Per strada
La matematica per i movimenti e i mezzi di trasporto

Considerazioni generali
scheda 1
scheda 2
  →   Indice guide

Finalità

L'u.d. Per strada ha la finalità di introdurre in un contesto motivante e operativo gli elementi di base della geometria piana, dal piano cartesiano ai vettori, alle principali trasformazioni isometriche. Questi elementi verranno man mano ripresi e sistemati (ad un livello di formalizzazione e di integrazione con altre aree della matematica - sistemi numerici, equazioni, funzioni, strutture algebriche, … - superiore rispetto a quello della scuola media inferiore) nell'u.d. La matematica e lo spazio (u.d. che avrà sviluppi anche dopo la fine dell'u.d. Per strada).
    In relazione al fatto che i "nuovi programmi" (che nella prima versione risalgono orami del 1987) hanno previsto l'introduzione della geometria analitica a partire dal biennio e che hanno dato l'indicazione di affrontare alla fine del triennio una trattazione dei sistemi assiomatici, si è scelto di abbandonare ogni tentativo di presentazione assiomatica della geometria.  Del resto una decente sistemazione assiomatica non è affrontabile a questo livello scolastico e poco decenti sono i tentativi operati in questo senso da vari libri di testo (si può fare una lunga rassegna di assiomi che tali non sono, di sistemi di assiomi paurosamente incompleti, di enunciati che non dicono nulla, di dimostrazioni che tali non sono, di teoremi che non possono essere dimostrati ma devono essere presi come assiomi, …: se gli autori di questi testi e gli insegnanti che li seguono non si rendono conto di questi errori, come si può pensare di presentare in questo modo la geometria agli alunni?).
    Vi sono difficoltà a comprendere l'essenza di una sistemazione assiomatica della geometria. Comprendere gli assiomi della geometria è diverso dal comprendere gli assiomi di gruppo, che danno una definizione di che cos'è un gruppo:
-  non solo abbiamo una articolazione di assiomi più ampia e complessa, ma
-  in questi assiomi, invece che simboli (variabili, simboli per generiche operazioni), impieghiamo nomi (punto, retta, appartenenza, …) che ci richiamano immediatamente un significato intuitivo (è difficile capire che il significato di questi nomi è invece definito solo da tutto il complesso degli assiomi) e
-  invece che definire una classe di oggetti (i gruppi), viene definito un "unico" oggetto (lo spazio).
    Difficoltà analoghe sarebbero insite in una definizione assiomatica dei numeri reali.
    Altra cosa, ovviamente, è dimostrare o enunciare alcune proprietà geometriche e da queste dedurne altre: comprendere le dimostrazioni è diverso dal comprendere le definizioni assiomatiche (per altro i "nuovi programmi" danno l'indicazione di dimostrare solo alcuni teoremi - si suppone in relazione alla significatività del teorema stesso e/o della dimostrazione).
    Vi sono anche specifiche difficoltà tecniche. Si pensi alla difficoltà di presentare gli assiomi della continuità, che sono invece essenziali per gli aspetti analitici, per il problema della misura (anche questo parzialmente anticipato al biennio), …     Abbiamo scelto un approccio operativo, con graduali sistemazioni di tipo analitico. Ci si appoggia, dunque, sul concetto di numero reale, che è facile introdurre in modo sufficientemente rigoroso (vedi l'u.d. I numeri).
    Ciò non vuol dire che le dimostrazioni verranno tutte ridotte a calcoli: l'approccio numerico serve essenzialmente a presentare in modo rigoroso alcuni concetti di base (piano, punto, distanza, traslazione, rotazione, …); mediante questi verranno presentati gli altri concetti, senza necessariamente ricorrere a formulazioni numeriche (ad esempio la semiretta può essere descritta come l'insieme dei punti che possono essere raggiunti da un punto fissato mediante traslazioni di direzione fissata e, poi, se ne può dare una presentazione sotto forma di equazioni e disequazioni). Analogamente le dimostrazioni, a seconda della convenienza (dal punto di vista della facilità e della trasparenza del "significato"), verranno svolte con metodi numerici o con metodi "classici".
    Nelle schede sono presenti molte attività di misura, di disegno, … . L'aspetto della operatività è infatti essenziale per la comprensione della geometria come "rappresentazione razionale dello spazio": sia affinché i concetti introdotti diventino operativi a livello mentale (cioè diventino strumenti usati per l'interpretazione e la comprensione dei fenomeni reali, non conoscenze scolastiche giustapposte e accantonate, come spesso accade: si vedano le conoscenze distorte del concetto di angolo, le difficoltà a interpretare i fenomeni astronomici, a analizzare le proprietà spaziali del grafico di una funzione, a schematizzare problemi di fisica, … che gli alunni si trascinano fino all'università, e oltre …), sia affinché essi vengano usati con padronanza (si vedano, invece, le difficoltà a controllare la sensatezza dell'ordine di grandezza di una misura di lunghezza o superficie ottenuta risolvendo un problema, a usare riga, squadra, …).
    Una discussione più approfondita sulle scelte didattiche operate può essere trovata nelle indicazioni presenti negli Oggetti Matematici.

