I numeri
Le strutture numeriche e i loro usi

Considerazioni generali
scheda 1
scheda 2
scheda 3
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Finalità (scheda 1 e 2)

L'unità didattica ha la finalità di dare una prima sistemazione all'uso e allo studio dei sistemi numerici (nella scheda parleremo di strutture numeriche per evitare confusioni con i sistemi di formule; non parleremo, "tendenzialmente", di insiemi: si dovrebbe parlare di "insieme" quando si intende che sia definita solamente la nozione di eguaglianza e di "sistema numerico" - o "struttura numerica" - quando ci si riferisce anche ad alcune operazioni o relazioni definite sull'insieme). Inoltre ha lo scopo di avviare alle strutture non numeriche e allo studio dell'anello euclideo dei polinomi (sviluppato poi in una apposita scheda).

Il taglio dell'u.d. è quello di partire dai numeri così come vengono usati nella vita e nelle discipline applicate e di andare a discernere e comprendere le differenze d'uso, la differenza tra numeri e loro rappresentazioni, i più significativi sottosistemi dei numeri reali e le loro differenze "algebriche".

Si è ritenuta non praticabile (culturalmente e didatticamente) la strada della costruzione dei vari sistemi numerici a partire da N:

– come motivare il tentativo di ricondursi a N? (occorrerebbe mettere a fuoco, storicamente e tecnicamente, problematiche non banali relative ai fondamenti della matematica)

– come caratterizzare N (non come "insieme", che in quanto tale è indistinguibile da quello dei numeri razionali, ma come "struttura": la cosa, in genere, viene elusa nei libri di testo che scelgono questa strada)?

– come mettere a punto gli strumenti di algebra astratta necessari a realizzare la costruzione, … ? (a questo proposito i libri di testo abbondano di esempi in negativo)

I numeri reali sono stati introdotti come modello matematico per rappresentare misure, ovvero come modello del concetto intuitivo di retta graduata, e caratterizzati come sequenze illimitate di cifre (in una qualunque base) con all'interno un "." e, eventualmente, in testa un "–", ovvero come algoritmi che generano queste sequenze "potenzialmente" illimitate. Si è poi definita opportunamente una nozione di eguaglianza (oggetti diversi come espressioni ma uguali come "numeri").

Altra strada possibile era presentare assiomaticamente R, ma anche questa è parsa impraticabile:

– se la si sceglie come definizione dei numeri reali, occorre presentare l'elenco completo degli assiomi e provare che (fissato e delimitato opportunamente l'universo insiemistico in cui si opera) questi ammettono "essenzialmente" un unico modello, e tutto ciò non è alla portata della sc. sec. sup.;

– se la si sceglie come elencazione delle proprietà dei numeri reali che verranno usate nel seguito, come fanno in genere i manuali universitari di analisi matematica, facendo riferimento alla familiarità con i numeri reali che gli alunni dovrebbero già avere (e, di solito, esplicitando che la costruzione dei numeri reali a partire dai numeri naturali potrà essere affrontata solo in corsi di studio più avanzati), si pone il problema che gli alunni devono già conoscere abbastanza a fondo i numeri reali.

Gestione - Tempi

Per la gestione delle schede, a parte le indicazioni più puntuali che seguono, valgono osservazioni analoghe a quelle svolte per le uu.dd. precedenti. Le parti più "discorsive", ma per vari aspetti più importanti, è bene che siano presentate oralmente (e "con la lavagna") dall'insegnante, lasciando poi agli studenti (come compito o ripasso) la lettura per esteso della scheda; gli studenti devono invece leggere direttamente illustrazioni, diagrammi e quesiti. Di questi ultimi alcuni possono essere affrontati individualmente o a gruppi dagli alunni, altri è bene che siano affrontati subito collettivamente. I quesiti dei paragrafi Esercizi possono essere assegnati per casa (o per attività individuali in classe) e poi discussi nella lezione successiva.

Le schede possono essere affrontate in più lezioni, a gruppi di paragrafi.

Dopo la scheda 2, che presenta R come modello matematico del concetto intuitivo di retta, si potrà avviare l'u.d. Per strada.

L'u.d. dovrebbe avviarsi in parallelo al completamento della scheda 4 di La automazione e in parallelo o dopo attività di sintesi/consolidamento sulle uu.dd. precedenti riferite a Gli oggetti matematici e all'Eserciziario. Quindi, per le scuole con "programma forte", l'avvio è previsto a febbraio, per le altre è previsto indicativamente per l'inizio di marzo. Le prime due schede dell'u.d. dovrebbe concludersi in meno di un mese. Per la scheda 3, si veda più avanti.

