Figure piane
Lunghezze e aree. Triangoli e cerchi.

Indice guide

Per queste schede, prima (versione B)e seconda (versione B), vedi anche le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui.

In breve, l'unità didattica affronta:
– Aree di poligoni e cerchi.
– Teoremi significativi sui triangoli.
– Implicita introduzione all'integrazione definita.
– Aree di poligoni e cerchi.
Il contenuto della scheda 1 è scandito dai titoli dei paragrafi:  Lunghezza di curve - Il concetto di area - L'area di poligoni - L'area di poligoni regolari, cerchi ed altre figure - Approfondimenti.
Quello della scheda 2 dai seguenti:  Triangoli - Criteri di eguaglianza e similitudini - Triangoli e cerchi - Distanza tra figure - Approfondimenti.
Volendo la prima o entrambe le schede possono essere anticipate all'inizio della terza.

Scheda 1

1.1  Il link collega al §3 di La matematica e lo spazio - 1. La lunghezza dei cerchi era già stata introdotta nel §3 di La matematica e lo spazio - 2; comunque l'argomento viene ripreso ex-novo.

1.2  Quesito 1:
f = function(x) -(x-1)^2+1; graphF(f, 0,2, "brown")
   
lengFun(f, 0,2, 100*2) # 2.957871
lengFun(f, 0,2, 100*2^2) # 2.957882
lengFun(f, 0,2, 100*2^3) # 2.957885
lengFun(f, 0,2, 100*2^4) # 2.957885
lengFun(f, 0,2, 100*2^5) # 2.957886
## Volendo pių cifre:
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^5)) # 2.95788565685826
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^6)) # 2.95788570053146
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^7)) # 2.95788571144976
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^8)) # 2.95788571417934
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^9)) # 2.95788571486171
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^10)) # 2.95788571503238
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^11)) # 2.95788571507495
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^12)) # 2.95788571508576
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^13)) # 2.95788571508821
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^14)) # 2.95788571508894
more(lengFun(f, 0,2, 100*2^15)) # 2.95788571508918
Con WolframAlpha (come discusso negli esercizi) potrei ottenere:
arc length of y=-(x-1)^2+1 from x=0 to x=2
2.95788571508919...

4.1  Quesito 4, (A):
x=c(1,4,3); y=c(1,2,5)
n=length(x); area=(y[n]+y[1])*(x[n]-x[1])
for (i in 1:(n-1)) area = area + (y[i]+y[i+1])*(x[i]-x[i+1])
area = abs(area)/2; area # 5
## Il procedimento č incorporato in areaPol, come spiegato pių vanti
x=c(1,4,3); y=c(1,2,5); areaPol(x,y)
# 5

6.1  Quesito e6:
x=c(1,2,3,4,7,3,0); y=c(1,0,3,2,2,7,6); areaPol(x,y)
# 23.5

Scheda 2

1.1  Quesito 1: vedi qui il quesito 6.3.

2.1  Quesito 2:  x*x+(x-5)^2=17 → x^2-5x+4=0 → x=1 or x=4
2.2  Quesito 3: vedi.

2.3  Quesito 4: i due triangoli sono simli, il rapporto tra le altezze relative ai lati a e d è 3, quindi, essendo b lungo 2√(3²+1), e è lungo 2√10/3; l'area del triangolo piccolo è 1/2, quella del grande è 3²/2 = 4.5.

3.1  Quesito 5: vedi.

3.2  Quesito 6: il cerchio circoscritto è raffigurato a sinsitra, quello inscritto a destra; il centro del segmento sinistro del triangolo sinistro ha ascissa 2 e ordinata 5 e ha pendenza 5/2; l'asse del segmento è dunque y=-2/5*(x−2)+5; la sua intersezione con x=5 è il punto (5,19/5). Per tracciare i cerchi con R cerca "circle" qui.

4.1  Nel §4 vengono richiamati i concetti di estremo inferiore e superiore di un intervallo, lasciando al §5 la loro generalizzazione ad altri insiemi di numeri. Per ulteriori generalizzazioni rinviamo a WolframAlpha (cerca "infimum"; per l'estremo inferiore occorre battere, ad es.,  MinValue[ {1/n, 1 <= n}, n ]; per quello superiore  MaxValue[ { n/(n+1), 0 <= n}, n ]).

6.1  Quesito e3: vedi 6a.8 qui

6.2  Quesito e4: vedi 3a.1 qui