Le funzioni esponenziale e logaritmo

Indice guide

Scheda:  Richiami delle schede della classe 3ª in cui sono state introdotte tali funzioni. Esempi di crescita esponenziale (di una popolazione, di un deposito in banca) e di diagramma in scala logaritmica (soglia dell'udito). Le funzioni esponenziali e logaritmiche, la loro derivazione e la loro integrazione. Cenni alla derivazione delle funzioni composte e del prodotto di funzioni. Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi. Approfondimenti.  [vedi anche le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui, relative a voci simili ai temi affrontati nella scheda].
Il tema della capitalizzazione è solo accennato. Sviluppi uteriori ed esercizi possono essere trovati qui.
Tra gli esercizi allegati alla scheda (vedi), come sempre, ve ne sono alcuni riferiti ad argomenti affrontati in schede precedenti; questa volta verso il fondo ve ne sono anche alcuni riferiti in modo intuitivo ad un argomento affrontato successivamente, le curve di regressione; essi potrebbero essere utili per svolgere, prima della fine dell'anno, attività riferite ad altre discipline scientifiche; gli argomenti verranno poi ripresi nella scheda sui sistemi di variabili casuali; ovviamente, in gran parte delle classi potrebbero essere svolti successivamente.

2.1  Quesito 1: basta impiegare il programma che precede il quesito, così modificato:
P <- function(n) if (n==0) 1 else Recall(n-1)*1.3

2.2  Per gli altri quesiti del §2 e del §3 vedi la scheda degli OM sulla funzione esponenziale

4.1  Nel §4 e nel §6 la derivazione delle varie funzioni esponenziali e logaritmiche sono tutte dedotte dalla espressione di  d exp(x) / dx  e da considerazioni di tipo geometrico (simmetrie e trasformazioni di scala), che dovrebbero rimanere ben impresse nella testa degli alunni: sono importanti per capire il ruolo e l'uso di queste funzioni, più importanti di regolette di calcolo da memorizzare solo per fare gli esercizi.  Piuttosto può essere utile memorizzare il "trucco" (o, meglio, l'idea con cui ricostruirlo) evidenziato prima del quesito 7, che è utile in molte occasioni.  Cose simili, e l'appoggio al grafico della funzione esponenziale, valgono anche per gli aspetti discussi, poi, nel §7.

4.2  Quesito 5:
f = function(x) 3.5^x; Plane(-2.5,2.5, 0,5); graph(f, -2.5, 2.5, "brown")
m = log(3.5)*3.5^0; m     # 1.252763
g = function(x) m*(x-0)+1; graph(g, -2.5, 2.5, "blue")
POINT(0,1, "red")
 

5.1  Quesito 6.  1) la scala orizzontale è logaritmica, per cui, anche se il grafico appare rettilineo nell'intervallo di frequenze considerato, la relazione non è lineare.  2) valori approssimativi:
y2 = c(87, 60, 30, 26, 23, 22, 18, 19, 35, 40, 43,   52,   56,   60)
polyline(log10(xx),y2, "seagreen")

7.1  Quesito 9.  Vedi il primo esercizio qui

8.1  Quesito 10.
exp(0)-exp(-10)
# 0.9999546
# avrei ottenuto lo stesso valore con:
f <- function(x) exp(x); integral(f,-10,0)
#
log(1)-log(2)
# -0.6931472
# avrei ottenuto lo stesso valore con:
g <- function(x) 1/x; integral(g,-2,-1)

9.1  Nel §9 vengono introdotte (per poi essere riprese nella classe successiva) le derivate delle funzioni composte e delle funzioni prodotto.  Negli esercizi e14 ed e15 vengono dedotte da queste quelle della funzioni reciproco e quoziente.

10.1  Il §10 le concoscenze sviluppate nella scheda vengono applicate alla risoluzioni di equazioni e disequazioni. Si tratta di argomenti che verranno ripresi più volte in esercizi ed altre schede.

11.1  Questi argomenti possono essere omessi in classi più "deboli".

e1  Vedi l'esercizio 12 qui

e3  Vedi l'esercizio qui

e6  Vedi l'esercizio 2 qui

e7  Vedi l'esercizio 20 qui

e8  Vedi l'esercizio 9 qui

e9  d log(log(x)) / d log(x) * d log(x) / dx = 1/log(x) * 1/x = 1/(x·log(x))
d(x*exp(x))/dx = dx/dx * exp(x) + x * d exp(x) / dx = exp(x) + x*exp(x)
Con R:
f=function(x) log(log(x)); g=function(x) x*exp(x)
deriv(f,"x")
# 1/x/log(x)
deriv(g,"x")
# exp(x) + x * exp(x)
Vedi anche WolframAlpha  [digita d/dx log(log(x)) e d/dx (x*exp(x))].

e10  Vedi l'esercizio 11 qui

e11  f <- function(x) 3/(2*x) Plane(-5,-1, f(-1),0); graph(f,-5,-1, "brown") h=function(x) 0; diseq(f,h, -5,-1, "brown") integral(f,-5,-1) # -2.414157 -3/2*(log(5)-log(1)) # -2.414157

e12  integrate log(x) dx = x (log(x)-1) (+constant)

e13  Vedi l'esercizio 11 qui