La matematica e i suoi modelli
Un esempio tratto dalla vita quotidiana
[estratto]

La guida della prima unità didattica, La matematica e i suoi modelli, è particolarmente estesa,

– un po' per la natura dell'unità didattica stessa (che cerca di esplorare le conoscenze degli alunni e di introdurli a un nuovo modo di lavorare, e quindi comporta indicazioni per la gestione delle discussioni, per l'interpretazione delle risposte degli alunni, per guidarli ad organizzarsi il lavoro, a gestire le schede, …),

– un po' perché alcune indicazioni per la conduzione delle lezioni sono motivate e sviluppate abbastanza a fondo, in modo da essere riprese più sinteticamente nelle guide delle unità didattiche successive.

In altre parole, questa prima guida è da interpretare anche come una illustrazione di alcuni aspetti didattici che ci sembrano fondamentali: • rapporti tra situazione, modello matematico, elaborazione "interna" del modello, …; • diversità e interazioni tra linguaggio naturale (orale e scritto) e linguaggi specialistici (formalizzati e non, matematici e non, …); • rapporti tra nozioni "scolastiche" e discipline, tra apprendimenti e comportamenti "scolastici" e il modo in cui si apprende e si risolvono i problemi nelle professioni e nella vita quotidiana, …

Finalità

Questa u.d. ha varie finalità:

– dare agli alunni un’idea del modo in cui si lavorerà: uso di schede di lavoro, momenti di lavoro individuale, discussioni collettive, spiegazioni "alla lavagna" dell’insegnante, …

– ricostruire il significato della matematica, cioè che cosa è e a che cosa serve: concetti matematici per rappresentare situazioni (modelli matematici), utilità e limiti dei modelli matematici, attività "interna" (studio astratto delle proprietà dei modelli, indipendentemente dalle situazioni che possono rappresentare), …;

– esplorare la "matematica" che gli alunni hanno fatto nella scuola media inferiore e prospettare loro quella che si farà, prefigurando anche il piano di lavoro (uu.dd. in cui vengono introdotti concetti matematici sviluppando temi non matematici, uu.dd. in cui i temi matematici vengono approfonditi internamente e storicamente, esercizi di consolidamento, …);

– incominciare a rompere le rappresentazioni distorte della matematica eventualmente consolidatesi nei precedenti livelli scolastici (ad es.: la separazione a compartimenti stagni tra "aritmetica e "geometria", che a volte gli alunni distinguono addirittura in "matematica" e "geometria"; l’idea che la soluzione di un problema ottenuta mediante la matematica sia "esatta", e "unica"; …);

– fare una prima parziale verifica dei livelli di ingresso degli alunni, esplorando anche abilità di ragionamento "in situazione", di misurazione e intervento operativo, di espressione e comunicazione verbale non formalizzata, … che, in genere, sono trascurate nelle impostazioni tradizionali più "chiuse";

– con questa esplorazione/sollecitazione di prestazioni (che sarà presente anche nelle successive uu.dd.) si vuole pure dare un’idea della varietà del lavoro e delle attività che verranno proposte, cercando di valorizzare il contributo che tutti potranno dare e di mettere, implicitamente, in discussione le gerarchie di bravura in matematica eventualmente formatesi nelle classi precedenti e interiorizzate dagli alunni (quello che era e si credeva "più bravo" non è detto che sia ancora tale, in quello che non si sentiva "tagliato" per la matematica potrebbero nascere nuove motivazioni e "scattare" nuovi livelli di comprensione, di interiorizzazione di concetti, di interconnessione tra concetti acquisiti in maniera frammentata, … che potrebbero ribaltare le valutazioni scolastiche precedenti); naturalmente è bene che, soprattutto in questa fase, l’insegnante curi il linguaggio che impiega, cercando di ridurre (ed eventualmente spiegare) le espressioni formalizzate.

Gestione

Le finalità particolari di questa u.d. fanno propendere per una gestione collettiva delle schede: le schede possono essere lette dagli alunni e man mano commentate dall’insegnante o possono essere impiegate dall’insegnante come traccia per condurre oralmente le lezioni, lasciando agli alunni l’osservazione delle figure, tabelle e formule a cui man mano ci si riferisce e la lettura dei quesiti. In questa seconda ipotesi la lettura completa delle schede può essere di volta in volta assegnata come ripasso e consolidamento da svolgere come "compito a casa".

