– si può dire «posso trovare n opportunamente grande tale che A(n) sia vicino quanto voglio a B», ma ciò accade anche in una situazione come quella a lato (posso trovare anche n grandi per i quali A(n) rimane "lontano" da B).
Modelli matematici per l'economia
La matematica per le scelte di un'azienda e per l'interpretazione dei fenomeni economici
Finalità
L'unità didattica, costituita da un'unica scheda, illustra alcuni impieghi, elementari, della matematica in campo economico.
La finalità principale è quella di esemplificare la contestualizzazione di concetti e tecniche matematiche in una situazione d'uso "reale": utilità e limiti dei modelli matematici; necessità di altri riferimenti disciplinari e culturali per affrontare situazioni problematiche; intrecci tra tecniche algebriche e tecniche grafiche, utilizzo di nozioni provenienti da diverse aree della matematica (algebra, geometria, calcolo combinatorio, informatica, diagrammi di flusso, statistica, …); come i modelli si possono complicare se si analizzano più a fondo le situazioni; …
La scheda riprende o introduce questioni riguardanti il concetto di funzione e la risoluzione grafica e algebrica di equazioni, disequazioni e sistemi che saranno poi sviluppate nell'u.d. Funzioni ed equazioni. È bene che l'insegnante abbia presenti questi sviluppi per non anticipare attività di consolidamento e di verifica su aspetti che verranno ripresi.
Può essere utile, mentre si svolge questa scheda, quando se ne presenta l'occasione, anticipare alcune osservazioni, attenzioni, … che poi verranno affrontate più sistematicamente in Funzioni ed equazioni (si pensi alle considerazioni presenti nel §4 della scheda 1).
La scheda si presta a interazioni con gli insegnamenti (dove sono presenti) della Fisica e di Diritto ed Economia.
Gestione
Come indicato nello "schema del progetto" questa scheda dovrebbe essere svolta in parallelo alla scheda 5 di La automazione e, parzialmente, alla scheda 2 di La matematica e lo spazio. Con queste schede sono presenti anche degli intrecci su argomenti specifici: con la prima sulla "matematica del suono", con la seconda sui grafici delle funzioni lineari e sulle traslazioni di grafici. Di questi intrecci è bene che l'insegnante tenga conto nella definizione di come articolare la gestione delle tre schede. Si vedano anche le indicazioni presenti nelle guide di La automazione (scheda 5) e La matematica e lo spazio (scheda 2).
La scheda alterna parti (introduttive, di riflessione o di sintesi) più discorsive, che si prestano ad essere gestite a voce/lavagna dall'insegnante (con riferimenti a figure, diagrammi, … presenti nelle schede), a parti che si sviluppano attraverso sequenze di quesiti, che è bene siano svolte direttamente sulla scheda.
La scheda è presente in tre versioni, una versione standard (la B), una versione (la A) in cui il primo paragrafo è riferito ad una azienda analizzata più a fondo, anche dal punto di vista tecnologico (affronatabile nelle scuole in cui è previsto l'insegnamento della fisica nel primo biennio), ed una versione "debole" (la C) in cui non è presente il paragrafo finale su "Altri modelli per lo studio della formazione dei costi e dei prezzi", tralasciabile in scuole con meno ore di matematica.
1.1 Il riquadro (sull'udito e gli apparechhi acustici) presente nelle versione A non è "tecnicamente" essenziale per il seguito della scheda, ma è utile a livello motivazionale (dovrebbe avere collegamenti con interessi degli alunni in questa fascia di età, dare un'idea del ruolo della matematica e dell'informatica in campo artistico-musicale, …) e si presta a collegamenti, oltre che con la scheda 5 di La automazione, con l'insegnamento della fisica.
A proposito dell'audiogramma, osserviamo, a livello adulto, che la scala orizzontale è logaritmica
Nelle altre versioni il riquadro non è presente.
