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per cambiare "indice")MAtematica per COnoscere e per SApere
Guida
Presentazione del progetto MaCoSa
1. Finalità e diffusione del progetto
2. Impostazione del progetto
3. I contenuti matematici
4. Le schede di lavoro - primo biennio
5. Le schede di lavoro - classi successive
Presentazione del progetto MaCoSa
1. Finalità e diffusione del progetto
MaCoSa è un progetto complessivo per l'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore che ha l'obiettivo di mettere a punto itinerari didattici e materiali per il lavoro in classe usabili gratuitamente (e adottabili come "libro di teso" on-line), eventualmente modificandoli, che prevedano lo sviluppo intrecciato dei vari temi e un rapporto non episodico con le altre aree disciplinari, come previsto dai programmi scolastici in vigore ormai da molti anni. Perché questa scelta?
(1) Per combattere la tendenza a trascurare temi "nuovi" (come le trasformazioni geometriche, la statistica e la probabilità) e, soprattutto, a non cogliere i cambiamenti che dovrebbero investire i temi "vecchi", ci è sembrato opportuno mettere in luce la necessità di un'attività di programmazione che disarticoli e riaggreghi i temi elencati nei programmi in itinerari didattici che colgano le interazioni tra i vari temi, ne sfruttino le reciproche motivazioni e occasioni di esercizio e consolidamento tecnico, realizzino economie e sinergie fondendo o integrando argomenti matematici diversi (nel fare probabilità si fa anche algebra, l'uso delle coordinate comporta attività con le equazioni e offre possibilità per introduzioni alternative e più efficaci di molti concetti geometrici, l'uso della nozione di funzione permette di semplificare e raccordare vari concetti, … per non parlare delle possibilità che offre l'uso dei mezzi di calcolo).
(2) I temi nuovi creano problemi anche perché di per sé comportano un insegnamento meno "tradizionale". Ciò non solo in quanto per vari di essi si è in assenza di itinerari didattici "tramandati" ma, soprattutto, in quanto il loro sviluppo necessariamente deve passare attraverso attività di matematizzazione (ogni problema probabilistico comporta la modellizzazione di un fenomeno casuale, mettere a punto un programma di argomento matematico per il calcolatore comporta spesso la schematizzazione in un modello matematico di una situazione problematica e, in ogni caso, la precisazione sotto forma di algoritmo di qualche procedimento e la sua traduzione in un linguaggio formale, …).
(3) La natura della matematica e dei suoi modelli (ruolo delle definizioni e delle argomentazioni in matematica, caratteristiche dei modelli matematici rispetto ai modelli organizzati nelle altre discipline, organizzazione interna della disciplina, …) sono comprensibili gradualmente attraverso la costruzione di una rete complessa di riferimenti culturali ed esperienziali.
Per questi motivi abbiamo ritenuto opportuno tentare la strada di
riorganizzare temi e metodi matematici, e di riflettere sui problemi del loro insegnamento, all'interno di itinerari didattici di più
ampio respiro conoscitivo, dando rilievo sia ai momenti della matematizzazione e della discussione dei limiti dei modelli
matematici che a quello della analisi e messa a punto di collegamenti, descrizioni, ragionamenti, … di tipo interno alla matematica.
Del resto MaCoSa è un acronimo per "Matematica per Conoscere e per Sapere", etichetta con cui si vuole indicare
l'importanza che siano curati sia gli aspetti conoscitivi (modelli matematici nella lettura e interpretazione della realtà)
che gli aspetti culturali (la padronanza della matematica non solo "operativa", ma sapiente, cioè consapevole
della sua natura, dei suoi concetti e dei suoi metodi).
(1) Il progetto, in accordo con i suggerimenti metodologici presenti nei programmi scolastici, è
articolato in itinerari didattici che integrano temi matematici diversi, dà rilievo alle attività di matematizzazione, ….
Esso vuole proporre, come prototipi o termini di paragone, una impostazione e una qualità alternative a quelle dei libri di testo più
diffusi, in genere di livello scadente e non rispondenti neanche alle indicazioni dei vecchi programmi.
