La matematica e lo spazio
I modelli geometrici

Considerazioni generali
scheda 1
scheda 2
scheda 3
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Finalità - Gestione - Tempi - Contenuti

Vedi la guida a Per strada. Tieni conto che vengono affrontate anche questioni presenti nelle voci "Area" e "Triangoli" degli Oggetti Matematici (le considerazioni su "Lunghezza" e "Distanza tra figure", volendo, possono essere affrontate nel primo biennio; altrimenti sono poi affrontate l'anno successivo).

Scheda 1 [versione B] (Traslazioni, vettori e distanze)

1.1.1  Quesito 1: "prugna secca".
1.1.2  Figura 2. Si tratta del grafico dei record di salto in alto considerato nella scheda 2 di Le statistiche.
1.2.1  Quesito 6: è utile fare analogie con le operazioni in R, cioè cioè con le addizioni e le sottrazioni tra i vettori dello spazio unodimensionale.
1.3.1  Quesito 8. Probabilmente gli alunni tracceranno solo punti a coordinate intere. Si faccia osservare che tutti i punti dei lati del quadrato che si può ottenere congiungendo i punti tracciati (vedi la figura dopo il quesito 12) hanno distanza 10 dall'origine. Ad es. facendo 2.666… m in basso e 7.333… m in alto il robot percorre 10 m (2.666…+7.333… = 9.999… = 10.000…).
1.3.2  Quesito 10. 100 = 9+x², 91 = x², x² = 91, x = √91 = 9.53939…. Si può far osservare, senza insistere, il collegamento tra cambi di segno e di ordine delle coordinate e simmetrie. Questo collegamento verrà "implicitamente" costruito/consolidato nel quesito 12. Il comportamento degli alunni di fronte al quesito e6 potrà costituire una parziale verifica di quanto abbiano acquisito operativamente questo collegamento.
1.4.1  Quesito 14. Si può descrivere in vari modi; ad es.:
• (-5≤x≤5 and -5≤y≤-4) or (-5≤x≤-4 and -4≤y≤5) unione di due rettangoli
• (-4≤x≤5 and -5≤y≤-4) or (-5≤x≤-4 and -5≤y≤5) unione di due rettangoli
• (-5≤x≤5 and -5≤y≤5) and not (-4≤x≤5 and -4≤y≤5) differenza di due rettangoli
Forse per il momento è bene privilegiare il consolidamento dell'uso degli operatori logici rispetto alla formalizzazione della rappresentazione insiemistica. Altrimenti si rischia l'insorgere di incomprensioni legate, ad esempio, al fatto che riferendosi direttamente alle figure con "e" si intende l'unione ("la figura costituita da questo rettangolo e quello"), riferendosi ai punti si intende l'intersezione ("la figura i cui punti stanno in questo rettangolo e in quello", intendendo questo "e" come AND). Ne I numeri - 3 ci si soffermerà sugli operatori insiemistici, nell'ambito di un confronto tra diverse strutture (operazioni tra numeri, tra numeri-macchina, tra stringhe, tra vettori, tra insiemi, tra condizioni, tra angoli/direzioni, …).
1.5.1  Paragrafo 5. Questo paragrafo tenta di chiarire le differenze tra la "geometria pura" e le attività pratiche di misurazione e rappresentazione spaziale e di consolidare il ruolo e il significato dei modelli matematici. Cerca, altresì, di mettere in luce che non esistono confini ben delineati tra la geometria e le altre aree della matematica. Per altro, nella ricerca dell'ultimo secolo, si occupano di questioni "vicine" alla geometria della scuola secondaria forse più gli "analisti" che i "geometri", e di questioni "vicine" all'algebra della scuola secondaria forse più i "geometri" che gli "algebristi" e gli "analisti".
Come osservato più volte per le parti "discorsive" delle schede, è bene che il paragrafo 5 sia oggetto di una presentazione orale de (o di una discussione condotta da) l'insegnante.
1.5.2  L'addizione tra vettori è una funzione da R² in R². La regola del parallelogramma è una regola pratica, che segue dalla commutatività dell'addizione e motivata dalla figura tracciata a sinistra: il quadrangolo costituito dalle frecce che rappresentano i vettori è un parallelogramma in quanto i lati opposti sono costituiti da frecce di uguale direzione. Il concetto di direzione verrà formalizzato nella scheda 2.  La freccia tratteggiata nella figura a destra un'altra rappresentazione di v2. Disponendo dei quadretti, che facilitano il tracciamento di una freccia con uguale lunghezza alla freccia "originale", non serve tracciare il parallelogramma (la parallela alla freccia v1 servirebbe solo, in assenza di quadretti e in mancanza di una riga graduata, per individuare il punto in cui far finire la freccia che abbiamo tratteggiato).
1.e.1  Quesito e1. A=(1.5, 1.5), B=(-1.5, -1.5), C=(-1.2, 2.3), D=(1.8, -0.2).
1.e.2  Quesito e2. Si può osservare che la traslazione complessiva è T_0,0, che viene chiamata traslazione nulla. Il vettore (0,0) viene chiamato vettore nullo. Non è rappresentabile mediante una freccia (non ha direzioni). Su queste cose, comunque, si ritornerà.
1.e.3  Quesito e3. A fianco sono state tracciate la traiettoria più breve (con una alternativa all'avvio) e, punteggiata, quella più lunga tra quelle in cui non si ritorna mai sui propri passi (non sono stati tracciati i pezzi in comune con la traiettoria più breve). In ogni caso, utilizzando il sistema di coordinate tracciato, Kappa esegue la traslazione per cui (3,4) → (7,17), cioè la traslazione di passi Δx=4 e Δy=13. La distanza in linea d'aria può essere misurata direttamente (come nel quesito 13 della scheda 1 di Per strada), trovando che è compresa tra 13 m e 14 m (cioè che 13 è il troncamento della sua misura in m), o usando la rappresentazione analitica: √(42+132) = √185 = 13.601… , da cui abbiamo l'intervallo di indeterminazione [13,14] (le divisioni della reticolatura rappresentano le unità di metro; andare a considerare i decimi vorrebbe dire considerare estensioni più piccole dei puntini con cui è tracciata la reticolatura, cioè estensioni trascurabili in questo contesto; del resto le coordinate dei punti di partenza e di arrivo sono valori approssimati).

