• tutte le unità didattiche prevedono spunti per attività al calcolatore (in aula computer, nell'aula normale con computer tascabili, …, a seconda dei casi e delle scelte dell'insegnante); in alcuni casi è previsto l'impiego di software specifico per il progetto;

• alle unità didattiche si affiancano:

(5)   Le riunioni periodiche degli insegnanti che partecipano alla elaborazione e sperimentazione del progetto sono utili non solo per verificare l'andamento del lavoro delle classi, ma anche perché il confronto con i colleghi (riferito a una stessa proposta didattica) sulle difficoltà incontrate e sui modi in cui sono state affrontate, su come la classe ha risposto agli stimoli proposti, … è utile per riflettere sul proprio modo di insegnare (questi aspetti sono spesso trascurati nella programmazione collegiale delle scuole). Parte delle riunioni sono dedicate ad attività di aggiornamento "matematico". 
     A partire dal 1994/95, la stampa del progetto per il biennio è effettuata presso una Casa Editrice, tramite una convenzione tra questa e il Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova, in modo da permettere l'uso del materiale (e la sperimentazione del progetto) da parte di un maggior numero di insegnanti, anche di scuole non situate in provincia di Genova o province limitrofe. Anche in quest'ultimo caso, situazione per situazione, si potranno studiare forme opportune di confronto/consulenza/aggiornamento/… .
     Guide per gli insegnanti, schede di verifica, floppy disk, eserciziari integrativi… sono riprodotti e distribuiti (direttamente o via Internet) agli insegnanti sperimentatori direttamente dal gruppo, assieme a copia dei volumi del progetto (che vengono acquistati dal gruppo: l'editore non distribuisce copie saggio alle scuole).

3. I contenuti matematici e i "nuovi programmi"

     Il progetto assume come riferimento i temi previsti dai "nuovi programmi" per il biennio, temi che ricalcano quelli dei programmi in vigore nella scuola media inferiore.
     Sotto abbiamo riportato un elenco dei contenuti previsti per i vari temi dai programmi "Brocca", nelle versioni A (programma "debole", per gli indirizzi classico, linguistico, pedagogico e artistico) e B (programma "forte", per gli indirizzi scientifico, scientifico-tecnologico, tecnologico ed economico), e dai programmi del "Progetto '92" (per gli istituti professionali); altri "nuovi programmi" ("PNI", "Leonardo", …) hanno piccole differenze da questi. Ci riferiamo ai programmi "Brocca" e simili, anche se la prevista "autonomia scolastica" dovrebbe consentire maggiore flessibilità nella organizzazione dei curricoli.
     Nel riportare i contenuti elencati nei programmi, per sintesi o per maggiore chiarezza, a seconda dei casi, abbiamo fatto qualche piccola modifica linguistica (abbiamo scritto «introduzione» invece di «introduzione intuitiva», «polinomi» invece di «monomi e polinomi», …), e abbiamo aggiunto alcune specificazioni («casi particolari», … ) e alcuni argomenti («"studio" di funzioni e soluzioni di equazioni», «grafici vari», «avvio alle presentazioni assiomatiche», …) indicati nei commenti.
     Ricordiamo che l'ordine di elencazione dei temi e, all'interno di questi, dei vari contenuti, non intende suggerire alcun ordine di svolgimento: nelle Indicazioni didattiche presenti nei programmi si sottolinea che l'insegnante deve disaggregare i programmi e riaggregarne e riordinarne i contenuti secondo opportuni itinerari didattici.
     Più avanti abbiamo riprodotto sia le Finalità che le Indicazioni didattiche dei "programmi Brocca"; nelle altre versioni dei "nuovi programmi" queste parti generali sono pressocché uguali.

B r A	B r B	P 9 2		1. GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO
•	•	•	1	Piano euclideo e sue trasformazioni isometriche
•	•	•	2	Figure piane e (alcune) loro proprietà
•	•	•	3	Poligoni equiscomponibili
•	•	•	4	Teorema di Pitagora
	•		5	Omotetie e similitudini del piano
	•	•	6	Teorema di Talete
•	•	•	7	Piano cartesiano (come modello del piano euclideo)
•	•	•	8	Retta nel piano cartesiano
	•	•	9	Parabola nel piano cartesiano (casi particolari)
	•	•	10	Iperbole equilatera nel piano cartesiano (casi particolari)
		•	11	Cerchio nel piano cartesiano
	•	•	12	Coseno e seno degli angoli convessi
•	•	•	13	Relazione fra lati e angoli nei triangoli rettangoli
•	•	•	14	Cenni alla geometria dello spazio; esempi di trasformazioni geometriche nello spazio
•	•	•	15	Individuazione di simmetrie in solidi geometrici
•	•	•	16	Avvio, riferendosi a vari campi, alle presentazioni assiomatiche

B r A	B r B	P 9 2		2. INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
•	•	•	1	Operazioni, ordinamento e loro proprietà negli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali
•	•	•	2	Valori approssimati e loro uso nei calcoli (1); introduzione dei numeri reali (2)
	•		3	Radicali quadratici (1) e operazioni elementari su di essi (2)
•	•	•	4	Il linguaggio dell'algebra e il calcolo letterale
•	•		5	Espressioni algebriche interpretate/rappresentate con schemi di calcolo,grafi, …
•	•	•	6	Polinomi
•	•	•	7	Frazioni algebriche
•	•	•	8	Equazioni (1) e sistemi (2) di primo grado
	•	•	9	Equazioni (1) e sistemi (2) di secondo grado
•	•	•	10	Disequazioni di primo grado
		•	11	Disequazioni di secondo grado

B r A	B r B	P 9 2		3. RELAZIONI E FUNZIONI
•	•	•	1	Insiemi ed operazioni su di essi
	•		2	Prime nozioni di calcolo combinatorio
•	•		3	Differenze e analogie strutturali
	•		4	Leggi di composizione ed individuazione di particolari strutture
•	•	•	5	Prodotto cartesiano e relazioni binarie
•	•		6	Relazioni d'ordine
•	•		7	Relazioni di equivalenza
•	•		8	Applicazioni (funzioni)
•	•	•	9	Funzioni x  ax+b (1), x  ax2 (2), x  a/x (3) e loro grafici
	•	•	10	Funzioni x  ax2+bx+c e loro grafici
	•		11	"Studio" di funzioni e soluzioni di equazioni

B r A	B r B	P 9 2		4. ELEMENTI DI PROBABILITÀ E DI STATISTICA
•	•	•	1	Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori
•	•		2	Eventi disgiunti e "regola della somma"
•	•		3	Probabilità condizionata (1), probabilità composta (2)
•	•		4	Eventi indipendenti e "regola del prodotto"
•	•	•	5	Elementi di statistica descrittiva: grafici vari (1), frequenza (2)
•	•		6	Rilevazione di dati (1), valori di sintesi (2), indici di variabilità (3)