Si veda per esempio la premessa ai programmi per i licei classico e scientifico della metà del secolo scorso:
«[…] seguendosi il metodo delle approssimazioni
successive, perché la consapevolezza delle parole, dei
concetti, delle proprietà, dei ragionamenti si consegue a poco
a poco, per gradi insensibili. E conviene, per tenere sempre vivo
l'interesse ai successivi sviluppi, dare largo posto all'intuizione,
al senso comune, all'origine psicologica e storica delle teorie, alla
realtà fisica, agli sviluppi che conducono ad affermazioni
pratiche immediate, mettendo da parte le nozioni statiche e rigide, e
quelle puramente logiche, ma che astraggono da ogni impulso
intuitivo. […] Metodo dunque intuitivo-dinamico, in stretto
contatto col processo storico, senza esclusivismo di vedute, perché
solo così il patrimonio spirituale acquistato nella scuola
media inferiore può essere veramente ripreso, evoluto e
rafforzato nella scuola dell'ordine superiore».
(2) Per realizzare l'intreccio tra riflessioni interne e uso di modelli matematici abbiamo organizzato il progetto in
itinerari didattici di ampio respiro,
a volte riferiti a situazioni "reali" in cui introdurre,
sviluppare, … modellizzazioni di tipo matematico, facendo anche riferimento a concetti di altre discipline (in genere le
applicazioni della matematica sono mediate dai modelli delle altre discipline: la matematica non ha in sé tutti gli strumenti per
"contatti fisici" diretti),
a volte riferiti a temi esplicitamente matematici (riflessioni sulla disciplina
"matematica": linguaggi per descrivere i vari tipi di modelli, generalizzazioni, proprietà dei modelli, relazioni
tra modelli matematici diversi, modelli matematici che astraggono proprietà di altri modelli matematici, …).
(3) Come obiettivi prioritari dell'insegnamento della matematica abbiamo assunto i seguenti:
| a) | rendere gli alunni consapevoli del ruolo e della natura dei modelli matematici |
| b) | far loro raggiungere un certo livello di abilità nell'applicare, elaborare, confrontare modelli matematici (attività da riferire al modo in cui si fa e si usa la matematica ai nostri giorni: delega ai mezzi di calcolo degli aspetti più meccanici, capacità di orientarsi, di scegliere i modelli matematici appropriati, di consultare manuali, … più che saper far calcoli "meccanici" e ricordare "ricette") |
| c) | renderli consci delle interazioni (oggi e nella storia) della matematica con il "resto", |
| d) | far percepire la scuola come sede di formazione culturale, |
| e) | concorrere all'educazione a leggere, scrivere, organizzarsi, dubitare, … |
Gli obiettivi a-c sono essenziali sia per chi non proseguirà gli studi (ruolo e uso
della matematica nelle professioni), sia per chi proseguirà (scelte consapevoli degli studi successivi).
Gli obiettivi d-e sono da perseguire attraverso le scelte di impostazione culturale - vedi (2) - e le scelte metodologiche - vedi (4) -.
Essi sono essenziali per interagire concettualmente con gli alunni (come mettono in luce anche le ricerche sui processi di apprendimento):
d: per evitare che le conoscenze sviluppate dalla scuola siano intese come una cultura ad hoc (da "trattenere" solo superficialmente e temporaneamente), per poter accedere ai fattori che sono alla origine delle difficoltà concettuali degli alunni, per trasformare i loro "bisogni" culturali in "interessi", …;
e: per mettere gli alunni in grado di: comprendere definizioni, argomentazioni, testi di problemi; organizzare e comunicare ragionamenti; …
(4) Per quanto riguarda i materiali didattici e altri aspetti metodologici:
• si è scelto di organizzare gli itinerari didattici in unità didattiche composte ciascuna da più schede di lavoro:
a esercizi sparsi e dai contesti ristretti si sono preferite situazioni problematiche più ampie, in cui la attività di matematizzazione sia più significativa (• più strumenti matematici coinvolti, • esame più approfondito dei rapporti tra situazione e modelli matematici, • riferimenti a modelli propri di altre discipline, • scelta di situazioni che, in maniera culturalmente significativa per gli alunni, "veicolino" e costituiscano "prototipi" per i concetti matematici coinvolti;
• le schede di lavoro presentano:
• parti da leggere, • inviti a discussioni, • quesiti che prevedono risposte articolate (orali o scritte) nella lingua naturale, • quesiti matematici più tradizionali, • quesiti che prevedono attività operative di altro genere (vedi sotto) e • quesiti più aperti, che comportano aspetti organizzativi (organizzarsi il foglio di lavoro, decidere quale questione affrontare prima, dove andare a cercare certe informazioni, …), • quesiti da affrontare collettivamente e • quesiti da affrontare individualmente;
• alla fine di ogni scheda (escluse quelle dell'unità didattica introduttiva) allo studente è richiesto di segnare con un evidenziatore le parti in cui viene esemplificato o descritto il significato di alcune "parole chiave" (di cui viene fornito un elenco), fare esempi d'uso di questi termini e sintetizzare per iscritto il contenuto della scheda (ciò serve anche come avvio all'uso del "dizionario": vedi sotto);
• questa organizzazione dell'insegnamento dovrebbe rendere possibile una verifica dinamica degli alunni (avere un'idea più attendibile di come i singoli alunni apprendono nel corso dell'anno e dell'andamento complessivo della classe);
• la verifica dinamica è particolarmente importante se non si hanno obiettivi "immediati" di produttività nel calcolo meccanico o nella riproduzione di definizioni e dimostrazioni, ma
• si mira a sviluppare l'organizzazione mentale dei concetti,
• si cerca di far emergere e mettere a confronto o in contraddizione le idee, i
pregiudizi, le conoscenze distorte degli alunni,
• si presta attenzione alle ambiguità/confusioni a cui possono dar
luogo le diverse semantiche del linguaggio comune e dei linguaggi matematici, … ; con un'impostazione di questo genere, in cui
si mira ad acquisizioni più profonde e generali, la verifica va effettuata in un arco di tempo più ampio;
• per quanto riguarda l'adattamento del progetto a livelli di preparazione/capacità diversi e a situazioni scolastiche diverse, la graduazione dei quesiti, la loro presentazione in modo da essere affrontati con diversi livelli di astrazione e la ripresa a spirale degli argomenti in uu.dd. successive dovrebbero rendere meno difficile (rispetto all'insegnamento "tradizionale") far partecipare tutti al "filo del discorso" e alla comprensione degli aspetti essenziali dei concetti matematici introdotti; la presenza di paragrafi facoltativi o di schede in versioni alternative consente l'uso del materiale in classi di scuole con programmi "deboli" o "forti" (o con diversi livelli di "utenza"): vedi punto 4;
• le schede presentano molte attività "tradizionalmente" assenti:
• uso di calcolatrici, riga, squadra, goniometro, carta millimetrata e quadrettata, …; • attività di calcolo mentale; • osservazione, descrizione, analisi di fenomeni presenti nella vita quotidiana;
così si vuole • sia attivare maggiormente gli alunni (attraverso momenti di lavoro più operativo/concreto si possono recuperare allo studio e attivare concettualmente alunni non coinvolti dall'insegnamento tradizionale), • sia proporre attività di esercizio extrascolastico su quanto studiato (e, indirettamente, coinvolgere le famiglie, facendo percepire la natura culturale del lavoro proposto: le famiglie, per fattori vari, sono spesso ostili alle impostazioni non tradizionali);
• tutte le unità didattiche prevedono spunti per attività al calcolatore (in aula computer, in aula normale col proiettore, a casa da parte degli alunni, …, a seconda dei casi e delle scelte dell'insegnante); il software impiegato è sempre gratuito); le schede sono in formato Html, ingrandibile e usabile facilmente in aule scolastiche dotate di proiettore o di megaschermo-tv, facilmente copiabile in qualunque altra applicazione;
• alle unità didattiche si affiancano:
• un eserciziario (gli esercizi sono utilizzabili durante o dopo - per ripassi o consolidamenti - lo svolgimento delle schede ai cui temi si riferiscono, possono essere impiegati per compiti a casa, per compiti in classe, per attività di consolidamento mirate su qualche alunno, …),
• una specie di dizionario matematico ("Gli oggetti matematici"), che man mano estrae, sintetizza, inquadra internamente, … gli argomenti matematici introdotti nelle "Schede di Lavoro" e viene a costituirsi come un manuale di consultazione e, nel contempo, un indice ragionato del progetto,
• una "banca" di esercizi di verifica, che i vari insegnanti possono assemblare per costruire "compiti in classe"; alcuni blocchi di esercizi, da proporre alla fine e all'inizio degli anni scolastici, hanno la finalità specifica di valutare l'efficacia del progetto che quella di esplorare le difficoltà di apprendimento degli alunni.