Contenuti

Per l'articolazione delle singole schede e una descrizione dettagliata degli argomenti matematici si veda la tabella della Presentazione. Il contenuto delle schede può essere riassunto nel seguente modo:

scheda 1: riflessione sui vari usi della parola "numero" e avvio alle definizioni matematiche del concetto di numero, distinzione tra numero e sue rappresentazioni, introduzione del concetto di struttura numerica;

scheda 2: dalle operazioni tra numeri interi alle operazioni tra numeri reali, il calcolo approssimato, la struttura dei numeri razionali;

scheda 3: i numeri macchina, strutture non numeriche (su funzioni, condizioni, stringhe, …), analogie strutturali, analogie tra funzioni polinomiali e numeri interi, numeri reali in base non decimale.

Scheda 1 [versione B] (Usi dei numeri)

1.1.1 Quesito 1: sarebbe la sfera.

1.1.2 Quesito 2: l'unica situazione in cui il numero può essere inteso indicare una quantità è (1.1), interpretando una altezza come una quantità di segmentini lunghi 1 cm. E` chiaro, invece, che il 6 di inglese non rappresenta 6 cose. Gli altri esempi sono discussi nel seguito della scheda.

1.1.3 Quesito 3: il significato dell'ultima lettera del numero di codice fiscale è spiegato negli Esercizi.

1.1.4 Quesito 4: femmina, 20 luglio 1960

1.1.5 Quesito 5: 27.040404...

1.1.6 Quesito 6:

(1) scrivi "2."

(2) scrivi "6"

(3) vai a (2)

1.1.7 Quesito 7: gli alunni devono eseguire 1/22 (a mano e/o con la CT), comprendere come si susseguono le cifre e, poi, darne una descrizione algoritmica: (1) scrivi "0."; (2) scrivi "45"; (3) vai a (2). Non trarre spunto per introdurre la famigerata formuletta per trovare le "frazioni generatrici": la questione è affrontata nel §5 della scheda 2.

1.2.1 Prima del quesito 9: ricordare agli alunni che 1 ara ha l'estensione di un quadrato con 10 m di lato (grosso modo l'area di un appartamento), cioè 100 m²; quindi 1ha = 10000 m², 1ca = 1 m².

1.2.2 A proposito dell'eguaglianza fra numeri osserviamo che, mentre ad es. 003, 3, 3.000, (10)₃, … sono diverse come espressioni ma eguali come numeri, 12/4 e √9, che sono (cioè si dimostra sono) uguali a 3, non sono tuttavia costanti numeriche, ma termini numerici che hanno come valore 3. Nelle argomentazioni inevitabilmente usiamo la parola "numero" per indicare sia una espressione che rappresenta direttamente un numero fissato sia un termine numerico (in «se x è dispari allora il numero x+2 …» x e x+2 sono numeri nel senso che interpretandoli diamo ad essi come valore un numero), così come a volte usiamo la parola "costante" anche per indicare un termine costante, come 3+2, che, ad essere rigorosi, è la somma di due costanti. Il contesto, comunque, scioglierà implicitamente queste eventuali ambiguità.

1.2.3 Quesito 10: la questione verrà ripresa nella scheda 2 di Per strada, dove verranno messi a fuoco il concetto (i concetti) di uguaglianza "come figure".

1.3.1 Quesito 11: sono stati battuti input "diversi come sequenze di caratteri" ma che il programma ha interpretato tutti come rappresentazioni del numero che in notazione standard si scrive 70.

1.3.2 La discussione e gli esempi presentati nel paragrafo 3 dovrebbero mettere in luce che a seconda delle situazioni reali che si vogliono modellizzare si possono considerare operazioni diverse e che si possono anche dare differenti definizioni di una "stessa" operazione (vedi gli usuali successore e somma e quelli relativi all'esempio 3). Si sono già viste, e si approfondiranno nella scheda 3, le differenze tra le operazioni usuali e quelle tra numeri macchina.

1.3.3 Quesito 12: se il numero appena chiamato supera 50 e è abbastanza inferiore (di almeno circa una decina) a 93, chi ha il 93 è arrivato prima, se è abbastanza inferiore (di circa una decina) a 47 è arrivato dopo; se il numero è quasi 47 o quasi 93 la situazione è incerta [il numero chiamato non può superare di poco 47 o 93, altrimenti le persone in coda dovrebbero esser molto più di una cinquantina]. Abbiamo supposto che tutti coloro che hanno "preso il numero" fossero in coda. La discussione è facilmente gestibile solo attraverso una rappresentazione grafica.

