Le statistiche
Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati

Considerazioni generali
scheda 1
scheda 2
scheda 3
scheda 4
  →   Indice guide

Finalità

Questa unità didattica riprende (e approfondisce) gran parte degli argomenti matematici affrontati nella scuola media (insiemi numerici, variabili, equazioni, metodo delle coordinate, proporzionalità, rilevamenti e rappresentazioni statistiche, funzioni). Un primo approfondimento "interno" viene svolto (oltre che, per certi aspetti, nell'u.d. La automazione e negli Oggetti Matematici) nella successiva u.d. Algebra elementare, che è introdotta come una naturale prosecuzione di quanto affrontato nella Scheda 4.
    La presentazione dei vari argomenti è stata affrontata con il taglio illustrato nell'u.d. introduttiva La matematica e i suoi modelli. Come tema è stato scelto quello delle statistiche (non la statistica), cioè gli impieghi della matematica per rappresentare e fare semplici elaborazioni dei dati. La scelta ha avuto varie motivazioni:
–  le statistiche rappresentano uno degli usi della matematica socialmente più diffuso; quindi ben si prestano ad affrontare l'insegnamento in un nuovo ciclo scolastico: il riferimento a situazioni conosciute da tutti gli alunni facilita sia la comprensione del livello di padronanza dei modelli matematici appresi nella scuola media, sia l'innesto di nuovi insegnamenti (in seguito potranno essere le stesse uu.dd. man mano svolte a offrire riferimenti esperienziali e culturali per lo sviluppo delle successive uu.dd.);
–  consentono di affrontare, con strumenti matematici semplici, temi abbastanza "sentiti" dagli alunni, cioè che rispondono a loro "interessi" o, meglio, a loro "bisogni" (vedi);
–  i problemi della rappresentazione e della elaborazione dei dati costituiscono un terreno su cui si può avviare e poi sviluppare in altre uu.dd. la riflessione e l'uso dei mezzi di calcolo;
–  l'accenno a nuove tematiche previste dai nuovi programmi per le superiori (approssimazioni, mezzi di calcolo, statistica) e già presenti da anni nella scuola media inferiore dà un'immagine più adeguata della matematica che verrà affrontata (non la matematica degli astrusi calcoli letterali, che alcuni alunni si sarebbero aspettata e che è ormai radicalmente superata dai nuovi programmi – ma anche nei vecchi programmi non aveva affatto il rilievo datole spesso nella pratica didattica e nei libri di testo!).

Gestione

Come nel caso dell'u.d. introduttiva si tratta di schede che sono gestibili in più lezioni.
    Rispetto alla prima u.d. sono molto più operative: sono presenti molti quesiti che dovrebbero servire non come verifica ma come strumento per far fissare l'attenzione o esemplificare o far toccare con mano le difficoltà e i nodi concettuali degli argomenti man mano affrontati.
    Mentre i quesiti e le figure devono essere letti ed esaminati direttamente dagli alunni, le parti più discorsive (che, per altro, spesso, sono quelle più significative) devono essere sempre commentate dall'insegnante. Volendo possono anche essere lette collettivamente o possono essere lette dall'insegnante o l'insegnante ne può illustrare (anche con approfondimenti) il contenuto lasciandone poi la lettura come ripasso/consolidamento che gli alunni possono effettuare a casa.
    E` comunque sempre opportuno correggere e discutere collettivamente i vari quesiti. Alcuni quesiti che richiedono esplicitamente una discussione collettiva o che sono più difficoltosi vanno affrontati direttamente in maniera collettiva (spesso la stesura stessa del quesito suggerisce ciò, ad esempio quando la domanda viene rivolta usando la seconda persona plurale invece che la seconda persona singolare).
    Gli esercizi proposti negli ultimi paragrafi delle schede possono essere impiegati per compiti a casa o per attività di consolidamento/verifica o di approfondimento da affrontare in classe. Altri esercizi di consolidamento e di verifica relativi alle abilità fondamentali sono presenti nell'Eserciziario.
    Lo svolgimento di questa u.d. è bene che si intrecci con quello dell'u.d. La automazione, come illustrato nello schema presente nella Presentazione.
    Più precisamente dopo lo svolgimento dei § 1, 2 e 3 della scheda 1 di Le statistiche si può avviare la scheda 1 di La automazione. In particolare si può usare in aula computer il programma R (o altri programmi analoghi) e rappresentare istogrammi (vedendo come possono essere automatizzate alcune attività che erano state svolte con carta, penna e CT). Volendo il videogioco sul Castello Stregato può essere utilizzato ancora prima, subito dopo il completamento di La matematica e i suoi modelli.
[parliamo spesso di aula computer; ma le attività suggerite per essa in molti casi possono essere svolte nell'aula normale, se dotata di proiettore collegabile ad un computer]
    In parallelo o dopo lo svolgimento dei rimanenti paragrafi della scheda 1di Le statistiche si può completare lo svolgimento della scheda 1 di La automazione (in aula computer si può usare R, o un programma analogo, anche per calcolare medie e tracciare diagrammi a settori circolari).
    Sono previsti analoghi intrecci per le schede successive: usi di programmi-scatole nere per fare grafici di funzioni (alla fine della scheda 2 di Le statistiche) e per altre elaborazioni statistiche (scheda 3 di Le statistiche); riflessioni sulle CT e avvio alla programmazione (a partire da procedimenti di calcolo che gli alunni avevano svolto con le CT gestendo in prima persona il flusso dell'esecuzione) nella scheda 2 di La automazione; qualche approfondimento sull'uso del calcolatore e sui vari tipi di software, avviando all'uso dei fogli elettronici e di software per il calcolo simbolico (partendo dalle attività di elaborazione di tabelle di dati e di trasformazione di formule affrontate nella scheda 4 di Le statistiche), nelle scheda 3 e 4 di La automazione; in queste ultime vengono anche introdotti gli usi dei programmi in JavaScript (incorporati nelle pagine Html) e l'uso di GeoGebra (che consente di avviare varie attività geometriche che poi verranno sistemate nelle uu.dd. Per strada e La matematica e lo spazio.
    Questo aspetti verranno meglio dettagliati nelle indicazioni relative alle varie schede.
    Dopo la scheda 1 di Le statistiche si può svolgere la scheda Esercizi di verifica - 1 (da predisporre). Dopo le prime due schede di Le statistiche e di La automazione si può svolgere la scheda Esercizi di verifica - 2. La terza scheda di verifica è utilizzabili dopo la scheda 4 di Le statistiche e la scheda Algebra elementare. Rimandiamo alle apposite guide per ulteriori informazioni sugli Ogetti Matematici e sulle verifiche.
    Ricordiamo che alla fine di ogni scheda (di questa e delle successive uu.dd.) è presente uno specchietto [] con l'indicazione di alcune attività di sintesi/ripasso della scheda:  viene richiesto allo studente di segnare con un evidenziatore le parti in cui viene esemplificato o descritto il significato di alcune "parole chiave" elencate, di fare esempi d'uso di questi termini e di sintetizzare per iscritto il contenuto della scheda (tutto ciò serve anche come avvio all'uso del "dizionario" gli Oggetti Matematici).

Contenuti

La scelta dei temi in cui è articolata l'u.d. è già stata motivata nella parte "Finalità". Per l'articolazione delle singole schede e per una descrizione dettagliata degli argomenti matematici si veda la tabella presente nella Presentazione.
    Il contenuto delle schede può essere riassunto nel seguente modo:
    scheda 1: statistiche relative ai consumi e al reddito in Italia, con particolare riferimento alle condizioni di vita nel '900 (strumenti matematici per rappresentare e confrontare numericamente e graficamente dati e tabelle di ripartizione);
    scheda 2: evoluzione di record sportivi (strumenti, grafici e numerici, per analizzare serie temporali);
    scheda 3: caratteristiche fisiche di una popolazione (analisi di dati antropometrici mediante tabelle e istogrammi di distribuzione, valori medi, …);
    scheda 4: gli abbandoni scolastici (strumenti "algebrici" per indicare come ricavare informazioni da tabelle, per trasformare formule, …).

Tempi

Come già osservato, le schede non rappresentano singole lezioni ma costituiscono dei segmenti di lavoro che hanno una certa unità tematica e che possono essere gestiti in più ore e più giorni.
    Per le scuole che hanno più ore (programma "forte") le due unità didattiche (esclusa la scheda 5 di La automazione, prevista per la classe 2ª) dovrebbero concludersi, grosso modo, a gennaio; per le altre potrebbe esserci uno slittamento di un mese. Si potranno valutare meglio i tempi in base all'andamento del lavoro.
    Per chi sperimenta l'intero progetto, non solo qualche u.d., si tenga presente che non è il caso di dare nuovi sviluppi agli argomenti matematici introdotti o di introdurne di nuovi. Queste due unità didattiche (che dovrebbero coprire circa metà della programmazione per la classe prima) hanno l'obiettivo di porre solide basi relativamente alla padronanza dei numeri (in base dieci), al concetto di rapporto, al concetto di funzione, all'uso dei grafici, all'uso di variabili, termini e equazioni per rappresentare relazioni tra grandezze, alla rappresentazione di algoritmi. Spostare l'attenzione su aspetti secondari o su nuovi concetti che al momento possono essere affrontati solo con presentazioni erronee (come ad esempio accade nelle usuali introduzioni dei polinomi, non riferite ai concetti di funzione e di equazione) o con apprendimenti meccanici e superficiali (il calcolo letterale senza un'adeguata comprensione del significato delle linguaggio letterale e del calcolo simbolico, il calcolo in basi diverse senza la padronanza dei concetti di rapporto, codifica, …) sarebbe controproducente.

Scheda 1 (I consumi e i redditi)

In questa scheda si farà ampio uso delle calcolatrici tascabili (CT). Si invitino gli alunni a portarle in classe. Per le proiezioni in aula si può usare la calcolatrice incorporata nel sistema operativo.
    Comunque, in fondo alla scheda è stato inserito uno specchietto riassuntivo che fa un quadro sinottico dei principali modelli di CT presenti sul mercato. Può essere utile all'insegnante fare una rassegna delle CT di cui dispongono gli alunni (ad esempio può farsi consegnare dagli alunni un foglio su cui abbiano disegnato la tastiera della propria CT) e, preventivamente, fare un confronto con lo specchietto. E`, poi, il caso di invitare gli alunni a leggere il manuale d'uso della propria CT (escludendo i tasti per le funzioni più complesse).
    Nel corso dello svolgimento delle schede può essere utile invitare gli alunni a ricercare su giornali e riviste e su libri di altre materie, a osservare se vengono impiegati alla televisione, … i modelli matematici introdotti nella scheda 1 (e, poi, nelle schede successive). Può essere utile far consultare sul computer qualche eleborazione dell'ISTAT (o portarne qualche copia in classe), anche per svolgere esercizi.