• un dizionario enciclopedico, ed altri materiali, accessibili da rete.
(5) Le discussioni in rete da parte di chi sperimenta il materiale sono utili non solo per verificare l'andamento del lavoro, ma anche perché il confronto con tra i colleghi sulle difficoltà incontrate e sui modi in cui sono state affrontate, su come la classe ha risposto agli stimoli proposti, … è utile per riflettere sul proprio modo di insegnare (questi aspetti sono spesso trascurati nella programmazione collegiale delle scuole).
Il progetto assume come riferimento i temi previsti dai programmi, temi che ricalcano quelli dei programmi in vigore nella scuola
secondaria di 1° grado. Ricordiamo che l'ordine di elencazione dei temi e, all'interno di questi, dei vari contenuti, non intende suggerire alcun ordine di
svolgimento: nelle indicazioni didattiche presenti nei programmi si sottolinea che l'insegnante deve disaggregare i
programmi e riaggregarne e riordinarne i contenuti secondo opportuni itinerari didattici.
Nel seguito, tema per tema, espliciteremo alcune osservazioni critiche e le scelte, interpretative, che abbiamo operato nella nostra attività.
La scheda 3 dell'unità didattica La matematica e i suoi modelli illustra in maniera abbastanza esauriente
l'immagine della matematica e gli atteggiamenti verso di essa che cerchiamo di "costruire" con la nostra proposta didattica.
Esaminando il volume Gli oggetti matematici (e, in particolare, il relativo indice) si possono ricostruire i contenuti matematici del progetto.
Qui, tema per tema, illustriamo brevemente come abbiamo deciso di svilupparne i
contenuti.
4. Le schede di lavoro - primo biennio
Nelle guide per gli insegnanti alle varie unità didattiche sono date indicazioni più complete sulla gestione del materiale
(tempi di svolgimento, collegamenti fra schede, parti opzionali, …).
In breve, possiamo dire che nel caso delle classi con programma "forte" (licei scientifici ed altre scuole ad indirizzo scientifico o tecnologico), la
scheda 2 di "Per strada" può essere affrontata sia in classe prima che in seconda. Nel caso delle scuole con programma "debole" questa
scheda è prevista per la classe seconda; se lo si ritiene, si può lasciare per la seconda anche la scheda 1 di "La
matematica e lo spazio", o, addirittura, la scheda 1 di "Per strada".
Per molte schede di lavoro sono previste una versione più estesa ed una ridotta (a volte con parti facoltative), da utilizzare a seconda del tipo di scuola o di classe.
Molte schede si prestano ad attività di collaborazione con insegnanti di altre discipline
(del resto il nuovo esame di stato prevede anche verifiche in questa direzione) o, quanto meno, alla segnalazione di collegamenti con
altre discipline: dall'Italiano (non solo per le riflessioni sui linguaggi, ma anche per attività di lettura, sintesi,…
che l'insegnante di lettere può far svolgere su schede di lavoro del progetto) alla Fisica e alla Chimica, dal Disegno
(geometria, uso del calcolatore) alle Scienze della Terra o alla Geografia (coordinate, trasformazioni geometriche,
scale, …), dalla Biologia (grafici, probabilità, fattori di scala, …) a Diritto ed Economia (modelli matematici per
l'economia e le scienze sociali), …
Varie unità didattiche (e, in particolare, la prima unità didattica), sono da affrontare con espliciti raccordi con (o esplicite forme di esplorazione di)
quanto affrontato nella scuola secondaria di 1° grado.
Verso la fine della classe seconda di può affrontare una attività che possiamo chiamare "Progettare un pezzo di vita".
Si tratterebbe non di una u.d. ma di una proposta di lavoro, a mo' di tesina, che gli insegnanti possono proporre agli alunni nelle ultime settimane di
scuola: può essere una situazione problematica relativamente aperta (come organizzare un viaggio, predisporre la realizzazione del
bilancio delle spese di una famiglia, analizzare economicamente una piccola impresa artigianale, realizzare un particolare gioco al
calcolatore, …) che gli alunni, fuori dall'orario scolastico, possono affrontare, singolarmente o a gruppi, utilizzando
opportunamente le proprie risorse culturali (matematiche e non).