Questa gestione è opportuna anche perché gli alunni devono essere gradualmente messi in grado di usare una scheda di lavoro: leggerla (gli alunni, specie per quanto riguarda la matematica, non sono abituati a leggere, e a leggere comprendendo man mano ciò che leggono), capire il significato dei quesiti (in genere non è a sé stante, come accade per certi "problemi scolastici", ma dipende dal contesto del discorso), affrontare la soluzione e scrivere sinteticamente e comprensibilmente le risposte (gli alunni, specie in matematica, non sono neanche molto abituati a scrivere, se non seguendo alcuni modelli standard, prefabbricati per i vari tipi di "problemi").

In particolare può essere utile affrontare i vari quesiti collettivamente, alternando momenti di riflessione individuali (o a gruppi o a "banchi") e momenti di confronto tra gli alunni (e l’insegnante), concordare alla fine la (o le) risposte corrette (o migliori), dare ai singoli alunni (o ai gruppi …) il compito di mettere per iscritto le risposte e, infine, confrontare queste e concordare una risposta comune. A memoria della discussione e delle difficoltà incontrate, potrebbe essere utile far scrivere sulla scheda a ogni alunno sia la risposta "singola" che quella "comune". Naturalmente questo suggerimento non va interpretato rigidamente: vi sono alcuni quesiti abbastanza semplici che in alcune classi possono avere una gestione meno complessa, ve ne sono altri più difficili (come i quesiti 7 e 8 nella scheda 1) che in molte classi dovranno essere affrontati direttamente in maniera collettiva.

La verifica delle condizioni di ingresso degli alunni non è stata affidata a dei test specifici ma alla gestione delle discussioni da parte dell’insegnante (che cercherà di stimolare e incoraggiare l’intervento della maggior parte possibile di alunni), all’osservazione di come essi intervengono e, nei momenti di lavoro individuale, come lavorano nei banchi. Ad integrazione di questa verifica "dal vivo" possono essere impiegati i quesiti presenti nelle parti 1 e 2 dell'Eserciziario, che sono stati pensati per poter essere assegnati per casa (i fogli con le soluzioni dovrebbero poi essere consegnati all’insegnante) e poi, possibilmente, corretti in classe.

Si è ritenuto inopportuno affidare la verifica dei livelli di ingresso a una batteria di quiz su più argomenti. Ciò per vari motivi:

– le abilità, le conoscenze, gli atteggiamenti verificabili con strumenti di tal genere sono parziali, come si è implicitamente già osservato nei punti precedenti della presente guida;

– le prestazioni degli alunni di fronte a prove "ad hoc" non hanno esiti attendibili, specie in una fase iniziale, di non conoscenza delle modalità e della natura del lavoro che si svolgerà durante l’anno e del "contratto didattico" con l’insegnante (cosa, come, quando dare e ricevere), ma possono essere influenzate negativamente da evidenti aspetti psicologici e dalla carenza di motivazioni conoscitive;

– dopo che gli alunni hanno affrontato i quesiti dovrebbero essere discusse le risposte, corretti gli errori, …, e, se i quesiti sono su più argomenti, non si vede come ciò sia realizzabile in maniera didatticamente efficace: non si può saltellare da un argomento all’altro.

L’esplorazione delle conoscenze e delle capacità degli alunni potrà proseguire nelle uu. dd. successive, sia "in situazione", sia con "appositi quesiti" proposti man mano che si affrontano nuovi argomenti (ma si tratterà di quesiti che si presenteranno come volti a verificare non tanto che cosa ha imparato l’alunno quanto che cosa deve essere rivisto, conosciuto meglio o studiato ex novo per affrontare i nuovi argomenti).