1.4.1 (solo nella scheda versione forte) Quesito 13: La domanda (collettiva) trova risposta (cⁿ) e sistemazione più generale nel seguito della scheda.

17    10001   122   21  11
27    11011  1000  33  1B
32  100000  1012   40  20

1.4.2 (solo nella scheda versione forte) Quesito 14:

1120  42  592  4384
1012  32  522  4114

1.4.3 (solo nella scheda versione forte) Quesito 15: (2001)₃ = 55 = (37)₁₆   [16·3+7 = 55];
(1111)₂ = 15 = (33)₄ = (17)₈ = (F)₁₆   [4·3+3 = 15;  1·8+7 = 15;  15<16]

1.e.1 Quesito e2: Vedi, ad es., questo script; oppure, in R, ad esempio così:

N=function(m) {cat("27."); for(i in 0:m) cat("04"); cat("\n") }
N(0); N(1); N(14)
27.04
27.0404
27.040404040404040404040404040404

1.e.2 Quesito e3. "Per curiosità" ecco come generare il terzo numero con R:

N=function(m) {cat("0.03"); for(i in 0:m) {for(j in 1:2^i) cat("2"); cat("47")}; cat("\n") }
N(0); N(1); N(2); N(3)
0.03247
0.032472247
0.032472247222247
0.0324722472222472222222247

1.e.3 Quesito e5: il programma calcola la somma delle cifre del numero introdotto (SommaCifre), calcola il resto della divisione intera tra SommaCifre e 9 (SommaCifre-(SommaCifre\9)*9) e controlla se tale risultato è uguale a CifraControllo. Infatti la divisione intera per 9 equivale a sottrarre 9 tante volte fino a che rimane un numero più piccolo di 9, che è appunto il resto.

1.e.4 Quesito e9: Si faccia osservare che si può usare la proprietà del riordino, per cui le cifre possono essere addizionate nell'ordine che si vuole e le sottrazioni per 9, cioè le addizioni di –9, possono essere eseguite in un qualsiasi momento, non necessariamente tutte alla fine.

(a) (1+8)+(7+2)+(3+6)→0+0+0→0, (7+3)+(6+4)+1→1+1+1→3,
(1+8)+(2+7)+…→0+0+…→0

(b) 1): sì, battendo 3457914. (b) 2): no perché le cifre diverse da 0 e da 9 non possono essere variate di 9 unità e rimanere cifre; con due errori di battitura posso avere: 2457215 o 3727214 o 3250214 o ... (basta che la somma delle variazioni apportate alle due cifre sia 0, 9 o –9).

1.e.5 Quesito e10: (B2X)₃₆ = 11·36² + 2·36 + 33 = 14361

1.e.6 Quesito e11: ad es:
b=4; 3*b^3+2*b^2+3*b+3*b^0; b=8; 1*b^3+0*b^2+1*b+2*b^0
  239   522

1.e.7 Quesito e12:  90 (+) 9 = 99     90 (+) 10 = 1
 33 (+) 50 = 83     33 (+) 80 = 14   In generale, per 1 ≤ m,n ≤ 99:
m(+)n = m + n se m + n ≤ 99, m(+)n = m + n – 99 altrimenti.

Scheda 2 [versione B] (La struttura dei numeri reali e altre strutture numeriche)

Anche in questa scheda sono presenti varie attività al computer. Vedi ad esempio quelle proposte nei quesiti 6, 15 e 20. Esse sono assai importanti perché consentono agli alunni di toccare con mano (e di fissare l'attenzione, crearsi dei problemi e riflettere su di essi) alcune questioni e alcuni concetti fondamentali.

2.1.1 Quesito 1. 000137.9, 000138.0, 000138.1.

2.1.2 A proposito del problema dell'arresto del cronometro (tempi di reazione delle persone) si può eventualmente richiamare il quesito e11 della scheda 3 di Le statistiche.

2.1.3 Quesito 2. (1) vorrei una pila alta 17 cm; penso 17 come numero esatto; (2) eseguo 17/3 nel modello astratto, ottenendo 5.666… ; (3) per tracciare i segni devo usare una riga graduata; dal modello torno alla realtà e traccio i segni considerando la tacca 0 e metà strada tra la tacca 5.6 e la tacca 5.7; (4) l'altezza della pila non è detto che sia esattamente 17, sia per come ho tracciato i segni, sia per effetto dell'operazione di taglio (lo spessore della lama della sega può introdurre un errore di 1 o 2 mm) per cui alla fine la pila può differire di 3÷6 mm (se faccio 3 tagli) o di 4÷8 mm (se devo fare 4 tagli).