1.0.1 Il paragrafo 0, che può essere introdotto oralmente dall'insegnante (vedi indicazioni per la "Gestione" dell'u.d.), potrà poi essere ripreso e arricchito di esempi alla fine dell'u.d., per mettere meglio a fuoco/ricostruire il senso del lavoro svolto.

1.1.1 Con i quesiti 1, 2 e 3 si vuol far notare la diversità delle unità di misura impiegate. La seconda parte del quesito 3 può avere come risposta: «per poter esprimere i consumi più o meno con lo stesso numero di cifre». Si potrebbe rispondere anche «perché la lira ha perso valore», ma non sarebbe una risposta centrata (questa è la causa della grossa crescita dei valori monetari dei consumi, non è la causa diretta della scelta di scrittura operata; per altro, senza conoscere i dati sulla popolazione, non si potrebbe escludere che l'aumento dei consumi sia stato causato solo dall'aumento della popolazione, o dal miglioramento delle condizioni di vita).

1.1.2 La nota 2 fa riferimento a un uso del termine "ordine di grandezza" abbastanza frequente nel linguaggio comune. Lo stesso uso viene fatto in qualche libro di fisica per la scuola secondaria superiore. L'uso delle diverse locuzioni "del migliaio" e "delle migliaia" per le due accezioni del termine dovrebbe superare le ambiguità. Ritorneremo su ciò nella nota 1.1.10.

1.1.3 I quesiti 5, 6 e 7 sono finalizzati a mettere in luce l'utilità dell'uso di unità di misura diverse, consolidare la scrittura posizionale e introdurre all'uso della notazione esponenziale.
    Quesito 5: posso fare 119827 12 (e poi spostare la virgola, o aggiungere gli zeri, a mano sulla carta) o ragionare in milioni e fare 1198270 12 .
    Quesito 6: si è proceduto così, esprimendosi in centesimi, per battere meno tasti. In questo modo, per altro, è più difficile commettere errori di battitura. In sintesi: «ha espresso le spese in centesimi in modo da far prima a battere e da non dimenticarsi di battere qualche punto decimale».
    Quesito 7. Si possono far cercare agli alunni sui giornali articoli in cui i valori siano espressi in questo modo o in modi simili (è facile trovare sia 1.5 milioni, 300 mila, … che 1 milione 500 mila, … ; sono più rari 1500000, 300000, … ; spesso si preferisce 1200 milioni a 1 miliardo e 200 milioni; … ). Può essere utile far notare che spesso il significato dell'espressione verbale di un numero dipende dal contesto: ad esempio "mille e due" in alcuni casi è da interpretare come 1002, in altri come 1200 (cioè come 1.2 mila).

1.1.4 Quesito 9: 10 non è esprimibile come potenza di 5 e 27 non è esprimibile come potenza di 9. L'esercizio fa vedere anche che uno stesso numero può essere espresso come potenza di diverse basi, cerca di esplorare eventuali confusioni tra potenza e prodotto presenti tra gli alunni. Può essere utile chiedere/far notare che non è sempre vero che a^b=b^a come accade per a=4 e b=2. Sulla non commutatività di "^" ci si soffermerà, comunque, nella scheda 2 di La automazione.

1.1.5 Dopo il quesito 9 viene definito il concetto di potenza (a esponente naturale).
    Ricordiamo che in molti libri è diffusa la seguente definizione «aⁿ è il risultato di n moltiplicazioni di a per sé stesso», che è ovviamente sbagliata (se si parte da a invece che da 1 le moltiplicazioni per a sono n–1, non n). È facile che (durante la discussione o di fronte a una domanda esplicita) lo stesso errore venga fatto anche da qualche alunno (che abbia già memorizzato questa definizione in precedenti esperienze scolastiche).
    E` un tipico esempio di definizioni "bla-bla" che gli alunni studiano e ripetono senza capire (il concetto viene capito operativamente, per altri canali). Man mano richiameremo altri esempi di definizioni di tal fatta in altri contesti (definizione di polinomio, di equazione, definizioni in geometria, …).

1.1.6 Quesito 10: l'idea è che dividere per 8 equivale a fare per 3 volte la divisione per 2: 68/2/2/2 = 34/2/2 = 17/2 = 8.5. Si faccia notare (ma ci si tornerà nella scheda 2 di La automazione) che in 1/2/2 le operazioni vanno eseguite a catena, non si può fare 1/(2/2), che farebbe invece 1/1=1.

1.1.7 Nella correzione collettiva del quesito 11 (e del 12) è bene ricorrere anche a rappresentazioni grafiche (sotto c'è quella relativa a 10^–3·10⁹); queste, per altro, aiutano a consolidare il significato dei numeri relativi e della addizione tra essi.

1.1.8 Il quesito 15 ha come soluzione (la simmetrica del)la formula (1.2) - prima del quesito 10. Il suo scopo non è tanto quello di dimostrare che (1.2) è una conseguenza di (1.4) – così come si sarebbe potuto dimostrare che (1.4) è una conseguenza di (1.2) e (1.3) –, quanto consolidare negli alunni l'uso delle variabili, delle sostituzioni, … . Si osservi che le formule relative al calcolo con le potenze sono state presentate formalmente ma sono state motivate in maniera informale, puntando alla costruzione di prototipi, di punti di riferimento operativi, di collegamenti concettuali a livello mentale, … piuttosto che seguendo rigidamente un particolare itinerario di sviluppo interno.

1.1.9 Gli scopi del quesito 16 sono:
–  far osservare che 1/x = x^–1 e che questo è un caso particolare della formula (1.2),
–  fissare l'attenzione sul fatto che il reciproco del reciproco è il numero di partenza (su ciò si tornerà nel quesito 20).

1.1.10 Riguardo alla definizione di ordine di grandezza (prima del quesito 17), osserviamo che molti chiamano ordine di grandezza non l'n qui considerato ma il numero arrotondato alla potenze 10ⁿ. Ad esempio nel caso di 0.073 l'ordine di grandezza sarebbe 7 centesimi, nel caso di 8741 sarebbe 9000.
    Alcuni, seguendo l'uso considerato nella nota 1.1.2, chiamano ordine di grandezza quello definito da noi ma aumentato di 1 nel caso in cui la prima cifra del numero sia maggiore o uguale a 5; ad esempio nel caso di 0.073 non sarebbe –2 (ordine di grandezza dei centesimi) ma –1 (ordine di grandezza del centesimo). Qualche volta si trova motivata questa (poco felice) definizione nel seguente modo: "si prende l'esponente della potenza di 10 più vicina al numero"; ma è una motivazione errata: a 520 verrebbe assegnato l'ordine di grandezza 3 (ordine di grandezza del migliaio) mentre 520 è più vicino a 100 che a 1000. Eventualmente si potrebbe definire sensatamente come ordine di grandezza l'arrotondamento agli interi del logaritmo decimale del numero; secondo questa definizione, poiché 10^2.5 fa 316.2…, avremmo che 316 ha ordine di grandezza 2 (o del centinaio) e che 317 ha ordine di grandezza 3 (o del migliaio).

1.2.1 Il paragrafo 2 e parte del successivo sono volti a consolidare il concetto di grandezze proporzionali. Volendo si possono fare richiami e collegamenti con quanto visto in La matematica e i suoi modelli (vedi note 1.2.4 e 2.1.3 della guida di tale u.d.). Si noti che qui e nel seguito di parla solo di "proporzionalità" evitando accuratamente di parlare di "medi" ed "estremi" di una proporzione. Le proporzioni sono particolari equazioni che possono essere trasformate utilizzando le proprietà delle operazioni (in particolare il fatto che la moltiplicazione è l'operazione inversa della divisione), così come accade per tutte le equazioni di primo grado. L'uso della proprietà (prodotto dei medi)=(prodotto degli estremi), giustificabile fino agli inizi del Novecento (quando nel bagaglio dell'educazione di base al calcolo rientrava solo qualche formuletta pratica su percentuali, interessi e cambi di scala), non ha alcun senso se si affronta più in generale il tema delle equazioni. Questa osservazione è esplicitamente presente nei programmi della scuola media inferiore (anche se alcuni libri di testo …).

1.2.2 Nel commento alla figura 3 si parla di spigoli. Può valer la pena ricordare che gli spigoli di un solido solo le linee di raccordo delle facce, non le "punte". Quindi gli spigoli di base di una lavatrice sono i lati della base della lavatrice.

1.2.3 Quesito 18. L'esecuzione della parte (3), con gli errori e le difficoltà che possono incontrare alcuni alunni (ad esempio qualcuno può riprodurre correttamente in scala sia l'impugnatura e il cannello della chiave, sia l'ingegno – cioè la parte intagliata che si infila nella toppa –, ma può collocare l'ingegno non nel punto giusto del cannello), dovrebbe servire per far percepire che "ogni" distanza deve essere riprodotta in scala; si noti che per effettuare il disegno può essere più comodo riprodurre B in scala 2; infatti B è in scala 2 rispetto ad A e quindi la riproduzione finale sarà in scala 2·2=4 rispetto ad A.

  La parte (4) dovrebbe essere discussa in classe; non è previsto spazio per le risposte in quanto questa parte viene ripresa subito sotto alla figura 4 (oltre che nel modo indicato si poteva procedere osservando che l'impugnatura è riprodotta in scala 3/2=1.5 - è una volta e mezza quella originale - mentre la lunghezza della chiave è riprodotta in scala 6/5=1.2 - ovvero è una volta e un quinto quella originale).

1.2.4 Prima di (2.1), si noti che non abbiamo dato una spiegazione in termini algebrici della semplificazione di una divisione (di un rapporto, di una frazione), ma ne abbiamo appoggiato la spiegazione su un'interpretazione geometrica del concetto di proporzionalità. La spiegazione in termini algebrici non è banale [(a·b)/(c·b)=a·b·(1/(c·b))=a·b·(1/c)·(1/b)=a·(1/c)·b·(1 /b)= a/c·(b/b))=a/c] e verrà affrontata in seguito.

