I numeri

Le strutture numeriche e i loro usi

Finalità (scheda 1 e 2)

L'unità didattica ha la finalità di dare una prima sistemazione all'uso e allo studio dei sistemi nu-merici (nella scheda parleremo di strutture numeriche per evitare confusioni con i sistemi di formule; non parleremo, "tendenzialmente", di insiemi: si dovrebbe parlare di "insieme" quando si intende che sia definita solamente la nozione di eguaglianza e di "sistema numerico" - o "struttura numerica" - quando ci si riferisce anche ad alcune operazioni o relazioni definite sull'insieme). Inoltre ha lo scopo di avviare alle strutture non numeriche e allo studio dell'anello euclideo dei polinomi (Æparte della guida relativa alla scheda 3).

Il taglio dell'u.d. è quello di partire dai numeri così come vengono usati nella vita e nelle discipli-ne applicate e di andare a discernere e comprendere le differenze d'uso, la differenza tra numeri e lo-ro rappresentazioni, i più significativi sottosistemi dei numeri reali e le loro differenze "algebriche".

Si è ritenuta non praticabile (culturalmente e didatticamente) la strada della costruzione dei vari sistemi numerici a partire da IN:

– come motivare il tentativo di ricondursi a IN? (occorrerebbe mettere a fuoco, storicamente e tecnicamente, problematiche non banali relative ai fondamenti della matematica)

– come caratterizzare IN (non come "insieme", che in quanto tale è indistinguibile da quello dei nu-meri razionali, ma come "struttura": la cosa, in genere, viene elusa nei libri di testo che scelgono questa strada)?

– come mettere a punto gli strumenti di algebra astratta necessari a realizzare la costruzione, … ? (a questo proposito i libri di testo abbondano di esempi in negativo)

I numeri reali sono stati introdotti come modello matematico per rappresentare misure, ovvero come modello del concetto intuitivo di retta graduata, e caratterizzati come sequenze illimitate di cifre (in una qualunque base) con all'interno un "." e, eventualmente, in testa un "–", ovvero come algoritmi che generano queste sequenze "potenzialmente" illimitate. Si è poi definita opportunamente una nozione di eguaglianza (oggetti diversi come espressioni ma uguali come "numeri").

Altra strada possibile era presentare assiomaticamente IR, ma anche questa è parsa inpraticabile:

– se la si sceglie come definizione dei numeri reali, occorre presentare l'elenco completo degli as-siomi e provare che (fissato e delimitato opportunamente l'universo insiemistico in cui si opera) que-sti ammettono "essenzialmente" un unico modello, e tutto ciò non è alla portata della sc. sec. sup.;

– se la si sceglie come elencazione delle proprietà dei numeri reali che verranno usate nel seguito, come fanno in genere i manuali universitari di analisi matematica, facendo riferimento alla familiarità con i numeri reali che gli alunni dovrebbero già avere (e, di solito, esplicitando che la costruzione dei numeri reali a partire dai numeri naturali potrà essere affrontata solo in corsi di studio più avanzati), si pone il problema che gli alunni devono già conoscere abbastanza a fondo i numeri reali.

Gestione - Tempi

Per la gestione delle schede, a parte le indicazioni più puntuali che seguono, valgono osservazioni analoghe a quelle svolte per le uu.dd. precedenti. Le parti più "discorsive", ma per vari aspetti più importanti, è bene che siano presentate oralmente ( e "con la lavagna") dall'insegnante, lasciando poi agli studenti (come compito o ripasso) la lettura per esteso della scheda; gli studenti devono invece leggere direttamente illustrazioni, diagrammi e quesiti. Di questi ultimi alcuni possono essere affrontati individualmente o a gruppi dagli alunni, altri è bene che siano affrontati subito collettivamente. I quesiti dei paragrafi Esercizi possono essere assegnati per casa (o per attività individuali in classe) e poi discussi nella lezione successiva.

Le schede possono essere affrontate in più lezioni, a gruppi di paragrafi.

Dopo la scheda 2, che presenta IR come modello matematico del concetto intuitivo di retta, si potrà avviare l'u.d. Per strada.

L'u.d. dovrebbe avviarsi in parallelo al completamento della scheda 3 di La automazione e in pa-rallelo o dopo attività di sintesi/consolidamento sulle uu.dd. precedenti riferite alla scheda 3 de Gli oggetti matematici e all'Eserciziario. Quindi, per le scuole con "programma forte", l'avvio è previsto a febbraio, per le altre è previsto indicativamente per l'inizio di marzo. Le prime due schede dell'u.d. dovrebbe concludersi in meno di un mese. Per la scheda 3, si veda più avanti.

Contenuti

Per l'articolazione delle singole schede e una descrizione dettagliata degli argomenti matematici si veda la tabella a pag. 16 della Presentazione. Il contenuto delle schede può essere riassunto nel seguente modo:

scheda 1: riflessione sui vari usi della parola "numero" e avvio alle definizioni matematiche del concetto di numero, distinzione tra numero e sue rappresentazioni, introduzione del concetto di struttura numerica;

scheda 2: dalle operazioni tra numeri interi alle operazioni tra numeri reali, il calcolo approssimato, la struttura dei numeri razionali;

scheda 3: i numeri macchina, strutture non numeriche (su funzioni, condizioni, stringhe, …), ana-logie strutturali, analogie tra funzioni polinomiali e numeri interi, numeri reali in base non decimale.

Scheda 1 (Usi dei numeri)

1.1.1 Quesito 1: sarebbe la sfera.

1.1.2 Quesito 2: l'unica situazione in cui il numero può essere inteso indicare una quantità è (1.1), interpretando una altezza come una quantità di segmentini lunghi 1 cm. E` chiaro, invece, che il 6 di inglese non rappresenta 6 cose. Gli altri esempi sono discussi nel seguito della scheda.