B r A	B r B	P 9 2		5. ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA
•	•	•	1	Logica delle proposizioni: proposizioni elementari e connettivi, valori di verità di una proposizione composta
•	•		2	Inferenza logica, principali regole di deduzione
•	•		3	Variabili e predicati (1), quantificatori (2)
•	•		4	Analisi, organizzazione e rappresentazione di dati
•	•	•	5	Costruzione di algoritmi e loro rappresentazione
•	•		6	Automi finiti, alfabeti, parole e grammatiche generative
•	•		7	Sintassi e semantica
•	•	•	8	Analogie e differenze tra linguaggio naturale e linguaggi artificiali
•	•	•	9	Prima introduzione ai linguaggi formali
				Laboratorio di informatica:
•	•	•	10	Utilizzazione di un linguaggio di programmazione
•	•	•	11	Analisi di problemi e loro soluzioni mediante linguaggi di programmazione
•	•	•	12	Analisi di problemi e loro soluzioni mediante altri opportuni "ambienti informatici"

FINALITÀ (dai "programmi Brocca") 
     L'insegnamento di matematica e di informatica promuove:
1. lo sviluppo di capacità intuitive e logiche;
2. la capacità di utilizzare procedimenti euristici;
3. la maturazione dei processi di astrazione e di formazione dei concetti;
4. la capacità di ragionare induttivamente e deduttivamente;
5. lo sviluppo delle attitudini analitiche e sintetiche;
6. l'abitudine alla precisione di linguaggio
7. la capacità di ragionamento coerente ed argomentato;
8. la consapevolezza degli aspetti culturali e tecnologici emergenti dei nuovi mezzi informatici;
9. l'interesse per il rilievo storico di alcuni importanti eventi nello sviluppo del pensiero matematico.

Riferimenti generali 
     La matematica, parte rilevante del pensiero umano ed elemento motore dello stesso pensiero filosofico, ha in ogni tempo operato su due fronti: da una parte si è rivolta a risolvere problemi ed a rispondere ai grandi interrogativi che man mano l'uomo si poneva sul significato della realtà che lo circonda; dall'altra, sviluppandosi autonomamente, ha posto affascinanti interrogativi sulla portata, il significato e la consistenza delle sue stesse costruzioni culturali.
     Oggi queste due attività si sono ancor più accentuate e caratterizzate. La prima per la maggiore capacità di interpretazione e di previsione che la matematica ha acquistato nei riguardi dei fenomeni non solo naturali, ma anche economici e della vita sociale in genere, e che l'ha portata ad accogliere e a valorizzare, accanto ai tradizionali processi deduttivi, anche i processi induttivi. La seconda per lo sviluppo del processo di formalizzazione che ha trovato nella logica e nell'informatica un riscontro significativo.
     Sono due spinte divergenti, ma che determinano con il loro mutuo influenzarsi, il progresso del pensiero matematico.
     Coerentemente con questo processo l'insegnamento della matematica si è sempre orientato, e continua a orientarsi, in due distinte direzioni: da una parte "leggere il libro della natura" e matematizzare la realtà esterna; dall'altra simboleggiare e formalizzare i propri strumenti di lettura attraverso la costruzione di modelli interpretativi. Queste due direzioni confluiscono, intrecciandosi ed integrandosi con reciproco vantaggio, in un unico risultato: la formazione e la crescita dell'intelligenza dei giovani.
     Le finalità indicate sopra sono comuni a tutti gli indirizzi di studio perché concorrono, in armonia con l'insegnamento delle altre discipline, alla promozione culturale e alla formazione umana di tutti i giovani, anche di coloro che non intendono intraprendere studi scientifici e di quelli che decidono di orientarsi più direttamente verso il mondo del lavoro.
     In un corso di studi ad indirizzo tecnico-scientifico (per i quali è previsto il programma B) l'insegnamento deve inoltre confermare l'orientamento dei giovani per questo tipo di studi, potenziare e sviluppare le loro attitudini e dare le necessarie conoscenze per seguire proficuamente e senza traumi gli studi scientifici o tecnici a livello superiore.

Obiettivi di apprendimento 
     Alla fine del biennio lo studente deve dimostrare di essere in grado di:
1. individuare proprietà invarianti per trasformazioni elementari;
2. dimostrare proprietà di figure geometriche;
3. utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo studiate;
4. riconoscere e costruire relazioni e funzioni;>
5. matematizzare semplici situazioni riferite alla comune esperienza e a vari ambiti disciplinari;
6. comprendere e interpretare le strutture di semplici formalismi matematici;
7. cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali;
8. riconoscere concetti e regole della logica in contesti argomentativi e dimostrativi;
9. adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti;
10. inquadrare storicamente qualche momento significativo dell'evoluzione del pensiero matematico.

INDICAZIONI DIDATTICHE (dai "programmi Brocca") 
     Non ci si può illudere di poter partire dalla disciplina già confezionata, cioè da teorie e da concetti già elaborati e scritti, senza prendersi cura dei processi costruttivi che li riguardano. È invece importante partire da situazioni didattiche che favoriscano l'insorgere di problemi matematizzabili, la pratica di procedimenti euristici per risolverli, la genesi dei concetti e delle teorie, l'approccio a sistemi assiomatici e formali. Le fonti naturali di queste situazioni sono il mondo reale, la stessa matematica e tutte le altre scienze. Ciò lascia intravedere possibili momenti di pratica interdisciplinare, prima nella scoperta e nella caratterizzazione delle diverse discipline in base al loro oggetto e al loro metodo, poi nel loro uso convergente nel momento conoscitivo.
     Dei processi di matematizzazione esistono modelli storici esemplari in grado di illustrarne anche le intrinseche difficoltà: si pensi alla matematizzazione pre-euclidea in ambito geometrico e al suo difficile rigoroso approdo euclideo-hilbertiano, al sistema formale dell'aritmetica, delle teorie riguardanti i numeri reali, alla logica, alla probabilità, ecc.. riguardanti i numeri reali, alla logica, alla probabilità, ecc.. In tale senso proprio la riflessione sul ruolo dei modelli e del linguaggio matematico in fisica e nei sistemi complessi della biologia e della sociologia fa cogliere la portata di questo riferimento anche per la didattica della matematica.
     Il problema didattico centrale che si pone al docente nell'attuazione dei programmi risiede nella scelta di situazioni particolarmente idonee a far insorgere in modo naturale congetture, ipotesi, problemi. Per una pratica didattica così finalizzata, offrono prioritaria ispirazione i risultati delle ricerche in campo storico-epistemologico, in quello psico-pedagogico, nonché in quello metodologico-didattico.
     La scelta delle situazioni e dei problemi rientra in un quadro più vasto di progettazione didattica che si realizza attraverso la valutazione delle disponibilità psicologiche e dei livelli di partenza dei singoli studenti, l'analisi e la determinazione degli obiettivi di apprendimento, l'analisi e la selezione dei contenuti, l'individuazione di metodologie e tecniche opportune, l'adozione di adeguate modalità di verifica. Questa progettazione sostiene il lavoro didattico, favorisce la collocazione dei contenuti nel quadro del sapere scientifico, permette di individuare con più chiarezza la loro importanza e la difficoltà del loro apprendimento.
     Il programma si articola in cinque temi. A questi si aggiunge un laboratorio di informatica, con valore operativo trasversale rispetto ai temi.
     Non è prevista una scansione annuale dei contenuti.
     L'ordine con cui sono proposti i cinque temi non è da interpretare come ordine di svolgimento. Si suggerisce che il docente li sviluppi in modo integrato, partendo da situazioni o contesti che ne mettano in luce le reciproche relazioni e connessioni, nel rispetto dell'identità caratteristica degli argomenti. Ferma restando per tutti l'acquisizione dei contenuti indicati, è necessario che il docente produca esemplificazioni, situazioni e applicazioni tendenzialmente orientate secondo le esigenze e gli interessi preminenti dei vari indirizzi di studio.
     I linguaggi di programmazione, gli algoritmi risolutivi dei problemi e l'aspetto operativo offerto dai calcolatori si possono utilizzare come occasioni per valorizzare nuovi accessi all'astrazione, modalità più dirette e distinte di familiarizzazione con i linguaggi formali.
     La verifica dell'apprendimento deve essere strettamente correlata e coerente, nei contenuti e nei metodi, con il complesso di tutte le attività svolte durante il processo di insegnamento-apprendimento. Non può quindi ridursi ad un controllo formale sulla padronanza solo delle abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche; deve invece vertere in modo equilibrato su tutte le tematiche e tenere conto di tutti gli obiettivi evidenziati nel programma. A tale fine il docente può servirsi di verifiche scritte e orali.
     Le verifiche scritte possono essere articolate sia sotto forma di problemi ed esercizi di tipo tradizionale, sia sotto forma di test; possono anche consistere in brevi relazioni su argomenti specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti nell'ambito del laboratorio di informatica.
     Le interrogazioni orali sono utili soprattutto per valutare le capacità di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nel!a proprietà di espressione.
     Nel corso delle verifiche scritte è giustificato l'uso degli stessi sussidi didattici utilizzati nell'attività di insegnamento-apprendimento (calcolatrici tascabili, strumenti da disegno, e, se ritenuto opportuno, manuali e testi scolastici).