1.2.5 Nella terza riga della tabella del quesito 19 ci va "distanza in B", nella quarta "numero dei quadretti".

1.2.6 Il quesito 20 mette meglio a fuoco che il reciproco del reciproco di un numero è il numero stesso. Nel caso particolare abbiamo che 1/8=0.125: il rapporto tra 1 e 8 è 0.125, cioè 0.125 è l'ottava parte di 1; quindi 1/0.125=8, cioè 0.125 sta 8 volte in 1. Analogamente: 1/10=0.1 (0.1 è la decima parte di 10), quindi 1/0.1=10 (0.1 sta 10 volte in 1). In questa spiegazione stiamo giocando implicitamente sull'equivalenza tra divisione per contenenza e divisione per partizione: vedi nota 1.2.3 della guida di La matematica e i suoi modelli. Questa "spiegazione" è quella che dovrebbe interagire meglio con le esperienze e le rappresentazioni mentali degli alunni. Ed è quella che potrebbe essere fatta scrivere agli alunni: «se 0.125 è l'ottava parte di 1 (1/8=0.125) allora 0.125 sta 8 volte in 1 (1/0.125=8)».
    Si può consolidare questo fatto facendo premere ripetutamente il tasto e facendo osservare l'analogia con la pressione ripetuta del tasto .
    Si può poi osservare che la denominazione reciproco (che nella lingua comune viene usato per qualificare una condizione di equilibrio tra due soggetti, in cui ciò che il primo può fare nei confronti del secondo anche il secondo può farlo nei confronti del primo) deriva dal fatto che, se applico la scala k, per ritornare alla situazione di partenza devo applicare la scala 1/k: si veda il grafo prima del quesito. Infatti moltiplicare per 1/k equivale a dividere per k. La scala risultante è la scala 1; in altre parole: k·(1/k)=1. Si può quindi concludere che il reciproco di un numero k non è altro che il numero che moltiplicato per k dà 1. Il fatto che il reciproco di 1/8 è 8 può essere rivisto in questo modo: per passare da 1/8 a 1 devo moltiplicare per 8. Questa idea troverà una generalizzazione nel concetto di funzione inversa (vedi i quesiti 34-37 della scheda 2 di La automazione).
    Si potrebbe pensare di dare una spiegazione più "rigorosa" nel modo seguente:
     (x^–1)^–1 = 1/x^–1 = x^– –1 = x (usando (1.2) una volta con n=1 e un'altra volta con n = –1;
ma questa spiegazione si basa sull'uso di (1.2) anche per n<0, che per ora non abbaiamo motivato (se mai, questa potrebbe essere eventualmente un'occasione per motivare questa estensione).

1.3.1 Possibile risposta al quesito 22: si perdono le grandezze effettive dei dati (i dati assoluti) e si guadagnano informazioni che consentono di valutare (e confrontare con altre situazioni) l'incidenza di un dato sul totale.

1.3.2 La nota prima del quesito 26 si riferisce al fatto che il termine arrotondamento, ad essere rigorosi, non è un sinonimo di "approssimazione al numero (intero o …) più vicino", ma sta ad indicare una approssimazione con un numero inferiore di cifre (come suggerisce anche l'etimologia della parola). Tuttavia negli ultimi anni si è assai diffusa questa interpretazione. Anche noi la adotteremo perché è assi più comodo usare l'espressione "arrotondamento" piuttosto che "approssimazione al … più vicino" o simili. Si noti, però, che successivamente useremo la parola "arrotondamento" anche nell'accezione più estesa; ad esempio parlando di errori o problemi di arrotondamento nel calcolo automatico ci riferiremo ai fenomeni conseguenti alle approssimazioni con meno cifre effettuate dalle macchine, indipendentemente dal modo in cui queste approssimazioni vengono svolte.

1.3.3 Idea per l'evidenziazione richiesta dal quesito 26:

1.3.4 Quesito 27: nel quesito 35 si vedrà che, se il totale è classificato in più di due parti disgiunte, non è detto che la percentuale di una parte possa essere trovata facendo il complemento a 100.

1.3.5 Possibile spiegazione richiesta dal quesito 28 (che dovrebbe essere oggetto di una discussione collettiva, senza risposte scritte individuali): in tempo di guerra gli scambi commerciali e le attività produttive (non belliche) erano ridotte (buona parte della mano d'opera era impegnata al fronte, i bombardamenti ostacolavano le attività, era difficile reperire le materie prime, …) e, quindi, scarseggiavano i beni di consumo (che così divenivano più costosi); nello stesso tempo le minori opportunità di lavoro e l'impegno al fronte di molti adulti maschi riducevano le possibilità di entrate da parte delle famiglie. Di conseguenza le famiglie trascuravano servizi e beni di consumo meno essenziali.

1.3.6 Possibili risposte al quesito 29 (che ha lo scopo di consolidare la analogia tra rappresentazioni numeriche e rappresentazioni geometriche): A non va bene perché la colonna del tabacco dovrebbe essere la più bassa, C non va bene perché la colonna dei trasporti non deve essere più alta di quella della abitazione, D non va bene poiché la colonna degli alimentari dovrebbe essere la più alta.

1.3.7 Per il quesito 32 non è stato previsto uno spazio per la risposta: vi sarebbero troppe difficoltà a sintetizzare la discussione. Per quanto riguarda la voce "altro", ricordiamo: istruzione, sanità, spettacoli, libri, dischi, calcolatori, giochi, mobili, …

1.3.8 Con il quesito 33 si può avviare (o riprendere, se è già stata avviata) la scheda 1 di La automazione (vedi la parte "gestione" della presente guida). Con lo "script" alternativo al programma, accessibile cliccando il secondo "qui" presente nella figura che precede il quesito, si ottiene una rappresentazione come questa.

1.3.9 Quesito 35 : la somma vale 101%. All'origine di ciò vi è il fatto che ogni percentuale dell'ultima colonna del quesito 30 è stata arrotondata agli interi, togliendo o aggiungendo una parte frazionaria che può avvicinarsi a mezza unità. Nel nostro caso abbiamo approssimato per eccesso quattro dati aggiungendo complessivamente circa 1.5 e per difetto due dati togliendo in tutto circa 0.5. Il saldo è di 1 in più. La questione verrà ripresa con il quesito 40. Prima di passare a §4 può essere utile assegnare dal paragrafo Esercizi (oltre ad altri eventuali quesiti, scelti tra e1 ed e9), il quesito e7, che è collegato al quesito 35 (evidenzia altri effetti delle perdite di informazioni conseguenti all'uso dei valori arrotondati) e che è bene sia affrontato prima del quesito 37 di §4.

1.4.1 Prima di (4.1). Anche per il calcolo dell'ampiezza dei settori circolari si è scelto di ragionare in termini di rappresentazioni proporzionali piuttosto che in termini di proporzioni (vedi nota 1.2.1). Se qualche alunno proponesse proporzioni del tipo angolo:360=dato:totale è opportuno far osservare che ":" e "=" non sono simboli che rappresentano le parole "sta" e "come" ma sono il simbolo di divisione e il simbolo di eguaglianza (eventualmente è, viceversa, il rapporto che può essere espresso usando parole "non matematiche") e che per trovare angolo non si deve ricorrere a strane regole (prodotto dei medi =…) ma è sufficiente la seguente trasformazione, che sfrutta solo la relazione che intercorre tra divisione e moltiplicazione:

    angolo    dato                 dato
    —————— = ——————  —>  angolo = ——————·360
     360     totale               totale

    La perdita del riferimento al concetto di rapporto è, probabilmente, all'origine dei frequenti usi impropri delle proporzioni (a volte a situazioni di inversa proporzionalità - senza invertire l'ordine - , a volte a grandezze legate da una funzione crescente ma che non sono direttamente proporzionali, …)

1.4.2 Quesito 37: si tratta di un procedimento che gli alunni tendono a seguire. Vi sono collegamenti con i quesiti 35 e 65 (vedi nota 1.3.9). La questione viene ripresa nel quesito e14 (suggerimento per il calcolo dei valori dell'ultima colonna).

1.4.3 Dopo il quesito 38 è utile osservare (e far scrivere vicino alle figure) che l'equivalenza delle diverse rappresentazioni può essere tradotta nell'eguaglianza tra rapporti:

     4    1    20    72    12
    —— = — = ——— = ——— = ——
    20   5   100   360   60

1.4.4 Abbiamo riportato il modo in cui effettuare il calcolo di (4.2) anche con un calcolatore programmabile (terza colonna prima del quesito 40).
Tra gli altri programmi, si può usare R, che si presta molto bene anche per i calcoli statistici;
k <- 360/434100; c <- 116148*k; d <- 9306*k; k; c; d
0.000829302 96.32177 7.717484
library(MASS); fractions(k)
6/7235   (per usare il comando fractions occorre caricare la libreria MASS).
Ovvero si può usare la calcolatrice incoporata negli Oggetti Matematici, ottenendo questo.

1.4.5 Quesito 40: si tratta di un problema analogo a quello incontrato nel quesito 35.

1.4.6 Prima di ques.41. Nel caso in cui molti alunni dispongano di CT in grado di memorizzare una o più operazioni con un apposito tasto (in genere indicato con "const", "k" o "op"), si può osservare che si può ricorrere a questi invece di far digitare ogni volta 8.293 E –4. Se il tasto è OP, dopo avere battuto 8.293 4 OP (o 8.293 4 OP, a seconda del modello di CT), si batte semplicemente OP (o solamente , in alcuni modelli di CT) al posto della sequenza 8.293 4 . Vi sono anche CT dotate di due memorie M1 e M2. In tal caso si possono usare queste invece dell'eventuale tasto OP.
Nota.  Lo specchietto allegato alla scheda comprende i tasti (e le loro funzioni) dei modelli di CT più diffusi. Esistono CT con tasti differenti o in cui i tasti di cancellazione e di memoria hanno funzionamenti diversi. Probabilmente di tratta di modelli non più presenti sul mercato; se così non fosse (cioè se qualche alunno avesse modelli di tal genere) si prega di segnalarlo, in modo da rivedere lo specchietto per il prossimo anno.

1.4.7 Prima o dopo il quesito 42 può essere utile fare una breve discussione che sintetizzi i vantaggi e gli svantaggi dei vari metodi di rappresentazione visti: dati assoluti, dati percentuali, istogramma, diagramma a striscia, diagramma a settori circolari: rispetto alla facilità con cui si possono fare i confronti tra una parte e il tutto o i confronti tra parti (i diagrammi a settori circolari sono migliori nel primo caso, gli istogrammi sono migliori nel secondo), rispetto alla precisione con cui si possono fare i confronti (le rappresentazioni numeriche sono vantaggiose rispetto a quelle grafiche), ….