1.1.3 Quesito 3: il significato dell'ultima lettera del numero di codice fiscale è spiegato negli Esercizi.

1.1.4 Quesito 4: femmina, 20 luglio 1960

1.1.5 Quesito 5: 27.040404...

1.1.6 Quesito 6:

(1) scrivi "2."

(2) scrivi "6"

(3) vai a (2)

1.1.7 Quesito 7: gli alunni devono eseguire 1/22 (a mano e/o con la CT), comprendere come si susseguono le cifre e, poi, darne una descrizione algoritmica: (1) scrivi "0."; (2) scrivi "45"; (3) vai a (2). Non trarre spunto per introdurre la famigerata formuletta per trovare le "frazioni generatrici": la questione è affrontata nel §5 della scheda 2.

1.2.1 Prima del quesito 9: ricordare agli alunni che 1 ara ha l'estensione di un quadrato con 10 m di lato (grosso modo l'area di un appartamento), cioè 100 m2; quindi 1ha = 10000 m2, 1ca = 1 m2.

1.2.2 A proposito dell'eguaglianza fra numeri osserviamo che, mentre ad es. 003, 3, 3.000, (10)3, … sono diverse come espressioni ma eguali come numeri, 12/4 e r(9), che sono (cioè si dimostra sono) uguali a 3, non sono tuttavia costanti numeriche, ma termini numerici che hanno come valore 3. Nelle argomentazioni inevitabilmente usiamo la parola "numero" per indicare sia una espressione che rappresenta direttamente un numero fissato sia un termine numerico (in «se x è dispari allora il numero x+2 …» x e x+2 sono numeri nel senso che interpretandoli diamo ad essi come valore un numero), così come a volte usiamo la parola "costante" anche per indicare un termine costante, come 3+2, che, ad essere rigorosi, è la somma di due costanti. Il contesto, comunque, scioglierà implicitamente queste eventuali ambiguità.

1.2.3 Quesito 10: la questione verrà ripresa nella scheda 2 di Per strada, dove verranno messi a fuoco il concetto (i concetti) di uguaglianza "come figure".

1.2.4 Quesito 11: La domanda (collettiva) trova risposta (cn) e sistemazione più generale nel seguito della pagina.


10 cifre2 cifre3 cifre8 cifre16 cifre 1710001122211127110111000331B321000010124020

1.2.5 Quesito 12:

0,1,2Æ0,1,…,90,1,…,7Æ0,1,…,90,1,…,FÆ0,1,…,9 112042592438410123252241141.2.6 Quesito 13: (2001)3 = 55 = [16·3+7] (37)16; (1111)2 = 15 = [4·3+3] (33)4 = [8+7] (17)8 = [15<16] (F)16

1.3.1 Quesito 14: sono stati battuti input "diversi come sequenze di caratteri" ma che grafun ha interpretato tutti come rappresentazioni del numero che in notazione standard si scrive 70.

1.3.2 La discussione e gli esempi presentati nel paragrafo 3 dovrebbero mettere in luce che a seconda delle situazioni reali che si vogliono modellizzare si possono considerare operazioni diverse e che si possono anche dare differenti definizioni di una "stessa" operazione (vedi gli usuali successore e somma e quelli relativi all'esempio 3 e al quesito 16). Si sono già viste, e si approfondiranno nella scheda 3, le differenze tra le operazioni usuali e quelle tra numeri macchina.

1.3.3 Quesito 15: se il numero appena chiamato supera 50 e è abbastanza inferiore (di circa una decina) a 93 siamo nella situazione illustrata sotto a sinistra, se è abbastanza inferiore (di circa una decina) a 47 siamo nella situazione illustrata a destra; se il numero è quasi 47 o quasi 93 la situazione è incerta [il numero chiamato non può superare di poco 47 o 93, altrimenti le persone in coda dovrebbero esser molto più di una cinquantina]. Abbiamo supposto che tutti coloro che hanno "preso il numero" fossero in coda. La discussione è facilmente gestibile solo attraverso una rappresentazione grafica.



1.3.4 Quesito 16: 90 (+) 9 = 99 90 (+) 10 = 1 33 (+) 50 = 83 33 (+) 80 = 14

In generale, per 1²m,n²99: m(+)n = m + n se m + n ² 99, m(+)n = m + n – 99 altrimenti.

1.4.1 Quesito 18: PRINT "27."; ø 10 PRINT "04"; ø GOTO 10 (in coda alle istruzioni di stampa si è messo ";" in modo che le cifre vengano scritte sulla stessa riga)

1.4.2 Quesito 19: (B2X)36 = 11·362 + 2·36 + 33 = 14361

1.4.3 Quesito 20: xxx+2xx+3x+3, x = 4; xxx+x+2, x = 8; 11xx+13x+2, x = 16.

1.4.4 Quesito 21: Si faccia osservare che si può usare la proprietà del riordino, per cui le cifre possono essere addizionate nell'ordine che si vuole e le sottrazioni per 9, cioè le addizioni di –9, possono essere eseguite in un qualsiasi momento, non necessariamente tutte alla fine.

(a) (1+8)+(7+2)+(3+6)Æ0+0+0Æ0, (7+3)+(6+4)+1Æ1+1+1Æ3, (1+8)+(2+7)+…Æ0+0+…Æ0

(b) 1): sì, battendo 3457914. (b) 2): no perché le cifre diverse da 0 e da 9 non possono essere variate di 9 unità e rimanere cifre; con due errori di battitura posso avere: 2457215 o 3727214 o 3250214 o ... (basta che la somma delle variazioni apportate alle due cifre sia 0, 9 o –9).