2.2.1 L'intreccio tra numeri reali e enti geometrici (numeri, coppie di numeri, equazioni, … e punti e altre figure geometriche) verrà approfondito nelle uu.dd. Per strada e La matematica e lo spazio.

2.2.2 Il confronto tra numeri (fine §2) è definito in modo algoritmico. Occorre, tuttavia, tener conto del fatto che i numeri con periodo 9 devono essere identificati con numeri decimali limitati. Ciò è precisato più avanti nella scheda.

2.3.1 Durante lo sviluppo della moltiplicazione 12.3·0.21 e della divisione 38/7 si può far osservare (senza troppa "insistenza") quali sono le trasformazioni algebriche man mano operate (ad esempio 123·21 viene trasformato in 123·20+123·1 sostituendo 21 con il termine equivalente 20+1 e distribuendo la moltiplicazione rispetto alla addizione, 123·20 viene trasformato in 123·2·10 …).

2.3.2 Quesito 7. Passo 6 di 24/7, 342857;  passo 7, 3428571;   passo 8, 34285714;   passo 9, 342857142;  passo 10, 3428571428; …. Per capire perchè si ripetono le cifre del risultato occorre eseguire per esteso il calcolo ed osservare i resti: il resto della prima divisione intera eseguita è 3, quando si arriva a 3.428571 si riottiene il resto 3. Poiché ogni nuovo divisione intera è interamente determinata dall'ultimo resto (si fa resto·10/7), il procedimento si svilupperà ripetendo ciclicamente le divisioni che hanno dato resti 2, 6, 4, 5, 1 e 3. Nelle classi più "difficili" si può osservare questo fenomeno senza soffermarsi troppo su di esso, così come sul quesito successivo.

2.3.3 Quesito 8. 28; il periodo può essere lungo al massimo n - 1 cifre. Infatti i resti possibili sono 0, 1, …, n–1, ma, appena compare il resto 0 i successivi resti sono anch'essi 0; quindi il periodo può essere massimo se i resti che si susseguono cadono tra 1 e n–1 (vedi quesito 7).

2.3.4 Quesito 9. Limitati.

2.4.1 Quesiti 10. 3.2222...·4 = 12.8888...; 3.2222... + 3.5555... = 6.7777...; 3.2222.../2 = 1.6111...

2.4.2 Quesiti 11, 12, 13: introducono alla precisazione del concetto di eguaglianza tra numeri affrontata dopo figura 6.

2.4.3 Quesito 14. Con R, che effettua i calcoli approssimando, otterrei, direttamente o facendo stampare più cifre:

0.37373737373737373737+0.416416416416416416416
0.7901538
print(0.37373737373737373737+0.416416416416416416416,16)
0.7901537901537902
more(0.37373737373737373737+0.416416416416416416416)
0.79015379015379

2.4.4 Quesito 15. 24.32 cm² ≤ area ≤ 25.35 cm², indeterminazione = 1.03 cm²

2.5.1 Quesito 16. Domanda collettiva. Risposte: faccio un elevamento alla potenza in meno, posso operare alcune trasformazioni in numeri di cui è più facile calcolare le potenze, …

2.5.2 Quesito 18. (1) (5.5); (2) (5.6); (3) (5.7); (4) (5.8) e (5.7)

2.5.3 Quesito 19: Non è assolutamente il caso di far studiare la regoletta per trovare le "frazioni generatrici" (non la useranno mai, né a scuola né nella vita). Se qualche alunno se la ricorda (o si ricorda di averla vista) si può far osservare che usandola non si fa altro che ripetere (meccanicamente e magicamente) lo stesso procedimento impiegato negli esercizi del quesito. Osserviamo che queste trasformazioni possono essere realizzate anche R nel modo seguente (ma occorre tener presente che se il periodo è lungo si possono ottenere valori non corretti):
fraction(4.01313131313131313131313)
3973/990
o, meglio, WolframAlpha, battendo 4.0131313...

2.5.4 Quesito 20. Viene generato 0.10100100010000100000100000010… che è irrazionale in quanto non periodico (vedi qui per generarlo con R).

