La matematica tra gioco e realtà
Strategie, regole, scelte, fenomeni casuali, e matematica

Indice guide

Per questa scheda (versione debole) vedi le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui.

La scheda,  il cui contento è:  Giochi algebrici e geometrici - Successioni e definizioni per ricorsione - Calcolo combinatorio, e si chiude con un avvio al passaggio:  Dalla statistica alla probabilità,  ha l'obiettivo di introdurre la matematica che serve per affrontare problemi sul "discreto" e di avviare alle questioni poi affrontate nella scheda sul "Calcolo delle probabilità".
La versione debole si differenzia solo per la quantità degli esercizi.

1.1  h = (x−1)*x*(x+1)+x = x*(x²−1)+x = x³+x−x = x³;  x = 3√h. Questa è la soluzione del quesito 1.  I successivi quesiti del paragrafo 1 si risolvono tutti in modo altrettanto semplice.

2.1  Ecco, per esempio, come definire (parzialmente) la successione del quesito 5 in R e calcolarne i valori:
y <- vector(length=1000) y[1] <- 1; y[2] <- 2; y[3] <- 3; for (i in 1:997) y[i+3] <- y[i]*8
y[seq(1,10,1)]
[1]     1    2    3    8    16    24    64    128    192    512

3.1  Come richiamato nella scheda, il fattoriale e il numero delle combinazioni in R vengono calcolate con factorial e con choose. Invece combn(c(...),n) elenca le combinazioni degli elementi ... n ad n. Vediamo qualche esempio di calcolo e un modo in cui è possibile definire le disposizioni - e calcolare D(100,0), ..., D(100,5): 

factorial(0); factorial(4); factorial(14); factorial(15)
[1] 1
[1] 24
[1] 87178291200
[1] 1.307674e+12
for(i in 0:10) print(choose(i,seq(0,i,1)))
[1]  1
[1]  1   1
[1]  1   2   1
[1]  1   3   3   1
[1]  1   4   6   4   1
[1]  1   5  10  10   5   1
[1]  1   6  15  20  15   6   1
[1]  1   7  21  35  35  21   7   1
[1]  1   8  28  56  70  56  28   8   1
[1]  1   9  36  84 126 126  84  36   9   1
[1]  1  10  45 120 210 252 210 120  45  10  1
combn(c(1,2,3,4,5), 3)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1    1    1    1    1    1    2    2    2     3
[2,]    2    2    2    3    3    4    3    3    4     4
[3,]    3    4    5    4    5    5    4    5    5     5
D <- function(n,k) factorial(n)/factorial(n-k)
D(100,c(0,1,2,3,4,5))
[1]   1   100   9900   970200   94109400   9034502400

4.1  Le questioni poste nel paragrafo 4 vengono poi riprese all'inizio della scheda sul Calcolo delle probabilità.

5.1  Esercizio e1. Una possibile soluzione, qui illustrata mediante R:

# Per avere idee ...
Rimasti <- function(c) {c1 <- c-c/3; c2 <- c1-c1/3; c3 <- c2-c2/3; c3}
Rimasti(20)
[1] 5.925926
Rimasti(21)
[1] 6.222222
Rimasti(24)
[1] 7.111111
Rimasti(27)
[1] 8
# Calcolo, ragionato ...
8*3/2*3/2*3/2
[1] 27

5.2  Esercizio e2. 1/4*M+1/5*N = 3/10 equivale a 5*M+4*N = 6 che non ha soluzioni.

5.3  Esercizio e3. Conosce la sua altezza, h. Essa deve essere tale che, circa, h/2 = 7/8, ossia h = 2·7/8 = 1.75 m, ossia 175 cm (circa). Vedi anche qui i commenti all'es. 3.8.

5.4  Esercizio e4. Vedi qui i commenti all'es. 3.9.

  

5.4  Esercizio e4. Vedi qui i commenti all'es. 3.9.

5.5  Esercizio e5. Vedi qui i commenti all'es. 2.1.

5.6  Esercizio e6. Vedi qui i commenti all'es. 2.2.  Esempi di calcoli fattibili con R:

n <- 10; i <- 0; s <- 0; for(i in 1:n) {s <- s+i; print(s)}
n <- 10; x <- vector(length=n); for (i in 1:n) x[i] <- i; sum(x)
cumsum(x)
n <- 100; x <- vector(length=n); for (i in 1:n) x[i] <- i; sum(x)
cumsum(x)
n <- 10; print(n*(n+1)/2)

5.7  Esercizio e7. Esegui i seguenti calcoli con R:

Q <- vector(length=1000)
Q[1] <- 1; Q[2] <- 2; for (i in 1:998) Q[i+2] <- Q[i]+Q[i+1]
Q[c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)]
plot(c(0,10),c(0,Q[10]),type="n",xlab="",ylab="")
abline(h=0,v=0,col="blue")
for(i in 1:10) points(i,Q[i])

5.8  Esercizi e8, e9, e10. Vedi qui i commenti agli es. 1.3, 1.1, 1.2.

5.9  Gli esercizi successivi al 10 sono solo nella versione forte. Per l'esercizio e13 vedi qui l'es. 2.11.

5.10  Esercizio e14. Usiamo la notazione m,n,p,q per indicare una regina
nell'm-esimo posto della riga 1
nell'n-esimo posto della riga 2
nel p-esimo posto della riga 3
nel q-esimo posto della riga 4
m non puo' essere 1:
XOOO   XOOO
OOXO   OOOX
OOOO   OXOO
OOOO   OOOO

Analogamente non puo' essere 4.
m puo' essere 2:
OXOO
OOOX
XOOO
OOXO

Analogamente puo' essere 3.
Quindi ci sono 2 possibilità
Il problema delle 8 regine ha 92 soluzioni ed è stato risolto nel 1850.

5.11  Esercizio e15. Una dimostrazione semplice, ma più "intuitiva", ragionando "insiemisticamente" in modo combinatorio:
• i sottoinsiemi C(n+1,k+1), se chiamiamo A un particolare elemento, possono essere distinti in quelli che contengono A e in quelli che non lo contengono;
• quelli che contengono A sono tanti quanti i sottoinsiemi di k−1 elementi dell'insieme da cui è stato tolto A: se a ciascuno di essi aggiungo A ho appunto il totale dei sottoinsiemi appartenenti a C(n+1,k+1) contenenti A; Ossia sono C(n,k)
• quelli che non contengono A sono C(n,k+1): tolgo A dal totale degli elementi;
• in tutto ho quindi C(n+1,k+1) = C(n,k)+C(n,k+1)
    Dimostrazione più meccanica, come quella suggerita:
C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1)·n/k·…·(n-k+2)/2·(n-k+1)/1 =
    = (n+1)·…·(n-k+2)·(n-k+1) / ((k+1)·k·…·2·1)  (*)
C(n,k+1) = n/(k+1)·(n-1)/k·…·(n-k+1)/2·(n-k)/1
C(n,k) = n/k·…·(n-k+2)/2·(n-k+1)/1
C(n,k) + C(n,k+1) = ( (k+1)·n·(n-1)·…·(n-k+2)·(n-k+1) + n·(n-1)·…·(n-k+1)·(n-k) ) / ((k+1)·k·…·2·1) =
    = n·(n-1)·…·(n-k+2)·(n-k+1)·(k+1+n-k) / ((k+1)·k·…·2·1)
    = (n+1)·n·(n-1)·…·(n-k+2)·(n-k+1) / ((k+1)·k·…·2·1) = (*)