Contenuti

L’u.d. assume "un esempio tratto dalla vita quotidiana" e, in particolare, l’organizzazione di un viaggio in treno, come situazione attorno alla quale sviluppare l’introduzione al lavoro e alla "matematica" che si studierà. La situazione scelta infatti:

– offre occasioni per affrontare strumenti e argomenti matematici abbastanza vari, ma ad un livello elementare, operativo e non troppo formalizzato,

– consente di mettere in luce quanta matematica sia "incorporata" nelle "cose" che ci circondano ("cose" nel senso di "cose costruite dall'uomo" usando più o meno esplicitamente la matematica, non nel senso di "oggetti e fenomeni naturali"!) e quanta matematica sia necessario usare, più o meno esplicitamente, per capire o operare scelte,

– permette di presentare modelli matematici diversi di uno stesso fenomeno e di valutarne limiti e vantaggi, e, infine,

– presenta un contesto abbastanza interessante per gli alunni (che hanno un’età in cui incominciano a spostarsi e a viaggiare da soli), e che comunque è loro noto e da loro padroneggiabile.

Naturalmente invece di questa situazione se ne potevano scegliere altre che avessero questi requisiti.

Date le finalità esplorative-illustrative di questa u.d., le schede presentano solo cenni, esercizi, esempi d'uso di alcuni argomenti matematici che troveranno una adeguata sistemazione disciplinare in uu. dd. successive.

Il contenuto delle schede può essere così riassunto:

scheda 1: come scegliere l'itinerario in treno per raggiungere una certa località in relazione a chilometraggio e tempi, discussione dell'utilità e dei limiti dei modelli matematici (numerici, grafici, algebrici, …) incontrati per affrontare questo problema, esempi di altri modelli matematici e di modelli in generale;

scheda 2: riflessioni sulla "funzione" chilometraggio prezzo (sue rappresentazione e approssimazioni grafiche, algebriche e algoritmiche), scelta tra tipi di biglietto, analisi e discussione sulla velocità del treno lungo il percorso;

scheda 3: prima sistemazione dei concetti di "modello" e di "modello matematico", riflessioni sulle esperienze scolastiche precedenti e sul ruolo delle diverse discipline, illustrazione del piano di lavoro e, in particolare, del modo in cui verrà affrontato lo studio della matematica.

Tempi

Le schede non rappresentano singole lezioni ma costituiscono dei segmenti di lavoro che hanno una certa unità tematica e che possono essere gestiti in più ore e più giorni. Il tempo complessivo può variare abbastanza, specie per una u.d. come questa, collocata all’inizio dell’anno scolastico e volta a conoscere meglio la classe (anche se si tratta di attività introduttive è bene non svolgere superficialmente l'u.d., «per non sprecare tempo e arrivare al sodo»: una migliore conoscenza alunni-insegnante e un approfondimento delle motivazioni dell'insegnamento possono dar luogo a condizioni di lavoro in classe che faranno risparmiare tempo in futuro).

Si tenga comunque presente che all’inizio dell’anno gli alunni hanno ancora abbastanza tempo a disposizione e che, d’altra parte, in particolare, all’inizio della classe prima, hanno voglia/bisogno di fare, di mettersi alla prova, di essere organizzati, di avere subito un’idea concreta del modo in cui si lavorerà durante l’anno e del contratto didattico da instaurare con l’insegnante. E` opportuno sfruttare al massimo e al meglio questo interesse e questa disponibilità.

Per dare qualche riferimento, tenendo conto dell'esperienza degli anni scorsi e delle modifiche subite dalle schede, possiamo prevedere un tempo complessivo di 9±3 ore.

Le difficoltà che hanno determinato la maggiore durata in alcune classi rispetto ad altre sono state più di tipo linguistico che di tipo matematico: molti alunni hanno notevoli difficoltà nella comprensione (e produzione) di informazioni, ragionamenti, … nel linguaggio verbale, orale e, soprattutto, scritto. Si tratta di un aspetto da curare particolarmente sin dall'inizio: di queste difficoltà non deve farsi carico solo l'insegnante di lettere, sia perché fanno riferimento a obiettivi educativi di tipo generale, sia perché sono all'origine di molti problemi di apprendimento matematico (comprendere definizioni, argomentazioni, testi di problemi; organizzare e comunicare un proprio ragionamento; …).