La automazione
Dalle macchine semplici alle macchine programmabili
Considerazioni generali
scheda 1
scheda 2
scheda 3
scheda 4
scheda 5
→ Indice guide
Finalità
L'unità
didattica ha la finalità di introdurre la riflessione sugli
algoritmi e sull'uso del calcolatore inquadrandola culturalmente
nell'ambito del tema più generale dell'automazione. Con questa
scelta si vuole motivare in modo serio e significativo per gli alunni
lo studio degli aspetti computazionali e mettere in luce il ruolo
decisivo che la matematica ha avuto e assume nei cambiamenti
tecnologici e sociali collegati allo sviluppo e alla diffusione delle
tecniche informatiche.
L'analisi del
funzionamento delle macchine offre, per altro, l'occasione per
schematizzare e descrivere formalmente procedimenti automatici,
avviando in modo generale alla programmazione e fornendo esempi
significativi su cui si potranno poi svolgere attività con uno
o più specifici linguaggi di programmazione.
L'uso delle
calcolatrici e dei calcolatori verrà ripreso sistematicamente
in tutte le successive uu. dd.; in varie forme, era già
presente nella prima u.d. e è presente nell'u.d. Le
statistiche, che viene svolta in parallelo. La riflessione sui
numeri-macchina verrà approfondita nell'ambito dell'u.d. I
numeri. L'uso della grafica del calcolatore (finora usata a
"scatola nera") e il problema della rappresentazione
digitale di immagini e di suoni verrà affrontato
successivamente; nel contesto della descrizione dell'impiego di
procedure grafiche verrà anche introdotto l'uso dei
sottoprogrammi (il concetto di sottoprogramma viene comunque
sviluppato già a partire dalla prima scheda di La
automazione).
Per quanto
riguarda gli aspetti "pratici" relativi all'uso dei
calcolatori, si rimanda alle considerazioni svolte poco sotto
e nella parte iniziale della guida di Le statistiche
. In caso di difficoltà ad usare l'aula computer
(poche macchine, impossibilità di lasciar usare l'aula agli
studenti da soli o con l'assistenza di personale non docente), si
possono trovare soluzioni che tengano anche conto delle disponibilità
personali di mezzi di calcolo da parte degli alunni, ad esempio
dedicando più tempo ai pochi non fossero dotati di un proprio
PC, cercando di formare gruppi di lavoro che, con consegne precise,
impieghino i PC degli alunni che ne sono dotati,
Il software a cui si farà riferimento
è tutto ad accesso gratuito.
Gestione - Contenuti - Tempi
Vedi la guida all'u.d. Le statistiche. Ricordiamo solamente che le parti più "discorsive", ma per vari aspetti più importanti, è bene che siano presentate dall'insegnante (commentandone la lettura e lasciando agli studenti il compito della lettura per esteso della scheda); gli studenti devono leggere direttamente illustrazioni, diagrammi e quesiti.
Scheda 1 [versione B] (Che cosa trasformano le macchine?)
Questa scheda può essere avviata dopo una prima esperienza di attività in aula computer, in cui si sia usato il gioco d'avventura o il programma per elaborazioni statistiche a cui si riferisce il §1, o dopo che questo software è stati usato con proiettore nella usuale aula. Le eventuali informazioni di base sull'uso delle macchine possono essere fornite contestualmente all'uso di questi due programmi, che sono stati predisposti in modo da non richiedere particolari conoscenze preliminari.
1.1.1 Tra i due programmi a cui si riferisce il paragrafo 1, la scelta di quello da impiegare per primo in aula computer dipende anche dallo stato dello svolgimento della scheda 1 dell'u.d. Le statistiche: stat può essere impiegato durante lo svolgimento di tale u.d.
1.1.2 Il
"gioco" de Il castello stregato può
essere affrontato a gruppi (possibilmente due studenti per computer,
con l'indicazione che, nei vari tentativi, si alternino alla
tastiera). Prima di far affrontare il quesito 1 è bene
lasciare che gli alunni annotino nel modo preferito le scelte e gli
esiti dei vari tentativi.
A proposito
del quesito 1 osserviamo che il diagramma completato è
riportato nel quesito 17, con le risposte "sì" e
"no" in uscita dal test "Hai T (la tuta)?" (dopo
il messaggio 12) invertite. Gli alunni, attraverso un organico
procedimento per tentativi, devono gradualmente completare il
diagramma. Possono poi, seguendo (a ritroso, ma non solo) il
diagramma, individuare le condizioni necessarie per uscire dal
castello:
l'OK dopo 18-"Hai M?" è raggiungibile se si ha M e
si ha T, [non si ha P] si ha B e
si è scelta A come uscita iniziale
o si è scelta la porta B dopo il messaggio 7 e si è scelta l'uscita iniziale B
o si ha C e
si è scelta la porta A dopo il messaggio 7, [non si ha F], e si ha B in modo da avere potuto prendere B come porta iniziale B
o [non si ha T, non si ha P] si ha B e si proviene dalla porta iniziale B [l'unica prendibile con questi 3 oggetti] avendo scelto la porta B dopo il messaggio 7
l'OK dopo 14-"Hai C?" è raggiungibile se si ha C, si
ha P [e non si è perde C dopo il messaggio 11], si ha B e si
proviene dalla porta iniziale B [l'unica prendibile con questi 3
oggetti] avendo scelto la porta B dopo il messaggio 7.
In breve si può
arrivare al successo (se non si è troppo lenti) con:
- oggetti: MBT, scelte: 1-A
- oggetti: MBT, scelte: 1-B, 7-B
- oggetti: MCB, scelte: 1-B, 7-A o 7-B
- oggetti: CPB, scelte: 1-B, 7-B (in corsivo sono indicati i due percorsi più veloci)
1.1.3 Rispetto a versioni precedenti delle schede, la parte "Statistiche" è stata notevolmente semplificata ricorrendo ad una libreria in cui sono stati inseriti dei comandi che facilitano molto l'uso di R. L'insegnante può, alla fine della lezione o in un giorno successivo, spendere due parole su come gli alunni possono installare R sul proprio computer (è una cosa facilissima). Gli alunni potranno poi accedere via via alla guida presente in rete (conviene, anche per motivi didattici, usare la versione in Inglese). Per il quesito 2 l'insegnante può prendere a piacere esempi di calcolo tratti dalla scheda 1 de Le statistiche. L'uso del sottoprogramma "media" si presta a confronti con il funzionamento delle CT (vedi quesiti e22 ed e23 della scheda 1 de Le statistiche). In alternativa è presente un link a uno "script" molto semplice che calcola e rappresenta graficamente le distribuzioni percentuali.