1.4.8 Quesito 43. La bottiglia grossa è stata ingrandita con il fattore di scala 90/60 (= 1.5), cioè le sue dimensioni sono una volta e mezza quelle della la bottiglia più piccola. In questo modo però l'estensione del disegno è stato ingrandita maggiormente. Infatti un quadretto di lato 1 (e area 1) diventa un quadretto di lato 1.5, cioè di area 2.25, pari a 2 volte e 1/4 quella del quadrettino; allo stesso modo è stata ingrandita l'area del disegno della bottiglia. Analogamente nella figura 3 le due piantine aveva dimensioni l'una doppia dell'altra ma le aree erano una il quadruplo dell'altra. Se invece consideriamo il contenuto delle bottiglie la cosa è ancora peggiore. Un cubetto di lato 1 (e volume 1) diventa un cubetto di lato 1.5, cioè di volume 3.375, pari a circa 3 volte il volume del cubettino. Quindi, in realtà, il bottiglione dell'illustrazione del giornale non rappresenta 90 litri, ma 60·3.375 = 202.5 litri. Il quesito 44 dovrebbe chiarire il fatto che aree e volumi variano quadraticamente e cubicamente rispetto alle distanze. Successivamente queste osservazioni verranno riprese e analizzate graficamente (grafici di y=x, y=x², …), oltre ad essere riprese negli Oggetti Matematici.

1.5.1 Oltre a quelli considerati nel paragrafo 5, altri valori medi verranno discussi nella scheda 3.

1.5.2 L'osservazione (prima del quesito 47) che la velocità media non è un esempio di media aritmetica, se è il caso, può essere ulteriormente sviluppata a voce dall'insegnante. Ad es. si può osservare che, anche se consumo pro-capite e velocità media sono entrambi dei rapporti tra grandezze (spesa/popolazione e spazio/intervalloditempo), in un caso la seconda grandezza (popolazione) è esprimibile esattamente mediante un numero intero di unità (n abitanti) e la prima (spesa) può essere pensata come la somma dei contributi che ciascuna di queste unità, mentre nell'altro caso la seconda grandezza (intervallo di tempo) non è concepibile come collezione di n oggetti.

1.5.3 Prima del quesito 47 si parla di "dato fittizio". Qui e in altre situazioni in cui si è di fronte a parole che non sono di uso frequente, è bene soffermarsi e verificare la comprensione della parola facendone fare degli esempi d'uso agli alunni e, comunque, spiegandone il significato.

1.5.4 Quesito 54. Se vi sono alunni con CT senza gerarchia delle operazioni, questi non potranno ottenere un risultato corretto direttamente con 1593 12601 994 6031 18632 . Si può far osservare che a ciò è ovviabile usando . Su ciò, poi, si ritonerà in una scheda successiva.

1.5.5 Quesito 56. v1=12/30·60 km/h [devo moltiplicare per 60 la velocità al minuto: in 1 h percorro 60 volte quanto percorro in 1 min] =12·2=24 km/h. v2=35/20·60=35·3=105 km/h. v=47/50·60= 282/5=564/10=56.4 km/h. (v1+v2)/2=129/2=64.5 km/h.

1.6.1 Il concetto di cifre significative viene spesso usato anche in un'accezione più estesa rispetto a quella considerata nel paragrafo 6. Ad esempio si parla di arrotondamento a n cifre significative anche in situazioni in cui si arrotonda a meno di un'unità sulla n-esima cifra iniziale (non a meno di 1/2 unità, come si è fatto qui): se una bilancia garantita con la precisione di 1 grammo dà il peso 160 g si può dire che questo ha 3 cifre significative, intendendo che il peso è 160±1 g, cioè cade in [159 g, 161 g]; se la bilancia avesse la precisione di 10 grammi diremmo che il peso 160 g ha 2 cifre significative, intendendo che è 160±10. In questi casi è, comunque, norma indicare la precisione. Ad esempio si potrebbe anche approssimare alla cinquantina più vicina: 1867 verrebbe arrotondato a 1850 e le cifre significative sarebbero 3 (185).
    Più in generale, a volte si parla di n cifre significative anche nel caso di un'approssimazione in cui si abbia qualche informazione sull'n-esima cifra iniziale, cioè in cui si sappia solamente delimitare i valori che può assumere l'n-esima cifra iniziale (ad esempio nel caso si ottenga il valore 34.6178 e si sappia che l'errore è al più di 0.03, sappiamo che la 4^a cifra iniziale non può essere una cifra qualunque: il numero deve finire con 58, 59, …, o 64; della 5^a cifra iniziale non possiamo invece dire nulla; a volte, dunque, si dice che le cifre significative sono 4, cioè 34.62, anche se ad essere precisi potremmo scrivere solamente 34.62±0.04, in modo da comprendere tutto l'intervallo 34.6178±0.03).

1.6.2 Quesito 58. Può essere il caso di sottolineare che con 2^a cifra iniziale nel caso di 0.369… si intende il 6, cioè il conteggio viene inteso a partire dalla prima cifra da sinistra che non sia nulla.

1.e.1 Nel paragrafo esercizi accanto a vari esercizi di consolidamento, sono presenti quesiti che sviluppano alcuni aspetti specifici: osservazioni critiche sulle distribuzioni percentuali (e7), calcolo approssimato rapido e stime (e10-e13), approssimazioni per difetto e per eccesso (e16-e17), ripartizioni secondo "quote millesimali" (e19), calcolo della media aritmetica (e22-e23), proprietà distributiva (e24). Vi sono anche quesiti che approfondiscono aspetti "tematici"; tra questi ricordiamo in particolare i quesiti e-14, e-15, che approfondiscono la relazione tra consumi e redditi, e sono importanti per completare il discorso "economico" affrontato nella scheda.

1.e.2 Discutendo il quesito e5 si tengano presenti le eventuali confusioni degli alunni con la situazione in cui si considera non il confronto con 1, ma con 0 (prodotto di due numeri >0, …).

1.e.3 Quesito e7. Per calcolare il 3% di … si può battere 3 100 … (è meglio non usare il tasto , anche perché in CT diverse può comportarsi diversamente). La spiegazione richiesta dal quesito è che 3% è un arrotondamento di 2.753…% (→ quesito 30). Può essere significativo verificare con gli alunni che prendendo la percentuale con più cifre si ottiene un valore che si avvicina sempre più a 3420: con 3% si ha 3726, con 2.7% si ha 3356, con 2.75% si ha 3417, ….

1.e.4 L'osservazione (nel quesito e14) sulla convenienza di effettuare solo alla fine gli arrotondamenti è importante. E` collegata con il problema evidenziato nel quesito 37. Un tempo, quando si procedeva con il calcolo manuale, era più comodo operare su arrotondamenti dei risultati intermedi, anche se si peggiorava la precisione del risultato.

1.e.5 Quesito e16. Si deve troncare (si può disporre al più di 1000 € o L); quindi: A: 333.30, B: 330, C: 333. Quesito e17. Si deve approssimare per eccesso (si devono formare almeno 1000 € o L); quindi: A: 333.35, B: 335, C: 334. In entrambi i casi avanzeranno dei soldi di cui le tre persone dovranno decidere che fare.

1.e.6 La spiegazione richiesta al quesito e18 è semplicemente che (1) tronca a 8 cifre significative, (2) arrotonda a 8 cifre significative, (3) tronca a 10 cifre significative.

1.e.7 Quesito e20. Se qualche alunno ha problemi, si faccia osservare che la dizione "€ al chilogrammo" sta a ricordare che si tratta di dividere la quantità di € per il numero dei chilogrammi (quanti € per ogni kg), cioè che si deve calcolare il rapporto costo/peso. I fattori di proporzionalità sono 0.011 e 11.

1.e.8 Quesito e23. Ciò che viene automatizzato è il conteggio dei dati introdotti (non si deve battere n). Usando il computer si potrà ricorrere ad es. al programma R.

1.e.9 L'obiettivo del quesito e24 non è enunciare la proprietà distributiva, ma contribuire, insieme ad altre attività presenti nelle schede, a consolidare la comprensione dell'uso e del ruolo delle variabili e quella di alcune "equivalenze", già richiamate più volte: x–y come x+–y (sottrarre y equivale a sommare l'opposto di y), x/y come x·(1/y) (dividere per y è come moltiplicare per 1/y). Si noti che si può scrivere x+–y invece di x+(–y): non vi può essere alcuna ambiguità, come è testimoniato dal fatto che un linguaggio di programmazione esegue correttamente un calcolo così descritto e che molti programmi di calcolo simbolico semplificano x+(–y) in x+–y. Anzi, l'uso di parentesi per delimitare un numero negativo potrebbe a volte essere fonte di fraintendimenti sul significato dei numeri relativi e del simbolo di negazione; in qualche libro amante delle "perversioni" si trovano addirittura scritture del tipo (+4)+(+3) invece di 4+3.

Scheda 2 (I record)

2.0.1 Il paragrafo 0 , che funge da ripasso e cerniera con la scheda 1 dell'u.d., può essere presentato oralmente dall'insegnante attraverso una discussione: l'insegnante illustra problematicamente gli esempi contenuti nel paragrafo e chiede risposte e spiegazioni agli alunni.

2.1.1 Quesito 1: il fatto che nel 1960 siano stati stabiliti 3 record mette (implicitamente) in luce che non siamo di fronte a un grafico di funzione (numerica); su ciò si ritornerà (volendo la relazione anno-record può essere intesa come una funzione che all'input anno associa come eventuale output la "sequenza" dei record stabiliti in quell'anno, non si tratta, però, di una funzione a 1 input e 1 output "numerici"). Notiamo che, essendo "completamenti" del grafico di fig.2, anche quelli di fig.3 e fig.4 non sono grafici di funzione.

2.1.2 I quesiti 2 e 3 sono propedeutici al quesito 4.

2.1.3 Complemento al commento alla figura 3 (dopo il quesito 4), sul fatto che la durata dei record non è rappresentata fedelmente: può essere utile (per educare alla lettura di dati e grafici, in generale) far osservare che se un record viene stabilito il 31/12 e un nuovo record viene stabilito il giorno dopo, la durata del record vecchio sarebbe rappresentata con un tratto lungo "1 anno" anche se essa è stata di 1 solo giorno.