Gestione - Tempi

    Per la gestione delle schede, a parte le indicazioni più puntuali che seguono, valgono osservazioni analoghe a quelle svolte per le uu.dd. precedenti. Le parti più "discorsive", ma per vari aspetti più importanti, è bene che siano presentate oralmente (e "con la lavagna") dall'insegnante, lasciando poi agli studenti (come compito o ripasso) la lettura per esteso della scheda; gli studenti devono invece leggere direttamente illustrazioni, diagrammi e quesiti. Di questi ultimi alcuni possono essere affrontati individualmente o a gruppi dagli alunni, altri è bene che siano affrontati subito collettivamente.
    Alcuni quesiti dei paragrafi Esercizi possono essere assegnati per casa (o per attività individuali in classe) e poi discussi nella lezione successiva; alcuni possono essere trascurati nelle classi che incontrano maggiori difficoltà o hanno programmi più ridotti.
    Le schede possono essere affrontate in più lezioni, a gruppi di paragrafi.
    La scheda 1 può essere avviata dopo la conclusione della scheda 2 de I numeri (quindi, grosso modo, a metà marzo nelle classi con programma forte, a metà aprile in quelle con programma debole [in qualche situazione difficile si potrebbe spostare l'u.d. all'inizio del secondo anno]. Dopo questa scheda si può affrontare la scheda 1 de La matematica e lo spazio e, successivamente, nelle classi con programma forte, la scheda 2 di Per strada [se è il caso, anche nelle classi con programma forte si può rinviare alla classe seconda la scheda 2 di Per strada].

Contenuti

Scheda 1 [versione B] (Da casa a scuola)