2.5.5 Quesito 21. Una possibile modifica per generare un numero razionale è la seguente: clicca qui

2.e.1 Quesito e1 e seguenti: si può far osservare agli alunni che per effettuare calcoli approssimati come quelli proposti si può usare anche il software (vedi la fine del paragrafo 4). Ad es. il calcolo proposto dal ques. e1 può essere effettuato con R così:

x=c(250,260);y=c(180,190); r=approx(x,y,"+");r; approx2(x,y,"+")
#    [1] min      [2] max    Use approx2 if you want center, radius 
#    [1] 430          450
#    [1] center   [2] radius    Use approx if you want min, max 
#    [1] 440          10
approx(r,2,"/"); approx2(r,2,"/")
#    [1] min      [2] max    Use approx2 if you want center, radius 
#    [1] 215          225
#    [1] center   [2] radius    Use approx if you want min, max 
#    [1] 220          5

Scheda 3 (Lo studio delle proprietà delle strutture numeriche (e non numeriche))

    La collocazione naturale di questa scheda è immediatamente prima o dopo la scheda sulle Funzioni polinomiali, ma i primi due paragrafi possono essere affrontati anche in precedenza.  Può essere anche svolta in parallelo a La matematica tra gioco e realtà.

    Il §1, volendo, può essere utilizzato solo come traccia da parte dell'insegnante per introdurre le considerazioni ivi svolte in opportune situazioni nell'ambito di attività con la CT (o col computer).

    In §2 e §3 le riflessioni sulle analogie strutturali (che sono da affrontare in modo meno approfondito in scuole di tipo "professionale") sono da intendersi come momenti di ripensamento/consolidamento/riorganizzazione concettuale relativi ad argomenti che sono già stati introdotti in precedenza piuttosto che come nuove nozioni da studiare. È per questo motivo che non sono stati introdotti i termini di "monoide", "gruppo", … . Le proprietà insiemistiche non devono essere oggetto di studio/verifica particolare; può essere invece utile (anche in relazione alla successiva introduzione del calcolo delle probabilità) che gli alunni sappiano costruire e interpretare rappresentazioni grafiche di condizioni contenenti connettivi.

    Anche il §4 può essere svolto in modo meno approfondito nelle scuole con programma "debole".

3.1.1  Quesito 1:  (5.0000001 (+) 5.0000003) (/) 2 = 5.0000000

              (5.0000003 (+) 5.0000004) (/) 2 = 5.0000005

                5.0000001 (+) (5.0000003 (−) 5.0000001) (/) 2 = 5.0000002

                5.0000003 (+) (5.0000004 (−) 5.0000003) (/) 2 = 5.0000004

3.2.1  Quesito 2. La tabella completata è:

    V    F    F    F    V
    F    F    F    F    F
    F    F    V    V    V
    V    V    V    V    V

3.3.1  Quesito 3. I domini di f e di g sono rispettivamente {x : x≥0} e {x : x≥1}; {x : x≥1} è contenuto in {x : x≥0}; quindi, è l'intersezione dei due domini e, di conseguenza, è il dominio delle funzioni somma, differenza e prodotto di f e g. Il dominio della funzione quoziente è {x : x>1} in quanto in 1 si annulla g.

3.3.2  Quesito 4. g(f(x))=√(x+1); tutto ciò che entra in f ha output, mentre g ha output solo per input non negativi; gli output non negativi di f corrispondono a input x con x≥–1; quindi {x : x≥–1} è il dominio di g(f(.)); f(g(x))=√x +1; non vale la commutatività poiché, ad es., √(1+1) ≠ √1+1.

Nota. È utile far osservare nuovamente agli alunni che per dimostrare che una proprietà del tipo "per ogni x …" è falsa basta trovare un valore da sostituire a x per cui "…" sia falsa (mentre trovare più valori per cui "…" diventi vera consente solo di congetturare che "per ogni x …" sia vera).

3.3.3  Quesito 5. 0; 1; - 2; 1/2; opposto; reciproco; no.

3.3.4  Quesito 6. La funzione identità (x → x).

3.3.5  Quesito 7. Non esiste alcuna stringa che, concatenata con "ciao", dia la stringa vuota.

3.3.6  Quesito 8. Il primo elemento è la stringa vuota. Volendo restringersi alle stringhe contenenti caratteri usati nei testi, la prima stringa è lo spazio bianco (ricordiamo che non sono usabili come caratteri di una stringa le doppie virgolette).
    Non esiste ultimo elemento (se ad una qualunque stringa aggiungo "a" ottengo una stringa "maggiore").
    Limitandosi hai caratteri visibili, che hanno " " (spazio) come primo elemento, tra "A" e "A " ("A"+spazio) non stanno altre stringhe (così come tra le voci D e DA di un dizionario non vi possono essere altre voci, mentre tra D e DB vi sono DA, DAA, DAB, …).
    Esistono, evidentemente, infinite stringhe (se X ha come valore una stringa non vuota, concatenando X a X ho una stringa diversa).