2.1.4 Il quesito 5 si presta a riprendere, da un nuovo punto di vista, il discorso sui limiti dei modelli matematici, cioè, sulla necessità di interpretarli opportunamente nei contesti in cui sono impiegati. Risposte: (1) A (o B); (2) D (o C).

2.1.5 I quesiti 6-9 introducono/consolidano il concetto di pendenza e la sua quantificazione come "variazione media annua", cioè come rapporto tra la variazione del record e la variazione del tempo. Ciò viene ripreso più volte nella scheda e negli esercizi finali, intrecciandosi più o meno esplicitamente a considerazioni sulla rappresentazione grafica della proporzionalità (e delle funzioni lineari) viste nella scheda 1 (e in La matematica e i suoi modelli). NeGli oggetti matematici questi argomento saranno sintetizzati sotto le voci "variazione" e "pendenza".

Il quesito 6 (e il 7) comporta dei calcoli di differenze: è bene far osservare (domandando agli alunni come hanno proceduto) che le differenze possono essere calcolate numericamente, facendo la differenza tra un record e l'altro, o appoggiandosi alla reticolatura, valutando direttamente la distanza tra le due quote. Il quesito 7 dovrebbe avere una risposta basata sull'impressione visiva e su ragionamenti non quantificati precisamente: nel secondo intervallo di tempo il grafico sale più velocemente; in entrambi i casi il record ha lo stesso aumento, ma nel secondo caso avviene in meno anni; … . Il quesito 8 deve essere introdotto come metodo per precisare la discussione, che verrà sistemata nella parte finale del paragrafo.

2.2.1 Quesito 9. (a), (b) e (c) devono essere discusse contemporaneamente (con "periodi" dal contesto del discorso si dovrebbe intendere che ci si riferisce a intervalli di tempo abbastanza lunghi, non all'aumento da un anno all'altro: in tal caso, ad esempio per i maschi, si dovrebbe considerare il 1957-58); la discussione dovrebbe essere facilitata da quanto visto nel §1 (risposta possibile: «nella seconda metà degli anni 50 e dagli anni 70 in poi entrambi i grafici hanno un andamento più ripido rispetto agli anni 40 e agli anni 60»).

2.2.2 Quesito 10: vedi inizio di §3.

2.2.3 Si parla di numeri indici: la dizione giusta è questa, non "numeri indice": "indice" qui è aggettivo (come in "dito indice"), non sostantivo (comunque parlare di "numeri indice" è un errore che non compromette la comprensione …).

2.2.4 Quesito 12: introduce alla diversità tra variazioni assolute e variazioni relative. Dal punto di vista puramente matematico possiamo osservare che i numeri indici delle donne e quelli degli uomini sono stati ottenuti moltiplicando i dati assoluti per due diversi fattori di proporzionalità, cioè sono stati rappresentati con due "unità di misura" diverse: ciò spiega perché non sono più confrontabili le differenze (la distanza tra due dati assoluti nel caso delle donne è stata moltiplicata per 100/165, nel caso degli uomini per 100/203).

2.2.5 Quesito 13. Dal 32 al 52 la variazione dei numeri indici coincide con la variazione percentuale dal 1932 (in entrambi i casi 4.2 centesimi di 165), dal 52 al 60 no poiché il dato iniziale (172, nel 1952) non coincide con il dato base (165, nel 1932): variazione di 8.5 centesimi di 165, variazione di 8.1 centesimi di 172. La questione è ripresa dopo il quesito 14.

2.2.6 Quesito 15: vedi tabella a lato.    Non si tratta, ovviamente, di una sequenza di tasti da imparare a memoria. L'importante è che gli alunni sappiano interpretare il valore del rapporto visualizzato dalla CT.

tastiera  visore 17.1 17.1 17.1 18.4 18.4 0.9293478 1 1 -0.0706522 -0.0706522 100 100 -7.0652174

2.2.7 Osservando figura 9 si faccia osservare che, ad esempio dal 1960 al 1968, non sono scesi i record, ma è solo diminuita la loro velocità di crescita. A livello adulto osserviamo che questi grafici non sono parenti stretti della "derivata", che sarebbe invece parente del grafico delle variazioni assolute o di quello delle variazioni medie [ = (variazione assoluta in 4 anni)/4 ]; l'unica parentela è relativa agli "zeri": le variazioni percentuali sono 0 quando sono 0 anche le variazioni assolute. In classi "difficili" (e in classi con il programma "debole") questa parte finale del paragrafo può essere "opzionale".

2.2.8 Quesito 16. Maschi: max: 56-60; min: 44-48, 48-52, 64-68.
    Femmine: max: 56-60; min: 36-40, 44-48, 64-68, 88-92, 92-96.

2.3.1 Nel paragrafo 3 viene avviata una riflessione più specifica sulle funzioni, che verrà approfondita man mano, a più riprese. Una nuova riflessione specifica verrà fatta quasi subito, nella scheda 2 di La automazione, in relazione ai tasti funzione delle CT e, una prima sintesi, sarà reperibile nella prima voce deGli oggetti matematici su tale argomento.
    Questa riflessione è intrecciata all'uso del computer; è quindi bene che, dopo una prima introduzione in classe (sostanzialmente la del parte paragrafo prima del ques.17), venga affrontata in aula computer.
    Prima di andare in aula computer si possono comunque assegnare e/o affrontare in classe alcuni quesiti del paragrafo finale, ad esempio (oltre, naturalmente, a quesiti su percentuali e numeri indici, che possono essere già stati assegnati anche in precedenza) quesiti presi tra i quesiti e1-e2, e10-e14 (in classi particolarmente "difficili" - o con programma "debole" - i quesiti e-11, e-12, e-14, più "astratti", possono essere tralasciati e affrontati in un secondo tempo).
    In aula computer, completato §3, si possono affrontare subito alcuni quesiti del paragrafo che prevedono l'uso del computer. Chi non possa usare l'aula computer può usare il proiettore facendo lavorare al computer alunni singoli, coinvolgendo l'intera classe nella soluzione; altrimenti: CT per i calcoli e … carta millimetrata e matita!
    Carta e penna servono comunque anche per usare R (o altri programmi): sia per annotare dati, espressioni, …, sia per prendere appunti mentre si "ragiona" su come usare il software (individuazione di strategie, scelta di comandi e di dati da introdurre, …): i programmi sono solo un "sussidio".
    I programmi (R od altri) saranno usati anche in unità didattiche successive.
    Osserviamo, qui, che R traccia il grafico di y=f(x) in prima istanza per interpolazione e solo aggiungendo type="p" (come spiegato nella scheda) lo traccia per punti. Confrontando il grafico ottenuto in un modo o nell'altro gli alunni possono "scoprire"/"congetturare" quando una funzione ha grafico "continuo" o no (sotto sono riprodotti parzialmente i grafici della funzione "troncamento agli interi" ottenuti senza e con la scelta di congiungere i punti). La maggiore/minore concentrazione dei punti tracciati permette, poi, di evidenziare i tratti in cui una funzione cresce meno/più velocemente e di distinguere grafici di funzioni diverse.

  Per adesso il concetto di funzione (e quello di relazione) non viene formalizzato, ma si fa riferimento ad un uso intuitivo del concetto di "relazione tra grandezze", si cerca di mettere gradualmente a fuoco ciò che caratterizza una funzione rispetto a una generica relazione, e si presentano tre tipici modi in cui vengono visualizzate/rappresentate le funzioni: come "scatole nere" con input e output, come grafici e come tabelle.
    Una riflessione su come definire formalmente le funzioni (con eventuali considerazioni storiche) è rinviata a unità didattiche successive.
    Ricordiamo, comunque, a livello adulto, che una funzione a 1 input e 1 output può essere definita come un insieme di coppie ordinate (cioè di sequenze di due oggetti matematici) tali che non ci siano due coppie con 1° elemento uguale e 2° elemento diverso; se notiamo con f la funzione e si fissa un insieme A in cui devono essere presi gli input (i primi elementi delle coppie), preso x in A si dice che f(x) è definito se esiste una coppia di f avente x come 1° elemento, si dice che f(x) è indefinito altrimenti; l'insieme degli x di A per cui f(x) è definito (cioè l'insieme dei primi elementi delle coppie che costituiscono f) viene chiamato dominio di f.
    Questa è la definizione di funzione che si usa in matematica classica. Accanto a questa osserviamo, senza entrare in dettagli, che vi è la definizione impiegata nella matematica costruttiva, che definisce le funzioni come "procedimenti di calcolo" (effettuabili con una macchina programmabile senza limiti di tempo e di memoria).

2.4.1 Questo paragrafo è contenuto solo nelle versione "forte" della scheda. Per il quesito 20: vedi i commenti sotto a figura 10 (nuovo materiale per l'asta, più elastico e più resistente, che consente un accumulo maggiore di energia e che lo restituisce più velocemente).

2.e.1 Alcune considerazioni sul paragrafo esercizi sono già contenute nella nota 2.3.1.

2.e.2 Il quesito e1 ha lo scopo di introdurre significativamente all'uso (o di consolidare significativamente l'uso) delle coordinate negative (in questo senso, questo esercizio è propedeutico ai quesiti successivi). Non è il caso, per ora, di fare ricavare il termine che esprime le misure in gradi F in funzione di quelle in gradi C. Successivamente verrà affrontato più specificamente lo studio delle funzioni lineari. Il quesito e17 (accoppiato con quanto visto nei quesiti e13, e15 e e16) offrirà, comunque, una prima riflessione di collegamento tra le funzioni di proporzionalità (x → k·x) e le altre funzioni lineari (x → k·x+h), eventualmente richiamando esempi visti in La matematica e i suoi modelli   (scheda 2, formula 1.2).

2.e.3 Quesito e3. Il quesito pone il problema di esprimere in forma decimale le frazioni di ora. Ovviamente basta battere: 7+55/60, 9+36/60, ….
    La seconda domanda pone due questioni: • la verifica se a x=12 corrisponde y=510 (e, nei limiti dell'approssimazione grafica, ciò è vero), • il problema che questo grafico è stato ottenuto per interpolazione (la conclusione non è valida - vedi osservazione dopo il quesito 4 e osservazioni prima di ques. 5 - ; lo sarebbe se il treno viaggiasse a velocità costante).

2.e.4 Quesiti e11 e e12. Sono esempi di relazioni tra numeri interi. La riflessione sulle configurazioni che si ottengono può essere utile per consolidare l'associazione tra aspetti numerici e aspetti geometrici.