1.e.4  Quesito e4. Si è implicitamente usato il fatto che, traslando, le distanze rimangono invariate (la cosa sarà precisata nella prossima scheda, comunque è ovvia: se si variano sia P1 che P2 con gli stessi passi le differenze Δx e Δy in (3.1) rimangono invariate). E` evidente dal disegno seguente che la somma delle distanze percorse nei due tratti di strada su terra ferma è minima nel caso 2: i due tratti sono allineati per cui d(P1,P3)=d(P1,P2)+ d(P2,P3); negli altri casi abbiamo ">" invece di "=" (su questa eguaglianza e sulla diseguaglianza triangolare, ovvero sul fatto che in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due, ci soffermeremo in seguito; per ora ci si può fermare a considerazioni intuitive; volendo si può anticipare che queste proprietà possono essere dimostrate con un procedimento simile a quello impiegato affrontando la questione discussa dopo il quesito 8).

1.e.5  Quesito e5. Se Δx=0 [Δy=0] i secondi membri delle formule (3.1) e (3.2) risultano essere uguali.
1.e.6  Quesito e7. {(x,y): E1}, {(x,y): E2} dove E1 e E2 sono:
9 ≤ x² + y² ≤ 25
2 ≤ x ≤ 11 and 1 ≤ y ≤ 7 and not (3 < x < 10 and 2 < y < 6)
Al posto di E2 si possono usare equazioni più complesse (che esprimono l'unione di 4 rettangoli).
Ecco come, successivamente, si possono tracciare le figure con R:

P = function(x,y) 9 <= x^2+y^2 & x^2+y^2 <= 25
PLANE(-6,6, -6,6)
for(i in 1:10) diseq2(P,0,"blue")
#
# o:
                   