     Si sono riprodotte anche Finalità e Indicazioni didattiche perché, nonostante il soddisfacente quadro di assieme, che ben si raccorda con i programmi della scuola dell'obbligo, i contenuti elencati e le differenziazioni per tipo di scuola in più punti sollevano perplessità o sono poco comprensibili. Per interpretare i programmi è, quindi, necessario, far riferimento, a mo' di "costituzione", a queste indicazioni generali.
     Nel seguito, tema per tema, espliciteremo alcune osservazioni critiche e le scelte, interpretative e correttive, che abbiamo operato nella nostra attività: il nostro progetto non è una applicazione routinaria dei programmi, ma è parte integrante di un'attività di ricerca e sperimentazione didattica, finalizzata a indurre innovazioni migliorative dei percorsi formativi.
     La scheda 3 dell'unità didattica La matematica e i suoi modelli illustra in maniera abbastanza esauriente l'immagine della matematica e gli atteggiamenti verso di essa che cerchiamo di "costruire" con la nostra proposta didattica.
     Esaminando il volume Gli oggetti matematici (e, in particolare, il relativo indice) si possono ricostruire i contenuti matematici del progetto.
     Ora, tema per tema, riferendosi all'elenco numerato con cui abbiamo sintetizzato i programmi "Brocca", illustriamo brevemente come abbiamo deciso di svilupparne i contenuti, rinviando a parti specifiche delle guide alle varie unità didattiche per approfondimenti.

La geometria del piano e dello spazio 
     Ritenendo impraticabile una presentazione assiomatica della geometria, abbiamo deciso di introdurre alcuni concetti geometrici per via analitica: 
riferendosi al piano: • punto come coppia di numeri reali, • figura come insieme di punti, • traslazione come particolare funzione numerica a 2 input e 2 output, • distanza come opportuna funzione numerica a 4 input 1 output, • direzione come elemento dell'intervallo [0,360), … 
     e, poi, di introdurre altri concetti e affrontare problemi e dimostrazioni a volte analiticamente, a volte sinteticamente (ad esempio una semiretta, invece che analiticamente, mediante un sistema equazione+disequazione, può essere descritta come l'insieme di punti in cui un punto dato può essere trasformato mediante traslazioni di direzione fissata). 
     Questi concetti vengono introdotti man mano come modelli matematici che astraggono e generalizzano concetti "fisici" (dalle posizioni su righe e su superfici individuate con strumenti di misura ai punti come n-uple di numeri, dalle direzioni scandite da un goniometro alla associazione di un intervallo [a,b) ai punti del cerchio x²+y²=1, …), dopo lo svolgimento di riflessioni e attività operative (con strumenti da disegno e di misura) in situazioni "concrete". 
     In questa impostazione, il piano euclideo (punto 1 dell'elenco) è introdotto come R² dotato della distanza euclidea. Rinunciando a una presentazione assiomatica, come fanno anche i NP, non si vede come se ne possa dare una presentazione diversa da questa (l'idea di introdurre il piano cartesiamo - punto 7 dell'elenco - come "modello" del piano euclideo, suggerita dai NP, sembrerebbe fa riferimento al concetto di "modello di un sistema di assiomi", ma ciò sarebbe contraddittorio con la rinuncia a una presentazione assiomatica; l'unica interpretazione che ci pare possibile sia intendere il piano cartesiano come "modello matematico" del concetto pre-matematico di piano euclideo).
     Il cerchio, in quanto è il luogo geometrico più facile e più "significativo", nonostante che i NP lo menzionino esplicitamente sono nel caso degli istituti professionali, nel progetto è un concetto geometrico introdotto tra i primi e su di esso poggia l'introduzione di vari altri concetti (direzione, funzioni trigonometriche, …).
     Le funzioni trigonometriche (anche la funzione tangente) vengono definite non solo per gli angoli convessi (come suggerirebbero i NP), in quanto ciò, oltre ad essere una scelta secondo noi didatticamente poco efficace, sarebbe difficilmente conciliabile con l'introduzione delle rotazioni, con i riferimenti alle applicazioni extra-matematiche, con l'uso dei mezzi di calcolo, … (incomprensibilmente, i NP escludono totalmente le funzioni trigonometriche nel caso del programma Brocca-A).
     Dal momento che i NP prevedono per tutti lo studio delle funzioni x  ax² e x  a/x e dei movimenti piani, il progetto prevede per tutti (anche per le scuole con il programma Brocca-A), anche se con diversi livelli di approfondimento, parabole e iperboli equilatere.
     Analogamente non abbiamo ritenuto opportuno limitare l'argomento delle omotetie e delle similitudini al programma Brocca-B: se si intendono le similitudini in senso "pre-matematico" (senza presentazioni assiomatiche, non in forma analitica, …), non si vede come se ne possa fare a meno per introdurre la retta nel piano cartesiano; se si intende presentare "matematicamente" le isometrie, non si vede perché non introdurre prima il più facile concetto di omotetia. 
     È vero che questi concetti verranno ripresi e approfonditi nel triennio, ma non si vede perché non darne una "prima" (o "seconda", in quanto si tratta di temi già affrontati nella scuola dell'obbligo …) presentazione già ora, nell'ottica di una ripresa a "spirale" degli argomenti, e tenendo conto che per gli stessi argomenti, in indirizzi scolastici differenti, si possono prevedere diversi livelli di approfondimento.
     Non si tratta di fare degli "anticipi", ma di utilizzare, in modi opportuni, terminologie e concetti che trovano naturali intrecci con altri concetti previsti dai NP e di porre, per tempo, le basi per la costruzione di successivi livelli di formalizzazione. Ci pare fondamentale questo aspetto, sia per dare una immagine corretta e "viva" della matematica, sia per non irrigidire gli studenti nell'identificazione dei concetti con particolari definizioni, particolari procedimenti di calcolo, … e nella loro classificazione in aree (la geometria, l'algebra, l'analisi, la probabilità, …) non comunicanti. 
     La presentazione delle tematiche geometriche nel progetto è fortemente intrecciata a quella di altri argomenti: funzioni, equazioni, numeri, uso del calcolatore, …
     Per indicazioni più approfondite sullo sviluppo nel progetto dei contenuti geometrici, si vedano le guide alle uu.dd. Per strada e La matematica e lo spazio.