2.e.5 Il quesito e13 introduce (implicitamente) il concetto di coefficiente angolare: il fattore di proporzionalità non è altro che la pendenza, se il sistema è monometrico. Per altro, in modi meno espliciti, questa osservazione è già stata introdotta. Una prima verifica operativa dell'acquisizione è offerta dal quesito e15.
    Nel seguito, in genere, confonderemo pendenza con coefficiente angolare (o con coefficiente angolare della retta tangente), anche quando il sistema non sia monometrico. Sarà il contesto che chiarirà quando la pendenza sia da intendersi in senso "fisico" (rapporto tra misura di lunghezze rilevate con uno strumento di misura) o in senso "analitico" (rapporto tra differenze di coordinate).

2.e.6 Quesito e14. Ovviamente solo nel caso del quesito e12 non siamo di fronte a una funzione: le rette verticali devono incontrare il grafico al più in un punto, e in questo caso ciò non accade. Volendo si può proporre agli alunni di provare a scrivere un'equazione che esprima y in funzione di x nel caso del quesito e11, cioè y=10–x (x intero).

2.e.7 Quesito e19. E` un esempio di utilizzo del computer per autocorrezioni. Per altro, i tentativi, l'osservazioni delle uscite, …, possono far "scattare" negli alunni la chiave di comprensione per superare alcuni ostacoli concettuali. In parte ciò vale anche per altri esercizi.

2.e.8 Quesito e20. E` un esercizio che ha la finalità di consolidare l'uso delle coordinate. Se ne possono proporre di simili, anche per consolidare il concetto di pendenza.
    Ecco (sotto) qualche altro esempio di configurazione che si può proporre di costruire.

2.e.9 Quesito e24. Vedi nota 2.2.4.

Scheda 3 (Lo sviluppo corporeo)

Questa scheda è quella che più propriamente affronta la "statistica matematica"; introduce concetti che saranno fondamentali anche per lo sviluppo degli argomenti di probabilità (nella classe II) e che potrebbero intrecciarsi con argomenti di tipo statistico affrontabili nell'ambito delle ore di fisica-chimica, nelle scuole in cui sono previste per il primo biennio (vedi la nota 3.5.9).

La scheda non presenta grosse difficoltà nei singoli quesiti, ma ha un'impostazione e usa concetti a cui forse non sono molto abituati alcuni insegnanti della scuola secondaria superiore: si consigliano vivamente gli insegnanti di leggere con cura le schede (e le parti de Gli oggetti matematici collegate) riflettendo sui vari quesiti e sui problemi didattici connessi prima di portarle in classe.
    Per la gestione della scheda valgono indicazioni generali analoghe a quelle suggerite per le schede precedenti: il testo può essere letto in classe o, meglio, può essere utilizzato come traccia per la lezione (e le discussioni in classe), facendo leggere e analizzare direttamente agli alunni solo i quesiti e le figure e lasciando la lettura del testo completo come "ripasso". In più si tenga conto che il paragrafo 3 potrebbe essere svolto anche (parzialmente o totalmente) usando computer e proiettore e/o in aula-computer, anticipando alcune considerazioni sul programma R (o programma analogo) presenti tra gli esercizi. Il paragrafo 4 suggerisce attività di indagine che potranno svilupparsi parallelamente allo svolgimento di successive schede.

3.0.1 Il paragrafo 0 costituisce una traccia per una discussione in classe volta a esplicitare e mettere in discussione le rappresentazioni mentali degli alunni del concetto di normalità, e, quindi, a rendere più efficace lo sviluppo dello studio delle distribuzioni. Il tema della scheda dovrebbe toccare (e fornire strumenti per razionalizzare) problemi particolarmente sentiti dagli alunni, che sono nella fase finale dello sviluppo e attraversano una fase della adolescenza in cui si è particolarmente sensibili ai giudizi degli altri, anche sulle proprie caratteristiche fisiche.

3.1.1 Le considerazioni svolte dopo il quesito 1 potrebbero essere sviluppate attraverso una discussione: quali sono le cause del fenomeno messo in luce dal grafico di figura 1?
    Si può osservare che il fenomeno non è dovuto a una evoluzione della specie. Infatti l'evoluzione è determinata da forme di selezione, e, nel caso dell'uomo, le caratteristiche corporee non sono più un fattore selettivo "naturale". Ciò accadeva nelle comunità primitive, in cui sopravvivevano maggiormente, e quindi avevano più occasioni di procreare figli, gli uomini più forti o più agili o le cui caratteristiche si adattavano meglio all'ambiente in cui la comunità era inserita. L'unica forma selettiva potrebbe dipendere dalla scelta della persona con cui procreare figli. Ma allora nubili e scapoli dovrebbero essere quasi tutti "bassi", e ciò non risulta da alcuna statistica!

3.1.2 Negli istogrammi di figura 2 "160-164" rappresenta le altezze che cadono in [160,165); significati analoghi sono da attribuire alle altre classi, come è specificato dopo il quesito 3. Questa è l'interpretazione che abbiamo dato alla tabella dell'Istat da cui sono stati ricavati.

I dati raccolti alle visite di leva potrebbero, in realtà, essere in origine dei valori arrotondati (cioè basati sulla scelta della tacca dei centimetri più vicina), per cui "160-164" dovrebbe rappresentare l'intervallo [159.5,164.5). Ma se così si otterrebbero valori che sarebbero di 0.5 inferiori a quelli rappresentati in figura 1, anch'essa basata su dati dell'Istat.
    Per evitare questa difficoltà (e segnalare la carenza di indicazioni o gli eventuali errori presenti nelle pubblicazioni dell'Istat) nella scheda abbiamo considerato le misure come se fossero troncate ai centimetri.

3.1.3 Nel quesito 5 per la classificazione [sport solo indiv.: judo e salto; il nuoto (per le staffette) è anche di squadra] viene usata una tabella a doppia entrata in modo che le 4 caselle costituiscano delle modalità alternative (cioè insiemi disgiunti). Il quesito 7 chiarirà l'opportunità di questa scelta (A è l'istogramma di distribuzione della prima colonna, B è l'istogramma di distribuzione dell'intera tabella, C non è un istogramma di distribuzione in quanto le prime tre colonne non sono disgiunte).

3.2.1 Quesito 10: nel primo caso si sono battuti direttamente i dati, nel secondo caso i dati sono stati prima classificati.

3.2.2 Le considerazioni, dopo il quesito 10, sui diversi possibili andamenti delle distribuzioni, sulle differenze dei vari valori medi e sull'importanza particolare della mediana (concetto statisticamente spesso più significativo della media aritmetica in quanto è più "stabile" e, come vedremo, si presta alla generalizzazione al concetto di percentile, che consentirà di valutare quantitativamente la dispersione dei dati senza ricorrere alla "magica" deviazione standard, assai spesso usata a sproposito) si appoggiano molto su considerazioni grafiche. E` bene soffermarsi (con una certa attenzione) con gli alunni a osservare e descrivere forme e caratteristiche delle varie rappresentazioni grafiche presenti nella scheda.

3.2.3 A proposito di figura 5, notiamo che la distribuzione (assoluta) totale è la funzione somma delle distribuzioni sulle singole classi; agli alunni è sufficiente far osservare che l'istogramma a destra ga colonne che sono, ordinatamente, ottenute appilando le colonne dei due precedenti istogrammi. Gli alunni affrontano attività analoghe quando devono esaminare grafici di funzioni somma di altre funzioni (es.: x → 5+2x come somma di x → 5 e x → 2x, …); volendo, si può far notare loro questa analogia.

3.2.4 A proposito della mediana, osserviamo che se i dati sono in quantità pari, ad esempio se le alunne fossero 20 invece di 19, si potrebbe scegliere tra il 10° e l'11° dato. R, invece, assume il valor medio tra il 10° e l'11°; in questo caso la cosa non ha molto senso, in quanto le altezze sono valori approssimati (a meno che poi questo valor medio non venga approssimato in modo opportuno, con considerazioni in qualche modo simili a quelle della nota in fondo al quesito e10). Per ovviare a questo vedi qui.
    [Volendo, con R (vedi), si potrebbero introdurre i dati come intervalli: [149.5,150.5) con freq. 1, [150.5,151.5) con freq. 0, …, [169.5,170.5) con freq. 1. In tal caso la mediana verrebbe determinata con un procedimento interpolante (→ §4) e si otterrebbe 162.25 invece di 162; dopo lo scambio delle alunne si otterrebbe invece 162.75 invece di 163]

3.2.5 Su figura 10 si faccia notare che la mediana non è al centro dell'intervallo 22-40 in cui cadono i dati; infatti qualche alunno potrebbe interpretare "dato centrale" come il centro dell'intervallo [min,max] invece che come il valore del dato che è al centro dell'elenco ordinato (cioè dell'elenco dei dati ordinati per valore).

3.3.1 Il quesito 12 dovrebbe avere come risposta "un'indagine completa sugli studenti della …", ma nella discussione dovrebbe emergere anche la candidatura di "un'indagine campionaria sui ragazzi …"; il quesito 13 e le successive osservazioni metteranno poi a fuoco la questione, che (nella versione "forte" della scheda) sarà ripresa nel §5.

3.4.1 I percentili sono stati trovati procedendo per "interpolazione lineare", cioè supponendo che tra un dato noto della frequenza cumulata e il dato noto successivo la variazione della frequenza cumulata sia proporzionale alla variazione dell'altezza (si ricorda che la parola "lineare" è dovuta la fatto che le funzioni per cui y = x·k sono quelle che hanno come grafico rette - non verticali). Con figura 14 si è osservato che si poteva procedere anche graficamente, ma si è evitato di tracciare l'intero grafico della frequenza cumulata (→ fig. sottostante: a ogni altezza h è associata la percentuale p di chi ha altezza minore o eguale a h; i punti indicati con i pallini neri traducono graficamente le frequenze cumulate della tabella (4.2)) per non soffermarsi ulteriormente sul concetto di frequenza cumulata (cioè, in sostanza, sul concetto di funzione di ripartizione - o di distribuzione - che, nel biennio, non avrebbe avuto ulteriori sviluppi).
    In classi particolarmente "difficili", si può tralasciare il calcolo numerico e accontentarsi del procedimento grafico (cioè si può saltare la parte di scheda tra fig.14 e fig.15).