1.4.5 Quesito 22: il programma calcola la somma delle cifre del numero introdotto (SommaCifre), calcola il resto della divisione intera tra SommaCifre e 9 (SommaCifre-(SommaCifre9)*9) e controlla se tale risultato è uguale a CifraControllo. Infatti la divisione intera per 9 equivale a sottrarre 9 tante volte fino a che rimane un numero più piccolo di 9, che è appunto il resto.

Scheda 2 (La struttura dei numeri reali e altre strutture numeriche)

2.1.1 Quesito 1. 000137.9, 000138.0, 000138.1.

2.1.2 A proposito del problema dell'arresto del cronometro (tempi di reazione delle persone) si può eventualmente richiamare il quesito 37 della scheda 3 di Le statistiche.

2.1.3 Quesito 2. (1) vorrei una pila alta 17 cm; penso 17 come numero esatto; (2) eseguo 17/3 nel modello astratto, ottenendo 5.666… ; (3) per tracciare i segni devo usare una riga graduata; dal modello torno alla realtà e traccio i segni considerando la tacca 0 e metà strada tra la tacca 5.6 e la tacca 5.7; (4) l'altezza della pila non è detto che sia esattamente 17, sia per come ho tracciato i segni, sia per effetto dell'operazione di taglio (lo spessore della lama della sega può introdurre un errore di 1 o 2 mm) per cui alla fine la pila può differire di 3÷6 mm (se faccio 3 tagli) o di 4÷8 mm (se devo fare 4 tagli).

2.2.1 L'intreccio tra numeri reali e enti geometrici (numeri, coppie di numeri, equazioni, … e punti e altre figure geometriche) verrà approfondito nelle uu.dd. Per strada e La matematica e lo spazio.

2.2.2 Il confronto tra numeri (pag. 5) è definito in modo algoritmico. Occorre, tuttavia, tener conto del fatto che i numeri con periodo 9 devono essere identificati con numeri decimali limitati. Ciò è precisato più avanti nella scheda.

2.3.1 Durante lo sviluppo della moltiplicazione 12.3·0.21 e della divisione 38/7 (pag. 5) si può far osservare (senza troppa "insistenza") quali sono le trasformazioni algebriche man mano operate (ad esempio 123·21 viene trasformato in 123·20+123·1 sostituendo 21 con il termine equivalente 20+1 e distribuendo la moltiplicazione rispetto alla addizione, 123·20 viene trasformato in 123·2·10 …).

2.3.2 Programma (3.1). Nel caso si impieghi il sistema operativo Mac occorre mettere in testa al programma WIDTH 60 in modo che le uscite vadano a capo dopo 60 caratteri (nei Mac le dimensioni della finestra di output possono essere variate a piacere).

2.3.3 Quesito 7. Il resto dell'ultima divisione intera indicata è 3, come nel caso della prima divisione intera eseguita. Poiché ogni nuovo divisione intera è interamente determinata dall'ultimo resto (si fa resto·10/7), il procedimento si svilupperà ripetendo ciclicamente le divisioni che hanno dato resti 2, 6, 4, 5, 1 e 3.

2.3.4 Quesito 8. 28; il periodo può essere lungo al massimo n - 1 cifre. Infatti i resti possibili sono 0, 1, …, n–1, ma, appena compare il resto 0 i successivi resti sono anch'essi 0; quindi il periodo può essere massimo se i resti che si susseguono cadono tra 1 e n–1 (vedi quesito 7).

2.3.5 Quesito 9. Limitati.

2.4.1 Quesiti 10. 3.2222...·4 = 12.8888...; 3.2222... + 3.5555... = 6.7777...; 3.2222.../2 = 1.6111...

2.4.2 Quesito 11, 12, 13. introducono alla precisazione del concetto di eguaglianza tra numeri affrontata dopo figura 6.

2.4.3 Quesito 15. 24.32 cm2 ² area ² 25.35 cm2 indeterminazione = 1.03 cm2

2.4.4 Quesito 16. non è opportuno fare seguire a questo esempio una trattazione sistematica delle diseguaglianze. La discussione, sempre in modo "non sistematico", può essere ripresa successivamente, con il punto (b) del quesito 17. Le soluzioni di questo e del quesito precedente sono riportate successivamente nella scheda.

2.4.5 Quesito 17. (b) il programma non "discute" il tipo di operazione e i segni dei dati, per cui calcola i quattro risultati e ne sceglie min e max; operando con una CT non ci conviene calcolare tutti e 4 i risultati ma capire, a priori, quali dei 4 calcoli ci daranno min e max; (c) 3600 è un numero esatto, per cui ha indeterminazione 0 e intervallo di indeterminazione costituito dal solo punto 3600.

2.5.1 Quesito 18. Domanda collettiva. Risposte: faccio un elevamento alla potenza in meno, posso operare alcune trasformazioni in numeri di cui è più facile calcolare le potenze, …

2.5.2 Quesito 20. (1) (5.5); (2) (5.6); (3) (5.7); (4) (5.8) e (5.7)

2.5.3 Quesito 22: Non è assolutamente il caso di far studiare la regoletta per trovare le "frazioni generatrici" (non la useranno mai, né a scuola né nella vita). Se qualche alunno se la ricorda (o si ricorda di averla vista) si può far osservare che usandola non si fa altro che ripetere (meccanicamente e magicamente) lo stesso procedimento impiegato negli esercizi del quesito. Osserviamo che queste trasformazioni possono essere realizzate anche impiegando grafun: basta definire F(x)=x e calcola-re F(x) per x numero decimale periodico di cui si battano almeno 16 cifre:



2.5.4 Quesito 23: Per poter applicare (5.5) devo prima trasformare i due termini a/b e c/d in modo che abbiano lo stesso divisore (denominatore); per far ciò uso due volte (5.8):

per (5.8)

per (5.5)

2.6.5 Quesito 26 e seguenti: si può far osservare agli alunni che per effettuare calcoli approssimati come quelli proposti si può usare anche grafun. Ad es. il calcolo proposto dal ques. 26 può essere effettuato indicando con u e w le misure della base e dell'altezza e con F o con G o … la funzione costante u*w, e calcolando tale funzione dopo aver opportunamente assegnato i valori a u e w:

Il calcolo proposto dal ques. 30 può essere effettuato nel modo illustrato a fianco:



Scheda 3 (Lo studio delle proprietà delle strutture numeriche (e non numeriche))

La collocazione naturale di questa scheda è dopo la scheda 2 di Funzioni e equazioni, ma i primi due paragrafi possono essere affrontati anche prima (dopo, comunque, la scheda 2 de I numeri).