1.2.1 Sul funzionamento del cavatappi (figura 1) la spiegazione è bene che si fermi a un livello intuitivo; eventualmente si possono fare altri esempi (ad es.: se muovo una porta spingendola con un dito vicino ai cardini faccio più sforzo che spingendola dalla parte della maniglia: in questo secondo modo infatti distribuisco la fatica su uno spostamento maggiore; se affronto una salita per un percorso meno ripido ripartisco la fatica per superare il dislivello in un numero di passi maggiore, facendo man mano meno sforzo). L'idea verrà ripresa e "quantificata" nell'u.d. Per strada in relazione al ruolo del cambio dei rapporti di trasmissione. Per l'insegnante, osserviamo che se, ad esempio, la forza F2 per vincere la resistenza del tappo è di 30 kg e se allo spostamento rettilineo s2 di 1 cm corrisponde uno spostamento s1 dell'impugnatura dei bracci di 10 cm, il lavoro di 30 kg·cm (30 kg per cm) viene distribuito su 10 cm, per cui la forza F1 da esercitare è di soli 30/10=3 kg.
1.2.2 Quesito 3. Cric e serratura sono del primo tipo, telecomando e calcolatrice del secondo, stufa e distributrice di nessuno dei due (una trasforma energia elettrica in calore, l'altra soldi, informazioni e materie prime in bevande, anche se al suo interno ha degli automatismi che trasformano movimenti e informazioni).
1.3.1 A proposito del cambio della bicicletta, osserviamo che cambiare il rapporto di trasmissione è come se si cambiassero le ruote dentate del cavatappi di figura 1: mettendo ruote più piccole il lavoro per alzare il tappo di un certo tratto s2 viene distribuito su uno spostamento s1 maggiore, e quindi diventa minore la forza da esercitare sui bracci del cavatappi.
1.3.2 Quesito 4. Sportello: informazioni in informazioni. Automobilina: informazioni in movimenti. Contachilometri: movimento in informazioni.
1.3.3 Quesito 5. Sono evidentemente presenti sia nel contachilometri (che automatizza un'attività di conteggio: senza intervento dell'uomo, ma solo in base al numero di giri compiuto dalle ruote, fa avanzare il numero visualizzato) che nello sportello di informazioni automatico (che automatizza un'attività di consultazione: in base alle richieste dell'utente ricerca e visualizza le informazioni opportune). Nel caso dell'automobilina telecomandata siamo di fronte a un mezzo semovente che modifica i suoi movimenti seguendo le informazioni che gli provengono dal telecomando; però si tratta di un comportamento direttamente guidato dall'utente: non possiamo parlare di un'automazione delle scelte (nel caso dello sportello automatico l'utente condiziona, ma non guida il comportamento: dà degli input in base ai quali lo sportello modifica il suo comportamento).
1.4.1 A proposito della carica del carillon si possono ricordare altri oggetti che funzionano a corda: sveglie non elettriche, giocattoli, . Come macchine programmate simili al carillon si possono ricordare le pianole a manovella in grado di suonare più brani musicali, che gli alunni hanno sicuramente visto in qualche film (sono dotate di più cilindri o di un dispositivo che permette di far scorrere il cilindro in posizioni diverse: a seconda della posizione fissata cambiano i pioli che entrano in contatto con le lamelle), o le loro versioni elettroniche (le pianole elettroniche che sono programmate per riprodurre alcuni ritmi o alcuni pezzi).
1.4.2 La logica di funzionamento del termostato verrà ripresa nel quesito e2.
1.4.3 Il quesito 6 (occorre mettere delle bandierine in corrispondenza di tutte e 6 le ore indicate e posizionare l'interruttore su OFF poiché alle 15 la caldaia deve essere spenta) e il quesito 7 (di giorno in giorno la stessa fascia oraria sarebbe una volta di accensione, una volta di spegnimento) non sono altro che esercizi di programmazione.
1.4.4 Quesito 8. La macchina-statistica è il computer+Stat(+altro software di base), cioè il computer già predisposto per le elaborazioni statistiche. Sono del primo tipo le scelte e i dati introdotti dall'utente; sono del secondo tipo le informazioni che indicano al calcolatore come svolgere i calcoli (non sono altro che descrizioni opportune dei procedimenti che gli alunni hanno usato nell'u.d. Le statistiche, oltre a descrizioni dei procedimenti con cui fare le quattro operazioni, descrizioni, queste, che sono incorporate anche nelle CT). Analogamente si può osservare che la macchina-da-gioco è il computer già predisposto per il gioco. Le informazioni del primo tipo sono le scelte, i dati, battuti dal giocatore durante la sua avventura. Quelle del secondo tipo sono tutte le informazioni incorporate nel computer e nei dischi in esso introdotti.
1.4.5 Quesito 9. In tutti entrano dati (messaggi sonori o elettrici, numeri e altri segni battuti da tastiera, domande, informazioni sul livello dell'acqua ), tutti hanno programmi fissi (per trasformare messaggi, per trasformare informazioni battute in segnali via onde, per calcolare operazioni, per dare risposte, per cambiare comportamento in base alle informazioni ricevute dall'esterno), alcuni sono programmabili (telecomando, attraverso la scelta dei canali da associare ai tasti; sportello automatico, modificando le risposte che deve dare; lavatrice, predisponendo il programma di lavaggio).
1.4.6 Quesito 10. Le monete da cambiare sono 2, 5 e 10. Possiamo fare i cambi che corrispondono alle equazioni 2=1+1, 5=2+2+1, 10=5+5 (conviene cambiare nei pezzi più grossi possibili: se avessi fatto, ad esempio, 10=5+2+2+1 avrei escluso la possibilità di avere 2 monete da 5, mentre in questo modo le monete da 2 le posso ottenere con un successivo cambio di una moneta da 5).
1.4.7 La nota sulla difficoltà di distinguere dati e programmi è abbastanza importante e sarà ricorrente. Per un aspetto più generale si pensi al fatto che i programmi che fa l'utente sono dati per il programma traduttore che li trasforma in programmi eseguibili dalla CPU; a sua volta questi programmi tradotti in linguaggio-macchina possono essere intesi come dati per la CPU. Per aspetti più particolari si pensi alla possibilità di inserire "dati" all'interno di un programma invece che sotto forma di input.
1.5.1 Quesito 11. Può contare 99 giri; al 100° giro ritorna a 00.
1.5.2 Quesito
12. Si possono impiegare: un contatore, che inizialmente
l'utente posiziona sul 1° addendo e su cui alla fine dovrà
comparire il risultato; un secondo contatore (inizialmente
posizionato su 0), collegato al primo, che ne conti gli scatti; e una
valvola di controllo, su cui viene impostato il 2° addendo, che
arresti il secondo contatore (e quindi anche il primo) quando esso
raggiunge il numero impostato.
In
alternativa il 2° addendo potrebbe essere impostato sul secondo
contatore, che potrebbe essere collegato al primo in modo da ruotare
in verso opposto, cioè in modo da funzionare come count-down.
La valvola di controllo avrebbe il compito di arrestare il secondo
contatore quando questo arriva a 0.