PLANEw(-6,6, -6,6)
for(i in 1:10) {diseq2(P,0,"blue");diseq1(P,1,"yellow")}
circle(0,0, 3, "red"); circle(0,0, 5, "red")
#
Q = function(x,y) 2 <= x & x <= 11 & 1 <= y & y <= 7 & !(3 <= x & x <= 10 & 2 <= y & y <= 6)
PLANE(0,11, -1,8)
for(i in 1:10) diseq2(Q,0,"blue")

P = function(x,y) 9 <= x^2+y^2 & x^2+y^2 <= 25
PLANE(-6,6, -6,6)
for(i in 1:10) diseq1(P,1,"blue")
# o:
Q = function(x,y) !(9 <= x^2+y^2 & x^2+y^2 <= 25)
PLANE(-6,6, -6,6)
for(i in 1:10) diseq2(Q,0,"blue")
                   

F=function(x,y) (x-1)*(y-2); PLANE(-5,5, -5,5); CURVE(F, "brown")

                   

Scheda 2 [versione B] (Movimenti e direzioni)

Il contenuto delle schede 2 e 3 è sintetizzato nelle voci "direzioni e funzioni circolari", "trasformazioni geometriche" e "figure (2)" de Gli oggetti matematici. In breve:
• nei paragrafi 1 e 2 della scheda 2 viene introdotto il concetto di uguaglianza rispetto a una particolare classe di trasformazioni geometriche;
• nei paragrafi 3-5 vengono formalizzati i concetti di direzione e rotazione e introdotte le funzioni circolari e le coordinate polari;
• nel paragrafo 6 vengono definite semirette, rette, segmenti, angoli;
• nel paragrafo 1 della scheda 3 vengono definiti e studiati i poligoni;
• nel paragrafo 2 vengono definite alcune classi di trasformazioni geometriche (movimenti piani, simmetrie, isometrie, similitudini e - in modo "implicito" - trasformazioni affini) e svolti alcuni cenni alle rappresentazioni cartografiche;
• nel paragrafo 3 vengono introdotte le coniche (mediante trasformazioni geometriche di x²+y²=1, y=ax², y=a/x);
• nel paragrafo 4 vengono presentati/dimostrati alcuni teoremi (somma angoli interni di un triangolo, 1¡ criterio di uguaglianza, Pitagora, Talete);
• nei paragrafi di "Esercizi", accanto ad alcuni esercizi di consolidamento, vengono approfonditi alcuni aspetti (relativi alla definizione/calcolo delle lunghezze d'arco, ad alcune relazioni trigonometriche, all'uso delle coordinate polari, alla perpendicolarità tra rette), sviluppati alcuni argomenti (il concetto di area, alle simmetrie nei solidi, alle proiezioni centrali e parallele) e introdotta la dimostrazione del teorema "i triangoli inscritti in semicerchi sono rettangoli".
    Altri esercizi di consolidamento sono presenti nell'eserciziario.
    Sono presenti, alla fine de Gli oggetti matematici per il primo biennio, voci che presentano i più utili teoremi della geometria piana e presenta alcune riflessioni di sintesi sul problema delle dimostrazioni.
    Alcuni aspetti verranno ripresi in uu.dd. successive: equazione della retta di data pendenza passante per un dato punto ed equazioni di figure ottenute traslando altre figure (in FE-1), continuità e intersezioni tra curve (in FE-2), composizione di trasformazioni geometriche (in IN-3), dimostrazioni geometriche (in MGR).
    Molti degli argomenti affrontati nella scheda sono propedeutici all'u.d. Funzioni ed equazioni (rette, trasformazioni geometriche, …).
    Come indicato nello schema del 2º volume, queste schede dovrebbero essere svolte in parallelo alla scheda 5 de La automazione (con cui vi sono espliciti collegamenti a proposito della grafica al calcolatore) e alla scheda Modelli matematici per l'economia. La scheda si presta a interazioni con "disegno" e "fisica" (cinematica).