3.4.2 Quesito 14. Percentili: 3°: 24, 10°: 25, 25°: 26, 50°: 27, 75°: 29, 90°: 31, 97°: 35.

3.4.3 Il quesito 15 dovrebbe dar luogo a una piccola discussione da cui dovrebbe emergere:
–  che la "simmetria" dell'istogramma di figura 11 trova corrispondenza, in (4.2), nella pressocché uguale ampiezza degli intervalli che vanno dal 5° al 25° percentile e dal 75° al 95°, di quelli che vanno dal 25° al 50° e dal 50° al 75°;
–  e che il fatto che l'istogramma è più alto verso il centro trova corrispondenza nel fatto che il 50% centrale dei dati cade in un intervallo che è concentrato in un intervallo ampio meno di 10, molto inferiore all'ampiezza (18) che in caso di distribuziione uniforme dovrebbe avere l'intervallo in cui cade il 90% centrale dei dati (che invece risulta essere maggiore di 23).

3.4.4 Il quesito 16 serve ad aprire la discussione che viene poi sistemata nei commenti che seguono il quesito 17.

3.4.5 Oltre all'esempio (1) come altri esempi della diversità tra "normalità statistica" e "accettabilità" si pensi al peso corporeo (in un paese in cui si mangi mediamente troppo la vicinanza del proprio peso al peso medio non è un indice di un peso regolare dal punto di vista sanitario; lo stesso si può dire nel caso di un paese in cui si soffra la fame; si vedano anche i quesiti 35 e 36) o ai comportamenti (anche se si scopre che in un certo periodo quasi il 50% degli amministratori che hanno governato un paese ha sfruttato la propria carica pubblica per trarre dei vantaggi personali, questo comportamento resta indubbiamente non accettabile per la norma giuridica e per quella morale).

3.4.6 Dopo i commenti all'esempio (2) (difficoltà a misurare con cura l'altezza di una persona) qualche alunno potrebbe dire: che senso hanno i dati sulle altezze che abbiamo considerato se le misure sono poco attendibili? Si può osservare che le altezze relative alle visite di leva di un anno sono centinaia di migliaia, per cui si può ritenere che le variazioni in più o in meno dovute a errori di lettura si compensino l'una con l'altra (e siano comunque trascurabili rispetto al complesso delle misure) e che le diversità dovute alla diversa impostazione del corpo al momento della misura consentano comunque di avere un'informazione attendibile sulla distribuzione delle stature (si ottengono informazioni relative al modo in cui mediamente le persone impostano il corpo).

3.4.7 Osserviamo (e, se il caso, si faccia osservare in classe) che le altezze delle tabelle (4.3) e (4.4) sono arrotondate ai centimetri mentre le età sono da intendere come esatte: ad esempio il 50° percentile dei quattordicenni è 165 cm, quello dei quindicenni è 170 cm, quello dei ragazzi che hanno 14 anni e 6 mesi è compreso tra 165 e 170 cm).

3.5.1 Alcune indicazioni che potrebbero emergere affrontando il quesito 20: per quanto riguarda le altezze, preparare un foglio per ogni classe in cui, anonimamente, ogni alunno indichi il sesso, l'età e l'altezza approssimata ai centimetri (specificando il modo in cui deve essere approssimata; ad esempio per arrotondamento, cioè indicando il valore della tacca dei centimetri più vicina all'altezza); per quanto riguarda la lunghezza dei capelli, indicare sesso, età, lunghezza (arrotondata ai centimetri) del capello più lungo, data (è consigliabile che l'indagine sui capelli venga fatta nella stessa settimana in tutta la scuola: molte persone in periodi diversi dell'anno tengono i capelli con lunghezze differenti; la data potrà essere utile per confrontare i risultati ottenuti in scuole che abbiano svolto l'indagine in periodi diversi).

3.e.1 I quesiti e1 ed e6 mettono a fuoco/fanno riflettere su alcuni procedimenti di calcolo d'uso comune. I quesiti e2 ed e7 contengono riflessioni di tipo algebrico (che in classi particolarmente disastrate possono essere saltate). Nel caso del quesito e2 è bene far osservare che nel primo passaggio si è usato il fatto che "·2" e "/2" sono funzioni una inversa dell'altra per cui la loro successiva applicazione non modifica il dato iniziale e che nel secondo passaggio si è raccolto a fattor comune il fattore moltiplicatore 1/2 (o il fattore divisore 2): vedi quesito e24 della scheda 1. Nel caso del quesito e7 non si chiede che gli studenti dimostrino l'equivalenza dei due termini, ma che comprendano come completare il secondo termine in modo che rappresenti formalmente il procedimento impiegato (successivamente, chi volesse, potrebbe far dimostrare l'equivalenza).
    Si tenga presente che la scheda 4 e quella sull'algebra elementare sistemerà e svilupperà in maniera abbastanza estesa le nozioni di base del calcolo letterale.

3.e.2 Quesiti e3 - e5: D (età morti in un paese sviluppato) ha media inferiore alla mediana a causa della coda sinistra, A (altezza delle donne di una città) può avere media e mediana che cadono nella classe modale, B (altezza degli adulti di una città) può avere media e mediana che cadono in una stessa classe non modale; nel caso C (età morti in paese sottosviluppato) sicuramente media e mediana non cadono nella classe modale ma non è facile stabilire se la media è inferiore alla mediana o no. Il quesito e5: non è da sviluppare con "dimostrazioni", ma solo con argomentazioni convincenti. Serve come verifica/consolidamento della comprensione del significato essenziale di alcuni dei concetti introdotti nella scheda.
    Per spiegare meglio la risposta alla prima domanda del quesito e5 (D è l'istogramma in cui la media è sicuramente inferiore alla mediana) a integrazione di quanto già osservato nella scheda (commenti alle figure 6 e 7) si può affrontare il quesito e4, che fa notare che se si prende un istogramma simmetrico, in cui media e mediana coincidano, e si sposta verso sinistra qualche "pezzo" della colonna più a sinistra, si ha che:

–  la mediana non cambia: il dato al centro dell'elenco ordinato non cambia;
–  la media diminuisce: aver spostato il pezzo di colonna equivale ad aver sostituito i dati rappresentati da esso con dati di valore inferiore (nel caso raffigurato, aver sostituito un 3 con un 2).

3.e.3 Il quesito e8 sintetizza i due metodi standard per calcolare valori di grandezze legate da relazioni lineari, già stati incontrati più volte nelle schede: mediante il calcolo di rapporti tra variazioni della stessa grandezza o mediante il calcolo di rapporti tra variazioni di una grandezza e variazioni dell'altra. Risposte: (1): 32+30/100·180=32+3·18=86. (2): f=32+c/100·180. (3): c/100·180= c·1.8.

3.e.4 Il quesito e9 e vari tra i quesiti successivi (per il quesito e11 vedi anche la nota 3.e.9) prevedono l'uso del programma R (vedi). L'help del programma e alcuni dei quesiti illustrano come impiegarlo.
    Volendo si possono far osservare (e far scrivere) i file anche con un qualsiasi editor.

3.e.5 Quesito e12. Come informazione a livello adulto osserviamo che gli intervalli di tempo tra arrivi successivi a uno sportello e fenomeni simili in genere hanno una distribuzione "esponenziale", cioè in cui le basi superiori dell'istogramma tendono a disporsi lungo il grafico della funzione f così definita: f(x)=we^–wx, dove w=1/m e m è il tempo medio (in secondi) di arrivo dei clienti (qui m=29), a patto che l'istogramma sia tracciato in forma normalizzata.
    Agli alunni, dopo o nel corso della discussione del quesito, si possono proporre alcune questioni probabilistiche del tipo «poiché il tempo medio tra due arrivi è 29 sec, possiamo dire che è ugualmente probabile che il prossimo utente arrivi dopo più di 29 sec o che arrivi dopo meno di 29 sec?», e far osservare che la risposta è negativa: è più probabile che arrivi tra meno di 29 secondi; potremmo rispondere affermativamente se mettessimo 21 sec (la mediana) al posto di 29 sec (la media).
Ecco come ottenere tutto ciò con R: vedi.

3.e.6 Quesito e13. In questo caso vengono tracciati istogrammi con basi proporzionali alle ampiezze degli intervallini; in tal caso le altezze dei rettangoli sono prese proporzionali alle frequenze unitarie (freq./ampiezza intervallo="densità di frequenza"), in modo che esse siano inversamente proporzionali alle ampiezze degli intervalli e le aree dei rettangoli rimangano proporzionali alle frequenze (e il complesso dell'istogramma abbia area=100%=1).

3.e.7 Quesito e14. Con R (vedi) la cosa è molto più semplice.     Si ottiene una rappresentazione simile quella a fianco (in cui abbiamo segnato con "#" i nuovi file) che consente di confrontare visivamente le diverse caratteristiche dei file (la differenza tra mor2 e mor2# evidenzia l'incidenza che nel '50 aveva ancora la mortalità nei primi anni di vita; il confronto tra i file "#" permette di analizzare le diverse possibilità di sopravvivenza che permangono anche se si trascura la mortalità nei primi anni di vita; …).

Ad essere precisi si ottiene la rappresentazione seguente (qui fatta per mor1, mor2, mor3 e mor4):

||==|=========================|--------------|------- mor1
-|---------------------|==========|=======|-------|-- mor2
---------------------|------------|=====|=====|----|- mor3
---------------------|-------------|=====|====|----|- mor4

Si possono ottenere anche rappresentazioni come le seguenti:

3.e.8 Quesito e16. 1^a domanda: il peso ideale va da 53 a 64 kg; per avere il peso ideale con minore indeterminazione occorrerebbe conoscere il peso dello scheletro della alunna, direttamente (ma … ) o indirettamente, mediante opportuni procedimenti, basati ad esempio su rilevamenti radiografici (per valutare lo spessore delle ossa) e sul peso specifico della persona (rapporto tra peso della persona e volume del suo corpo, rilevabile con l'immersione in una vasca graduata). 2^a domanda: il peso ideale potrebbe al massimo essere di 80 kg, ma solo per una persona con ossatura pesante, e questo non è il caso del nostro amico (che un tempo pesava 64 kg); poi il peso ideale e il peso medio sono due concetti distinti; ad esempio il numero medio ideale di sigarette fumate al giorno è sicuramente 0 mentre il numero medio di sigarette fumate al giorno non è 0.