1.7.1 I temi "segnali digitali" e "segnali analogici" verranno approfonditi in una successiva u.d..
1.9.1 Quesito 13. La freccia-2 in uscita dal primo riquadro (vedi colonna 2 della tabella che descrive i programmi della lavastoviglie) salta il prelavaggio, cioè i riquadri che vanno dal 1° "FAI ENTRARE " al 2°; e in quest'ultimo che la freccia deve arrivare. Il programma 1 e il programma 2 dopo il prelavaggio devono procedere avanti fino in fondo, senza saltare il risciacquo caldo. Quindi nel riquadro "la manopola è sul numero ?" che precede il risciacquo caldo va messo 3 e la freccia in uscita da "sì" deve andare fino al riquadro finale "POSIZIONA su 0". Il tasto A è quello che fa saltare l'asciugatura, quindi la freccia che va in "SCALDA l'aria" è "no".
1.9.2 Quesito 14. Il ddf è del tutto analogo a quello soprastante. Basta mettere apri/chiudi il rubinetto al posto di attiva/disattiva il riscaldamento e "l'acqua ha raggiunto il livello massimo?" al posto di "la temperatura ?".
1.9.3 Quesito 15. La discussione (collettiva) del quesito dovrebbe condurre a precisare il passo 2: dico N che stia a metà tra N1 e N2 (a seconda dei casi di N ce n'è 1 o ce ne sono 2). Si può poi chiedere agli alunni: se vi trovate di fronte a un avversario che sceglie questa strategia, quale numero vi conviene pensare? (ad esempio 0, 100, 49, , che comportano il massimo numero di tentativi).
1.9.4 La seconda colonna della tabella (9.3) si riferisce a un comune metodo per tenere il conto (ad esempio durante lo spoglio delle schede in una votazione).
1.9.1 Soluzioni del e1:
- oggetti: MBC o MBF, scelte: 1-A
- oggetti: MBF, scelte: 1-B
- oggetti: MCB, scelte: 1-B, 7-A o 7-B
- oggetti: CPB, scelte: 1-B, 7-B
1.9.2 Quesito e2. Dal primo test il "sì" va in giù, dal secondo test il "sì" va in giù, la freccia che esce da SPEGNI va al primo RILEVA .
1.9.4 Quesito
e3. Può essere utile descrivere il flusso
dell'esecuzione mediante una tabella come quella a lato. Il diagramma va completato così:
"leggi m" → "leggi n" "leggi n" → "poni n=0 " "poni n=0 " → "i=n?" "i=n?" [sì]→ "scrivi p" "i=n?" [no]→ "poni p=p+m " "poni p=p+m " → "i=n?" |
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Scheda 2 [versione B] (Le calcolatrici tascabili)
In
questa scheda si affronta una riflessione sul funzionamento delle CT.
L'obiettivo è sia quello di acquisire una maggiore
padronanza di questo mezzo di calcolo, comprenderne i limiti al fine
di interpretare i risultati che fornisce,
, sia quello
di introdurre e/o consolidare (a un primo livello) alcune conoscenze
matematiche: sui numeri (approssimazioni, numeri reali,
),
sulle funzioni (funzioni a più input e più
output, composizione di funzioni, funzioni inverse, insieme di
definizione,
),
, sia di preparare il terreno per
la comprensione del funzionamento dei calcolatori (che, come
"conoscenze" matematiche e possibilità di calcolo
aritmetico non si discostano essenzialmente da una CT: vedi scheda
3 ).
Negli
Esercizi (quesito e11) è presentato l'uso di una calcolatrice
il cui uso può essere intrecciato allo
svolgimento di alcune parti della scheda (se si può usare il computer
facendo lezione).
In
ogni caso è bene che l'insegnante utilizzi la scheda come
traccia con cui guidare il lavoro degli alunni: questi, con la CT
sottomano, svolgono e riflettono (individualmente e collettivamente)
sulle attività che vengono loro proposte e inizialmente
potrebbero utilizzare la scheda solo per comprendere meglio
(osservando/leggendo le illustrazioni, le tabelle e alcune parti di
testo che l'insegnante indica loro) le "consegne" o le
spiegazioni. La lettura completa della scheda (o dei paragrafi svolti
durante la lezione) potrebbe essere assegnata come "ripasso".
Forse solo il §4 (sui numeri macchina e sul funzionamento
elettronico della CT) si presta meglio a una lettura (commentata) in
classe.
Volendo,
la scheda può essere affrontata in 3 blocchi (§1-§3,
§4, §5), eventualmente alternando lezioni in cui si lavora
con Le statistiche, tenendo conto che la sua collocazione
naturale è dopo la scheda 2 di Le statistiche (dopo una
prima introduzione al concetto di funzione); la scheda 4 di Le
statistiche poi sfrutterà gli approfondimenti del concetto
di funzione e sull'uso delle CT svolti in questa scheda. Alcuni
quesiti del paragrafo Esercizi (e11, e12) in classi particolarmente "difficili"
possono essere rinviati a momenti successivi.
2.1.1 Inizio §1: alcune CT come uscita di 12 1/x danno 0.0833333 invece di 8.3333e02; in alcune si può passare dalla rappresentazione esponenziale a quella per esteso con il tasto <EE; usando il tasto EE si può ritornare alla rappresentazione esponenziale.
Si noti che tendenzialmente parliamo di "premere un tasto" e di "battere un numero" (a meno che si tratti di singole cifre, introducibili con un solo tasto). Analogamente, impiegando programmi, parleremo, in genere, di premere un tasto o un carattere (ad esempio premere "a capo") e di battere un dato (sottointendendo, spesso, che alla fine sia da premere anche il tasto "a capo", o il tasto "invio").
2.1.2 I quesiti 1-6 servono anche per facilitare le attività di manipolazione algebrica da affrontare in §3, consolidando riflessioni e concetti già affrontati a un primo livello in Le statistiche, in particolare nella scheda 1 (a/b·c equivale a a·(c/b), che per c=1 ; moltiplicare per 1/k equivale a dividere per k, ).
2.1.3 Risposta al quesito 1: 3 ± + 5 =.
2.1.4 Sulla
scrittura di 3·8 e 75 (nel quesito 2)
si veda anche il punto 1.e.9 della guida alla scheda 1 di Le
statistiche; in aggiunta osserviamo che non è ovviamente
sbagliato chiudere tra parentesi i termini preceduti dal segno di
negazione, così come non è "sbagliato"
scrivere ((3)+((4))) invece di 3+4; in qualche situazione può
anzi essere utile abbondare in parentesi, se ciò serve a
rendere più leggibile un termine o a evidenziarne alcune
componenti; l'uso delle parentesi per racchiudere un termine
preceduto dal segno di negazione è necessario solamente se si
sostituisce tale termine al secondo termine di una moltiplicazione
tra variabili scritte senza esplicitare il simbolo della
moltiplicazione: se ax è una abbreviazione di a·x
e si opera la sostituzione x=4 occorre scrivere a(4),
a meno che non si scriva a·4 o direttamente 4a.