Le tabelle seguenti sintetizzano il contenuto matematico delle schede. .
Il fatto che lo stesso contenuto sia affrontato in più
schede – come appare chiaramente da un esame "verticale"
delle colonne dei temi – conferma le caratteristiche del
progetto (integrazione di argomenti comuni a più aree
matematiche, ripresa a spirale dei contenuti con diversi livelli di
applicazione e di formalizzazione, …). È utile
all'insegnante tener conto di questo aspetto sia per calibrare e
distribuire nel biennio i livelli di approfondimento e consolidamento
e per evidenziare agli alunni collegamenti con idee, applicazioni,
riflessioni, … su un certo argomento già avviate in
schede precedenti.
Nella tabella, tra un blocco di schede e l'altro, sono presenti righe che elencano i vari capitoli deGli oggetti matematici, per dare un'idea di quando potrebbero cominciare ad essere utilizzati in relazione allo svolgimento delle schede di lavoro.
5. Le schede di lavoro - classi successive
Le schede, rispetto a quelle del biennio, sono più brevi
e con organizzazione più di tipo "matematico". Nel biennio
l'articolazione è in gran parte di tipo "tematico generale",
per dare/costruire l'idea di come la matematica si sia originata e
si sia intrecciata ad altre aree conoscitive. Nel triennio, invece,
si può sviluppare maggiormente per vie interne (fatti salvi
alcuni gli intrecci con la fisica, che sono stati previsti per tutte le classi, anche
se con gestioni diverse a seconda delle scuole - le "tecniche" e i "licei").
Gli esempi e le applicazioni sono di più piccole dimensioni,
in parte lasciati nella parte esercizi o in sezioni accessibili degli
Oggetti Matematici (che per il triennio sono articolati in voci di
maggiori dimensioni e secondo criteri più interni alla matematica) o in altro
materiale inserito in modo opportuno nelle schede o tra gli esercizi.
Le schede di lavoro possono essere svolte con alcune priorità
diverse da quelle suggerite; la cosa verrà spiegata più avanti.
Gli Oggetti Matematici sono stati in piccola
parte riorganizzati in modo da mettere in luce meglio le parti di
alcune voci che possono essere utilizzate in due tempi.
Come quelle del biennio, le schede sono organizzate in modo da prevedere
molti esercizi da affrontare durante lo svolgimento e contengono una
sezione finale di esercizi. Come per il biennio, a questi esercizi se ne affiancano altri in apposite sezioni
(estratti dagli esercizi degli Oggetti Matematici).
Le schede sono uniche per tutte le classi, con paragrafi o parti evidenziate che
contengono approfondimenti tecnici e/o culturali che sono affrontabili
solo in alcune classi o tipi di scuole.
Si è scelta questa strada
in quanto più corrispondente a quelli che, secondo noi, dovrebbero
essere i criteri didattici generali che dovrebbero articolare lo sviluppo
dei programmi (grosso modo gli stessi contenuti in tutte le scuole, con differenze di formalizzazione e di approfondimento tecnico).
Nelle guide non si è più specificato quali parti è meglio siano
svolte collettivamente, quali singolarmente, quali siano da intendere come traccia di lavoro
per l'insegnante, che gli alunni possono poi usare per rivedere le cose:
queste scelte possono variare da classe a classe, e in base al metodo di insegnamento
del docente.
Alcune argomenti specifici per alcuni tipi di scuola sono affrontati in alcune schede aggiuntive presenti nel materiale
per la classe quinta.
Per quanto riguarda le scelte culturali, ovviamente, il calcolo differenziale e
integrale vengono avviati in classe terza (tagliando molte delle cose obsolete,
e inutilmente complicate, presenti tuttora in molti libri di testo), per alcune
classi di funzioni (le funzioni polinomiali e, poi, la funzione esponenziale),
rinviando alle classi quarta e quinta una sistemazione più organica ed estesa
(rinviando, poi, a chi proseguirà gli studi in facoltà
scientifiche, ulteriori approfondimenti e generalizzazioni).
Cose analoghe (sistemazione da riprendere in classi successive) accadono per
altri concetti: le funzioni circolari, le coniche, lo spazio tridimensionale, …,
in una logica di "ripresa a spirale" degli argomenti.