Può essere svolta in parallelo alla prima parte (§1-§3) della scheda La matematica tra gioco e realtà.

Il §1, volendo, può essere utilizzato solo come traccia da parte dell'insegnante per introdurre le considerazioni ivi svolte in opportune situazioni nell'ambito di attività con la CT (o in aula computer).

Il §2 e il §3 fino a p.6 sono da intendersi facoltativi per le classi con "programma debole" (e istituti professionali). Le riflessioni sulle analogie strutturali presenti in questi paragrafi sono da intendersi come momenti di ripensamento/consolidamento/riorganizzazione concettuale relativi ad ar-gomenti che sono già stati introdotti in precedenza piuttosto che come nuove nozioni da studiare. È per questo motivo che non sono stati introdotti i termini di "monoide", "gruppo", … . Le proprietà insiemistiche non devono essere oggetto di studio/verifica particolare; può essere invece utile (anche in relazione alla successiva introduzione del calcolo delle probabilità) che gli alunni sappiano costruire e interpretare rappresentazioni grafiche di condizioni contenenti connettivi.

La fine di §3 e il §4 sviluppano considerazioni introdotte nell'u.d. Funzioni ed equazioni; in particolare: manipolando un termine si ottiene un termine che può essere equivalente al termine originale solo in un dominio più ristretto (Æpunto D di §4 e §5 della scheda 1, …), l'insieme delle funzioni polinomiali è chiuso rispetto a somma e moltiplicazione (esprimendosi a livello adulto, in questa nuova u.d. si vedrà che, oltre a essere un "anello", è anche un "anello euclideo", cioè dotato di una "divisione") e che esiste un collegamento tra numero di zeri e grado della funzione polinomiale (Æscheda 2, §4), i grafici delle funzioni x k+a/(x–h) hanno la forma di iperbole (equilatera) (Æscheda 1, §3).

I §§ 4-5 sono sviluppati seguendo un itinerario particolare (abbastanza insolito rispetto all'inse-gnamento tradizionale), per cui sarebbe bene rispettare l'articolazione dei contenuti presente nella scheda, senza saltare o spostare argomenti.

Si vedano anche le considerazioni sulle funzioni polinomiali presenti nella guida a Funzioni ed equazioni (scheda 2).

L'obiettivo del §5 non è tanto quello di apprendere delle tecniche, quanto, attraverso queste, comprendere i concetti di m.c.d. e m.c.m. mettendo a fuoco le analogie con i numeri interi. È consigliabile l'uso, ragionato (facendo commentare il lavoro e svolgendo esercizi analoghi a quelli proposti nella scheda), di polinomi e di derive.

Il §6 è da intendersi facoltativo per le scuole con programma "debole".

3.1.1 Quesito 1: 20202020 + 12345678 = 32547698 e anche 20202020Å12345678 = 32547698 perché il risultato della somma ha ancora 8 cifre; invece 20202020 + 87654321 = 107856341, nume-ro composto da 9 cifre e quindi 20202020Å87654321 = 1.078634 108, arrotondamento a 8 cifre di 107856341 (sul visore di alcune CT può apparire 1.0786 108 in quanto il posto delle ultime cifre viene occupato dalle cifre dell'esponente; ma internamente anche tali cifre sono memorizzate, come si può verificare dividendo per 108 o sottraendo 1.0786 108).

3.1.2 Quesito 2:


3.1.3 Quesito 3: (5.0000001Å5.0000003) /dba6()sup2(«)dba9()» 2 = 5.0000000

(5.0000003Å5.0000004) /dba6()sup2(«)dba9()» 2 = 5.0000005

5.0000001Å(5.0000003dba8()sup2(«)dba9()»5.0000001) /dba6()sup2(«)dba9()» 2 = 5.0000002

5.0000003Å(5.0000004dba8()sup2(«)dba9()»5.0000003) /dba6()sup2(«)dba9()» 2 = 5.0000004

3.2.1 Quesito 4. No, perché addizionando un numero irrazionale con il suo opposto si ottiene 0 che è razionale; analogamente moltiplicando un numero irrazionale come per sé stesso, si ottiene il numero razionale 5; il reciproco di un numero irrazionale è, invece, ancora un numero irrazionale: se non lo fosse sarebbe scrivibile come divisione tra interi e quindi sarebbe tale anche il numero di partenza.

3.2.2 Quesito 5. Errata corrige: nella tabella (2.2) sostituire "per ogni x esiste y tale che x·y=1" con "per ogni x­0 esiste y tale che x·y=1".

Le tabelle possono essere così completate:

(2.1)

OK OK OK OK

OK OK OK OK

OK OK OK x = 1

OK OK x = 4 x = 5

(2.2)

OK OK OK x = 2

OK OK x = 3 x = 2

OK OK x = 3 x = 2

OK OK x = 3 x = 2

Nota. Può essere utile far osservare agli alunni che se P è una proprietà del tipo "per ogni x …" dove "…" non contiene una proprietà del tipo "esiste y tale che …", dal fatto che P vale nella struttura S posso dedurre che vale in ogni sottostruttura di S (mentre dal fatto che P non vale in S posso dedurre che non vale in alcuna soprastruttura di S). Una proprietà del tipo di P viene detta "universale".