È da considerare, invece, sbagliata, una scrittura come 3·/5
poiché "/" non può essere interpretato come
operazione unaria.
La
risposta al quesito è, ovviamente: ()3·8
()38
3·()8
7()5
()9/3
2.1.5 Risposta al quesito 3: 123 + 56 ± =. Nel successivo commento si parla di opportuna composizione; non possiamo però dire che la sottrazione è equivalente alla "funzione composta" che ha come componenti la negazione e la addizione in quanto la prima componente dovrebbe avere tanti output quanti sono gli input della seconda.
2.1.6 Risposta al quesito 4: 432 x 3 1/x =.
2.1.7 Quesito
7: il tasto di elevamento alla potenza nelle CT è
quasi sempre indicato con yx
invece che con xy,
come potremmo aspettarci pensandolo come funzione a 2 input x,y →
xy, in cui in genere il primo input viene indicato
con x. In queste CT il dato sul visore (introdotto dall'utente o calcolato dalla CT) viene
sempre registrato su un particolare registro, in genere chiamato X;
man mano che vengono introdotte operazioni e altri numeri, i dati che
devono essere tenuti in sospeso vengono spostati su altri registri,
in genere chiamati Y, Z, W,
Ad
esempio durante il calcolo di 1+2*5 abbiamo man mano:
X=1
X=2 Y=1
X=5 Y=2 Z=1
X=10 Y=1
X=11
Nella
scheda (§2) abbiamo evitato la descrizione di come vengono
impiegati i registri di lavoro non solo perché vi sono CT che
si comportano diversamente dal modo qui descritto, ma perché
non ci sembra aggiungano nulla di significativo alla comprensione del
funzionamento. Eventualmente, se degli alunni chiedessero spiegazioni
sul tasto x→y presente su qualche CT, si può dire che su
queste CT si conviene di indicare l'ultimo dato introdotto con X e il
dato precedentemente introdotto con Y, e che quindi il tasto in
questione consente di invertire i termini di un'operazione. La cosa
può essere facilmente verificata: battendo 3 + 6 x→y
x→y
x→y
sul visore si alternano 6 e 3. Usando questo tasto il
calcolo di a/(b+c) può essere effettuato
così: b + c = ÷
a x→y
=.
In
molte CT esiste anche un tasto exc ("exchange"="scambio"),
a volte indicato x→m,
che scambia il contenuto del visore con quello della memoria-utente.
2.2.1 Quesito 8: sulla gerarchia delle operazioni e sulla costruzione dei termini numerici si ritornerà, oltre che in §3, più diffusamente nella scheda 4 di Le statistiche e nella scheda Algebra elementare.
2.2.2 Dopo il quesito 8: abbiamo raffigurato vuoto il visore durante il completamento dei calcoli; in effetti, se il calcolo comprende varie operazioni che erano state tenute in sospeso (o, anche, se consiste solo di un elevamento a potenza o del calcolo di una funzione trigonometrica), può trascorrere qualche decimo di secondo prima della comparsa del risultato.
2.2.3 Prima
del quesito 10 è bene fare notare che una CT con
due soli registri di lavoro è una CT che non ha incorporato un
programma per la gestione della gerarchia delle operazioni in quanto
non può tenere in sospeso operazioni (memorizza solo due dati
e il tasto di operazione battuto in mezzo); quindi è l'utente
che deve cercare di riscrivere i termini in modo da mettere in testa
le operazioni da eseguire per prime. Le osservazioni degli alunni
dovrebbero essere guidate dall'insegnante fino a conclusioni simili a
quelle presentate all'inizio di §3, ma formulate riferite ai
dati del quesito, non in generale. Per il calcolo di 4·3+2·5
si può ricordare che si è già incontrata una
difficoltà simile nella scheda 1 di Le statistiche
(quesito 54).
Qualche
alunno potrebbe osservare giustamente che il calcolo di 5-8/4 può
essere eseguito anche facendo 8 ÷ 4
5 = ±, cioè calcolando (8/45).
Si
ricorda (vedi punto 1.4.6 della guida alla scheda 1 di Le
statistiche) che vi sono CT dotate anche di tasti per la
memorizzazione di "operazioni" (e secondo operando);
qualche alunno potrebbe suggerire l'impiego di questi tasti; ad
esempio con una CT con due tasti op1
e op2 4·3+2·5
può essere calcolato con x 3 op1 x 5 op2 4 op1 + 2 op2 =.
La discussione di questa possibilità potrebbe eventualmente
essere rinviata al §3, nell'ambito del discorso sull'uso delle
"memorie-utente".
Con
una CT dotata del tasto x→y
si potrebbe ricorrere a questo per effettuare il calcolo del secondo
termine (vedi il precedente punto 2.1.7), ma difficilmente qualche
alunno proporrà questa strada.
L'osservazione
tra parentesi quadre è importante per dare un senso ai calcoli
proposti nella scheda (può anche dar modo, all'insegnante, di
sottolineare che spesso può essere utile controllare una
proprietà di cui non si è sicuri su numeri semplici,
che consentano un rapido controllo con il calcolo mentale).
2.3.1 L'inizio
di §3 dovrebbe costituire una sintesi e una
generalizzazione di quanto l'insegnante dovrebbe aver già
spiegato riferendosi ai casi particolari del quesito 8.
Non
è il caso, per ora, di affiancare questi usi delle lettere con
attività ripetitive ed astratte sul calcolo letterale:
l'obiettivo prioritario è al momento quello di far comprendere
come usando variabili si possano descrivere in forma generalizzata
dei procedimenti di calcolo e si possano esprimere in forma sintetica
delle proprietà e di far cogliere i collegamenti tra singoli
esempi e formulazioni generali.
Per
adesso è bene fare sempre esplicitare il segno di
moltiplicazione tra due variabili (eventualmente si può
usare 2x come abbreviazione di x·2: 2 volte x), per evitare
l'insorgere di confusioni (tra quando l'affiancamento di due lettere
rappresenta il concatenamento di due caratteri che formano lo stesso
nome di variabile e quando sottointende un simbolo di
moltiplicazione) in questa fase, in cui si vuole consolidare l'uso
dei termini con variabili. Per altro un uso precoce del
sottointendere "·" a volte comporta che qualche
alunno perda la percezione del "·" sottointeso
(questo è, in parte, dietro ad alcuni errori che qualche
alunno fa nelle "semplificazioni" o nei "trasporti"
da un membro all'altro di un'equazione). Anche nell'uso di Poligon
(che consente queste abbreviazioni) è bene, per i primi tempi,
far esplicitare "*".