Per quanto riguarda il software, ci si è spostati più decisamente
sull'uso di software gratuito e operante su tutte le piattaforme:
R (programmabile, per cui
si sono preparati help, esempi d'uso, …),
JavaScript (per piccole attività gestibili direttamente
dalle schede e dal materiale presente sul browser) e
WolframAlpha (per singoli calcoli
numerici e simbolici, di quasi ogni tipo - oltre che richiami teorici, esempi d'suo, … in inglese;
si è predisposta una guida dettagliata al suo uso; esso potrebbe essere usato anche per
la conduzione di corsi di matematica in "lingua inglese"), oltre che,
per qualche semplice attività, Cinderella o GeoGebra.
Le varie schede prevedono link a parti di schede del primo biennio, per riprese
di argomenti o per gli eventuali
alunni "nuovi" (o per le classi che nel biennio hanno lavorato con
altra impostazione). Le sezioni degli Oggetti Matematici del primo biennio
sono comunque articolate in modo da essere utilizzabili per veloci ripassi
(quelle del triennio finale sono invece spesso più corpose delle schede
di lavoro, e sono impiegabili anche per eventuali approfondimenti).
Ovviamente, permane la possibilità di non adottare
libri di testo (vedi) usando come riferimento
alternativo le schede di lavoro MaCoSa (o, in alternativa, gli Oggetti Matematici,
od altro materiale didattico).
Ecco, in breve, l'articolazione della schede:
Terza - Per il "quadro" delle schede vedi qui - Per un indice vedi qui, per quello del 1º bienno vedi qui
IL CONCETTO DI LIMITE
Richiami di funzioni e successioni, avvio al concetto di limite,
ripresa e risistemazione del concetto di continuità. Il concetto di limite
viene ripreso, oltre che negli esercizi, nelle schede successive.
LA DERIVAZIONE DI FUNZIONI
– Funzioni a scalini ed altre funzioni con punti di non derivabilità
(e con punti in cui non sono definite).
– Derivazione (funzioni polinomiali: prima quadratiche e poi ...).
– Si sono previsti due paragrafi finali, affrontabili ora
o dopo, a seconda del percorso seguito dalle classi (dopo la scheda sull'avvio all'integrazione, o
all'inizio della classe 4ª):
• cenni alla derivazione delle funzioni circolari (si metteranno materiali
aggiuntivi per approfondimenti affrontabili nelle ore di fisica; l'argomento
viene ripreso poi in una scheda successiva);
• cenni alla funzione esponenziale, poi ripresa in statistica
(discorso sui rapporti tra forma del grafico della funzione e
forma di quello della funz. derivata; far fare a "scatola nera" la derivata dell'esponenziale,
congetturando quel che accade graficamente/numericamente; si possono prevedere
attività aggiuntive messe sotto forma di "esercizi di approfondimento").
FIGURE PIANE
Aree di poligoni e cerchi. Teoremi significativi sui triangoli.
Implicita introduzione all'integrazione definita. Volendo la prima o entrambe le schede
possono essere anticipate all'inizio della terza.
GLI INTEGRALI
Integrazione delle funzioni polinomiali. Motivazioni ed enunciazione
del Teorema Fondamentale dell'analisi (con approfondimenti facoltativi).
Integrazione della funzione esponenziale (dopo l'eventuale conduzione
della parte finale di "la derivazione di funzioni").
QUALE MATEMATICA PER I FENOMENI CASUALI?
Gli indici di posizione e dispersione. Le leggi di distribuzione,
dal discreto al continuo (può essere anticipata rispetto
alla scheda precedente (sono presenti richiami ad essa ed è
eventualmente previsto l'uso di software per far fronte ad argomenti non
ancora affrontati); esempi anche di dimensione
abbastanza ampia saranno inseriti nella banca di esercizi n. 16). I paragrafi iniziali
della successiva scheda sul "teorema limite centrale" possono essere anticipati.
Alcune parti di calcolo di derivate e integrali possono essere (in prima battuta) scaricate sul
software (R o WolfamAlpha).