3.3.7  Quesito 9. P & Q è vera quando sono vere sia P che Q; P & (Q & R) è vera quando sono vere sia P che Q che R; per & valgono sia la proprietà commutativa che quella associativa. P | Q è falsa se sono false sia P che Q; analogamente P | (Q | R) è falsa se sono false P, Q e R. Anche per | valgono le proprietà commutativa e associativa.

3.3.8  Quesito 10: Osserviamo che per visualizzare l'unione di due insiemi conviene evidenziare le figure che rappresentano i due insiemi mediante tratteggi con la stessa inclinazione, mentre nel caso dell'intersezione conviene fare tratteggi con inclinazioni diverse. Ricordiamo (a "livello adulto") che  !(P | Q) = (! P) & (! Q)  e  !(P & Q) = (! P) | (! Q)   sono note come "formule di De Morgan".

3.3.9  Quesito 11. R_{(0,0),–90°} porta il punto (1,1) in (1,–1); T_2,1 porta (1,–1) in (3,0)≠(2,–3); la composizione tra movimenti piani non è, quindi, commutativa.

3.4.1  Quesito 12. Si noti che il programmino in JS memorizza e visualizza anche i resti: questo facilita la comprensione e la spiegazione. Prima del quesito si può riprendere il quesito 22 di La Automazione 2.

3.4.2  Per esplorare il comportamento coi numeri di R può essere utile ricorrere al comando sprintf("%.nf",x) che se si mette un numero x ne visualizza n cifre dopo il ".". Occorre tener conto che l'approssimazione è corretta fino a 16 cifre significative. Ecco che cosa si può ottenere:
sprintf("%.16f",1.23456*1.23456); sprintf("%.15f",1.23456*1.23456)
  "1.5241383936000001"     "1.524138393600000"
(il primo valore è a 17 cifre: una prima del "." e 16 dopo; il secondo invece è a 16 cifre).

3.5.1    Quesito e1. (1): {3n / n è un numero intero positivo}
  (2): {3n / n è un numero intero}
  (3): ∅, infatti se l'insieme contiene a esso deve contenere anche a–a, cioè 0, e la divisione per 0 non è definita.  Se mettiamo "divisione per numeri diversi da 0" abbiamo l'insieme di tutti i numeri razionali.
  Non è il caso di richiedere dimostrazioni "rigorose"; ci si può limitare a far osservare che la richiesta equivale (ad es. nel caso del sottoinsieme S del caso (1)) al fatto che 3 appartenga a S e al fatto che se x e y appartengono a S anche x+y appartenga a S; a partire da 3 attraverso addizioni posso ottenere tutti e solo i multipli positivi di 3.

3.5.2    Quesito e2. Esprimendoci formalmente: Dom(f) = [–2,∞), Dom(g) = (–∞,∞),

    Dom(f+g) = Dom(f)∩Dom(g) = [–2,∞) = Dom(f·g),

    Dom(f/g) = Dom(f)∩Dom(g)–{x : g(x)=0} = [–2,∞) – {1} = [–2,1)∪(1,∞),

    Dom(g/f) = Dom(f)∩Dom(g)–{x : f(x)=0} = [–2,∞) – {–2} = (–2,∞),

    Dom(g(f(.))) = Dom(f)–{x : not f(x) ∈ Dom(g)} = [–2,∞) – ∅ = [–2,∞)

    Dom(f(g(.))) = Dom(g)–{x : not g(x) ∈ Dom(f)} = (–∞,∞) – {x : x–1<–2} = [–1,∞)
    Con gli alunni è meglio usare un procedimento meno formale. Poi si può rivedere la cosa analizzando direttamente l'espressione esplicita (ed eventualmente semplificata) del termine che rappresenta l'output di x (cioè, nel caso di f(g(.)), di √(x+1)).
  g(f(x)) = √(x+2) – 1, f(g(x)) = √((x–1)+2) = √(x+1)

3.5.3    Quesito e3. Sono uguali le funzioni che si ottengono componendo una funzione con la sua inversa. L'elemento neutro rispetto alla composizione è la funzione identità (x → x). L'elemento inverso di g è h