioni, se queste sono equivalenti.

     Se consideriamo un sistema lineare in x e y generico, scritto nella forma seguente,

possiamo risolverlo esprimendo la soluzione in funzione dei parametri a1, a2, …, b3:

per y, procedendo in modo analogo, si ottiene lo stesso termine con  a2 e b2 al posto di a1 e b1:

     Ovviamente, per risolvere un sistema "a mano" non è comodo ricorrere a questa formula. Questa formula è, invece, utile per costruire un programma che consenta di risolvere un generico sistema lineare:

PRINT "risoluzione del sistema  a1 x + a2 y = a3  AND  b1 x + b2 y = b3"

10

INPUT "a1, a2, a3"; a1,a2,a3

INPUT "b1, b2, b3"; b1,b2,b3

PRINT "x ="; (a3*b2-a2*b3)/(a1*b2-a2*b1)

PRINT "y ="; (a1*b3-a3*b1)/(a1*b2-a2*b1)

GOTO 10

     Risolviamo con questo programma, ad esempio, il sistema

 

  Dando gli input a fianco, in entrambi i casi si ottiene un messaggio di errore ("divisione per 0"). Perché?

          Quante sono le soluzioni dei due sistemi?

 

     Anche l'applicazione Derive usa for-mule come queste per calcolare le soluzioni di un sistema lineare.

     In Derive i sistemi vengono scritti battendo le equazioni, separate da virgole, tra parentesi quadre, come nelle righe 1 e 3 a lato (per scrivere il sistema #3 si è scelta l'opzione che consente di usare come variabili stringhe, non solo lettere).

     Per risolvere #1 basta battere in Crea solve(#1,[x,y]) e azionare Semplifica.

 

     Oppure si possono battere direttamente le equazioni nella finestra di dialogo che compare azionando Risolvi-Sistema, avendo cura di specificare la coppia di incognite.

3. Risoluzione di disequazioni - Funzioni crescenti e funzioni decrescenti

    Abbiamo considerato più volte disequazioni [®formule in Gli oggetti matematici], ad esempio:

   per descrivere figure [®figure(1) in Gli oggetti matematici],

   nelle attività di calcolo approssimato [®Gli oggetti matematici],

   per descrivere situazioni economiche [®Modelli matematici per l'economia]; ad es. la disequazione RTCT (ricavo totale che supera il costo totale) indica una attività produttiva non in perdita (il "?", nel grafico a lato, è il volume di pro-duzione che segna il passaggio da una situazione di passivo a una di attivo).

     Le disequazioni sono condizioni, così come le equazioni e i sistemi di equazioni. Quando contengono variabili ci si può porre anche per esse il problema di risolverle rispetto a una variabile fissata (o a una coppia di variabili o …).

     Alcune "disequazioni", come 3≤x<7, ad essere rigorosi non sono delle vere e proprie disequazioni, ma sono dei sistemi di disequazioni. Comunque, per comodità, le chiameremo in genere disequazioni.

3≤x<7  sta per:  

cioè per:   3≤x AND x<7

     Occupiamoci della risoluzione di disequazioni contenenti un'unica variabile.

     Il metodo risolutivo più semplice è il metodo grafico.

     Ad es. di fronte alle equazioni  R = 3.2n  e  C = 650+2.1n  e al problema di stabilire per quali n R>C, cioè di risolvere rispetto a n la disequazione  3.2n>650+2.1n, possiamo tracciare i grafici di n 3.2n e di n 650+2.1n e individuare, approssimativamente, per quali valori di n il primo sta sopra al secondo.

     Oppure (in analogia a quanto si è già fatto per le equazioni: ®p.1) possiamo ricondurci allo studio del

segno della differenza G tra R e C [G = R–C = 3.2n – (650+2.1n) = 650+1.1n]: le soluzioni sono gli n per cui il grafico di G sta so-pra all'asse orizzontale, cioè, circa, gli n maggiori di 600 (n>600).

     Se voglio trovare con più precisione a partire da quale n si ha G>0 posso fare degli zoom, oppure posso risolvere algebricamente l'equazione G=0, cioè:  650+1.1n=0, ottenendo: n=650/1.1= 590.

     Se n potesse variare solo in IN dovrei considerare n>590, ovve-ro n591.        [®Modelli matematici per l'economia, p.7]

     Il metodo ora visto, cioè metodo grafico (per capire come sono fatti gli intervalli costituiti dalle solu-zioni) più metodo algebrico (per trovare gli estremi di tali intervalli), è, in genere, il più conveniente.