Nel caso del quesito 5, dagli OK nella prima riga delle prime due colonne possono derivare gli OK nelle righe successive.

Ciò non vale per le proprietà di tipo universale-esistenziale (cioè del tipo "per ogni x esiste y tale …" dove "…" non contiene una proprietà del tipo "per ogni z …"), come si vede nelle ultime due colonne del quesito.

3.2.3 Quesito 6. La tabella completata è:

V F F F V F V F

F F F F V V F F

F F V V F F V V

V V V V F V V V

Nota. A livello adulto, osserviamo che se P è una proprietà "esistenziale", cioè del tipo "esiste x tale che …" dove "…" non contiene una proprietà del tipo "per ogni y …", dal fatto che P vale nella struttura S posso dedurre che vale in ogni soprastruttura di S (mentre dal fatto che P non vale in S posso dedurre che non vale in alcuna sottostruttura di S). Questo fatto non è applicabile alle prime due righe del quesito 6 in quanto le proprietà ivi considerate contengono, implicitamente, dei "per ogni": la prima, ad es., equivale a "esiste x tale che per ogni y, x²y". Questa è un esempio della "logica" che, gradualmente, va sviluppata nel corso del quinquennio (non nozioni posticce e non motivate sul calcolo dei predicati).

3.3.1 Quesito 7. 0; 1; - 2; 1/2; opposto; reciproco; no.

3.3.2 Quesito 8. Non esiste alcuna stringa che, concatenata con "ciao", dia la stringa vuota.

3.3.3 Quesito 9. Il primo elemento è la stringa vuota, anche se non ha codice ascii: la condizione ""<=x$ è vera qualunque sia il valore assegnato alla variabile stringa x$. Volendo restringersi alle stringhe contenenti caratteri usati nei testi, la prima stringa è lo spazio bianco (ricordiamo che non sono usabili come caratteri di una stringa le doppie virgolette). Si vedano il programma, e le relative

uscite, seguenti.

Non esiste ultimo ele-mento: x$<x$+"a" è vera qualunque sia il valore di x$.



Limitandosi hai caratteri visibili, che hanno " " (spazio) come primo elemento, tra "A" e "A " ("A"+spazio) non stanno altre stringhe (così come tra le voci D e DA di un dizionario non vi possono essere altre voci, mentre tra D e DB vi sono DA, DAA, DAB, …).

Esistono, evidentemente, infinite stringhe (se x$ ha come valore una stringa non vuota, x$+x$ ha come valore una stringa diversa).

3.3.4 Quesito 10. P AND Q è vera quando sono vere sia P che Q; P AND (Q AND R) è vera quando sono vere sia P che Q che R; per AND valgono sia la proprietà commutativa che quella associativa. P OR Q è falsa se sono false sia P che Q; analogamente P OR (Q OR R) è falsa se sono false P, Q e R. Anche per OR valgono le proprietà commutativa e associativa.

3.3.5 Quesito 11. La prima è la proprietà distributiva di OR rispetto a AND, la seconda è la proprietà distributiva di AND rispetto a OR.

3.3.6 Quesito 12: Osserviamo che per visualizzare l'unione di due insiemi conviene evidenziare le figure che rap-presentano i due insiemi mediante trat-teggi con la stessa inclinazione, men-tre nel caso dell'intersezione conviene fare tratteggi con inclinazioni diverse. Ricordiamo (a "livello adulto") che NOT(P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q) e NOT(P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)


sono note come "formule di De Morgan".

3.3.7 Quesito 13. I domini di f e di g sono rispettivamente {x : x³0} e {x : x³1}; {x : x³1} è contenuto in {x : x³0}; quindi, è l'intersezione dei due domini e, di conseguenza, è il dominio delle funzioni somma, differenza e prodotto di f e g. Il dominio della funzione quoziente è {x : x>1} in quanto in 1 si annulla g.

3.3.8 Quesito 14. g(f(x))=r(x+1); tutto ciò che entra in f ha output, mentre g ha output solo per in-put non negativi; gli output non negativi di f corrispondono a input x con x³–1; quindi {x : x³–1} è il dominio di g(f(.)); f(g(x))=r(x) +1; non vale la commutatività poiché, ad es., r(1+1) ­ r(1) +1.

Nota. È utile far osservare nuovamente agli alunni che per dimostrare che una proprietà del tipo "per ogni x …" è falsa basta trovare un valore da sostituire a x per cui "…" sia falsa (mentre trovare più valori per cui "…" diventi vera consente solo di congetturare che "per ogni x …" sia vera).

3.3.9 Quesito 15. R(0,0),–90° porta il punto (1,1) in (1,–1); T2,1 porta (1,–1) in (3,0)­(2,–3); la composizione tra movimenti piani non è, quindi, commutativa. Si veda la nota precedente.

Si ricordi agli studenti (da MS-2) che per ruotare P di 90° attorno a un punto Q basta prendere P' con (rispetto a Q) Æx e Æy con valori assoluti scambiati e con uno dei due segni invertito (quale, dipende dal verso della rotazione); si ricordi anche il collegamento con la relazione tra i coefficienti angolari di funzioni lineari con grafici perpendicolari.



3.4.1 Nel paragrafo 4 viene introdotta la divisione tra polinomi in analogia a quella tra interi. È bene però che nelle spiegazioni l'insegnante tenga presente (a livello lessicale) che il simbolo "/" è quello della divisione tra numeri (non uno specifico simbolo per la divisione tra polinomi), per cui:

– il termine 5/3 è un numero così come lo sono i due termini della divisione, mentre se t1 e t2 sono polinomi in x il termine t1/t2 non è un polinomio in x (ma potrebbe essere equivalente a un polino-mio: (x3+x)/(x2+1) equivale a x+1; essendo elastici, può essere considerato un polinomio)

– il termine 12/6 è equivalente al termine 2, quoziente esatto della divisione, mentre (x2–1)/(x+1) non è equivalente al termine x–1, quoziente esatto della divisione, in quanto ha un dominio diverso.