1.2 La nota dopo figura 3 è "civicamente" importante.
1.3 Il quesito 2 (come tutti i quesiti in cui la domanda è in 2ª persona plurale) prevede una discussione collettiva. Da questa dovrebbe emergere la difficoltà della distinzione.
Mentre la voce (a) può essere ritenuta incorporata e la voce (h) fissa, per le altre vi sono incertezze più o meno grandi.
La voce (c) può essere ritenuta essenzialmente fissa (nel caso di questa produzione possono essere ritenute trascurabili le variazioni di energia in funzione del volume di produzione).
Le voci (b), (d) e (i) possono essere ritenute fisse nel breve e medio periodo, mentre nel lungo periodo possono dipendere anche dal volume di produzione (se decido di aumentare la produzione devo acquistare più macchinari, assumere più dipendenti – fissi o mediante contratti di formazione – o concordare delle forme, fare investimenti maggiori, …); ma anche nel breve periodo vi possono essere delle dipendenze dal volume di produzione (si pensi a forme di lavoro straordinario, per esempio); su questo aspetto si ritorna nei §2-3.
Nella voce (e) sono presenti sia parti fisse che parti incorporate. Lo stesso si può dire per (g).
Le voci (f) e (l) dipendono dall'accordo stipulato con il commercialista (assistenza forfetaria o percentuale su ogni fattura o vie intermedie) e dalla forma di distribuzione (con proprio personale o con una ditta esterna? nel secondo caso, mediante quale tipo di contratto?).
La messa in luce della difficoltà a quantificare costi fissi e costi incorporati in situazioni complesse è essenziale per motivare il passaggio, nei quesiti successivi, all'analisi di produzioni più semplici.
1.4 Dopo il quesito 4, la costruzione della formula di CT in funzione di n dovrebbe essere costruita alla lavagna, assieme agli alunni, piuttosto che letta sulla scheda.
1.5 Quesito
7. (2) dal grafico si può ricavare che è quasi 4300 (e maggiore di 4200).
Ecco come ci si può aiutare con la ricerca grafica della soluzione mediante R:
Ct <- function(n) 100 + 0.021*n
plot(Ct,0,8000, ylim=c(0,300), col="blue"); abline(h=0, v=0)
abline(h=c(50,100,150,200,250,300), v=seq(1000,8000,1000), lty=3)
abline(h=190, col="red",lty=3)
abline(v=seq(4100,4900,100),col="red",lty=3)
(3) dire «ho applicato "–100"» (per arrivare a 0.021n = 190), come abbiamo già fatto in più occasioni, non comprende tutte le trasformazioni applicate: è sottointesa la preventiva applicazione del riordino (di 100 + 0.021n in 0.021n + 100), una sua successiva applicazione (per trasformare 0.021n + 100 + –100 in 0.021n + (100 + –100), … . Considerazioni analoghe valgono per le altre «ho applicato "…"».
La risoluzione di (3) dovrebbe far emergere (e far discutere in classe) i problemi, affrontati nella scheda subito dopo, sul dominio dell'incognita.