Utilizzando le seguenti uscite di grafun, in particolare il grafico di H, si può dedurre che la disequazio-ne scritta nel riquadro ha per soluzioni i numeri che stanno in un intervallo del tipo [h,∞):

il grafico di F sta sopra al grafico di G (ovvero il grafico di H sta sopra all'asse x) per x>h essendo h l'ascissa del punto di intersezione.

Come è l'intervallo delle soluzioni della disequazione x3–x+1>x23? e quello di x3–x+1≤x23?

Dai grafici riprodotti ricava il valore di h arrotondato a 3 cifre.

          Nel caso del quesito precedente non sapete trovare quanto vale h con metodi algebrici.

          Nel caso della prima disequazione a fianco, che ha come insieme di soluzioni un intervallo (–h,h), abbiamo già trovato esattamente h affrontando il quesito 5: h=8.

   Risolvete la seconda disequazione.

                 >6              ≤x

     Per il metodo grafico valgono le osservazioni critiche già svolte a proposito della risoluzione delle equa-zioni [®Funzioni ed equazioni, scheda 1, p.10] e in particolare il fatto che, senza considerazioni teori-che, non posso essere certo che, fuori dall'intervallo considerato, la funzione (o le funzioni) rappresentate non cambino andamento e non vi siano ulteriori intersezioni. Su ciò torniamo nel prossimo paragrafo.

     Osserviamo, per ora, che le funzioni del tipo x ax2 hanno come grafico una parabola con la conca-vità rivolta verso l'alto se a>0, verso il basso se a<0. Traslando il grafico di x ax2 ottengo quello di una funzione x ax2+: a(x–h)2+k=ax2–2ahx+ah2+k.   [®Funzioni ed equazioni, scheda 1, §3]

         Questo grafico, essendo frutto di una traslazione, ha la concavità rivolta come quella del grafico di x ax2.

   Le funzioni F e G (F(x) e G(x) sono scritti a lato, al modo di grafun) hanno grafici ottenibili per traslazione da quello di x 3/4x2 (è facile trovare i passi h e k della traslazione:®ques.23). Anche senza tracciarli, so che devono essere con la concavità verso il basso.

     (1)   Posso stabilire a priori se le disequazioni F(x)<0 e G(x)<0 hanno soluzioni o sono false?

(2) Utilizzando i grafici tracciati, dopo aver stabilito qual è quello di F e quale quello di G, individua (eventualmente in modo approssimato) gli intervalli delle soluzioni delle due disequazioni.

   A fianco è riprodotto parzialmente il grafico di una funzio-ne F. Supponiamo che, sia a sinistra che a destra dell'inter-vallo considerato, F "cresca", cioè abbia pendenza positiva. Determina, approssimativamente, l'intervallo (o gli intervalli) in cui F assume valori non negativi, cioè risolvi la disequazio-ne F(x)≥0.

     Per risolvere una disequazione si usano manipolazioni simili a quelle impiegate per risolvere equazioni [®scheda 1, §5]:  "invertire la disequazione" (a<b®b>a) e:

   sostituire un membro della disequazione con un termine ad esso equivalente:

         ciò richiede attenzioni simili a quelle richiamate per le equazioni (il dominio può cambiare);

   applicare una funzione a entrambi i membri:

         ciò richiede qualche attenzione in più rispetto a quelle viste per le equazioni, come ora vedremo.

     Incominciamo dalle manipolazioni che non creano problemi.

     Si è già visto "graficamente" che una disequazione del tipo F(x)>G(x) è equivalente a F(x)–G(x)>0.

Possiamo pensare questa trasformazione come frutto dell'applicazione di "G(x)" ai due membri e di una successiva sem-plificazione.

     Anche "algebricamente" la giustifica-zione è semplice:  se addiziono (o sottrag-go) lo stesso numero a due numeri A e B, ottengo due nuovi numeri A’ e B’ che

    

sono nello stesso ordine che c'era tra A e B.  Possiamo quindi applicare le trasformazioni schematizzate sopra (con l'attenzione ai cambiamenti di dominio che ci possono essere se t contiene la variabile rispetto a cui risolviamo la disequazione).

Risolvi algebricamente la disequazione x+3>2x–1 applicando, "x" e "+1". Controlla le soluzioni trovate graficamente ("schizza" i grafici di x  x+3 e di x  2x–1 e osserva in quale intervallo il primo sta sopra al secondo).