3.4.2 Quesito 16. Il polinomio quoziente ha grado 1, il resto è zero oppure ha grado 0. Solo la prima divisione ha resto nullo, in quanto solo F(x) / H(x) ha per grafico una retta bucata.

Notiamo, a livello adulto, che, implicitamente, nella scheda si è evidenziato che F(x) / H(x) è prolungabile a un funzione continua in IR, mentre G(x) / H(x), il cui grafico presenta "salti", non so-

lo buchi, non lo è.

Se H non avesse zeri il grafico di x F(x) / H(x) (con F fun-zione polinomiale) sarebbe continuo; sarebbe però una retta o una parabola o … (qualora grado(F)–grado(H) fosse 1 o 2 o …) soltanto se la divisione fosse esatta. A lato sono rappresentati i grafici di questa funzione con H(x)=x2+1 e F(x)=x3+1 in un caso, F(x)=x3–x2+x–1 nell'altro.


3.4.3 Quesito 18. Vale 0 per x = 3 solo il polinomio 5x2 – 5x – 30; valgono 0 per x = –2 i polinomi 5x2 – 5x – 30 e 5x + 10.

3.4.4 Dalle considerazioni svolte dopo il quesito 18 si può ricavare il cosiddetto principio di identità dei polinomi: se F: x amxm+… e G: x bnxn+… sono due funzioni polinomiali che a parità di input hanno gli stessi output, allora m=n e am=bn, …, a0=b0. Infatti F(x)–G(x)=0 per ogni x, da cui la funzione polinomiale F–G deve essere il polinomio nullo, perché altrimenti avrebbe un grado g e quindi al più g soluzioni, mentre ne ha infinite. In altre parole questo teorema permette di identificare il concetto di funzione polinomiale e quello di forma polinomiale (vedi guida a Funzioni ed equazioni, scheda 2, §4).

Questo aspetto e la scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili (un polinomio può essere scomposto nel prodotto di polinomi di 1° e 2° grado) è bene siano affrontati nel triennio, nell'ambito di una riflessione più generale estesa al caso dei coefficienti e delle soluzioni nel campo complesso. Si tratta di una questione non "banale". A livello "insegnante" è utile ricordare che questa identifica-zione vale più in generale nel caso dei campi con infiniti elementi, anzi nel caso degli anelli senza 0-divisori (il "quindi" di «avrebbe un grado g e quindi al più g soluzioni» vale anche in questo caso: in assenza di 0-divisori posso concludere che (x-c1)(x-c2)…(x-cn) non può azzerarsi altro che per x=c1, x=c2, x=cn) e con infiniti elementi (in questo caso il polinomio nullo ha "infinite" soluzioni). Il principio di identità non vale in {0,1,2} con: a (+) b = resto(a+b,3) e a (·) b = resto(a·b,3) e in [0,360) con: a (+) b = resto(a+b,360) e a (·) b = resto(a·b,360).

3.4.5 Quesito 19. I due polinomi valgono 0 rispettivamente per a = b e per a = – b. Eseguendo la divisione si ottiene la scomposizione in fattori della differenza e della somma di cubi.

3.5.1 A proposito del concetto di massimo comune divisore facciamo alcune osservazioni (a commento di "cose strane" che si trovano nei libri di testo più diffusi):

Si può dare una definizione di m.c.d. che vale per tutti gli anelli, quindi sia per gli interi che per i polinomi: D è un m.c.d. di A e B se D è un divisore (cioè un fattore) di A e di B e se ogni divisore di A e di B è un divisore di D. Ma in tal caso per gli interi esisterebbero sempre due m.c.d., uno oppo-sto altro (6 e 4 ammetterebbero come m.c.d. sia 2 che –2). Questo è il motivo principale per cui ab-biamo scelto le definizioni presenti nelle schede (un altro motivo è che ci sembrano più comprensibili per gli alunni e più legate al fatto che l'aggettivo "massimo" richiama il concetto di ordinamento).

Se mi restringo alla classe dei polinomi a coefficienti interi, i m.c.d. tra due polinomi sono in nu-mero finito (ad es. 8x+4 e 4x2+2x hanno come m.c.d. 2x+1, –2x–1, 4x+2, –4x–2). Volendo "stan-dardizzare" la scelta di un "rappresentante" posso prendere quello con coefficiente direttivo massimo.

Noi abbiamo considerato direttamente la classe dei polinomi a coefficienti reali, e, in tal caso (co-me anche nel caso in cui ci si restringesse ai polinomi a coefficienti razionali), i m.c.d. sono infiniti, per cui non ha senso assumere come rappresentante standard quello con coefficiente direttivo massi-mo. In questi casi si assume come rappresentante il m.c.d. monico, cioè con coefficiente direttivo 1.

3.5.2 Per la presentazione (e memorizzazione) dell'algoritmo euclideo abbiamo scelto il modo de-scritto a p.13 in quanto non separa gli aspetti tecnici da quelli concettuali.

3.5.3 Quesito 20. 2431/884 = 2 + 663/884; 884/663 = 1 + 221/663; 663/221 = 3. Quindi il m.c.d. è 221.

3.5.4 Può essere utile, se gli alunni hanno CT capaci di semplificare frazioni (come le Galaxy), trovare il m.c.d. tra interi in un modo analogo a quello descritto nella scheda per trovare il m.c.d. tra polinomi con Derive.