3.e.9 Quesito e18. Altre attività di tipo statistico possono essere svolte anche nell'ambito del laboratorio fisico chimico. Bisogna però tener presente che esse possono aver senso solo nell'ambito di apparati misuratori ad alta sensibilità: gli usuali strumenti di misura per le lunghezze (metro, calibro, palmer, …), per il peso (bilance a molla e simili), per la temperatura (termometro), per il tempo (orologio, cronometro, …) … sono a bassa sensibilità, cioè l'indeterminazione coincide con la sensibilità dello strumento (cioè con la massima differenza apprezzabile utilizzando la graduazione o le cifre visualizzate), per cui non ha alcun senso fare delle statistiche su misure che, se la misurazione è fatta con cura, devono ripetersi uguali (o al massimo con un'incertezza sull'ultima cifra nel caso di misure che siano a metà tra due tacche - se si arrotonda - o a cavallo di una tacca - se si tronca).
    Può essere ritenuto ad alta sensibilità l'apparato misuratore per un intervallo di tempo in cui si vogliano valutare i centesimi di secondo ma in cui l'avvio e l'arresto del cronometro è comandato a mano (vedi quesito e11): in tal caso la componente dell'apparato che governa l'avvio e l'arresto introduce degli errori casuali che hanno ordine di grandezza maggiore della sensibilità del cronometro, per cui può aver senso che la misura sia effettuata contemporaneamente da più persone e poi fare un'analisi statistica dei vari rilevamenti. Si può poi scegliere una coppia di percentili da assumere come estremi dell'intervallo di indeterminazione e calcolarli con R; ad esempio si può "convenire" di prendere il 25° e il 75° percentile, cioè prendere come intervallo x±Dx con x punto medio dell'intervallo [25° percentile, 75° percentile] e Dx semiampiezza dello stesso; questa scelta corrisponde, grosso modo, all'idea di prendere l'intervallo centrale dei dati tale che, se si effettua una nuova misura, c'è il 50% di probabilità che essa vi cada dentro.
    In alternativa si potrebbe usare la deviazione standard della media (scartoquadr.medio/√(n-1)), che consentirebbe di individuare un intervallo in cui, con una data probablità, cade non un'altra misura ma il valore "vero"; ma ciò richiederebbe sapere che l'apparato misuratore dà luogo a misure con andamento gaussiano e richiederebbe, per la comprensione, considerazioni di calcolo delle probabilità non affrontabili nel biennio.
    Si potrebbe anche prendere come x la media aritmetica delle misure e come Dx la media dei valori assoluti degli scarti da x delle singole misure, ma non si riuscirebbe a dare alcuna motivazione probabilistica a tale scelta e si otterrebbe un intervallo di indeterminazione troppo sensibile alle misure "strane". Nel triennio si potrà fare qualche cenno (critico) all'uso dello scarto quadratico medio.

Scheda 4 (Gli abbandoni scolastici)

    Questa scheda affronta, dal punto di vista matematico, la elaborazione di dati mediante formule (per rappresentare relazioni tra dati) e loro trasformazioni (per ottenere informazioni su nuovi dati, per esprimere un certo dato in funzione di altri, …). Questi argomenti verranno ripresi e sistemati nella successiva u.d. Algebra elementare.
    Si è cercato di puntare molto sull'analisi della struttura dei termini, pensando che difficoltà relative a questo aspetto siano all'origine di molti dei più comuni errori degli alunni.

Si è cercato, poi, di stimolare gli alunni a individuare, esplicitare e controllare i procedimenti di trasformazione man mano indicati nei vari passaggi.

L'obiettivo non è quello di dimostrare agli alunni tutti i procedimenti di trasformazione algebrica; del resto, per esempio, abbiamo scelto di non mettere la proprietà associativa ma direttamente la "proprietà del riordino" - vedi (1.5) [e poi l'u.d. Algebra elementare] -, che non sarebbe stato affatto banale dimostrare a partire dall'associatività e dalla commutatività (proprietà che per altro richiederebbero a loro volta una giustificazione, riferita agli algoritmi per le operazioni o di tipo assiomatico).

L'obiettivo è piuttosto quello di far fare il calcolo algebrico avendo chiari i sottotermini su cui si opera e riconducendo le trasformazioni man mano effettuate a regole di riscrittura su "metavariabili" (le lettere in grassetto che abbiamo usato nelle regole di riscrittura) che si presentano come formule su cui è più facile il controllo semantico.
    Altre "regole di riscrittura" (oltre che nell'u.d. Algebra elementare) verranno presentate successivamente, e in particolare nella scheda 2 dei I Numeri. Esse sono poi sintetizzate neGli oggetti matematici.
    Si è evitato di introdurre definizioni generali di monomio e polinomio (quelle presenti nei libri di testo in genere contengono errori e confusioni concettuali tra aspetti semantici e aspetti sintattici), rinviando l'introduzione della nozione di "polinomio in x" a una presentazione riferita al concetto di funzione e successiva a un adeguato consolidamento del concetto di equazione.
    Questa scheda (e quella sull'Algebra elementare) presenta numerosi intrecci con l'u.d. La automazione: definizione formale dei termini numerici, significati di "=", … (nei linguaggi matematici e nei linguaggi di programmazione), distinzione tra semantica e sintassi (affrontata più esplicitamente in La automazione), equivalenza algebrica e equivalenze dal punto di vista del calcolo, …, introduzione all'uso dei fogli di calcolo elettronici e dei programmi per il calcolo simbolico.

4.1.1 Quesiti 4 e 5:

p =  B1+B2  · 100 ——— A1+A2

A1 [+] A2 [=] [M+] B1 [+] B2 [=] [:] [RM] [*] 100 [=]

4.1.2 Illustrando gli schemi del tipo (1) (dopo ques. 5) si faccia notare l'analogia con le schematizzazioni della composizione di funzioni utilizzate nella scheda 2 di La automazione e nella scheda 2 di Le statistiche. I riferimenti a come i linguaggi di programmazione interpretano i termini numerici sono maggiormente sviluppati nella scheda 3 di La automazione.

4.1.3 Quesito 6:

R1=3*5 R2=5+R1 R0=R2-3

R1=7+2 R0=-R1

4.1.4 A proposito delle priorità (1.3) notiamo che a volte (in particolare in alcuni linguaggi di programmazione) alla negazione viene data priorità rispetto a moltiplicazione/divisione. Ciò non cambia il "risultato" in quanto (in IR) –(x·y) e (–x)·y sono equivalenti. Sorgono differenze solo usando la notazione a "1 piano" per l'elevamento a potenza: 3^–x·y è interpretato 3^(–x·y) o (3^–x)·y a seconda dei casi. La questione viene ripresa negli OggettiMatematici.

4.1.5 Quesito 7: a+(b/c); (a–b)+c; 3·(10²); ((a+b)/2)+a

4.1.8 Quesito 8: (17+3)+(16+4) o più in breve: 17+3+(16+4)

4.1.9 il quesito 9 ha lo scopo, prima della generalizzazione della figura 1 nella proprietà (1.5), di facilitare la comprensione del testo di quest'ultima.

4.1.10 Quesito 10: commutativa.

4.2.1 Prima di affrontare in astratto i procedimenti per trasformare le equazioni, nel paragrafo 2 viene illustrata nelle sue varie fasi la costruzione (e l'elaborazione) del modello matematico (costituito da equazioni lineari) di una particolare situazione problematica.

4.2.2 Quesito 14, con qualche "accorpamento":

4.2.3 Quesito 16: A2 + D3 – C3 – D2, A3 + D4 – C4 – D3.
Quesito 17: (A1+D2–C2–D1)/A1; 29.8%, 8.7%

4.e.1 Il paragrafo Esercizi presenta alcuni quesiti, con diverse finalità, che possono fungere da prototipo per inventare altri esercizi. Altri sono presenti nella successiva scheda Algebra elementare (molti esercizi sono comunque presenti nell'Eserciziario).

4.e.2 Quesito e1 (a): l'equazione che traduce il procedimento è la (2); gli alunni dovrebbero verificare autonomamente la cosa effettuando i calcoli richiesti nella seconda domanda; l'ordine con cui effettuano i calcoli dovrebbe anche far loro capire meglio la diversità delle tre formule.

4.e.3 Quesito e2 (a). Si è saltato un passaggio: a·h·(1/2) + … = a·(h·(1/2) )+ …, cioè l'evidenziazione di h·(1/2) come sottotermine, basata sul riordino delle moltiplicazioni. L'applicazione delle due proprietà di riordino man mano verrà sempre più spesso sottointesa.  Parte (b): uso la proprietà distributiva, poi riordino le moltiplicazioni [ad es. mettendo tutte le variabili in ordine alfabetico], quindi riordino l'addizione [in modo da ottenere (am-am)+(an-an)+bm], poi al posto delle addizioni del tipo k-k metto il risultato 0, quindi uso due volte la proprietà che la addizione tra 0 e un altro numero è uguale a quest'ultimo.

4.e.4 Nella tabella del quesito e4 abbiamo preso un quadriennio invece di un singolo anno in modo che la percentuale dei licenziati sugli iscritti alla 1^a due anni prima, sia più vicina alla percentuale di quelli che concludono gli studi: infatti se si operasse su un solo anno, ad esempio sugli iscritti alla 1^a nel 1983/84 e sui diplomati nel 1985/86, la percentuale potrebbe essere falsata dalla presenza dei licenziati con ritardo: tra gli iscritti in 1^a nel 1983/84 molti potrebbero aver conseguito la licenza dopo il 1985/86 e, viceversa, tra i licenziati nel 1985/86 molti potrebbero essersi iscritti in 1a prima del 1983/84. Operando su più anni questo errore viene ridotto in quanto gran parte dei licenziati con ritardo vengono comunque conteggiati.  Risposta:  C/(A–B)

4.e.5 Quesito e5: Il tasso di abbandono della scuola media (percentuale delle persone entrate nella scuola media che ne escono senza aver completato gli studi), tenendo conto di quanto osservato nella nota precedente, è la differenza da 100 del corrispondente tasso di licenza: 100%–96%, 100%–86%. Nella discussione dei fattori del divario, alle questioni emerse nella prima scheda (diversità delle condizioni di reddito e di vita, …) potrebbero/dovrebbero emergere anche altre considerazioni (che potranno essere analizzate meglio quando si disporrà dei dati sulle generazioni precedenti raccolti con il questionario allegato alla scheda 3), e in particolare la diversità delle attività economiche (minore industrializzazione, agricoltura e allevamento meno automatizzate, …, con maggiore diffusione di mestieri che non richiedono particolari titoli di studio).