     Di fronte, ad esempio, a  3x<1.2  e a  x>9  si potrebbe pensare di procedere applicando ai due membri in un caso "·1/3", nell'altro "·(–2)":

3x<1.2®x<1.2/3®x<0.4®soluzioni: (,0.4)       x>9®x>9·(–2)®x>–18®soluz.: (18,∞)

          Proviamo a fare la verifica per qualche valore che cade negli intervalli soluzione:

             1ª disequazione:        –1 sta in (–∞,0.4) e verifica la disequazione originale;

                                               infatti 3·(–1) = –3 e –3<1.2 è vera;

             2ª disequazione:        0 sta in (–18,∞) ma non verifica la disequazione originale;

                                               infatti –1/2·0 = 0 e 0>9 è falsa.

   Cercate di capire quale errore è stato commesso durante la trasformazione della 2ª equazione.

     Applicando "·(–2)" ai numeri 0 e 9, con 0<9, si ottengono i numeri 0 e –18, con 0>–18: la applicazione di "·(–2)" inverte la relazione d'ordine esistente tra i due numeri. Invece l'applicazione di "·1/3" mantiene la relazione d'ordine: –3 e 1.2 (con –3<1.2) diventano –1 e 0.4 (con –1<0.4).

     È una situazione analoga a quella considerata a p.16 della scheda 1:

   là eravamo di fronte a funzioni che  a coppie di numeri diversi associavano numeri uguali (trasformando equazioni false in equazioni vere),

   qui siamo di fronte a una funzione (x  (–2)) che a una coppia di numeri con il 1° maggiore del 2° associa una coppia di numeri con il 1° minore del 2° (trasformando disequazioni false in disequazioni vere).

     Per precisare queste considerazioni introduciamo le seguenti definizioni (relative a concetti che abbiamo già usato molte volte, ad esempio in Modelli matematici per l'economia):

   una funzione F è detta crescente in un intervallo I se:

                                               è definita in I e all'aumentare dell'input (preso in I) l'output aumenta

        cioè se:                           comunque prenda x1<x2 in I si ha F(x1)<F(x2)

   una funzione F è detta decrescente in un intervallo I se:

                                               è definita in I e all'aumentare dell'input (preso in I) l'output diminuisce

        cioè se:                           comunque prenda x1<x2 in I si ha F(x1)>F(x2)

        A lato sono riprodotti parzialmente i grafici delle fun-zioni  F:x  1/3  e  G:x  (–2), la prima cre-scente, la seconda decrescente.

        Applicando F ai membri di una disequazione non oc-corre "invertire" il simbolo ("<" o ">"), come invece è necessario fare se si applica G.

(1)  Considera la funzione x (20–2x)2x–300 rap-presentata graficamente a p.1. Individua, approssima-tivamente, gli estremi del massimo sottointervallo [a,b] di [0,10] in cui la funzione sia crescente.

        (2)  Considera la funzione F del quesito 15. Determina gli estremi degli intervalli in cui F è crescente e di quelli in cui è decrescente.

        Due funzioni particolarmente importanti sono la negazione (o "cambio segno"), x  –x, e il passaggio al reciproco, x  1/x, di cui a fianco sono riprodotti parzialmente i grafici:

       la prima è decrescente in IR,

       la seconda, che è definita in (–∞,0)È(0,∞), cioè in {xÎIR : x≠0}, è decrescente sia in (–∞,0) che in (0,∞).

Risolvi le seguenti disequazioni applicando opportunamente (come prima trasformazione) la negazione o il passaggio al reci-proco:

     (x+1)>3

     1/x>2       [tieni conto che per x<0 la disequazione è falsa, per cui

                      puoi restringerti all'intervallo (0,∞)]

 

     Sulla risoluzione delle disequazioni ritornerai nel corso del triennio.  Ci limitiamo solo a ricordare i pro-cedimenti schematizzati sotto:

 

"se moltiplico per lo stesso numero positivo [negativo] due numeri A e B ottengo due nuovi numeri A’ e B’ che sono nello stesso ordine [nell'ordine opposto a quel-lo]  che c'era tra A e B.

  

   Utilizza questi procedimenti  per risolvere nel mo-do più semplice possibile le disequazioni:

>           >

 

4. Funzioni polinomiali

     Come abbiamo già osservato, vi sono alcune funzioni F per le quali è abbastanza facile sia prevedere l'andamento su tutto IR che studiare quante sono le soluzioni dell'equazione F(x)=0.

     Abbiamo già visto le funzioni lineari,  x  ax+b, aventi per grafico una retta:

   sono crescenti se a>0 (x  2x–3), decrescenti se  a<0 (x  3x+1), costanti se  a=0 (x  5)

   l'equazione F(x)=0, se F è lineare, ha 0 soluzioni, 1 soluzione o tutti i numeri reali come soluzioni.