Insiemi numerici e calcolo - Relazioni e funzioni 
     Per l'introduzione dei numeri abbiamo scelto un approccio costruttivista; in breve:
–  numeri reali come opportune successioni di caratteri (cifre, "." e "–"), con una opportuna relazione di "eguaglianza" (3.7999…=3.8000…, ecc.),
–  definizione algoritmica delle operazioni sui numeri decimali limitati,
–  estensione di queste ai numeri reali mediante i concetti di approssimazione e, senza formalizzazioni, di limite/funzione continua (es.: per ottenere il risultato di x·y con una certa precisione basta operare su intervalli di indeterminazione per x e per y sufficientemente piccoli).
     I numeri naturali, interi, periodici/razionali, decimali limitati e limitati in altre basi vengono studiati come particolari sottoinsiemi di R chiusi rispetto ad alcune operazioni. 
     Non si è ritenuto opportuno né, ovviamente, introdurre i numeri reali per via assiomatica, né presentare la costruzione dei vari insiemi numerici a partire da N:
     sarebbe dispendioso e difficile introdurre gli strumenti algebrico-logico-insiemistici per effettuare "correttamente" la costruzione – anche il solo passaggio agli interi –
     e, soprattutto, per questo livello scolastico, non se ne vedono motivazioni didattiche (in un corso universitario di algebra la costruzione di Q a partire da N può essere invece un'occasione di applicazione di concetti come partizione, immersione, …) o culturali (in un corso universitario sui fondamenti della matematica può essere invece significativo costruire con tecniche insiemistiche a partire dall'aritmetica di Peano un modello per gli assiomi dei numeri reali).
     Per ulteriori commenti si veda la guida all'u.d. I numeri. 
     L'introduzione dei numeri viene svolta contestualmente ad attività di elaborazione statistica, attività con mezzi di calcolo, riflessioni sui codici, … . Indicazioni al riguardo sono presenti anche nelle guide alle uu.dd. Le statistiche e La automazione. 
     Sin dalle prime schede viene introdotto il concetto di funzione, sotto forma sia di algoritmo che di tabella e di grafico. Pur in assenza di esplicite definizioni (come: "dicesi funzione un insieme di coppie (x,y) tale che …") si tratta di presentazioni sufficientemente rigorose (il concetto di algoritmo può essere precisato riferendosi a un linguaggio di programmazione, il grafico e la tabella sono insiemi di coppie – o di n-uple – di numeri tali che …). Il concetto di funzione viene meglio formalizzato nella u.d. Funzioni ed equazioni, prevista per la classe seconda. 
     Il riferimento a questo concetto, inevitabile in una visione non "preistorica" della matematica e dei suoi usi, entra in gioco nella definizione dei termini (espressioni algebriche, nei NP) e, quindi, delle formule (equazioni e disequazioni).
     Nel progetto abbiamo dato particolare rilievo, soprattutto in classe prima, all'analisi della struttura dei termini (che ci pare importante per impostare su basi solide l'uso dei linguaggio algebrico e dei linguaggi formali) e alla messa a punto di un lessico "algebrico" generale, più vicino alla terminologia impiegata dalle applicazioni per il calcolo simbolico che a quella "scolastica" (vedi la guida alla scheda 4 di Le statistiche).
     Riflessioni, di approfondimento e di sintesi, sulla risoluzione (grafica, numerica e simbolica) di equazioni, sistemi e disequazioni (presente in contesti vari fin dall'inizio della classe prima) e sulle funzioni polinomiali sono previste per la classe seconda, e sono volte non tanto alla messa a punto di specifiche tecniche, quanto alla individuazione di metodi basati sull'uso, più o meno formalizzato, di alcuni concetti generali (funzione inversa, funzione iniettiva, continuità, connettivi logici, … ). Vedi la guida all'u.d. Funzioni ed Equazioni. 
     È previsto l'uso sistematico del computer, sia per la rappresentazione e lo studio grafico di funzioni ed equazioni che per attività di calcolo simbolico, sia con software ad hoc (elaborato dal gruppo) che con software commerciale (Derive, in particolare). L'uso del computer (pure in attività di programmazione) è importante anche per motivare, esercitare e inquadrare in un contesto più generale l'uso dei formali, di cui l'usuale linguaggio algebrico è solo un esempio (vedi, più avanti, i commenti al tema "elementi di logica e informatica"). 
     I NP si soffermano in particolare su alcune funzioni (e alcune equazioni), intendendo che queste devono essere particolarmente approfondite.
     Ma ovviamente occorre esaminare anche altre funzioni (equazioni), quanto meno per mettere in luce, per contrasto, le caratteristiche di quelle che verranno studiate più a fondo.
     E, come emerge da osservazioni presenti nei commenti ai temi "Insiemi numerici e Calcolo" e "Elementi di Logica e di Informatica", nello studiare funzioni ed equazioni, occorre evitare di introdurre tecniche ad hoc per questioni che possono essere affrontate con metodi più generali o di sviluppare su casi particolari aspetti che, senza dispendio e con maggiore significatività, possono essere visti in contesti più generali.
     Pare ovvio, quindi, risolvere per via grafica/numerica anche equazioni, disequazioni e sistemi di cui per ora non si studiano procedimenti risolutivi di tipo simbolico (cioè "algebrico"), considerare i radicali quadratici come casi particolari di elevamenti alla potenza, studiare procedimenti generali per trasformare termini in termini equivalenti, comporre e operare con funzioni di vario genere (non solo nei casi particolari delle funzioni polinomiali, delle traslazioni, …), individuare "analogie strutturali" tra funzioni e tra relazioni diverse, …
     Quindi, anche se i NP parlano esplicitamente solo di radicali quadratici, e solo per il Brocca-B, abbiamo considerato naturale affrontare, a un primo livello, le potenze a esponente non intero.
     Così, anche se i NP esplicitano l'argomento delle disequazioni di 2° grado solo per il Progetto '92, abbiamo ritenuto giusto risolvere graficamente e, in alcuni casi, simbolicamente anche disequazioni diverse da quelle di 1° grado.
     Analogamente, poiché è previsto lo studio delle funzioni polinomiali (i polinomi, per noi, sono i "polinomi in n indeterminate", non le somme di monomi stranamente definiti), ci è parso naturale che si affronti, a un primo livello, lo studio delle equazioni polinomiali di grado superiore al 2°. 
     Anche se i NP per il Progetto '92 e il Brocca-A non citano tra i contenuti l'individuazione di particolari strutture (ma, nel caso del Brocca-A si parla di analogie strutturali nel commento al tema "Relazioni e Funzioni" e, per tutti gli indirizzi, nelle finalità esse sono indicate come un obiettivo di apprendimento prioritario …, ed erano già presenti nei programmi della scuola dell'obbligo), abbiamo ritenuto opportuno mettere in luce per tutti alcune differenze e analogie tra strutture (numeriche e non) diverse (insiemi numerici, insiemi di funzioni, connettivi, …). Si veda in particolare la guida alla scheda 3 de I numeri.
     E prevediamo alcuni cenni al calcolo combinatorio per tutti gli indirizzi (anche se i NP ne parlano esplicitamente solo per il Brocca-B), in quanto utili per affrontare alcuni esempi significativi di calcolo delle probabilità (ciò non vuol dire che il calcolo combinatorio sia fondamentale o sia una specie di "capitolo zero" del calcolo delle probabilità, come invece viene inteso in alcuni libri di testo!). Vedi la guida all'u.d. La matematica tra gioco e realtà.