2.3.2 Quesito
11; Se le CT sono dotate di priorità (come lo sono, in
genere, quelle dotate di yx)
i risultati sono: 80, 300 e 1000000: prima viene eseguito
l'elevamento a potenza, e di fronte a due elevamenti a potenza
consecutivi viene eseguito prima quello introdotto per primo (cioè
quello più a sinistra). Si possono anche far fare altri
calcoli; ad esempio far calcolare 5+3·2^4 e far osservare che
(per eseguire correttamente il calcolo) la CT deve essere in grado di
tenere in sospeso due operazioni, 5+ e 3x.
Volendo,
si può far osservare la regola che permette di calcolare
l'esponente di una composizione di elevamenti a potenza,
facendola congetturare/comprendere piuttosto che farla memorizzare
(al momento non serve una padronanza "meccanica" di questa
regola: non ci sono occasioni in cui applicarla).
Osserviamo
che, nell'usuale linguaggio matematico e nei linguaggi di
programmazione, l'elevamento a potenza ha priorità sulla
negazione, cioè 2^6 è da intendere come (2^6),
non come (2)^6. Nelle CT, invece, le operazioni unarie sono
tutte prioritarie poiché vengono eseguite non appena se ne
batte il tasto. Per calcolare 26
occorre quindi battere: 2 yx
6 = ±. Su questi aspetti della
priorità delle operazioni torneremo nella scheda 4 di Le
statistiche.
2.3.3 Nell'illustrazione a fianco del quesito 12, non è un errore la scrittura di 5÷(1+3 invece di 5÷(1+3). Infatti la CT non deve registrare le "parentesi chiuse": non appena incontra una parentesi chiusa completa il calcolo impostato fino alla precedente parentesi aperta. Il quesito 12 ha come risposta: 24 ÷ ( 8 + 4 ) 14 ÷ 7 =. Non si sono battute parentesi prima di 14 e dopo 7 ipotizzando che la CT abbia incorporata la priorità delle operazioni.
2.3.4 Le CT che di fronte al calcolo considerato nel quesito 14 (2·(1+2·(1+1))) danno il risultato 10 che ci si attende devono tenere in sospeso 2x, 1+, 2x, cioè tre operazioni, per poi eseguire il calcolo 1+1 della parentesi più interna.
2.4.1 Risposte al quesito 15: 1234.1234 e 1234.1235. E` propedeutico al quesito successivo far osservare che nel fare l'addizione si perdono le cifre finali del 2° addendo: il risultato completo per esteso occuperebbe più delle 8 cifre di cui può disporre la CT.
2.4.2 Quesito 16: si può suggerire agli alunni di annotare man mano i risultati intermedi che compaiono sul visore e di ricordarsi di quanto osservato nel quesito precedente. Non deve essere scritta una risposta: la discussione collettiva dovrebbe trovare sbocco nella spiegazione dell'insegnante, fatta sulla falsa riga dei commenti che seguono il quesito 16.
2.4.3 Quesito
17: (4): registri di 11 cifre e opera con 11 cifre, (5):
registri di 10 cifre e opera con più cifre (infatti per
arrotondare tiene conto di una cifra in più).
La
comprensione del fenomeno messo in luce da questo esempio (detto
cancellazione delle cifre) è di fondamentale
importanza per la padronanza dei mezzi di calcolo. Infatti è
esso che è all'origine di quasi tutti gli "errori"
di maggiore entità da cui vengono affetti i risultati dei più
vari procedimenti di calcolo eseguiti con una macchina. Per dare
un'idea si pensi al calcolo di 10÷6+12345678-12345678=x7:
una CT del tipo (1) (o un calcolatore che stia operando in questo
modo) darebbe come risultato 7, una del tipo (2) darebbe 14 e una del
tipo (3) darebbe 11.62 (invece di 11.666
).
La
cosa è ancora più complessa se si usa un linguaggio di
programmazione in cui le mantisse non vengono registrate in forma
decimale ma in forma binaria. Ad esempio con alcuni linguaggi la
stampa del risultato di 843.27-843.23 dà luogo a 0.04003906.
Questo è uno dei motivi per cui ci è sembrato
opportuno affrontare lo studio dei numeri macchina a partire dalle
CT; esse infatti impiegano tutte la codifica BCD.
2.4.4 Quesito 18: in alcune CT si ottiene 1.5242e00, cioè si rimane in notazione scientifica; per passare alla scrittura per esteso (1.5241577) occorre premere il tasto <EE: vedi il precedente punto 2.1.1.
2.4.5 Quesito 19: alcune CT segnalano anche gli errori di underflow, cioè non danno 0 come risultato del secondo calcolo ma fanno comparire un messaggio di errore.
2.4.6 Quesito 20: max neg.: 1.0000000·1099; min: 9.9999999·1099.
2.4.7 Dopo il quesito 20: l'osservazione che i numeri-macchina sono in quantità finita può essere spiegata dicendo che posso elencare tutte le possibili mantisse: esse vanno da "1.000 0" a "9.999 9", con o senza "" davanti; si tratta di un tot fissato di espressioni che posso combinare con un altro tot fissato di esponenti (da 99 a 99). La questione viene affrontata in termini più precisi nel quesito e1.
2.4.8 Il
quesito 21 mette in luce che i numeri sono in quantità
infinita (operando con "·2" o con "/2"
ottengo man mano un numero che è diverso da tutti i numeri che
ho generato in precedenza). Con una CT eseguendo ripetutamente "·2"
dopo un po' arrivo all'overflow. Si può chiedere agli alunni
che cosa accadrebbe se si battesse ripetutamente "+1"
(prima o poi la CT si stabilizzerebbe su un numero; ad es. se ha 8
cifre e si parte da 0, arrivati a 99999999 poi si passa a 1.0000000e8
e da qui non ci si sposta più, infatti si andrebbe a
incrementare la nona cifra, che la CT perde; se si partisse, ad es.,
da 1e25 non cambierebbe numero neanche una volta).
Dividendo
ripetutamente per 2 invece prima o poi arrivo a un underflow, cioè
a 0 o a un messaggio
d'errore: arrivata a un risultato che sarebbe compreso tra 0 e
10-99, cioè che avrebbe ordine di grandezza
inferiore a -99 (ad es. 1e-99/2 farebbe 5e-100), la CT, poiché
non può tenere più di 2 cifre di esponente, lo registra
come 0 o segnala l'underflow.
2.4.9 Quesito 22. E` bene che gli alunni, prima di esporre oralmente il procedimento pensato, provino ad applicarlo per completare la tabella (anzi, pensare come completare la tabella dovrebbero aiutarli a individuare il procedimento: se per 8 si è "scattati" a "1000" vuol dire che prima, per 7, si era arrivati a "111"). Un procedimento possibile è il seguente, che l'insegnante può costruire alla lavagna con gli alunni, ricordando l'analogia con il contatore meccanico a ruote dentate (non è il caso che gli alunni lo trascrivano sulla scheda):
(1) scrivo "0000"
(2) considero l'espressione appena
scritta e ne cambio l'ultimo carattere (se era "0" lo
sostituisco con "1", se era 1 lo sostituisco con "0")
(3) se la cifra cambiata era "1"
cambio anche la cifra successiva e ritorno a (3)
(4) scrivo il numero così
ottenuto
(5) se ho scritto "1001" mi
fermo, altrimenti ritorno a (2)
Si può riprendere e provare a descrivere a parole anche la codifica considerata nella seconda colonna della tabella (7.1), cui si riferisce il quesito 16 della scheda 1 di La automazione (o si può dare come compito a casa la descrizione verbale di come vengono generati i numeri usando questa codifica).