     Abbiamo accennato alle funzioni x  ax2+bx+c (a0), aventi per grafico una parabola (®ques. 14):

   se a>0 (parabola con la concavità verso l'alto) sono decrescenti in un intervallo (–∞,h] e crescenti in [h,∞); se a<0 (parabola con la concavità verso il basso) sono crescenti in un intervallo (–∞,h] e decrescenti in [h,∞);

   l'equazione F(x)=0, se F è una funzione di questo genere, ha 0 soluzioni, 1 soluzione o 2 soluzioni.

    Più in generale possiamo considerare le funzioni  x  anxn+an1xn1+…a2x2+a1x+a0 con an0.

     Una funzione F di questo tipo viene chiamata funzione polinomiale di grado n; ai viene chiamato coefficiente di grado i.   L'equazione F(x)=0 viene chiamata equazione polinomiale di grado n.

     Un termine dalla forma anxn+an1xn1+…a2x2+a1x+a0 viene chiamato polinomio in x, anche se i coefficienti non sono costanti, ma variabili o termini più complessi (purché non contenenti x).

Come la parola poligono deriva dalle parole greche pols (molto) e gonia (angolo), a mo' di "figura dai molti angoli", così la parola polinomio deriva dalle parole greche pols e ónoma (nome, espressione), a mo' di "espressione costituita dalla somma di molte espressioni". Si parla anche di trinomio, binomio e monomio per indicare un polinomio che è somma di 3, 2 o 1 termine, cioè in cui solo 3, 2 o 1 tra gli ai sono diversi da 0.

     Per n=0 si ha il caso particolare delle funzioni costanti. La funzione nulla, x  0, non rientra nella defi-nizione data poichéan=a0=0; è considerata una funzione polinomiale senza grado o, a volte, di grado –1.

     Per n=1 abbiamo il caso delle funzioni lineari non costanti. Per n=2 abbiamo le funzioni aventi come grafici parabole. Queste ultime vengono chiamate funzioni quadratiche, mentre le funzioni polinomiali di grado 3 vengono chiamate funzioni cubiche.  Il coefficiente di grado massimo viene chiamato coeffi-ciente direttivo: nel caso delle funzioni lineari non è altro che la pendenza (e è detto anche coefficiente angolare); nel caso delle funzioni quadratiche è il fattore che determina forma e concavità della parabola.

     Tutte le funzioni polinomiali sono continue [®fine di §1].

     La funzione che esprime V al variare di T richiamata all'inizio della scheda è una funzione polinomiale di grado 3.  Infatti  (20–2T)2T = (400–80T+4T2)T = 400T–80T2+4T3 = 4T380T2+400T.

     4T380T2+400T è un polinomio di grado 3 in T. A volte anche (20–2T)2T viene chiamato polinomio in T in quanto è equivalente a 4T380T2+400T.

   Date due funzioni F e G (a input e output in IR) le funzioni x  F(x)+G(x) e  x  F(x)·G(x) vengono dette, rispettivamente, funzione somma e funzione prodotto di F e G.

     T  (20–2T)2T, che abbiamo visto essere una funzione polinomiale di grado 3, può essere considerata il prodotto della funzione polinomiale T  (20–2T)2 che è di 2° grado (infatti (20–2T)2=4T280T+400) per quella di 1° grado T  T.

     Più in generale il prodotto di due funzioni polinomiali, una di grado m, l'altra di grado n, è una funzione polinomiale di grado m+n.    Infatti, con calcoli analoghi a quelli svolti nell'esempio:

se F: x  amxm+… e G: x  bnxn+… sono le due funzioni, sviluppando il prodotto F(x)·G(x), raggruppando i termini e, poi, riordinandoli, si ottiene:  am·bnxm+n+…        Ecco un altro esempio:

= 3x2 +2 =

=  21x53x3+ 14x3 2x =  21x53x3+ + 14x3 2x =

=  21x5+(14–3)x3 + 2x  =  21x5 – 3.5x4  +11x3 + 0.5x2  2x

     Avremmo potuto effettuare questo calcolo anche utilizzando l'applicazione polinomi.exe presente tra il software del progetto (o utilizzando Derive o …):

     Ecco lo svolgimento del cal-colo precedente: con "1" si defi-niscono A e B introducendone grado e coefficienti (A(x) e B(x) vengono poi visualizzati nel mo-do a fianco), con "8" si definisce come C il loro prodotto, con "2" si visualizza C con i coefficienti in forma non frazionaria.