Volendo, la risoluzione algebrica può essere preceduta o seguita
da quella grafica, mediante zoom, fino a:
plot(Ct,4280,4290, ylim=c(189.5,190.5), col="blue")
abline(h=190, col="red",lty=3)
abline(v=seq(4280,4290,1),col="red",lty=3)
1.6 Quesito 8 - (6):
107.5/5000+0.006 = 0.0275
75 + 0.0275n = 100 + 0.021n n = 250000/65 =
3846.154 n = 3847 (devo approssimare per eccesso)
1.7 I successivi grafici realizzati con R:
Ct <- function(n) 30e3+0.05*n
plot(Ct,0,1e6, ylim=c(0,100e3), col="blue",font=10); abline(h=0, v=0)
abline(v=seq(1e5,10e5,1e5), h=seq(1e4,10e4,1e4), lty=3, col="grey50")
#
Cu <- function(n) Ct(n)/n; Ci <- function(n) 0.05 +n-n; K <- function(n) 30e3/n
plot(Cu,0,1e6, ylim=c(0,0.5), col="blue",font=10); abline(h=0, v=0)
abline(v=seq(1e5,10e5,1e5), h=seq(0.05,0.5,0.05), lty=3, col="grey50")
plot(Ci,0,1e6, col="brown",add=TRUE)
plot(K,0,1e6, col="green4",add=TRUE)
1.8 Quesito 9. H:n → CI. Discutendo le descrizioni di come si comporta il grafico di CU dovrebbero emergere (con la guida, discreta, dell'insegnante) i limiti del linguaggio comune:
– si può dire «il grafico tende ad avvicinarsi sempre più al grafico di H», ovvero «CU tende ad essere sempre più vicino a CI», collegando ciò al fatto che «CF/n tende a 0»; ma il grafico si avvicina sempre più anche all'asse x, CU tende ad essere sempre più vicino anche a 0 e a un qualunque valore più piccolo di CI, … ;
– si può dire «posso trovare n opportunamente grande tale che A(n) sia vicino quanto voglio a B», ma ciò accade anche in una situazione come quella a lato (posso trovare anche n grandi per i quali A(n) rimane "lontano" da B). | |
Si può convenire che useremo il verbo "tendere" in un significato convenzionale, più ristretto di quello del linguaggio comune, e interpreteremo «A(n) tende a B al crescere di n» come «posso ottenere A(n) vicino quanto voglio a B se prendo n sufficientemente grande» o, meglio, «comunque piccola scelga una distanza, posso trovare un valore tale che preso n maggiore di esso A(n) disti da B meno di tale distanza».
Non è importante che gli alunni memorizzino frasi come queste: è utile che si rendano conto della natura convenzionale di "al tendere di … tende a …" e dimostrino (con esempi) di averne capito il significato. Il concetto di limite è assai importante e va costruito gradualmente, sin dal primo biennio. Tappe in questa direzione sono state anche le considerazioni sulle operazioni tra numeri reali e le aprossimazioni, in I numeri - scheda 2 (riprese nelle voci "i numeri" e "strutture numeriche" degli Oggetti Matematici), sul programma JS per la lunghezza degli archi, in La matematica e lo spazio - scheda 2 §3 (riprese nella voce "direzioni e funzioni circolari" degli Oggetti Matematici), ….
2.1 Quesito 10:
0.105
n = 30·103
+ 0.05 n n = 30·103/0.055
= 545 454.545… n
= 545 455 (devo appr. per eccesso)
[Controllo l'ordine di grandezza: 30*103/0.055 =(circa) 30*103/(6*10-2) = 5*103+2 = 500 000: OK]
Può
essere utile risolvere il problema anche graficamente. Se con R
rappresentiamo RT–CT
(=GT),
attraverso successivi zoom si può velocemente trovare che n
sta in [540000, 550000], in [545000, 546000], …:
Rt <- function(x) 0.105*x; Ct <- function(x) 30e3+0.05*x
Gt <- function(x) Rt(x)-Ct(x)
plot(Gt,5e5,6e5,font=10); abline(h=0)
plot(Gt,5.4e5,5.5e5,font=10); abline(h=0)
2.2 Quesito 11. (2): x = capacità produttiva = 5400, un y è 5400·1.450, l'altro è 5400·0.49+2100. Questa domanda ha la funzione di far osservare che per tracciare il grafico di una funzione lineare basta conoscerne due punti; ciò dovrebbe preparare ad affrontare il quesito 13.
(3): 2200. (4): differenza delle y di (2) e/o lettura diretta (approssimata) della distanza dei corrispondenti punti (3100).
2.3 Quesito 12. La discussione collettiva del quesito dovrebbe essere un'occasione di sintesi/verifica/consolidamento della parte precedente del paragrafo.