Nota. A questo punto è il caso di aprire una piccola parentesi sulle assenze di alcuni argomenti dai NP, o da alcune versioni di essi, a cui abbiamo già accennato più volte.
     Una interpretazione, "malevola", di questo fenomeno potrebbe essere: nel complesso dei lavori delle commissioni che hanno formulato i programmi hanno avuto un peso non trascurabile le tendenze (vicine agli interessi delle case editrici più presenti nel mercato scolastico) a non creare troppe fratture con le impostazioni dei [degli autori dei] libri di testo più diffusi, per i quali, ad esempio, affrontare le disequazioni di 2° grado vuol dire comunque metter su un apparato macchinoso per le discussioni o affrontare il seno di 100° necessita di un trattato "pedestre" di trigonometria.
     Un'altra interpretazione, "benevola", potrebbe essere quella rappresentabile con la seguente frase di un ipotetico commissario: «Se si mettesse "avvio alle disequazioni di 2° grado" ci sarebbe il rischio che qualche insegnante [o autore di libro di testo], invece di affrontarle con un approccio grafico, riferendosi a situazioni problematiche significative, …, metta su i soliti apparati macchinosi. Meglio non esplicitare questo argomento, sottointendendo che nel contesto di una modellizzazione con una funzione quadratica l'insegnante [l'autore] potrà risolvere disequazioni di 2° grado in quanto non richiedono prerequisiti concettuali non presenti nei programmi».
     Alla luce delle "Indicazioni didattiche" e di alcune osservazioni presenti nei "Commenti" ai temi, propendiamo per la seconda interpretazione. E, comunque, è ovvio che nelle applicazioni, negli esempi, negli inquadramenti, … si possano estendere le indicazioni contenutistiche dei programmi.

Elementi di probabilità e di statistica 
     Nel progetto, nella classe prima, diamo ampio spazio alla statistica descrittiva, in quanto tema che si presta all'introduzione e al consolidamento in attività significative di molti concetti matematici di base, dai numeri al calcolo approssimato, dal concetto di funzione alla costruzione e all'uso delle formule, dalle rappresentazioni grafiche di relazioni numeriche alla lettura e alla messa a punto di algoritmi.
     Le indicazioni contenutistiche relative alla statistica presenti nei programmi sono molto vaghe.
     Nei commenti si parla di "grafici vari" e noi abbiamo riferito a questo argomento, oltre alle rappresentazioni di distribuzioni di frequenza, anche i grafici di serie temporali e il calcolo e la rappresentazione di numeri indici, la valutazione di variazioni e di variazioni medie, … (questi aspetti forse potrebbero rientrare anche sotto le voci "valori di sintesi" e "indici di variabilità" – punti 6.2 e 6.3 dell'elenco – , ma, forse, gli estensori dei NP con questi termini intendevano riferirsi, rispettivamente, ai valori medi (o indici di posizione) e agli indici (o misure) di dispersione). 
     Gli strumenti di statistica descrittiva servono poi, in classe seconda, come punti di riferimento per l'introduzione alla probabilità (concetto di distribuzione, proprietà della funzione-probabilità, …). 
     Nel commento al tema i NP accennano al confronto tra le diverse definizioni (non-assiomatiche) di probabilità.
     Sicuramente gli estensori dei programmi intendevano riferirsi agli approcci alla determinazione di alcuni valori di probabilità noti come "classico", "frequentista" e "soggettivista"; ma, secondo noi, far passare questi metodi valutativi, dipendenti dal contesto dell'"esperimento", per "definizioni matematiche" contribuirebbe a oscurare la comprensione sia della natura dei modelli matematici che del ruolo del calcolo delle probabilità; altro conto è (nel contesto di una riflessione più generale sui modelli matematici e sulla natura della matematica, che riteniamo opportuno affrontare nel triennio) inquadrare storicamente queste "definizioni" come tentativi definitori tipici di un periodo in cui la matematica non aveva ancora assunto un proprio status autonomo.
     Per ulteriori indicazioni rinviamo alla guida dell'u.d. La matematica tra gioco e realtà.

Elementi di logica e di informatica 
     La lettura del solo elenco dei contenuti proposti dai NP lascia un po' perplessi (anche se, per questo tema, ci sono stati dei miglioramenti rispetto alle prime versioni dei NP): la "logica matematica" e temi come gli "automi" e le "grammatiche generative", se intesi in quanto tali, sono affrontabili decentemente (avendo a disposizione sia strumenti concettuali adeguati che contesti significativi in cui utilizzarli) solo a livello universitario.
     La lettura del commento al tema fuga alcune perplessità. Troviamo, infatti, per quanto riguarda la logica: «Gli elementi di logica non devono essere visti come una premessa metodologica all'attività dimostrativa , ma come una riflessione che si sviluppa man mano che matura l'esperienza matematica dello studente. Fin dall'inizio bisogna abituare lo studente all'uso appropriato del linguaggio e delle formalizzazioni, a esprimere correttamente le proposizioni matematiche e a concatenarle in modo coerente per dimostrare teoremi, mentre solo nella fase terminale del biennio si può pervenire allo studio esplicito delle regole di deduzione».
     Sulla logica intesa, in senso lato, come educazione all'attenzione agli aspetti linguistici, all'esposizione comprensibile delle argomentazioni, … non si può che essere d'accordo, e la riflessione sulle questioni linguistiche è diffusa in tutte le unità didattiche del progetto.
     Per lo «studio esplicito delle regole di deduzione» non è chiaro che cosa intendano gli estensori dei NP: sicuramente non intendono riferirsi a una presentazione assiomatica della logica proposizionale, che contraddirebbe la prima parte del commento stesso e il fatto che di "assiomi" si parla solo nei NP per la classe 5ª di alcuni indirizzi (poi, a seconda della presentazione assiomatica scelta, le regole di derivazione possono essere diverse …); probabilmente gli estensori intendono riferirsi alla messa in luce di alcuni schemi dimostrativi e alla possibilità di usare le tavole di verità per evidenziare alcuni dei casi in cui, nota la verità di alcune formule, si può "concludere" che è vera un altra formula. Su questi aspetti sono presenti riflessioni in varie schede. 
     Grande rilievo, in molte schede, viene dato alla discussione delle analogie e delle differenze tra linguaggio formale e linguaggi artificiali (punto 8 dell'elenco).
     Questo aspetto è, indubbiamente, centrale sia per l'avvio alla "logica matematica", intesa nel senso lato a cui ci siamo riferiti sopra, sia per l'avvio all'uso dei linguaggi di programmazione e di altro software. 
     Alla costruzione e alla rappresentazione di algoritmi (punto 5 dell'elenco) e all'uso del computer per analizzare e risolvere problemi (punti 11 e 12) si ricorre in gran parte delle schede di lavoro, così come accade nel normale lavoro di quasi tutti i matematici e di chi usa la matematica in altre scienze, tecniche o mestieri.
     Il punto 6 ("automi finiti, …"), a cui abbiamo accennato criticamente, dovrebbe essere finalizzato, come suggeriscono i commenti al tema, al riconoscimento dell'«aspetto logico-funzionale di alcune realtà (i linguaggi formali, l'elaboratore, altri sistemi automatici)».
     Sul fatto che la riflessione sulla natura degli automatismi, sulle differenze tra questi e altre "macchine", … sia fondamentale per educare a un uso consapevole dei mezzi di calcolo, per far comprendere il ruolo di essi e della matematica (come "linguaggio" e "strumento" per realizzare sistemi automatici), … siamo pienamente d'accordo: anche a ciò è finalizzata la u.d. La automazione. Non vediamo, invece, che senso abbia e come si possano introdurre (non caricaturalmente) nel biennio concetti come "automa finito" e "grammatiche generative". 
     Per indicazioni sul software specifico messo a punto per il Progetto si vedano le indicazioni presenti sul "sito" e all'interno del software stesso.

