Algebra elementare
Calcolo simbolico, termini ed equazioni equivalenti

Considerazioni generali
scheda
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Finalità e gestione

Questa unità didattica composta da un'unica scheda è la naturale prosecuzione di quanto affrontato nella Scheda 4 di Le statistiche. Rinviamo alle indicazioni presenti nella guida relativa a tale u.d., in particolare a quella relative alla Scheda 4.

Scheda [versione B]

1.1 Quesito 1: 3+2=5, 5·4=20 o:   3   +2   5   ·4   20  o:  
    3
  + 2
 ————
  = 5
  * 4
 ————  
 = 20
o ...

1.2 Quesito 3: M := V; V := M

1.3 Quesito 4: esercizio che vuole consolidare il significato di equazione come eguaglianza tra termini (al di là di considerazioni sull'esistenza di soluzioni, …), l'importanza di analizzare il dominio dell'equazione, …. Vere per ogni assegnazione di valori alle variabili: 2x–x=x; false per ogni assegnazione di valori alle variabili: u2+v2=–8 (il termine a sinistra assume solo valori non negativi, quello a destra è negativo) , √x + x = –100 (l'equazione è definita solo per x non negativo e il primo termine assume solo valori non negativi …); altre: a+b=a·b, x2=4, x+y=0 (occorre fare esempi per la "verità" e per la "falsità").
Nella versione B della scheda le osservazioni fatte prima del quesito 5 sono leggermente più brevi e più semplici.

2.1 Quesito 6: 2·50·(6·(3·3)) o altre.

2.2 L'obiettivo del quesito 7 è mettere in luce che (1.5) di Le statistiche 4 vale anche se qualche ti non è un atomo.

2.3 Quesito 9: abc —> acb.
Nella versione B della scheda le osservazioni fatte prima del quesito 9 sono leggermente più brevi e più semplici.

2.4 Quesito 13 e commenti ed esercizi successivi: l'obiettivo di questa riflessione sugli errori è quello di stimolare negli alunni una riflessione più profonda sulla struttura dei termini e qualche forma di autoriflessione sui propri errori e le proprie difficoltà. Gli insegnanti possono arricchire (ora o nel seguito) queste considerazioni analizzando collettivamente con gli alunni altri errori, possibilmente traendo spunto da errori fatti dagli alunni stessi.

3.1 Non è il caso di approfondire, per ora, i limiti del procedimento di "applicare a entrambi i membri una stessa funzione". Lo affronteremo gradualmente, consolidando il concetto di "dominio" di una funzione e l'importanza di considerare gli intervalli in cui possono variare le grandezze che (modellizzando con equazioni una situazione problematica) vengono rappresentate con le variabili, e introducendo (in qualche forma) il concetto di iniettività (che, pure, è già stato accennato nella scheda sulle calcolatrici tascabili: relazioni tra il tasto di radice quadrata e il tasto di elevamento al quadrato).

4.1 Quesiti 18 e 19: vedi scheda 2 di La automazione, §4 (e la nota 2.4.3 della relativa guida).

e.1 Il paragrafo finale presenta numerosi esercizi, con diverse finalità e che possono fungere da prototipo per inventare altri esercizi (molti sono già presenti nell'Eserciziario):
–  i quesiti e2, e3, e10, e13 mirano a mettere a fuoco alcuni usi/utilità del calcolo letterale;
– i quesiti e1, e6, e7 hanno l'obiettivo di consolidare la comprensione dell'uso delle variabili, della struttura dei termini, …;
–  i quesiti e4, e5 ed e8 introducono/riprendono altri procedimenti di trasformazione;
–  i quesiti e11 ed e12 sono rivolti al confronto tra metodi numerici e metodi grafici;
–  gli ultimi quesiti sono dedicati all'uso dei grafi.

e.2 Quesito e1: u+w=0 e uw=1 hanno un'unica soluzione rispetto sia a u che a w (per la seconda occorre che w≠0 o che u≠0); u2=w (22=4, (-2)2=4) e w=|u| (2=|2|, 2=|–2|) non hanno un'unica soluzione rispetto a u (a meno che w=0); u2=w2 (22=(–2)2, 22=22, (–2)2=(–2)2, (–2)2=22) non hanno un'unica soluzione né rispetto a w (a meno che u=0) né rispetto a u (a meno che w=0); u=0w non ha un'unica soluzione rispetto a w (non ne ha se u­0, ne ha infinite se u=0).

e.3 Il quesito e10 introduce un nuovo metodo, più meccanico, per fare calcoli di proporzionalità. Finora gli alunni hanno fatto: per portare 17 a 40 uso l'ingrandimento 40/17. 8.3 deve essere ingrandito con la stessa scala, quindi x = 8.3·(40/17) = 8.3·40/17 = 19.52…= [arrotondando] 19.5. Questo deve rimanere il modo con cui arrivare alla soluzione. Il fine dell'esercizio è solo quello di rivedere a una diversa luce, cioè come equazioni, le cosiddette proporzioni (nel caso in cui nella scuola media siano state affrontate con "prodotto dei medi = …"): x/40=8.3/17 [applicando "·40" ai due membri] x = 8.3/17·40=…

e.4 Quesito e17: per A si hanno y=83 e x=48 (vedi disegno); per B non vi sono soluzioni (30+20 < 60; sul grafo si capisce facilmente; non sarebbe banale capire che la traduzione del problema sotto forma di equazioni sarebbe il sistema y+x=60, 30+20=y+x); per C vi sono un'unica y e più x (vedi disegno; sotto forma di equazioni avremmo: 35+x+u=y, 7=x+u).

     

e.5 Quesito e18: 50 milioni:

e.6 Quesito e19: nodi iniziali: A,B,C; nodo finale: E; vedi Gli oggetti matematici.