LE FUNZIONI CIRCOLARI
Derivazione e integrazione delle funzioni circolari (senza ulteriori
sviluppi delle tecniche di integrazione), studio del moto armonico, ...;
sono presenti collegamenti a parti già presenti come facoltative
nel §7 della scheda sulla derivazione e nel §4 di quella sulla integrazione,
seguiti da considerazioni sul moto armonico [la scheda è rinviabile
alla 4ª].
IL TEOREMA LIMITE CENTRALE
Cenni al teorema limite centrale, alla gaussiana e al ruolo
dello scarto quadratico medio: questa parte, svolta in modo abbastanza
euristico, ha l'obiettivo di introdurre criticamente l'uso
dello scarto quadratico medio (in quasi tutti i libri di matematica
e di fisica introdotto con gravi errori concettuali); in particolare
viene introdotto in relazione a possibili impieghi nell'ambito
di attività di misurazione ad alta sensibilità. Verrà
ripreso nelle classi successive. Questa scheda, a seconda delle esigenze,
potrà essere svolta prima di quella sulle funzioni circolari. La distribuzione
binomiale viene introdotta all'inizio di questa scheda.
LA PROSPETTIVA
Questa parte si riferisce alle problematiche della rappresentazione
piana di figure tridimensionali. Ha evidenti intrecci con la
storia dell'arte e con le discipline grafiche. È qui collocata
alla fine della terza, ma può essere svolta anche prima
dell'avvio alla integrazione. (nella scheda sono avviate alcune riflessioni
sulle "coniche", che saranno poi sviluppate in quarta).
Quarta - Per il "quadro" delle schede vedi qui - Per un indice vedi qui, per quello del 1º bienno vedi qui
LE FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMO
Richiami delle schede della classe 3ª in cui sono state introdotte tali funzioni.
Esempi di crescita esponenziale (di una popolazione, di un deposito in banca) e di diagramma
in scala logaritmica (soglia dell'udito).
Le funzioni esponenziali e logaritmiche, la loro derivazione e la loro integrazione.
Cenni alla derivazione delle funzioni composte e del prodotto di funzioni.
Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi. Approfondimenti.
INFINITI E INFINITESIMI
A partire da esempi, vengono introdotti gli ordini di infinito e di
infinitesimo e notazioni per l'equivalenza asintotica. Vengono introdotte
approssimazioni polinomiali delle funzioni circolari, esponenziali e logaritmiche.
Come approfondimento viene introdotto l'uso del differenziale per approssimare il
comportamento di una funzione attorno ad un punto.
I VOLUMI
Dopo un "ripasso" sugli usi dei numeri reali per rappresentare
le misure di grandezze fisiche, vengono affrontate tecniche
matematiche per calcolare il volume di cilindri, coni, sfere e poliedri.
LE CONICHE
Viene ripreso lo studio di parabole, ellissi ed iperboli avviato nelle classi precedenti.
Questo studio viene quindi unificato interpretandole sia come sezioni coniche
che come equazioni di polinomi di 2º grado. Vengono quindi approfondite
le applicazioni e le rappresentazioni matematiche dei tre tipi di coniche.
Come approfondimento viene messo a fuoco il concetto di eccentricità.
I VETTORI TRIDIMENSIONALI
I vettori tridimensionali ed alcune loro applicazioni a problemi
di natura geometrica e di natura fisica. Come approfondimento
viene discusso il loro uso per rappresentare rette e piani.
ALTRE LEGGI DI DISTRIBUZIONE
Dopo la presentazione del concetto di funzione di ripartizione,
vengono messe a fuoco le leggi esponenziale e di Poisson, e discussi
i loro usi per modellizzare diversi tipi di problemi.
SISTEMI DI VARIABILI CASUALI
Dopo una ripresa dei concetti di dipendenza ed indipendenza stocastica,
vengono introdotte le funzioni di distribuzione bivariata, le loro
rappresentazioni grafiche e i concetti di covarianza, correlazione e regressione. Tutto ciò
è illustrato attraverso vari esempi. Gli argomenti verranno ripresi
nella classe 5ª.
Quinta - Per il "quadro" delle schede vedi qui - Per un indice vedi qui, per quello del 1º bienno vedi qui.
Sono previste delle schede di ripasso , usabili anche come sintesi per alunni provenienti da altre scuole o sezioni: vedi qui. Altre schede:
COMPLEMENETI DI ANALISI MATEMTATICA
Viene completato l'esame delle regole di derivazione, viene introdotto il teorema dell'Hopital, sono introdotti i punti di flesso e alcune semplici
regole di integrazione; sono poi presenti alcune parti facoltative.