4. Le schede di lavoro

     Per una descrizione sintetica dell'articolazione del progetto rimandiamo alla introduzione al volume "Le schede di lavoro".
     Nelle guide alle varie unità didattiche sono date indicazioni più complete sulla gestione del materiale (tempi di svolgimento, collegamenti fra schede, parti opzionali, differenze a seconda dell'indirizzo, …
     In breve, possiamo dire che nel caso delle classi con programma "forte", la scheda 2 di "Per strada" può essere affrontata sia in classe prima che in seconda. Nel caso delle altre scuole questa scheda è prevista per la classe seconda; se lo si ritiene il caso, si può lasciare per la seconda anche la scheda 1 di "La matematica e lo spazio", o, addirittura, la scheda 1 di Per strada.
     "Progettare un pezzo di vita" non è una u.d., ma sta a indicare una proposta di lavoro, a mo' di tesina, che gli insegnanti possono proporre agli alunni nelle ultime settimane di scuola: può essere una situazione problematica relativamente aperta (come organizzare un viaggio, predisporre la realizzazione del bilancio delle spese di una famiglia, analizzare economicamente una piccola impresa artigianale, realizzare un particolare gioco al calcolatore, …) che gli alunni, fuori dall'orario scolastico, possono affrontare, singolarmente o a gruppi, utilizzando opportunamente le proprie risorse culturali (matematiche e non). 
     Molte schede si prestano ad attività di collaborazione con insegnanti di altre discipline (nei programmi di alcune scuole è prevista esplicitamente uno "spazio" per attività interdisciplinari; del resto il nuovo esame di stato prevede anche verifiche in questa direzione) o, quanto meno, alla segnalazione di collegamenti con altre discipline: dall'Italiano (non solo per le riflessioni sui linguaggi, ma anche per attività di lettura, sintesi,… che l'insegnante di lettere può far svolgere su schede di lavoro del progetto) al Laboratorio fisico/chimico, dal Disegno (geometria, uso del calcolatore) alle Scienze della Terra o alla Geografia (coordinate, trasformazioni geometriche, scale, …), dalla Biologia (grafici, probabilità, fattori di scala, …) a Diritto ed Ecomomia (modelli matematici per l'economia e le scienze sociali), … 
     Nelle guide di varie unità didattica (e, in particolare, nella guida alla prima unità didattica), sono segnalati problemi relativi al raccordo con la scuola media inferiore.

     Le tabelle seguenti sintetizzano il contenuto matematico delle schede facendo riferimento all'elenco presentato nel punto 3. .
     Ad esempio il "2.1" che compare nella colonna "2" della riga relativa all scheda 1 dell'u.d. "La matematica e i suoi modelli" significa che in tale scheda sono presenti riferimenti significativi al punto 2 - (1) del tema 2 (valori approssimati); ciò non significa che questo argomento sia affrontato approfonditamente: potrebbe essere solo introdotto in modo intuitivo, rimandando una presentazione più formale e un eventuale sviluppo "tecnico" a schede successive. 
     Il fatto che lo stesso contenuto sia affrontato in più schede – come appare chiaramente da un esame "verticale" delle colonne dei temi – conferma le caratteristiche del progetto (integrazione di argomenti comuni a più aree matematiche, ripresa a spirale dei contenuti con diversi livelli di applicazione e di formalizzazione, …). È utile all'insegnante tener conto di questo aspetto sia per calibrare e distribuire nel biennio i livelli di approfondimento e consolidamento e per evidenziare agli alunni collegamenti con idee, applicazioni, riflessioni, … su un certo argomento già avviate in schede precedenti. 
     Nella tabella, tra un blocco di schede e l'altro, sono presenti righe che elencano i vari capitoli deGli oggetti matematici, per dare un'idea di quando potrebbero cominciare ad essere utilizzati in relazione allo svolgimento delle schede di lavoro.

