MAtematica per COnoscere e per SApere

Guida per gli insegnanti  (in costruzione)

Presentazione del progetto MaCoSa
  1. Finalità e diffusione del progetto
  2. Impostazione del progetto
  3. I contenuti matematici
  4. Le schede di lavoro
Guide alle unità didattiche

Presentazione del progetto MaCoSa

1. Finalità e diffusione del progetto

    MaCoSa è un progetto per l'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore che il nucleo di ricerca didattica omonimo ha iniziato a elaborare e sperimentare negli anni '90.
      Il nucleo ha avuto origine da alcune esperienze di aggiornamento e dalle discussioni sorte tra color che avevano collaborato alla preparazione di esse. A partire da questo confronto si è prospettata una attività di ricerca e sperimentazione.
      Le difficoltà e i problemi che gli insegnanti incontravano di fronte ai nuovi programmi di matematica per la scuola secondaria superiore che si stavano delineando, la scarsa incidenza delle attività di aggiornamento che si svilupparono sugli aspetti culturalmente e didatticamente più significativi delle innovazioni introdotte, la richiesta di itinerari didattici e materiali per il lavoro in classe, … ci hanno orientato ad avviare la costruzione e sperimentazione di un progetto complessivo per l'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore.
     Perché questa scelta?

     Affrontare uno o più temi matematici isolatamente non ci è sembrata una scelta adeguata alle difficoltà che stava (e sta) incontrando l'attuazione dei nuovi programmi. Ciò per vari motivi:

(1)  Alle origini di queste difficoltà c'è il fatto che molti insegnanti leggono i nuovi programmi solo come programmi che aggiungono temi nuovi a temi già presenti nei vecchi programmi.
Per combattere la tendenza a trascurare i temi nuovi e, soprattutto, a non cogliere i cambiamenti che dovrebbero investire i temi vecchi, ci è sembrato opportuno mettere in luce la necessità di un'attività di programmazione che disarticoli e riaggreghi i temi elencati nei programmi in itinerari didattici che colgano le interazioni tra i vari temi, ne sfruttino le reciproche motivazioni e occasioni di esercizio e consolidamento tecnico, realizzino economie e sinergie fondendo o integrando argomenti matematici diversi (nel fare probabilità si fa anche algebra, l'uso delle coordinate comporta attività con le equazioni e offre possibilità per introduzioni alternative e più efficaci di molti concetti geometrici, l'uso della nozione di funzione permette di semplificare e raccordare vari concetti, … per non parlare delle possibilità che offre l'uso dei mezzi di calcolo).

(2)  I temi nuovi creano problemi anche perché di per sé comportano un insegnamento meno "tradizionale".
Ciò non solo in quanto per vari di essi si è in assenza di itinerari didattici "tramandati" ma, soprattutto, in quanto il loro sviluppo necessariamente deve passare attraverso attività di matematizzazione (ogni problema probabilistico comporta la modellizzazione di un fenomeno casuale, mettere a punto un programma di argomento matematico per il calcolatore comporta spesso la schematizzazione in un modello matematico di una situazione problematica e, in ogni caso, la precisazione sotto forma di algoritmo di qualche procedimento e la sua traduzione in un linguaggio formale, …).

(3)  La natura della matematica e dei suoi modelli (ruolo delle definizioni e delle argomentazioni in matematica, caratteristiche dei modelli matematici rispetto ai modelli organizzati nelle altre discipline, organizzazione interna della disciplina, …) sono comprensibili gradualmente attraverso la costruzione di una rete complessa di riferimenti culturali ed esperienziali.

     Per questi motivi abbiamo ritenuto opportuno tentare la strada di riorganizzare temi e metodi matematici, e di riflettere sui problemi del loro insegnamento, all'interno di itinerari didattici di più ampio respiro conoscitivo, dando rilievo sia ai momenti della matematizzazione e della discussione dei limiti dei modelli matematici che a quello della analisi e messa a punto di collegamenti, descrizioni, ragionamenti, … di tipo interno alla matematica.
     Del resto MACOSA è un acronimo per "Matematica per Conoscere e per Sapere", etichetta con cui si vuole indicare la finalizzazione della nostra attività al miglioramento dell'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore, del quale spesso sono poco curati sia gli aspetti conoscitivi (modelli matematici nella lettura e interpretazione della realtà) che gli aspetti culturali (la padronanza della matematica non solo "operativa", ma sapiente, cioè consapevole della sua natura, dei suoi concetti e dei suoi metodi).
     Del progetto sono stati elaborati e sperimenati itinerari didattici e schede di lavoro. A partire dal 2010-11 è stata avviata una loro revisione e integrazione per una adozione come "libro di testo" on-line. Al momento sono stati realizzati i materiale per le prime tre classi. In prospettiva, si ha intenzione di rivedere periodicamente il progetto, per aggiornarlo in base agli esiti della sperimentazione e a modifiche dell'assetto didattico e culturale che vengano ritenute opportune.