Una
descrizione più sintetica può essere: si considera
l'alfabeto avente per caratteri solo "0" e "1" e
si generano in ordine alfabetico le parole di lunghezza 4 che con
esso si possono costruire, fino ad arrivare a "1001" (se
invece di "0" e "1" si usassero "a" e
"b" avremmo: aaaa, aaab, aaba, aabb,
; se si
scegliesse questa descrizione, l'esempio con "a" e "b"
può utile per agevolare la comprensione).
Non
è necessario, al momento, un approfondimento sulla scrittura
dei numeri in base 2 (ora, a che cosa servirebbe, se non a fare
qualche giochino?).
2.4.10 Quesito 23: impiega 4·10+2=42 bit. Quesito 24: 1 0001 0000 0000 0 0000 0001
2.5.1 Quesito 25: 29523/137=215.49635; 29523137·215=68.
2.6.1 Dopo quesito 26: a proposito della radice quadrata notiamo che in qualche libro di testo viene chiamata erroneamente radice quadrata di 4 anche -2, mentre si tratta di una delle soluzioni (o radici) dell'equazione x2=4. A volte vengono anche fatte confuse distinzioni tra radici e radicali e tra radicali algebrici e radicali aritmetici, rispolverando vecchie terminologie di quando non era ancora diffuso o ben precisato il concetto di equazione. A volte si arriva a scrivere √4 = 2 e √4 = 2 , alla faccia del concetto di eguaglianza. E` bene evitare simili confusioni nella testa degli alunni: la funzione radice quadrata è definita per input non negativi e ha solo output non negativi.
2.6.2 Sempre dopo ques. 26: durante la discussione degli esempi possono sorgere o si possono far sorgere vari problemi relativi ai termini indefiniti. Ad esempio perché x/y non è definito se y=0. Solo perché la CT dà Error o c'è un motivo più profondo? ( /y è l'operazione inversa di ·y, cioè il risultato è quel numero R che moltiplicato per y deve dare x: R·y=x; se y=0 R·y fa 0 comunque prenda x; la spiegazione è più semplice se al posto di x si prende un valore costante: 4/0 deve essere un numero R tale che R·0 faccia 4 . Analogamente si può discutere il caso 0/0: non si può identificare un particolare numero tale che R·0 faccia 0: tutti i numeri si comportano così).
2.6.3 Quesito 28: 3.16227766·3.16227766 ha risultato con una parte frazionaria che termina con 6 (l'ultima cifra del risultato è 6 poiché nel fare 6·6 si ottiene 36).
Osserviamo a livello adulto che a rigore finora nulla ci assicura che esista un numero che al quadrato faccia 10 o che faccia 5. E` solo l'algoritmo descritto dopo il ques. 28 che ci permette di dare una definizione della radice quadrata di un numero: radice di A è il numero che si ottiene con tale algortimo. Per precisare che questo numero al quadrato fa effettivamente A occorrerebbe aver definito la moltiplicazione tra numeri illimitati. La cosa non sarebbe difficile da capire: è il numero che viene man mano approssimato operando su approssimazioni con man mano più cifre significative. E` però opportuno rinviare questi approfondimenti ad una fase successiva di riflessione più generale sui numeri.
2.6.4 dopo ques. 28: la descrizione verbale degli algoritmi per il calcolo della radice quadrata contenuta nella scheda non è facilmente comprensibile con una lettura diretta. Per questa parte della scheda vale ancor più che per le altre l'indicazione di gestirla "alla lavagna". Costituisce un avvio alla introduzione dei numeri reali.
2.6.5 Quesito 30: l'arrotondamento 2.2361 (2.2361 m = 2236.1 mm).
2.7.1 Quesito 36. Domanda (2): H(x)=x, K(x)=x. Domanda (4): le due pendenze sono una la reciproca dell'altra; vedi anche: Le statistiche - Guide - nota 2.5.4. Si può far osservare (in scioltezza) la "simmetria" dei due grafici rispetto al grafico di y=x e collegarlo al fatto che due funzioni inverse hanno input e output scambiati.
2.7.2 Quesito
37. La domanda (1) serve a consolidare visivamente il fatto
che un numero e il suo opposto hanno uguale quadrato.
La
domanda (2) richiede che gli alunni calcolino la radice quadrata di
2.25 (o la ricavino direttamente dal fatto, ricordato sul grafico,
che 1.5 al quadrato fa 2.25) e traccino tale punto. Si può,
poi, far osservare agli alunni che tutti i punti del grafico di G
sono ottenibili da punti del grafico di F scambiando le coordinate
(infatti vengono invertiti i ruoli di input e di output; vedi anche
nota precedente).
Domanda
(3): H(x)=x, però per x≥0; K(x)=|x|.
Domanda
(4): gli alunni, tracciando i due grafici "a mano"
(servendosi di quanto hanno stabilito in (3)), dovrebbero consolidare
i concetti introdotti alle pagine 9 e 10.
La
domanda (5) volendo, può essere far fatta affrontare in
aula-computer.
2.e.1 Quesito e5: si devono usare F: x > √x e G: x > √x. Il quesito può essere affrontato anche "teoricamente", senza necessariamente usare il PC.
2.e.2 Quesito e7. Il quesito riprende considerazioni già svolte nella scheda 1 di Le statistiche: il reciproco del reciproco di un numero è il numero stesso, . La spiegazione potrebbe riferirsi anche ai grafici di quesito e6: se (x,y) sta sul grafico anche (y,x) ci sta.
2.e.3 Quesito e8: i grafici possono essere realizzati anche su carta millimetrata e, poi, controllati col computer: ciò è utile per rafforzare l'uso di entrambe le "tecniche", che impiegano gli stessi concetti matematici, ma in modi differenti. Il quesito ha la finalità di introdurre all'uso delle rappresentazioni grafiche per verificare l'equivalenza di due termini.
2.e.4 Quesito e9: da collegare ai quesiti 35 e 36.
2.e.5 Il quesito e12 offre spunti per chi voglia avviare un primo sviluppo delle considerazioni accennate dopo il quesito 26. Volendo si possono svolgere considerazioni anche sul tasto della funzione inversa di yx (tasto "radice x-esima di y"). Si può poi proporre agli alunni di ideare un algoritmo per calcolare le radici cubiche (idea che dovrebbero avere: basta prendere quello per le radici quadrate e mettere x·x·x al posto di x·x).