schede (titoli con evidenziati in corsivo i contenuti matematici)	contenuti matematici non richiamati nei titoli dei paragrafi	temi
		1	2	3	4	5
La matem. e i suoi modelli  -  Scheda 1 0. Che cos’è una scheda di lavoro? 1. Una cartina della rete ferroviaria 2. Che cosa viene rappresentato fedelmente? 3. Diverse rappresentazioni cartografiche 4. I modelli matematici	lettura di tabelle     CENNI diverse "distanze" calcoli "sessagesimali" rappresentaz. cartografiche–trasformaz. geom. coordinate geografiche altri modelli matematici (diagramma della temperatura, numeri per approssimare grandezze, …) rapporti tra modelli e "realtà"	5 7 14	2.1	8
La matem. e i suoi modelli  -  Scheda 2 1. Quanto costa un viaggio in treno? 2. Come descrivere il procedimento di calcolo 3. Quale tipo di biglietto conviene? 4. La Freccia delle Dolomiti	funzione come tabella, grafico,     CENNI formula e algoritmo proporzionalità funzioni costanti a tratti e continue "lineari a tratti" algoritmi, diagr. di flusso, programmi formule (equazioni, disequaz.) grafico della legge oraria velocità media profilo altimetrico, pendenza dilatazione di un grafico monometrico	5 13	2.1 4 5	8 9.1 11		5 9
La matem. e i suoi modelli  -  Scheda 3 1. I modelli 2. Le discipline 3. Come studieremo la matematica	prima sistemazione dei concetti di modello e di modello matematico riflessioni sul ruolo delle diverse discipline e della matematica	14		8
Le statistiche  -  Scheda 1  -  I consumi e i redditi 0. Le statistiche 1. Rappresentazioni dei numeri 2. Rappresent. proporzionali, istogrammi 3. Rappres. percentuali, approssimazioni 4. Diagrammi a settori circol., altri diagr. 5. I valori medi 6. Cifre significative	uso delle calcolatrici tascabili notazione esponenziale, ordine di grandezza potenze a esponente intero uso di formule e di proprietà algebriche rapporti, frazioni fattore di proporzionalità, scala media aritmetica, media "di medie" uso del programma STAT ideogrammi, cenno a scale non lineari.	5 7	1 2.1 4 5 8.1	8 9.1 11	5 6.2	4 5 12
La automazione  -  Scheda 1  -  Che cosa trasformano le macchine? 0. Introduzione 1. Un gioco d'avventura e alcune elaborazioni statistiche al calcolatore 2. Movimenti e informazioni 3. Macchine semplici, motori, automatismi 4. Dati e programmi 5. Scatole nere 6. Logica di funzionam. e diagr. di flusso 7. Segnali e codici 8. Il calcolatore	grafi uso dei programmi game e stat variabili contatore (e numeri naturali) scatole nere – funzioni metodo dicotomico segnali digitali rapporti tra matematica e informatica		1	8		5 6 8 9
Le statistiche  -  Scheda 2  -  I record 0. Introduzione 1. Il salto in alto - I grafici 2. Record maschili e femminili - I numeri indici e le variazioni percentuali 3. Le tecniche e le attrezzature 4. Ancora sui grafici - Le funzioni - Uso di grafun	coordinate scelta della scala e forma del grafico pendenza media, aumento medio, velocità di variazione punti percentuali uso di formule e di proprietà algebriche considerazioni implicite sul coeff. angolare grafici di relazioni che sono/non sono funzioni cenni a funzioni composte e funzioni inverse	7 8	4 5 8.1	5 8 9.1 11	5.1
La automazione  -  Scheda 2  -  Le calcolatrici tascabili 1. Funzioni a 1 e a 2 input 2. I registri di lavoro e la gerarchia delle operazioni 3. La memoria-utente e i tasti-parentesi 4. I numeri delle CT e la loro codifica interna 5. Altri tasti-funzione - La radice quadrata - Funzioni inverse	composizione di funzioni funzione a 2 input commutativa mantissa, esponente numeri macchina, overflow, underflow bit, BCD termine indefinito insieme di definizione, dominio avvio ai numeri reali e al concetto di limite funzioni valore assoluto, identità, reciproco, cambio-segno	8 9	1 2.1 3.1 3.2 4 5 9.1	2 3 8 9.2 11		5 7 12
Modello - Rappresentazione decimale dei numeri - Rappresentazione sessagesimale dei numeri - Notazione esponenziale - Potenze - Rapporto - Proporzionalità - Diagrammi - Approssimazioni - Calcolatrice tascabile - Valori medi - Pendenza - Variazione - Formule - Funzione - Calcolatore - Codice
Le statistiche  -  Scheda 3  -  Lo sviluppo corporeo 0. Introduzione 1. Istogrammi di distribuzione 2. Media aritmetica, moda, mediana 3. Percentili, "normalità" 4. Campionamento	modalità, classificazione (partizione) intervallo frequenza, distribuzione di frequenza frequenza cumulata cenni impliciti alla interpolazione lineare uso del programma STATFILE cenni alle misure ad alta sensibilità		2.1 4 8.1	1 6 8 9.1	2 5 6	12
Intervallo - Distribuzione - Valori medi (2) - Percentili - Campionamento
Le statistiche  -  Scheda 4  -  Gli abbandoni scolastici 0. Introduzione 1. Formule per elaborare dati - Termini numerici 2. Grafi di flusso, equazioni, incognite 3. Il simbolo "=" 4. Calcolo simbolico - Termini equivalenti 5. Equazioni equivalenti 6. Equivalenza algebrica e altri tipi di equivalenza	atomi, sottotermini, struttura di un termine grafi ad albero priorità tra le operazioni riordino di addizioni e di moltiplicazioni sostituzione di sottotermini distribuzione/raccoglimento di · (e di negaz.) rispetto + differenza <–> somma portar fuori la negazione da un prodotto eliminazione delle negazioni divisione <–> prodotto eliminazione del reciproco distribuzione di ^ (e radice) rispetto a · semplificazione di frazioni equivalenza dal p.to di vista del calc. numerico		1 2 3 4 5 8.1 8.2 9.1	7 9.1 11		1 3 4 7 11 12
La automazione  -  Scheda 3  -  Il calcolatore 1. Dalla calcolatrice al calcolatore 2. Come usare un ambiente di programmazione 3. Il linguaggio macchina e i programmi traduttori 4. Descrizione dei linguaggi di programmazione - Esempi di linguaggi 5. Automatizziamo qualche procedimento di calcolo 6. Hardware e software 7. I fogli elettronici 8. I programmi per il calcolo simbolico	Basic, Basic strutturato, Pascal sintassi, alfabeto, identificatori, parole chiave, variabili sintattiche variabili, costanti, operatori numerici e stringa simboli relazionali celle di memoria loop, ciclo ROM, RAM, byte, KB applicazioni, documenti sintassi/semantica assegnazione stampa, input salto, test programma commento istruzione riga pulizia dello schermo nomi di funzione (SQR, ABS, SGN, FIX, LEN, ASC, CHR$, MID$, UCASE$, TIMER, TIME$) FOR		4 5	8 11	6.2	1 3 5 6 7 . . . 12
Struttura di un termine - Grafi - Risoluzione di equazioni - Termini equivalenti - Potenze (2) - Calcolatore (2)
I Numeri  -  Scheda 1  -  Usi dei numeri 1. Che cos'è un numero? 2. Numeri uguali 3. Le strutture numeriche	numeri interi, limitati, reali, naturali rappresentazione dei numeri in basi diverse da dieci successore cenni impliciti alla aritmetica modulare		1 2 6	3 4 7		12
I Numeri  -  Scheda 2  -  La struttura dei numeri reali e altre strutture numeriche 1. I numeri reali 2. La retta dei numeri 3. Numeri limitati e numeri periodici 4. Approssimazioni e operazioni tra numeri reali 5. I numeri razionali	misure punto ordine di grandezza l'algoritmo della divisione periodo indeterminazione, intervallo di indeterminaz. uguaglianza come numeri (2.999…=3.000…) insieme chiuso rispetto a una operazione numeri irrazionali cenni all'esistenza di più tipi di numeri macchina	7	1 . . . 4 10	1 3 4 7		11 12