    È utile intercalare lo svolgimento dell'u.d. con altri argomenti anche perché le schede sono ricche di contenuti, per cui è opportuno offrire agli alunni delle "variazioni" e dei tempi per la "sedimentazione" dei concetti.
    Per queste schede più che per altre vale il suggerimento che sia l'insegnante a introdurre e spiegare a viva voce e con sue parole gli argomenti, a commentare le osservazioni degli alunni, … utilizzando la scheda come traccia e per riferirsi a figure, testi di quesiti, …:  si tratta di argomenti che è difficile comprendere direttamente dalla lettura della scheda; questa può essere fatta successivamente in classe come sintesi del lavoro o può essere assegnata come compito/ripasso.
    Le soluzioni dei vari quesiti sono quasi sempre presenti, più o meno esplicitamente, in righe successive al testo del quesito.
    Varie "parti" delle schede sono "facoltative" (esitono due versioni, A e B, delle schede) nelle scuole con programma debole o negli istituti professionali; più che di interi "argomenti" si tratta di approfondimenti, dimostrazioni, … che possono essere omesse. Comunque, ovviamente, è solo l'insegnante che può valutare in modo attendibile, in base alle risposte della classe, quali parti affrontare in modo meno approfondito, fermandosi a un livello più intuitivo o più operativo.
2.1.1  Quesito 1: dalla discussione dovrebbero, grosso modo, emergere le considerazioni poi sviluppate nelle righe successive.
2.2.1  Il problema del significato di "uguale", accennato anche alla fine di §1, è ricorrente (lo si è già discusso a proposito dei numeri, delle equazioni, lo si rivedrà a proposito delle direzioni, …); è importante sottolineare la sua dipendenza dal contesto. Per fare un ulteriore esempio "a livello adulto" (sul significato di "=" e, più in generale, sull'uso dei simboli in matematica, che è vario e dipende dal contesto - basti pensare al ruolo diverso degli stessi simboli possono assumere in un sofware matematico a seconda della libreia che si carica) si pensi agli angoli A e B costituiti dal I e dal II quadrante, ovvero {(x,y) | y≥0 and x≥0} e {(x,y) | y≥0 and x≤0}. "Posso" scrivere A=B in quanto i due angoli sono eguali, ma "non posso" scrivere {(x,y) | y≥0 and x≥0} = {(x,y) | y≥0 and x≤0}.
2.2.2  Quesito 2. Si tratta della rigidità. Osserviamo che in molti libri di testo invece che di "movimento" si parla, buffamente, di "movimento rigido", utilizzando a sproposito il concetto "fisico" di rigidità per denominare una trasformazione geometrica (e, per altro, favorendo la confusione tra corpi fisici e figure, tra argomentazioni fisiche e dimostrazioni geometriche, … che è uno dei fattori che ostacolano l'apprendimento geometrico, la comprensione delle dimostrazioni, … nell'insegnamento "tradizionale" della geometria nella scuola secondaria superiore).
    Nella discussione successiva al quesito (in cui si dice che ci si limita a modellizzare il piano, cioè si precisa qual è lo spazio che si andrà a considerare) può essere utile riprendere il discorso sulla relatività del concetto di spazio (vedi negli Oggetti Matematici).
2.2.3  La dimostrazione da completare dopo il ques. 4 può essere saltata negli istituti professionali.
2.3.1  Quesito 8. Dalla discussione dovrebbe emergere: i vettori del tipo (5·a, 3·a) con a numero positivo; si faccia osservare che per a<0 il vettore inverte direzione e che per a=0 si riduce al vettore nullo, che non ha direzione.