2.e.6 Quesito e14. 7 è codificato con 111, quindi il filo orizzontale attivato elettricamente dal tasto 7 deve raccordarsi con i fili verticali collegati ai primi 3 flip-flop da destra.
Scheda 3 [versione B] (Il calcolatore)
Questa e la successiva sono schede da gestire "a pezzi", intrecciate con attività
di laboratorio (assegnando per la lettura a casa parti
che siano già state affrontate operativamente), e comprendente
parti (sui linguaggi e applicazioni informatiche) che possono essere usate
anche successivamente a mo' di manuale.
Se in
qualche scuola non c'è la possibilità di usare un'aula attrezzata
con PC e/o un proiettore collegabile ad un PC, alcune attività possono essere fatte in forma
"dimostrativa"; per attività operative si può
ricorrere a "calcolatrici scientifiche programmabili" o computer portatili o a tablet (che
possono essere impiegati anche nei compiti in classe, se non si può disporre di un'aula computer).
Molti
esercizi sono comunque affrontabili con "carta e penna" (e
assegnabili per casa, discutendone poi in classe la soluzione).
Nella
scheda come linguaggi si sono usati i "gratuiti" R e JavaScript,
per i motivi che sono elencati nella scheda stessa.
|
|
3.2.1 Abbiamo parlato di programmi traduttori senza approfondire la distinzione tra interpreti (programmi traduttori che non memorizzano, neanche temporaneamente, la traduzione in linguaggio macchina del programma sorgente ma man mano traducono e mandano in esecuzione ogni singola istruzione) e compilatori (che traducono in un colpo tutto il programma sorgente), anche perché la distinzione, nei nuovi ambienti di programmazione, non è più netta: si tratta di compilatori che mantengono riferimenti con il programma sorgente, consentendo così di eseguire il programma in linguaggio macchina vedendo man mano la posizione corrispondente del programma sorgente, come si può fare con gli interpreti).
3.2.2 Quesito 1. Si possono proporre molti altri esercizi simili a questo. Sono assai utili per consolidare la comprensione della struttura dei termini (vedi scheda 4 di "Le statistiche", §1).
3.3.1 In questo paragrafo viene introdotto l'uso di Javascipt; per informazioni più dettagliate vedi questo link. La scelta di questo linguaggio è abbastanza evidente: esso, ed alcuni altri molto simili, sono i linguaggi di programmazione più diffusi, di essi si possono esplorare facilmente esempi d'uso e struttura in quasi ogni pagina web; essi, infine, consentono di realizzare facilmente piccoli programmi da un aspetto decisamente gradevole, facilmente mettibili in rete e in modo del tutto gratuito.
3.4.1 Quesito 2. Vedi qui
3.4.2 Quesito 3. Vedi qui (link brevemente esplorabile anche con gli alunni).
3.4.3 Quesito 4. Per 27 ci vogliono 111 passi.
3.e.1 Quesito e1:
f(x) = (2^(x+1)+1)/(x-1)+1 + _________________/ \_________________ / 1 _______/ \_______ + - __/ \__ __/ \__ ^ 1 x 1 / \ 2 + / \ x 1
3.e.2 Quesito e2:
G(X): v0 = x + 1 v1 = 2 ^ v0 v2 = v1 - 1 v3 = x + 1 v4 = v2 / v3 v5 = v4 - 1 x+1 2 - 1 - 1 x + 1 - _______________/ \_________________ / 1 _______/ \_______ - + __/ \__ __/ \__ ^ 1 x 1 / \ 2 + / \ x 1
3.e.3 Quesito e3:
H(x) = 3+(2+3*x)/7-5/(-2*x) v0 = 3 * x v1 = 2 + v0 v2 = v1 / 7 v3 = 3 + v2 v4 = 2 * x v5 = v4 - v6 = 5 / v5 v7 = v3 - v6 - _________________/ \_________________ + / _______/ \_______ _______/ \_______ 3 / 5 * __/ \__ __/ \__ + 7 - x / \ | 2 * 2 / \ 3 x
3.e.4 Quesito e4:
A*2-3+sqrt(B)*4/(A+B)
√B*4
A*2 - 3 +
A+B
Con R :
library(codetools)
showTree(quote( A*2-3+sqrt(B)*4/(A+B) ))
(+ (- (* A 2) 3) (/ (* (sqrt B) 4) ("(" (+ A B))))
Le scritte "(" segnalano solo la presenza di più parentesi, con la
la possibiità di trasformare le "((...))" in "(...)", come se fosse:
(+ (- (* A 2) 3) (/ (* (sqrt B) 4) ( (+ A B)))
3.e.5 Quesito
e6. In un file c'è:
document.boh1.c.value=Number(document.boh1.b.value)+Number(document.boh1.a.value)
nell'altro:
document.boh1.c.value=document.boh1.b.value+document.boh1.a.value
In un caso il "+" viene interpretato come "somma", nell'altro
come "concatenazione".
3.e.6 Quesito
e8. Ecco i due javascript:
uno
e due
Ecco come tabulare la funzione con Poligon:
F(x)= SQR(x)+x^3+1
F(1)=
F(1.1)=
3.e.7 Quesito e9. Ecco il file: clicca.
Scheda 4 (Altro software )
4.1.1 §1. Si faccia notare che i chilobyte vengono notati con la "K" maiuscola, per distinguerli dal "k" minuscolo che deve essere usato per rappresentare il fattore moltiplicativo 1000.
4.3.1 Il paragrafo 3 è stato molto ridotto. Eventualmente si può "ampliare" cliccando il "qui".
4.3.2 Quesito 2 (nell'ampliamento). È possibile evidenziare solo bc2; gli altri non sono sottotermini. Per commentare la correzione si può ricorrere a grafi ad albero.
4.5.1 Nel "vedi" a cui rinvia la scheda accedi anche ad un documento in cui il primo esempio illustra come realizzare la figura considerata nella scheda.
4.e.1 Quesito e1:
A B 1 1 1 2 2 1 3 0.2 1.2
4.e.2 Quesito e2: $A8+E$2
4.e.3 Quesito e3: =D1/C1*100: stessa percentuale, ma riferita al 2007/08.
4.e.4 Quesito e4: In D6 appare: =Sum(D1:D5). Occorre mettere, in E6: =D6/C6*100 e in E1: =C1/C$6*100.
4.e.5 Quesito e5:
<script language="javascript">
if (2>1) {document.write('A')} else {document.write('B')}
</script>
OK
<script language="javascript">
if (2<>1) {document.write('A')} else {document.write('B')}
</script>
<> in Javacript non significa "diverso"; vedi sotto.