2. Impostazione del progetto

(1)   Come già osservato, il progetto si presenta anche come una proposta (da convalidare/modificare attraverso un'attività di sperimentazione) di attuazione dei "nuovi" programmi di matematica: in accordo con i suggerimenti metodologici è articolato in itinerari didattici che integrano temi matematici diversi, dà rilievo alle attività di matematizzazione, ….
     È parso utile avviare la costruzione del progetto anche per proporre, come prototipi o termini di paragone, una impostazione e una qualità alternative a quelle dei libri di testo più diffusi, in genere di livello scadente e non rispondenti alle nuove indicazioni metodologiche.
     Per altro i libri più diffusi non sono in linea neanche con le indicazioni dei vecchi programmi. Si veda per esempio la premessa ai vecchi programmi per i licei classico e scientifico:
     «[…] seguendosi il metodo delle approssimazioni successive, perché la consapevolezza delle parole, dei concetti, delle proprietà, dei ragionamenti si consegue a poco a poco, per gradi insensibili. E conviene, per tenere sempre vivo l'interesse ai successivi sviluppi, dare largo posto all'intuizione, al senso comune, all'origine psicologica e storica delle teorie, alla realtà fisica, agli sviluppi che conducono ad affermazioni pratiche immediate, mettendo da parte le nozioni statiche e rigide, e quelle puramente logiche, ma che astraggono da ogni impulso intuitivo. […] Metodo dunque intuitivo-dinamico, in stretto contatto col processo storico, senza esclusivismo di vedute, perché solo così il patrimonio spirituale acquistato nella scuola media inferiore può essere veramente ripreso, evoluto e rafforzato nella scuola dell'ordine superiore».

(2)   Per realizzare l'intreccio tra riflessioni interne e uso di modelli matematici abbiamo organizzato il progetto in itinerari didattici di ampio respiro,
    a volte riferiti a situazioni "reali" in cui introdurre, sviluppare, … modellizzazioni di tipo matematico, facendo anche riferimento a concetti di altre discipline (in genere le applicazioni della matematica sono mediate dai modelli delle altre discipline: la matematica non ha in sé tutti gli strumenti per "contatti fisici" diretti),
    a volte riferiti a temi esplicitamente matematici (riflessioni sulla disciplina "matematica": linguaggi per descrivere i vari tipi di modelli, generalizzazioni, proprietà dei modelli, relazioni tra modelli matematici diversi, modelli matematici che astraggono proprietà di altri modelli matematici, …).

(3)   Come obiettivi prioritari dell'insegnamento della matematica abbiamo assunto i seguenti:

a) 

rendere gli alunni consapevoli del ruolo e della natura dei modelli matematici

b)

far loro raggiungere un certo livello di abilità nell'applicare, elaborare, confrontare modelli matematici (attività da riferire al modo in cui si fa e si usa la matematica ai nostri giorni: delega ai mezzi di calcolo degli aspetti più meccanici, capacità di orientarsi, di scegliere i modelli matematici appropriati, di consultare manuali, … più che saper far calcoli "meccanici" e ricordare "ricette")

c)

renderli consci delle interazioni (oggi e nella storia) della matematica con il "resto",

d)

far percepire la scuola come sede di formazione culturale,

e)

concorrere all'educazione a leggere, scrivere, organizzarsi, dubitare, …

     Gli obiettivi a-c sono essenziali sia per chi non proseguirà gli studi (ruolo e uso della matematica nelle professioni), sia per chi proseguirà (scelte consapevoli degli studi successivi).
     Gli obiettivi d-e sono da perseguire attraverso le scelte di impostazione culturale - vedi (2) - e le scelte metodologiche - vedi (4) -. Essi sono essenziali per interagire concettualmente con gli alunni (come mettono in luce anche le ricerche sui processi di apprendimento):

d:  per evitare che le conoscenze sviluppate dalla scuola siano intese come una cultura ad hoc (da "trattenere" solo superficialmente e temporaneamente), per poter accedere ai fattori che sono alla origine delle difficoltà concettuali degli alunni, per trasformare i loro "bisogni" culturali in "interessi", …;
e:  per mettere gli alunni in grado di: comprendere definizioni, argomentazioni, testi di problemi; organizzare e comunicare ragionamenti; …