2.3.2  I contenuti da dopo il ques.9 alla fine del paragrafo, negli istituti professionali (ed eventualmente nelle classi con programma debole), possono essere sintetizzati dall'insegnante; ma, anche se si possono saltare i quesiti 10 e 11, è opportuno far usare il programma in JS agli alunni.
Ques. 10: 3.14158948145025; la variazione successiva è di circa 2e-6; arrotondo 3.14159148 a 3.14159
2.4.1  Quesito 14. Con il righello si misura (con lo zero su O) la distanza d tra O e P, poi si fa ruotare la riga graduata attorno a O fino a che è disposta per il tracciamento di una linea che passi per O e per la posizione 50° del goniometro e si segna il punto che dista d da O. Usando un compasso si può invece tracciare un arco di cerchio di centro O passante per P e lo si può intersecare con una linea che passa per O e per la posizione 50° del goniometro tracciata con una riga (anche non graduata).
Vedi qui le voci "GONIO" e "gonio" per il tracciamento di goniometri con R.
2.4.2  Quesito 15. Se addiziono 250 a 150 ottengo 400, che è maggiore di 360. Ma se eseguo la rotazione contando 250° lungo il cerchio graduato disegnato osservo che mi trovo nella direzione 40°. Il quesito serve per introdurre il problema analizzato nelle righe successive. Discutendo il quesito potrebbe anche emergere che è come se P fosse ruotato in verso orario di 110°, cioè fosse ruotato di −110°: −110° equivale (come direzione) a −110°+360°=250°.
2.4.3  Quesito 16. dir: 225, dist: 50 (supponendo che il radar arrotondi alle decine di km).
Vedi qui la voce "polar" per l'uso delle coordinate polari in R.
2.5.1  Quesito 17. Il quesito ha la finalità di consolidare con un riferimento concreto (come tracciare rette perpendicolari sulla carta quadrettata) il fatto che passando da una retta a una retta ad essa perpendicolare il rapporto tra Δy e Δx viene invertito e cambiato di segno.
2.5.2  L'origine del termine "funzione tangente" è spiegata alla fine del §4 della scheda 3, nella versione debole della scheda 3, o nell'esercizio e6, nella versione forte (vedi anche la voce "figure(2)" degli Oggetti Matematici).
2.5.3  Quesito 18. L'esercizio ha lo scopo di mettere ulteriormente in luce il fatto che in alcuni casi si possono determinare i valori esatti delle funzioni trigonometriche anche se con la CT se ne può avere solo un valore approssimato. Non è importante (nel biennio) che gli alunni memorizzino i valori √3/2, √2/2, … di sin(60°), sin(45°), ….
2.6.1  Quesito 21. (A):si può far notare che, oltre alla scrittura P=(3,1)+t(4,5), si può usare: x=3+4t, y=1+5t.
Questa parte della scheda si presta a intrecci con l'insegnamento della fisica. Se si sfrutta tale opportunità occorre esplicitare eventuali diverse convenzioni; ad es. in fisica invece di x=3+4t in genere si scrive x=3m+4m/s·t; x e t non rappresentano numeri puri ma misure di grandezze. Volendo si può usare R per tracciare curve/traiettorie descritte in forma parametrica. Come tracciare il grafico del ques.22:
BF=2.65; HF=2.65; PLANE(-2,9, -2,9)
POINT(3,6,"black"); POINT(4,4,"black"); POINT(5,1,"black"); POINT(1,7,"black")
l2p(1,7, 5,1, "black"); halfl(3,6, 3+3,6+1, "black"); l2p(4,4, 4+3,4+1, "black")
text(6.5,5.5,"a",font=2); text(5.5,7.6,"b",font=2); text(1.5,4.5,"c",font=2)