Chi usa il sistema operativo Mac e l'applicazione MILO, per trovare il m.c.d. può ricorrere al coman-do Long Division e applicare l'algoritmo euclideo. milo non semplifica automaticamente le frazioni se i termini non sono già scomposti. In ogni caso, quindi, occorre ricorrere all'algoritmo euclideo o ad altre tecniche di scomposizione (che possono poi essere memorizzate come regole di riscrittura).

3.5.5 Quesito 21. (x3 – 4x2 + x + 6) / (x2 + x – 6) = x – 5 + (12x – 24) / (x2 + x – 6) = [può essere uti-le raccogliere 12, per ridursi alla "semplificazione" di x–2 e x2 + x – 6] x – 5 + 12·(x – 2) / (x2 + x – 6); (x2 + x – 6) / (x – 2) = x + 3. Allora "il" m.c.d. è x – 2. Se non raccolgo 12 ottengo comunque: (x2 + x – 6) / (12x – 24) = x/12+1/6 e, riconducendomi a un polinomio con coefficiente direttivo 1, x–2.

3.5.6 Quesito 22. (x2 – 7x + 10) / (x2 – 8x + 15) = 1 + (x – 5 ) / (x2 – 8x + 15); (x2 – 8x + 15) / (x – 5) = x – 3. Allora "il" m.c.d. è (x – 5)·x.

3.5.7 Quesito 23. Il m.c.d. è 1 (o: 2, 3, r(2), …) in entrambi i casi.

3.6.1 Quesito 25.

(0.1)3 = 0.o(sup7(–);3) (0.1)2 = 0.5 (0.01)2 = 0.125 (0.0001)2 = 0.0625

(10.1)2 = 2.5 (0.11)2 = 0.625 (0.11)3 = 0.o(sup7(–);4) (11.1)3 = 4.o(sup7(–);3)

Può essere utile far osservare che, ad esempio per trovare l'espressione decimale di (0.11)2, posso fare, oltre che 1/2+1/4, anche (0.1)2 + (0.01)2 = 0.5+0.125 = …

Se si prova poi a controllare le soluzioni con il programma basi si ottiene, nel caso del 1° esercizio:


o:



cioè 0.0222222… 2, approssimazione per troncamento di 0.0o(sup7(–);2), che in base 3 è uguale (come nume-

ro) a 0.1o(sup7(–);0).

3.7.1 Quesito 26. Errata corrige: 31.58 Æ 31.58·1099.

3.7.2 Quesito 27. Errata corrige: Considera Æ Completa.

OK (y=x/3) OK x = 2 (o …) OK (z=y/x)

x = 1 (o …) OK x = 2 x = 3, y = 1 (o …)

x = 1 OK x = 2 x = 3, y = 1

x = 1 OK x = 2 x = 3, y = 1

3.7.3 Quesito 28. (1): {3n / n è un numero intero positivo}

(2): {3n / n è un numero intero}

(3): Æ, infatti se l'insieme contiene a esso deve contenere anche a–a, cioè 0, e la divisione per 0 non è definita. Se


mettiamo "divisione per numeri diversi da 0" abbiamo l'insieme di tutti i numeri razionali.

Non è il caso di richiedere dimostrazioni "rigorose"; ci si può limitare a far osservare che la richiesta equivale (ad es. nel caso del sottoinsieme S del caso (1)) al fatto che 3 appartenga a S e al fatto che se x e y appartengono a S anche x+y appartenga a S; a partire da 3 attraverso addizioni posso ottenere tutti e solo i multipli positivi di 3.

3.7.4 Quesito 29. Esprimendoci formalmente: Dom(f) = [–2,°), Dom(g) = (–°,°),

Dom(f+g) = Dom(f)«Dom(g) = [–2,°) = Dom(f·g),

Dom(f/g) = Dom(f)«Dom(g)–{x : g(x)=0} = [–2,°) – {1} = [–2,1)»(1,°),

Dom(g/f) = Dom(f)«Dom(g)–{x : f(x)=0} = [–2,°) – {–2} = (–2,°),

Dom(g(f(.))) = Dom(f)–{x : f(x) œ Dom(g)} = [–2,°) – Æ = [–2,°)

Dom(f(g(.))) = Dom(g)–{x : g(x) œ Dom(f)} = (–°,°) – {x : x–1<–2} = [–1,°)

Con gli alunni è meglio usare un procedimento meno formale; ad es. nel caso di f(g(.)) conviene procedere come illustrato a fianco. Poi si può ri-vedere la cosa analizzando direttamente l'espres-sione esplicita (ed eventualmente semplificata) del termine che rappresenta l'output di x (cioè, nel caso di f(g(.)), di r(x+1)).

g(f(x)) = r(x+2) – 1, f(g(x)) = r((x–1)+2) = r(x+1)


3.7.5 Quesito 30. Sono uguali le funzioni che si ottengono componendo una funzione con la sua inversa. L'elemento neutro rispetto alla composizione è la funzione identità (x x). L'elemento inverso di g è h

3.7.6 Quesito 31. x2–5x+6 o(sup6(x=2);sdo1(Æ)) 0; quindi è divisibile per x–2 e il grafico è una retta bucata per x=2. Dividendo trovo x–3; y=x–3 è quindi l'eq. della retta; l'ordinata del buco è 2–3=–1.

Nel secondo caso x2–5x+6 o(sup6(x=2);sdo1(Æ)) 20 ­ 0; quindi il grafico non è una retta bucata.

3.7.7 Quesito 32. x3+x2–6x=x(x2+x–6); x2+x–6 o(sup6(x=2);sdo1(Æ)) 0; la divisione di x2+x–6 per x–2 ha co-me quoziente x+3; quindi x(x2+x–6) = x(x–2)(x+3); il 1° termine è perciò equivalente a x(x+3) in IR–{2}. 2x3+…–20 o(sup6(x=3);sdo1(Æ)) c­0; x2–7x+4 o(sup6(x=–1);sdo1(Æ)) c­0; quindi il 2° e il 3° termine non sono semplificabili.