2.4 Le osservazioni svolte alla fine del paragrafo, su utilità e limiti dei modelli considerati, sono molto importanti (in relazione alla comprensione del ruolo della matematica e dei modelli in generale), e dovrebbero essere affrontate attraverso una discussione collettiva in cui gli alunni propongano anche esempi di situazioni "reali" e collegamenti ad altri fenomeni (ad esempio: ristrutturazioni e licenziamenti, …, le sorti di piccole aziende legate all'attività di grandi fabbriche, di porti, …, gli accordi tra supermercati e particolari aziende alimentari, …, la situazione delle TV, …, la disclocazione di unità produttive in paesi in cui il costo del lavoro è basso – e in cui non si consumano i beni che vengono prodotti –, …, le analogie tra i rapporti piccole/grandi imprese e i rapporti paesi sviluppati/sottosviluppati, …).
3.1 Il paragrafo 3 e il successivo allargano la panoramica sugli usi della matematica in campo economico rispetto a quanto visto in schede di Le statistiche (percentuali, diagrammi, numeri indici, formule per elaborare tabelle, …) e nei precedenti paragrafi. La funzione fattoriale (introdotta nel §3) verrà poi ripresa nell'ambito di considerazioni più generali sul calcolo combinatorio nella scheda La matematica tra gioco e realtà, così come i collegamenti tra statistica e probabilità introdotti nel §4.
3.2 Quesito
14. Uno dei modi possibili per ottenere i grafici con R:
f <- function(x) 180+x-x
g <- function(x) ifelse(x<=200, 120, 120+0.6*(x-200))
plot(f,0,400,ylim=c(0,250),col="blue")
abline(v=0,h=0)
abline(v=seq(100,400,100),h=seq(50,250,50),lty=3)
plot(g,0,400,add=TRUE, col="blue")
4.1 Quesiti 18 e 19:
4.2 Quesito 20. Soluzione: 10% (circa); è la altezza della somma dei primi 3 rettangolini.
4.3 Quesito 21. Non è il caso di fare approfondimenti. Ci si può limitare a cercare di tracciare una retta che passi per tutti i quadratini e che grosso modo lasci dalle due parti porzioni di quadratini che complessivamente diano luogo a superfici eguali. Si può chiedere agli alunni di calcolare anche la pendenza della retta.
5.1 Il paragrafo 5 non è presente nella versione breve, in cui si passa direttamente al paragrafo di esercizi; è da intendere come "facoltativo" (come spiegato all'inizio della guida dell'unità didattica). Esso esemplifica come all'inadeguatezza dei modelli considerati in precedenza in alcuni casi si può ovviare ricorrendo a modelli matematici più complessi.
5.2 I grafici delle funzioni lineari a tratti considerate negli esempi
A, B e C possono essere
realizzati con R definendo un'unica funzione, come spiegato nella scheda. Gli
esempi introducono anche questioni connesse al concetto di continuità
che verranno affrontate in Funzioni ed equazioni.
Nota. Nel caso di funzioni con salti, come quella dell'esempio B, che in R ha la forma:
Ct <- function(n) ifelse(n<=600, 200+2.15*n, 100+200+2.15*n)
posso ottenere il grafico seguente:
o con i comandi:
plot(c(0,1000),c(0,2500),type="n",xlab="", ylab="")
abline(h=0,v=0,col="blue")
abline(h=seq(500,2500,500),v=seq(100,1000,100),lty=3,col="blue")
plot(Ct,0,600,add=TRUE); plot(Ct,601,1000,add=TRUE)
o, anticipando i grafici per punti discussi nella scheda Funzioni ed Equazioni-2, nel modo seguente:
plot(Ct,0,1000,ylim=c(0,2500),type="p",pch=".",n=2000)
abline(h=0,v=0,col="blue")
abline(h=seq(500,2500,500),v=seq(100,1000,100),lty=3,col="blue")