   La somma di due funzioni polinomiali è una funzione polinomiale (basta raggruppare i termini che contengono la variabile elevata allo stesso esponente). Che cosa puoi concludere sul suo grado?    [prima di

     provare a rispondere somma due a due, in vari modi, le funzioni x  2x3+1,  x  4x26.7,  x  –2x3+x]

     Consideriamo la funzione polinomiale di 3° grado F:x  (x+2)(x+1)(x–3) [= x37x–6]. Per schiz-zarne il grafico posso procedere in questo modo:

   osservo che F(x) si annulla per x=–2, x=–1 e x=5   (il grafico taglia l'asse x in punti con tali ascisse);

   schizzo il grafico delle tre funzioni lineari di cui si è fatto il prodotto, che passano per questi punti;

   osservo che per x<–2 le 3 funzioni hanno valori negativi, con prodotto negativo (–A·–B·C=A·B·C) e che, quindi, per x<–2 il grafico deve stare sotto all'asse x;

   osservo che per –2<x<–1 una delle funzioni diventa positiva, per cui il prodotto cambia segno, e quindi, il grafico scavalca l'asse x;

   analogamente, passando all'intervallo (–1,3) e, poi, all'intervallo (3,∞), man mano un'altra funzione cambia segno, per cui cambia segno il prodotto e si hanno due altri successivi scavalcamenti dell'asse x.

     La figura seguente sintetizza il procedimento.

 

x  –2F(x) = –2(x+2)(x+1)(x–3) [= –2x3+14x+12] è una funzione che [®scheda 1, §3] ha grafico ottenuto da quello di F mediante una trasformazione di scala e un ribal-tamento attorno all'asse x, quindi interseca tale asse in 3 punti, come quello di F, ma ha andamento "rovesciato" [®figura seguente].

     Invece x  F(x)–10  [= x37x–16] ha come grafico quello di F traslato verticalmente; come si vede, interseca l'asse x in un solo punto.

     Anche il grafico di x  x3 interseca l'asse x in 1 punto, l'origine:  l'equazione  x3=0 ha come unica soluzione 0.

     In analogia a quanto si è visto per le equazioni di 2° grado, quelle di 3° grado hanno al più 3 soluzioni e, più in generale, le equazioni di grado n hanno al più n soluzioni.

     Su ciò torneremo nella scheda 3 de I numeri.

 

5. Esercizi

   Traccia il grafico di x  |x+3| e, poi, risolvi:  (1) |x+3|<5,  (2)  |x+3|>1,  (3)  2≤|x+3|<4.

   Per trovare il vettore (h,k) che trasla il grafico di x  –3/4 x2 in quello della funzione F del ques. 14, dobbiamo risolvere  rispetto all'incognita (h,k) l'equazione:  –3/4 (x–h)2+k=–3/4 x2+5x–10, cioè:

     –3/4 x2+3/2 hx–3/4 h2+k=–3/4 x2+5x–10, cioè il sistema a lato:

     Risolvi il sistema e verifica graficamente che il vettore trovato trasla l'origine nel "vertice" della parabola grafico di F.

   Determinate, in modo analogo al ques. 23, che la traslazione di passi  h=, k=trasforma il grafico di F:x  a x2 in quello di G:x  ax2+bx+c.

     Osservate che le intersezioni con l'asse x del grafico di G sono traslate nelle intersezioni del grafico di F con la retta y=–k. Risolvete l'equazione F(x)=–k e deducete che le eventuali soluzioni dell'equazione G(x)=0 sono ottenibili con le formule:  x1=h+e  x2=h–. Verificate che si ottengono le stesse formule risolvendo ax2+bx+c=0 con Derive.

   Scrivi una funzione che intersechi l'asse x esattamente per x=–3, x=0, x=1 e x=5.

   Per sviluppare (x+1)n con polinomi si può comporre x  x+1 con x  xn. Prova a farlo per n=0, 1, 2, …, 5, 6. Disponi i coefficienti dei polinomi man mano ottenuti nel modo a fianco (questa disposizione in Italia è chiamata triangolo di Tartaglia, dal nome di un matematico italiano del 1500) e cerca di individuare una relazione che leghi i coefficienti di una "riga" con quelli della successiva.

          Sviluppa (x+1)7; osserva che (a+b)n=(a/b+1)nbn; deducine lo sviluppo di (a+b)7.

1)   Segna con l'evidenziatore, nelle pagine indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei termini:

     funzione continua, p.3                              sistema di equazioni, p.3        equazioni e sistemi lineari, p.7

     funzione crescente, decrescente, p.11      funzione polinomiale, p.12     coefficiente direttivo, p.12

2)    Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3)    Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefo-no") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").