3.7.8 Quesito 33. Per i primi due casi probabilmente è più comodo procedere come alla fine di p.15 della scheda (semplificando la frazione); per gli altri forse conviene usare l'algoritmo euclideo.

3.7.9 Quesito 34. Usando il teorema del resto si trova che 2°, 4° e 5° termine non sono semplificabili e che quindi il m.c.d. è 1 e il m.c.m. è il prodotto dei due polinomi (a numeratore e a denominatore), eventualmente poi diviso per il coefficiente direttivo in modo che il nuovo coeff. dir. sia 1; per il 1° e il 3° si ha invece che il m.c.d. è il polinomio a denominatore e il m.c.m. è quello a numeratore.

3.7.10 Quesito 35. x2–4=(x–2)(x+2), x2–5x+6 è divisibile per x–2 ma non per x+2; quindi m.c.d.=x–2, m.c.m.=(x+2)(x2–5x+6);

y=x2–6x+5 e y=x2–6x+8 sono parabole una immagine dell'altra mediante una traslazione verticale; quindi non possono avere intersezioni comuni con l'asse x e, perciò (t. del resto), essere divisibili per uno stesso polinomio di 1° grado; quindi m.c.d.=1 e m.c.m.=(x2–6x+5)(x2–6x+8);

per x3–2x2+x–2 e x3–2x2+x+1 non si può ragionare come nel caso precedente: posso concludere che non sono divisibili per uno stesso polinomio di 1° grado, ma, a priori, potrebbero essere divisibili per uno stesso polinomio di 2° grado; usando l'algoritmo euclideo si ha:

(x3–2x2+x–2)/(x3–2x2+x+1) = 1 + – 3/(x3–2x2+x+1);

m.c.d.(x3–2x2+x–2,x3–2x2+x+1)=m.c.d.(3,x3–2x2+x+1)=1 (intendendo m.c.d. standard);

quindi: m.c.m.=(x3–2x2+x–2)·(x3–2x2+x+1)

3.7.11 Quesito 36. Poiché il m.c.d. è 1 non possono essere divisibili per uno stesso polinomio di 1° grado e, quindi (t. del resto), azzerarsi sostituendo a x uno stesso numero. Si poteva concludere ciò anche direttamente osservando che le due figure sono una immagine dell'altra mediante una traslazione verticale.

3.7.12 Quesito 37. (x–3)·(f(2;3) x2 + f(4;3) x – f(2;3)) è una scomposizione i cui polinomi hanno coefficienti che abbiamo descritto esattamente; nel caso di f(2;3) (x–3)(x+2.414)(x–0.4142) alcuni coefficienti sono solo approssimati. Nelle classi con programma forte si può richiedere agli alunni di trovare descrizioni esatte anche per questo caso: si tratta di trovare le radici di x2+2x–1 (1+r(2), 1–r(2)); vedi ques. 24, scheda 2 di Funzioni ed equazioni.

3.7.13 Quesito 38. Posso trovare il m.c.d. tra 2(x2–8x+15) e 3(x2–10x+21) usando l'algoritmo euclideo: mcd(x2–8x+15, x2–10x+21) = mcd(x2–10x+21, 2x–6) = mcd(x2–10x+21, x–3) = mcd(x–3,–7x+21) = x–3. Dall'ultima divisione ho trovato anche che x2–10x+21 = (x–3)(x–7). Trovo poi, dividendo, che x2–8x+15 = (x–3)(x–5). Quindi posso trasformare il termine iniziale in:

f(3x(x–7)+2(2–x)(x–5);2·3·(x–3)(x–5)(x–7)) = f(3x(x–7)+2(2–x)(x–5);6·(x2–8x+15)(x–7)) = …

Questo procedimento è in genere il più efficiente: ad es. se avessimo trovato subito che il mcd è 1 non avremmo dovuto scomporre i due denominatori ma avremmo semplicemente preso come denominatore comune il loro prodotto. È utile verificare la soluzione con derive (o con MILO). In altre situazioni, in cui vi siano scomposizioni molto facili, si può ricorrere ad altre strategie.

3.7.14 Quesito 39. Ottengo l'equazione:

cioè:

che posso risolvere graficamente (e numericamente) con grafun (o polinomi):




(Nota: ha una sola soluzione poiché il grafico non può intersecare altre volte l'asse x; altrimenti dovrebbe presentare altri cambi di monotonia oltre ai 2 qui visualizzati, contraddicendo quanto osservato alla fine della scheda 2 di Funzioni ed equazioni)

3.7.15 Quesito 40. R=A-Q*B

3.7.16 Quesito 41. Possibile programma:



INPUT "grado di P1"; g1

INPUT "grado di P2"; g2

DIM p1(g1), p2(g2)

FOR i=g1 TO 0 STEP -1

PRINT "coeff. di grado";i; " di P1 ";: INPUT p1(i)

NEXT

FOR i=g2 TO 0 STEP -1

PRINT "coeff. di grado";i; " di P2 ";: INPUT p2(i)

NEXT

IF g1<g2 THEN min=g1: max=g2 ELSE min=g2: max=g1

DIM p(max)

FOR i=0 TO min

p(i)=p1(i)+p2(i)

NEXT

FOR i=min+1 TO max

IF g1=max THEN p(i)=p1(i) ELSE p(i)=p2(i)

NEXT

FOR i=max TO 1 STEP -1

PRINT p(i);"* x ^";i;" +";

NEXT

PRINT p(0)







razionali

















nella guida di funzioni equazioni dire che non abbiamo dato la definizione di funzione come algoritmo perché complicherebbe ( x+1 e 1+x sarebbero funzioni diverse ...).


MaCoSa - Guide - I numeri - 11