Infiniti e infinitesimi

Indice guide

Scheda (versione B):  A partire da esempi, vengono introdotti gli ordini di infinito e di infinitesimo e notazioni per l'equivalenza asintotica. Vengono introdotte approssimazioni polinomiali delle funzioni circolari, esponenziali e logartimiche. Come approfondimento viene introdotto l'uso del differenziale per approssimare il comportamento di una funzione attorno ad un punto, e viene accennato a come si possono estendere le considerazioni precedenti introducendo i polinomi di Taylor (argomento che verrà ripreso in una scheda facoltativa di approfondimento per la classe quinta).  [vedi anche le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui, relative a voci simili ai temi affrontati nella scheda]

2.1  Quesito 1:  √(x⁸+x) + 7·x⁸  ≈  x^1/2 per x → 0   √(4·cos(x)+9·x⁶ )  ≈  3·x² per x → ∞

3.1  Quesito 2:  per x → ∞ √x+x³+x−130  ≈  x³,  3x³+2  ≈  3x³,  lim _x→∞(√x + x³ + x – 130) / (3x³ + 2) = lim _x→∞ x³/(3x³) = lim _x→∞ 1/3 = 1/3
Verifica col computer:
f <- function(x) sqrt(x)+x^3+x-130; g <- function(x) 3*x^3+2
x <- 1e3; f(x)/g(x)
# 0.3333336
x <- 1e4; f(x)/g(x)
# 0.3333333

3.2  Quesito 3:  per x → ∞ x/(3x) = 1/3

5.1  Quesito 4.  Per x → ∞ (sin(1/x)+1/x²) / (1/x)  ≈ sin(1/x)/(1/x) = 1 in quanto per u → 0 sin(u)/u → 1.

5.2  Quesito 6.  5^x va all'infinito più velocemente di qualunque polinomio, e quindi x⁶/5^x va a 0. Verifica col computer:
f <- function(x) 5^(-x)/x^6
f(1); f(10); f(100); f(1000)
#  0.2  1.024e-13  1.267651e-82  0

6.1  Quesito 7.  P(x) = ax³+bx²+cx+d
P(0) = sin(0) → d = 0
P'(0) = sin'(0) → c = 1
P"(0) = sin"(0) → 2b = 0 → b = 0
P'''(0) = sin'''(0) → 6a = −1 → a = −1/6
  Quindi P(x) = x − x³/6.

e1
BF=3; HF=3
F=function(x) 2*x-7; G=function(x) 2*x+2; H=function(x) 2*x
K=5; graph1F(H,0,K,"brown"); graph1(F,0,K,"blue"); graph1(G,0,K,"seagreen")
K=1e2; graph1F(H,0,K,"brown"); graph1(F,0,K,"blue"); graph1(G,0,K,"seagreen")
K=1e3; graph1F(H,0,K,"brown"); graph1(F,0,K,"blue"); graph1(G,0,K,"seagreen")

e2  Per x → ∞ F1(x) ≈ x,  F2(x) ≈ √x² = x,  F3(x) ≈ √x·x = x^3/2.

e3  vedi il quesito 6c.8.

e5  Vedi qui e qui:  tan(x)−sin(x) è positivo in un intorno destro di 0.
F <- function(x) sqrt(tan(x)-sin(x)); G <- function(x) 1/F(x)
G(1e0); G(1e-1); G(1e-2); G(1e-3); G(1e-4)
#  1.181851  44.66532  1414.196  44721.35  1414214
Dividendo l'input per 100 = 10² l'output si divide per 1000 = 10³: α = 3/2.
Potevo arrivare alla conclusione anche così:

H <- function(x) tan(x)-sin(x)
H(1e-1); H(1e-2); H(1e-3)
#  0.0005012554  5.000125e-07  5.000001e-10

e6  Per x → ∞  ³√(x+1/x) ≈ x^1/3,  arctan(x)·x² ≈ π/2·x²,  √x·(1+x) ≈ x^3/2

e7  Per x → 0  (10^x-exp(x))/sin(x) → log(10)−1.  Verifica:
f <- function(x) (10^x-exp(x))/sin(x)
f(1e-6); f(1e-7)
#  1.302587  1.302585
log(10)-1
#  1.302585

e8  vedi il quesito 6c.7