2.6.2  A proposito del concetto di inclinazione osserviamo che a volte, in contesti tecnici, con inclinazione si intende la differenza rispetto alla direzione verticale (quella che per noi è un'inclinazione di 70° viene detta inclinazione di 20°). Occasionalmente si può usare il termine in questo significato anche in classe, con gli alunni, a patto, però di specificare: "inclinazione rispetto alla verticale". 2.6.3  Quesito 23: 90°; (0,2.5) e 0°; (0,−1) e 63.43°. 2.6.4  Quesito 24. Vedi fig. a lato: 2.6.5  Si può far osservare che due rette (distinte) sono parallele solo nel caso in cui non abbiano punti in comune. Su questo aspetto si ritornerà in Funzioni ed equazioni, a proposito dei sistemi lineari.

Nella versione "forte" sono presenti i quesiti 27 - 30, che affrontano in modo problematico alcune questioni che saranno poi riprese per tutti.
2.7.1  Gli ultimi esercizi, dall'e11 in poi, sono presenti solo nella versione "forte".

Scheda 3 [versione B] (I modelli geometrici)

Gli aspetti generali di questa scheda sono discussi sopra, presentando la scheda 2, di cui questa scheda è sostanzialmente la prosecuzione.
3.1.1  Il, breve, paragrafo 1 introduce (in modo corretto: in gran parte dei libri di testo si trovano cose "strane") il concetti di poligono.
3.2.1  Il successivo paragrafo 2 può essere gestito in modo più approfondito (seguendo il testo o utilizzandolo come traccia per la lezione) nei licei scientifici e negli istituti tenici; negli istituti professionali e nelle scuole con programma debole può essere affrontato in modo più operativo e intuitivo. In ogni caso sarebbe utile fare alcune attività grafiche al calcolatore, utilizzando R e/o Paint e/o …. Osserviamo che le trasformazioni di scala monometriche vengono chiamate anche omotetie e che trasformazioni ottenute componendo trasformazioni di scala (anche non monometriche) e movimenti piani vengono chiamate anche trasformazioni affini. Su di esse si ritornerà nel secondo biennio.
3.2.2  Quesito 1. Le attività proposte in questo quesito vengono poi inquadrate e sistemate nel seguito del paragrafo. A proposito del punto (B) una tecnica può essere: trovare il punto medio del segmento che congiunge due punti corrispondenti (ad esempio la punta della seconda pinna dorsale dei due pesci o il vertice dell'angolo che rappresenta la bocca dei due pesci) e tracciare con la squadra la perpendicolare al segmento passante per questo punto (cioè l'asse del segmento); gli alunni potrebbero individuare altre strategie, che potrebbero essere commentate e discusse in classe; ad esempio tracciare (usando opportunamente un goniometro o un compasso) le rette che passano per vertice della bocca e punto di attaccatura della coda dei due pesci e poi tracciare la bisettrice dell'angolo formatosi; oppure tracciare due segmenti che congiungono punti corrispondenti e poi prendere la retta che passa per i loro punti medi; …
3.3.1  Le coniche sono presentate in modo elementare, come frutto di trasformazioni geometriche a partire da figure che si sanno descrivere facilmente in modo analitico. Una trattazione più sistematica delle coniche (fuochi, direttrici, intersezioni piani-coni, …) è prevista (a livelli diversi a seconda dell'indirizzo) per il triennio - vedi Gli Oggetti Matematici.
3.3.2  Quesito 3: 2, 1, 2.
3.3.3  Quesito 4: un quadrato, un rettangolo, un rombo, 2 se la trasformazione non è monometrica (4 altrimenti), un parallelogramma.
3.4.1  Negli istituti professionali (ed eventualmente nelle scuole con programma debole) dei teoremi presentati nel paragrafo possono essere saltate le dimostrazioni, limitandosi a motivazioni più intuitive, che l'insegnante può comunque ricavare dalle dimostrazioni. È, comunque, importante soffermarsi sulle proprietà enunciate dai teoremi. Particolarmente importante è il teorema delle proizioni parallele, a volte chiamato t. di Talete (in quanto entra in gioco, più o meno esplicitamente, in molte attività, sia geometriche che collegate allo studio grafico di funzioni).
3.4.2  Nella versione debole, dopo il quesito 5, segue la spiegazione del nome dato alla funzione circolare "tangente". Nella versione forte la spiegazione è svolta nell'esercizio e6.
3.5.1  Quesito e1: è opportuno evidenziare i collegamenti con Le statistiche, scheda 1, §4.
3.5.2  Quesito e2: 9, 3, infiniti, infiniti, 3.
3.5.3  Quesito e3. Risposte:  (1): un parallelogramma, suddiviso in 4 parallelogrammi uguali (una trasformazione affine); (2): un quadrangolo (che può essere un parallelogramma, anzi un quadrato, solo nel caso in cui il raggio che passa per il centro del quadrato originale è perpendicolare alla lastra), suddiviso in 4 quadrangoli; (3): per la prima (si vedano le osservazioni all'inizio di p.21 della scheda e il teorema di Talete) si ha la conservazione dell'allineamento, del parallelismo, dell'essere punto medio di altri due punti, … ; per la seconda si ha il mantenimento dell'allineamento tra punti.

3.5.4  Quesito e5. Dimostrazione alternativa a quella suggerita, usando un procedimento analitico: indicate con p1 e p2 le pendenze dei cateti, p1 = √(1−x²)/(x+1), p2 = −√(1−x²)/(1−x), p1·p2 = −1.