<script language="javascript">
if (2!=1) {document.write('A')} else {document.write('B')}
</script>
OK
<script language="javascript">
if (2<1) {document.write('A')} else {document.write('B')}
</script>
OK
<script language="javascript">
if (1<2) {document.write(1/(1-1))}
</script>
OK (lo script è sintatticamente corretto;
come esito del calcolo "1/0" viene segnalato
"infinity")
<script language="javascript">
if (1<0) {document.write("ok"} else {document.write("ko")}
</script>
errore di sintassi;
versione corretta:
<script language="javascript">
if (1<0) {document.write("ok")} else {document.write("ko")}
4.e.6 Quesiti e6-e9:
e7 con Cinderella:
Nota: viene evidenziato l'angolo minore di 180° CBA invece di ABC. Per visualizzare il supplementare si "contrassegna l'angolo", si clicca l'angolo col pulsante destro, si seleziona "Mostra informazione", si clicca "i" e si seleziona "360° o 180°") |
e8 con Cinderella:
traccio 3 punti, costruisco il cerchio che passa per essi, traccio due punti e la retta che li congiunge,
"uso uno specchio" selezionando la retta appena tracciata come specchio e, poi, il cerchio di cui fare
l'immagine speculare;
e13 con Cinderella:
Scheda 5 [versione B] (Suoni e immagini al calcolatore - Sottoprogrammi)
E`
una scheda che:
contiene
considerazioni generali (sui segnali, sui suoni, sulla grafica), che sviluppano tematiche
introdotte nella scheda 1,
introduce
alcuni aspetti generali sulla gestione dei file e sull'uso delle
applicazioni grafiche,
affronta
argomenti di programmazione (istruzioni grafiche, variabili indiciate, sottoprogrammi, costruzione/lettura di file),
approfondisce l'uso del software R (vedi).
Questa scheda
dovrebbe essere svolta più o meno in parallelo alle schede 2 e 3 di La matematica
e lo spazio e alla scheda Modelli matematici per l'economia;
la gestione dovrebbe diversificarsi seconda della natura dei
paragrafi. In particolare:
i
primi due paragrafi (che dovrebbero essere preceduti da una "ripresa"
della scheda 1) si prestano a
momenti di lavoro interdisciplinare (su tematiche fisiche), a
discussioni/interazioni con gli alunni su argomenti di loro interesse
(digitalizzazione, musica,
),
e potrebbero essere svolti
prima o contestualmente al §1 di Modelli matematici per
l'economia;
il
§3 e alcuni degli esercizi finali sono stati pensati per essere collegati
al §2 della scheda 3 di La matematica e lo spazio
(trasformazioni geometriche) e per una gestione in aula computer;
si prestano a collegamenti
interdisciplinari con "disegno" (sviluppabili anche nella u.d. La matematica e lo spazio);
il
§4 introduce l'uso delle variabili indiciate, che vengono
impiegate nella scheda La
matematica tra gioco e realtà; questo paragrafo, che
volendo può essere svolto successivamente (ma comunque prima
di La matematica tra gioco e realtà), è
importante non solo dal punto di vista informatico, ma, soprattutto,
per i suoi collegamenti con il concetto di successione e, più
in generale, di funzione a (uno o più) input in N;
il §4 introduce anche l'argomento dei sottoprogrammi (che sarà
indispensabile solo per alcune attività proposte in La
matematica tra gioco e realtà);
Alcune
parti possono essere "saltate" in classe e date da leggere autonomamente agli alunni (specie a quelli
più interessati alle attività al computer).
5.1.1 Quesito 1. Il grafico a sinistra si riferisce al contagiri C2, quello a destra al contagiri C1. La spiegazione è contenuta nella frase che precede il quesito. Esempi di strumenti di misura di cui sono diffusi sia modelli digitali che modelli "ad ago" (oltre a quelli presenti nella scheda): bilancia, tachimetro, tester, selezionatore/indicatore di frequenza di una radio, "contatori" (acqua, gas, ), . Gli indicatori della benzina erogata dai distributori attualmente sono quasi tutti digitali. Gli indicatori del livello della benzina nel serbatoio sono spesso ad ago. Gli orologi a lancette vengono detti analogici, ma in realtà, in genere, le lancette si spostano a scatti, di ampiezza molto piccola, che spesso all'occhio umano danno l'idea di un movimento continuo.
5.2.1 A
proposito della scala musicale
osserviamo (a "livello adulto") che non solo i successivi
do (o i successivi re,
) hanno frequenza che varia
esponenzialmente (da un do al successivo la frequenza si moltiplica
per 2, da un do a n do dopo la frequenza si moltiplica per
2n), ma anche tra una nota e la seguente vale una
relazione analoga. Possiamo osservare che i rapporti 293.7/261.6,
329.6/293.7, 349.2/329.6, 392/349.2, 440/392, 493.9/440, 523.2/493.9
valgono, circa, 1.12, 1.12, 1.06, 1.12, 1.12, 1.12, 1.06 e che 1.12 è
circa 1.06·1.06. Quindi attraverso 12 successive
moltiplicazioni per (circa) 1.06 si passa dalla frequenza di un do a
quella del successivo, passando man mano per le frequenze delle altre
note. In effetti le note sono definite in questo modo.
Poiché
la frequenza nel corso di un'ottava deve raddoppiare, abbiamo che il
moltiplicatore k, che abbiamo approssimato a 1.06, è tale che
k12=2, cioè
k=21/12=1.05946
.
La cosa può essere visualizzata bene rappresentando le
frequenze in scala (semi)logaritmica (si "completa" la scala
musicale normale, in modo che tra ogni nota e la successiva la
frequenza venga moltiplicata per k; si ottiene la scala temperata di Bach; per
convenzione si assume che il la dell'"ottava centrale"
abbia frequenza di 440 Hz e si prendono come frequenze per le
altre note valori del tipo 440·kn - n
intero, k=21/12). Vedi, in WikiPedia o in altri siti, "scala temperata di Bach".
5.3.1 Quesito 2. Si sono codificati con 0 i quadretti vuoti, con 1 quelli occupati dal disegno, scandendo il disegno per righe. Le cifre mancanti (relative all'ultima riga) sono: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0.
5.4.1 Quesito
3.
x <- c(-4, 2, 0, 1); min(x); max(x); sort(x); x[1]; x[4]
-4 2 -4 0 1 2 -4 1
5.4.2 Quesito 4. È evidente, e facile da capire, che il programma stampa la tabellina pitagorica.
5.5.1 Quesito e3. T = 30 ms, f = 1/30 giri/ms = 1/30·1000·60 giri/min = 2000 giri/min. 30 non è il periodo esatto: potrebbe essere ad esempio 29.5 ; di più non possiamo sapere dal grafico; di conseguenza 2000 è da intendere come valore approssimato. In effetti la richiesta dell'esercizio è corretta: dal grafico possiamo capire che 2T, in ms, è compreso tra 59 e 61 e che, quindi, T sta tra 29.5 e 30.5. Possiamo dedurne che f (in giri/ms) è tra 1/30.5*1000*60 (1967) e 1/29.5*1000*60 (2034), ovvero che è 20·10².
5.5.2 I quesiti e4-e10 sono abbastanza facili e operativi. Sul quesito e11 vedi qui.