Per strada  -  Scheda 1  -  Da casa a scuola 0. Introduzione 1. Scale, distanze, direzioni, spostamenti 2. Uso delle coordinate 3. Descrizioni dei percorsi	uso di riga e squadra introduzione implicita ai vettori e alla somma di vettori teorema di Pitagora, distanza euclidea uso della distanza euclidea e della distanza urbanistica LOCATE, SELECT CASE OR, AND, NOT cicli nidificati	1 2 4 5 7	2.1	3		1 5 8 10 11 12
La matematica e lo spazio  -  Scheda 1  -  Traslazioni, vettori e distanze 0. Introduzione 1. Il piano cartesiano 2. Traslazioni e vettori 3. Distanza euclidea e distanza urbanistica 4. Formule e figure geometriche 5. Geometria e realtà	spazio a 1, 2 e 3 dimensioni passi di una traslaz., componenti di un vettore addizione, opposto, differenza di vettori/traslazioni (a+b)2=… cerchio secondo la distanza euclidea e secondo la dist. urbanistica, sua descrizione analitica risoluzione di x2+y2=100 rispetto a x o a y, "a mano" e con programmi per il calcolo simbolico {(x,y): condizione} grandezze vettoriali	1 2 7 8 11 14 16	3.1 4 9.1 9.2 10	1 3 8		1 3 8 11 12
I numeri - Basi di rappresentazione dei numeri - Strutture numeriche - Calcolo approssimato - Lo spazio - Distanza - Vettori - Figure - Operatori logici
Per strada  -  Scheda 2  -  Fuori città in bicicletta o in motorino 0. Introduzione 1. Le pendenze 2. Affrontare le salite 3. Meccanismi che trasformano i movimenti	curva di livello, profilo altimetrico uso del goniometro calcolo "grafico" delle funzioni tangente e dell'arcotangente (non esplicitate come tali) calcolo di distanze inaccessibili spezzata, avvio alla lunghezza di un arco inversa proporzionalità rapporto di trasmissione, trasformazione di moto rotatorio in moto traslatorio, avvio alle funzioni periodiche WHILE-WEND	1 4 5 10 13 14		8 9.3 11		10 11
La matematica e lo spazio  -  Scheda 2  -  Movimenti, direzioni, trasformazioni 1. Figure "uguali" nel linguaggio comune 2. I movimenti piani 3. Direzioni, lunghezze d'arco, p 4. Rotazioni e coordinate polari 5. Funzioni circolari 6. Rette, angoli e poligoni 7. Simmetrie, isometrie e similitudini 8. Altre figure e alcuni teoremi	uguaglianza di insiemi di punti come figure semiretta, segmento parabole, iperboli, … altre trasformazioni geometriche programmi per disegnare intreccio metodi sintetici e analitici	1 2 . . . 16	3 4 8 . . . 11	1 3 5 7 9 10 11		1 3 12
La automazione  -  Scheda 4  -  Suoni e immagini al calcolatore - Sottoprogrammi 0. Introduzione 1. Segnali analogici e segnali digitali 2. Suoni 3. Grafica 4. Variabili indiciate 5. Sottoprogrammi 6. Ancora sulla grafica	funzioni periodiche la matematica del suono trasformazioni geometriche, programmi per il disegno, coordinate schermo file di dati coordinate schermo applicazioni per la grafica parametri, argomenti, variabili locali e globali SOUND, SCREEN, PSET, LINE, DIM, SUB, CALL, VIEW, DATA, READ, IF-END IF, OPEN, CLOSE	1 7		8 11		3 4 5 10 11 12
Modelli matematici per l'economia  -  La matematica per le scelte di un'azienda e l'interpretazione dei fenomeni economici 0. Introduzione 1. La formazione dei costi 2. La analisi degli utili 3. Altri modelli per lo studio della formazione dei costi e dei prezzi 4. Problemi di scelta 5. Grafi e statistica	y=a+b·x, y=a+b/x, … risoluzione grafica e algebrica di equazioni, disequazioni e sistemi funzioni crescenti, decrescenti funzioni continue e discontinue fattoriale, problemi combinatori		8 9 10	1 2 6 8 9 11	1 5	3 11 12
Pendenze e curve di livello - Proporzionalità inversa - Periodo e frequenza - Direzioni e funzioni circolari - Trasformazioni geometriche - Figure (2) - Calcolatore (3)
Funzioni ed Equazioni  -  Scheda 1 0. Introduzione 1. Funzioni numeriche e non 2. Composizione di funzioni 3. Funzioni a 1 input e 1 output in R - Grafici e trasformazioni geometriche 4. Risoluzione di equazioni: considerazioni generali 5. Manipolazione di equazioni - Funzioni iniettive	una definizione di funzione coppia ordinata operatori logici dominio e immagine di una funzione grafico di y=f(x+h)+k noto quello di y=f(x) dominiodi un'equazione, numero di soluzioni, identità incognita, parametro MOD	8 9 10	2 6 . . . 8.1 9.1	3 5 8 . . . 11		1 3 5 10 11 12
Funzioni ed Equazioni  -  Scheda 2 1. Funzioni continue 2. Sistemi di equazioni 3. Risoluzione di disequazioni - Funzioni crescenti e decrescenti 4. Funzioni polinomiali	continuità e risoluzione di equazioni intersezione di curve prime riflessioni sulla struttura algebrica dell'insieme delle funzioni (polinomiali) rispetto alla composizione e alle operazioni aritmetiche triangolo di Tartaglia	2	2 6 . . . 10 11	3 8 . . . 11		5 10 11 12
I Numeri  -  Scheda 3  -  Lo studio delle proprietà delle strutture numeriche (e non numeriche) 0. Introduzione 1. I numeri macchina delle CT 2. Strutture numeriche 3. Strutture non numeriche 4. Le funzioni polinomiali - Il teorema del resto 5. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo 5. I numeri macchina dei linguaggi di programmazione e di altre applicazioni	strutture algebriche varie (condizioni e connettivi; insiemi e operazioni tra essi; funzioni, trasformazioni geometriche, funzioni polinomiali, … e somma, composizione, …; stringhe e concatenazione) e loro proprietà i numeri reali scritti in base non decimale avvio al concetto di gruppo algoritmo euclideo (funzioni razionali) semplificazioni, scomposizioni tipi di numeri nei linguaggi di programmazione DEFtipo	1	1 2 6 7 9	1 3 . . . 7 9 . . . 11		1 10 11 12
Funzione (2) - Continuità - Risoluzione di equazioni (2) - Sistemi di equazioni - Disequazioni - Funzioni polinomiali - Strutture numeriche e non - Calcolatore (4)
La matematica tra giochi e realtà 0. Introduzione 1. Giochi algebrici e geometrici 2. Successioni e definizioni per ricorsione 3. Calcolo combinatorio 4. Dalla statistica alla probabilità 5. Che cos'è la probabilità: misure di probabilità, eventi e variabili casuali 6. Leggi di distribuzione. Il generatore di numeri pseudocasuali 7. Modi per calcolare le probabilità 8. Eventi (probabilisticamente) dipendenti e indipendenti 9. Usi (e limiti) del calcolo delle probabilità	costruzione e soluzione di equazioni e sistemi dimostrazioni (in aritmetica e in geometria) similitudini funzioni esponenziali disposizioni, combinazioni triangolo di Tartaglia campione proprietà additiva fenomeni deterministici e casuali distribuzione uniforme simulazione al calcolatore grafi ad albero probabilità condizionata indici di dispersione RND, RANDOMIZE	2 5	4 5 8	1 2 8 11	1 . . . 6	1 3 4 5 8 10 11 12
Successioni - Calcolo Combinatorio - Calcolo delle probabiltà
Progettare un pezzo di vita

Guide alle unità didattiche

A che cosa servono le guide per gli insegnanti?
La matematica e i suoi modelli
Le statistiche (da rivedere)
La automazione (da rivedere)
Modelli matematici per l'economia

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