    E` bene che gli alunni abbiamo squadra, riga e goniometro. In alternativa si possono impiegare fogli di carta millimetrata opportunamente piegati (alla disperata, fogli di carta quadrettata, con i quadretti con lato di 5 mm).
1.1.1  Quesito 1. Far notare che (nella prima domanda) si è lasciata indicata l'unità di misura per evitare successivamente inutili calcoli. La scala è tuttavia un numero puro, senza unità di misura. Infatti il rapporto m/mm è pari a 1000. La scala, cioè, sarebbe (se, nella stampa o sullo schermo, il segmento che rappresenta 250 m fosse lungo 22 mm): 250/22·1000 = 11400 o (se, nella stampa o sullo schermo, il segmento che rappresenta 250 m fosse lungo 24 mm): 250/24·1000 = 10400.
1.1.2  Quesito 2. Nel caso in cui la scala fosse 250/24·1000 la distanza casa-scuola sulla cartina sarebbe di 125 mm; nel caso in cui la scala fosse 250/22·1000 la distanza sulla cartina sarebbe di 115 mm. Il testo del quesito è eventualmente da correggere (in qualche versione c'è "250/24", invece che "250/...").
1.1.3  Quesito 3. Ricordare la proprietà distributiva (e altri impieghi per l'esecuzione di calcoli: 7000+5000+9000=(7+5+9)mila, 500/2+700/2=(500+700)/2, … ).
1.1.4  Quesito 4. La questione può essere discussa collettivamente. I quesiti successivi ne daranno una sistemazione.
1.1.5  Quesito 5. Non serve calcolare la lunghezza reale. Basta calcolare la lunghezza sulla cartina e confrontarla con quella trovata nel quesito 3.
1.1.6  Quesito 6. La differenza delle lunghezze dei due itinerari è uguale alla differenza di YWP2 da YP2. Spiegando la soluzione si usino parole che mettano in luce come fig.2 sia una "astrazione" rispetto a fig.1 (dettagli - case, carreggiate, … - che si sono trascurati, punti angolosi al posto delle curve con cui l'autobus passa da un tratto rettilineo al successivo, …).
1.1.7  Nella scheda 1 di La matem. e lo spazio verrà chiarito l'uso differente del termine direzione che viene fatto in alcuni manuali di fisica (oltre che in matematica, anche in alcuni manuali universitari "recenti" - Cromer, Halliday, … - si usa la terminologia qui adottata).
1.1.8  Quesito 8. Si può procedere in due modi. Ad esempio per trovare T2, tracciata da T1 la parallela a P1P2 , per individuare su di essa T2 si può usare la riga millimetrata, misurare P1P2 e prendere T1T2 uguale a P1P2, oppure si può intersecarla con la parallela a P1T1 passante per P2. Nel caso del punto Q2 questo secondo metodo è il più intuitivo, essendo Q1 e P1 posti alla stessa altezza del foglio.
1.1.9  Le osservazioni sullo spostamento complessivo alla fine del paragrafo 1 sono un preludio all'analisi delle proprietà della somma vettoriale. La questione verrà ripresa in vari modi anche in punti successivi (in particolare, nei quesiti 19 ed e1), e verrà sistemata nella scheda 1 di La matem. e lo spazio.
1.2.1  Quesito 9. Il punto di arrivo è, circa, (195,210). Lo spostamento è di 170 m a destra e 180 m in alto (vedi figura 8). Sulle rette graduate il concetto di distanza si riconduce alla differenza delle coordinate.
1.2.2  Quesito 10. variazione coordinata orizzontale = -170, var. coor. vert. = -180.
1.2.3  Quesito 11. Il quesito mette in luce (per contrasto col quesito 10) che d(A,B)≥0 e che d(A,B)=d(B,A). In questo caso la distanza è |Δx|+|Δy|: si prendono i valori assoluti delle variazioni.
1.2.4  Quesito 12. Le traiettorie sono 10 (nessuna riga rimane vuota).
1.2.5  Quesito 14. Qualcuno dovrebbe ricordarsi del teorema di Pitagora (in teoria dovrebbe venire in mente a tutti: i "problemi con Pitagora", purtroppo, costituiscono una delle attività più frequenti in molte classi di scuola media; ma qui si tratta di un'attività non stereotipata …).
1.2.6  Quesito 15. 247.5… ≈ 250
1.2.7  Quesito 16. 170 [^2] [M+] 180 [^2] [+] [RM] [=] [√]
1.2.8  Quesito 17. Per l'ipotenusa con la misura diretta (in mm) otteniamo l'intervallo di indeterminazione [61,62]. Con il teor. di Pitagora otteniamo [√3709, √3877] = [60.901…,62.265…]. Non c'è contraddizione, infatti i due intervalli hanno punti in comune.
1.3.1  Quesito 19. Punto (a), pergamena 3: uscito dal molo svolta a sinistra, fai 90 passi, svolta a destra, fai 50 passi, ….  Punto (b): con la 1a pergamena si sommano tutti gli spostamenti N, poi tutti gli spostamenti S; e poi si fa la differenza; oppure si sommano man mano sia spostamenti N che spostamenti S tenendo conto del "segno" (N o S) della somma parziale; lo stesso si fa per le direzioni E e W. Si procede analogamente per la seconda pergamena (si sommano i Δx …).  Punto (c): la questione della relatività dei sistemi di riferimento verrà ripresa più volte in schede successive (formica che si muove sul foglio, noi che camminiamo e la terra che gira, rotazione della parte di un meccanismo che a sua volta si sta muovendo, …); per analogia si possono richiamare anche i riferimenti assoluti e relativi nei fogli di calcolo elettronico.
1.3.3  Quesito 20.
n = 6; text(x,y+0:n,"O"); y = y+n
n = -2; text(x+0:n,y,"O"); x = x+n
n = 5; text(x+0:n,y,"O"); x = x+n
1.e.1  Quesito e1. • Lo spostamento complessivo è "80 m a destra"; • viene introdotta operativamente la possibilità di riordinare una composizione di traslazioni / addizione di vettori, che sarà ripresa in La matematica e lo spazio; • riordino dei termini di un'addizione tra numeri reali.
1.e.2  Quesito e3. Nota: il proprietario ha intenzione di tenere solo il marmo scuro, non pensa di recuperare anche il resto della precedente pavimentazione (non è in generale possibile scomporre i due quadrati bianchi di lati a e b e ricomporli in un quadrato di lato c): negli schizzi si pensa di far scorrere sul basamento del pavimento solo i pezzi di marmo scuro. La risposta al quesito proposto è semplicemente che la superficie "bianca" in (1) ha uguale estensione di quella in (5) in quanto sono entrambe differenze tra l'intera superficie del pavimento e la superficie di marmo scuro; quindi … . Qui stiamo usando liberamente varie proprietà intuitive sufficientemente garantite dall'esperienza, e in particolare il fatto che trasportando oggetti rigidi non ne vengono modificate dimensioni ed estensioni. Queste proprietà troveranno una successiva sistemazione formale in La matematica e lo spazio (si vedrà che potranno essere dimostrate nel modello matematico di piano che metteremo a punto).
1.e.3  Quesito e4. Più che l'analisi del programma sono invece importanti le riflessioni sulle differenze tra operatori logici e connettivi del linguaggio comune. Esse verranno riprese anche in schede successive (verrà anche introdotto xor, cioè l'"aut").
1.e.4  Quesiti e8 ed e10. Per realizzare programmi come questi, vedi. Eccone possibili versioni:

HF=1.5; BF=1.5
boxW(0,11,0,11)
x = 1:10; text(x,10,"O"); text(x,5,"O")
y = 10:5; text(1,y,"O"); text(10,y,"O")
# per vedere la griglia posso introdurre:  BOX()
#
boxW(0,11,0,11)
y = 10:5; text(1,y,"O")
x = 1:6; text(x,5,"O"); text(x,11-x,"O")
#
boxW(0,11,0,11)
x = 1:10; for(y in 10:5) text(x,y,"O")
#
boxW(0,11,0,11)
for(x in 1:7) for(y in x:7) text(x,y,"O")
# Ovvero:  HF=2.2; BF=2.2; PLANEww(0,11,0,11)

Scheda 2 [versione B] (Fuori città in bicicletta o in motorino)

    La scheda si dovrebbe prestare al coinvolgimento nella conduzione delle discussioni di scout (fra le "specialità" è prevista quella di "topografo"), cicloturisti, motociclisti e … di chi (in prospettiva) ha intenzione di prendere la patente.
2.1.1  Quesito 2. Da 725 a 748 m di altitudine vi è un dislivello di circa 25 m; vi sono circa 100 m di avanzamento orizzontale. Quindi si ha una pendenza pari circa a 25/100=25%.
2.1.2  A proposito della figura 4, si può ricordare che dei profili altimetrici si è già discusso nell'u.d. La matematica e i suoi modelli.
2.1.3  Quesito 5. Si può trovare "xP" con "Pitagora": √(d²-yP²) = √(25-6.25) = 4.33.
2.1.4  Quesito 7. 28° -> 53%; 53% di 1350 = 715.5; 2437-715.5 = 1721.5 ≈ 1720 (dieci metri più, dieci metri meno: 53 è un valore approssimato).
2.2.1  Quesito 8. Vedi anche quesito 3 della scheda 1.
2.2.2  Quesito 10. Anticipa/prepara la messa in evidenza del ruolo del cambio: ridurre la velocità/aumentare la forza vincibile.
2.2.3  Dopo il quesito 10 nella versione forte sono presenti dei riquadri che svolgono un breve approfondimento dei concetti fisici che intervengono nella scheda. Nella stessa versione è presente anche, in più, l'esercizio e19.
2.2.4  Quesito 11. La questione viene ripresa subito dopo il quesito.
2.e.1  Quesito e6:vedi gli Oggetti Matematici.