FUNZIONI DI PIU' VARIABILI
Vengono studiate le funzioni reali di due variabili reali. Ci si può fermare al §2 (od eventualmente all'inizio del §3, prima dell'introduzione delle derivate parziali).
Le parti successive sono rivolte a scuole nel cui programma è presente lo studio delle funzioni di più variabili.
La scheda illustra i problemi in modo operativo, per illustrare le idee che entrano in gioco, affidandosi al computer per i calcoli e le rappresentazioni grafiche.
Non ha senso, nella scuola secondaria superiore, approfondire tecnicamente gli argomenti coinvolti: l'importante è mettere in luce il ruolo e
la natura degli oggetti matematici implicati, e delle situazioni che con essi si possono modellizzare.
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA
Sono ripresi e approfonditi alcuni temi geometrici presenti in varie schede precedenti, relativi alla misura di grandezze geometriche,
ai vettori tridimensionali e alla dimostrazione, con collegamenti a ulteriori sviluppi sull'uso delle matrici e sulle presentazioni assiomatiche;
varie parti di "approfondimento" sono facoltative.
APPROFONDIMENTI DI STATISTICA E PROBABILITA'
Viene ripreso lo studio delle relazioni tra variabili casuali e, in alcune parti facoltative, viene presentato il caso delle relazioni non lineari e il test χ²;
l'obiettivo della scheda non è approfondire i temi delle relazioni tra variabili casuali e dei test, ma solo accennare, criticamente, ad essi,
in modo da dare un'idea agli studenti di che cosa essi siano, e da "vaccinarli" di fronte all'uso disinvolto che di essi viene fatto in molti ambiti.
I NUMERI COMPLESSI
Un inquadramento culturale e didattico del tema, oltre ad una descrizione sintetica della scheda, è discusso
qui, nella guida degli Oggetti Matematici, la cui voce "I numeri complessi" ha impostazione e contenuti molto simili
a quelli della scheda di lavoro.
MODELLI DIFFERENZIALI
In questa scheda si vede in che modo da informazioni su come varia una funzione si possono dedurre informazioni sulla funzione stessa.
Ci si può fermare al primo paragrafo, che dà un'idea di che cosa siano, a che cosa servano e come si studino i "modelli differenziali".
Le parti successive sono rivolte a scuole nel cui programma è presente lo studio delle equazioni differenziali.
MATEMATICA PER L'ECONOMIA
Vengono presentati vari temi affrontati in alcune scuole ad indirizzo economico (matematica finanziaria, programmazione lineare, matematica attuariale),
con rimandi a parti degli Oggetti Matematici in cui essi sono approfonditi e illustrati anche attraverso numerosi esercizi.
APPROFONDIMENTI DI ANALISI MATEMATICA
Il primo paragrafo mette a fuoco il concetto di polinomio (e di serie) di Taylor.
Esso, volendo, può essere affrontato anche nei licei scientifici.
I successivi paragrafi si occupano delle serie di Fourier e del concetto di gradiente; sono rivolte a scuole nel cui programma è presente il loro studio.
La scheda illustra i problemi in modo operativo, per illustrare le idee che entrano in gioco, affidandosi al computer per i calcoli e le rappresentazioni grafiche.
Non ha senso, nella scuola secondaria superiore, approfondire tecnicamente gli argomenti coinvolti: l'importante è mettere in luce il ruolo e la natura
degli oggetti matematici implicati, e delle situazioni che con essi si possono modellizzare.
È indispensabile l'utilizzo del computer per sviluppare questi argomenti nella scuola secondaria, scaricando su di esso le parti calcolistiche e grafiche,
puntando l'attenzione sulla comprensione dei concetti, che, di per sé, non è particolarmente difficile.
Prima di affrontare la scheda l'insegnante deve aver acquisito una discreta padronanza del software utilizzato
(non è necessaria la comprensione dettagliata dei programmi, ma occorre saperli usare e interpretarne le uscite, in modo da poter essere d'aiuto agli alunni).
Software (R, WoframAlpha, JS ed altro).
Vedi gli Oggetti Matematici
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