(4)   Per quanto riguarda i materiali didattici e altri aspetti metodologici: 
• si è scelto di organizzare gli itinerari didattici in unità didattiche composte ciascuna da più schede di lavoro:

a esercizi sparsi e dai contesti ristretti si sono preferite situazioni problematiche più ampie, in cui la attività di matematizzazione sia più significativa (• più strumenti matematici coinvolti,• esame più approfondito dei rapporti tra situazione e modelli matematici,• riferimenti a modelli propri di altre discipline,• scelta di situazioni che, in maniera culturalmente significativa per gli alunni, "veicolino" e costituiscano "prototipi" per i concetti matematici coinvolti; 
• le schede di lavoro presentano:
• parti da leggere, • inviti a discussioni, • quesiti che prevedono risposte articolate (orali o scritte) nella lingua naturale, • quesiti matematici più tradizionali, • quesiti che prevedono attività operative di altro genere (vedi sotto) e • quesiti più aperti, che comportano aspetti organizzativi (organizzarsi il foglio di lavoro, decidere quale questione affrontare prima, dove andare a cercare certe informazioni, …), • quesiti da affrontare collettivamente e • quesiti da affrontare individualmente; 
     alla fine di ogni scheda (escluse quelle dell'unità didattica introduttiva) allo studente è richiesto di segnare con un evidenziatore le parti in cui viene esemplificato o descritto il significato di alcune "parole chiave" (di cui viene fornito un elenco), fare esempi d'uso di questi termini e sintetizzare per iscritto il contenuto della scheda (ciò serve anche come avvio all'uso del "dizionario": vedi sotto); 
• questa organizzazione dell'insegnamento dovrebbe rendere possibile una verifica dinamica degli alunni (avere un'idea più attendibile di come i singoli alunni apprendono nel corso dell'anno e dell'andamento complessivo della classe); 
• la verifica dinamica è particolarmente importante per il nostro progetto, che non ha obiettivi "immediati" di produttività nel calcolo meccanico o nella riproduzione di definizioni e dimostrazioni, ma
• mira a sviluppare l'organizzazione mentale dei concetti,
• cerca di far emergere e mettere a confronto o in contraddizione le idee, i pregiudizi, le conoscenze distorte degli alunni,
• presta attenzione alle ambiguità/confusioni a cui possono dar luogo le diverse semantiche del linguaggio comune e dei linguaggi matematici, … ; con un'impostazione di questo genere, in cui si mira ad acquisizioni più profonde e generali, la verifica va effettuata in un arco di tempo più ampio; 
• per quanto riguarda l'adattamento del progetto a livelli di preparazione/capacità diversi e a situazioni scolastiche diverse, la graduazione dei quesiti, la loro presentazione in modo da essere affrontati con diversi livelli di astrazione e la ripresa a spirale degli argomenti in uu.dd. successive dovrebbero rendere meno difficile (rispetto all'insegnamento "tradizionale") far partecipare tutti al "filo del discorso" e alla comprensione degli aspetti essenziali dei concetti matematici introdotti; la presenza di paragrafi facoltativo o di schede in versioni alternative consente l'uso del materiale in classi di scuole con programmi "deboli" o "forti" (o con diversi livelli di "utenza"): vedi punto 4; 
• le schede presentano molte attività "tradizionalmente" assenti:
• uso di calcolatrici, riga, squadra, goniometro, carta millimetrata e quadrettata, …; • ;attività di calcolo mentale; • osservazione, descrizione, analisi di fenomeni presenti nella vita quotidiana;
     così si vuole • sia attivare maggiormente gli alunni (attraverso momenti di lavoro più operativo/concreto si possono recuperare allo studio e attivare concettualmente alunni non coinvolti dall'insegnamento tradizionale), • sia proporre attività di esercizio extrascolastico su quanto studiato (e, indirettamente, coinvolgere le famiglie, facendo percepire la natura culturale del lavoro proposto: le famiglie, per fattori vari, sono spesso ostili alle impostazioni non tradizionali);

• tutte le unità didattiche prevedono spunti per attività al calcolatore (in aula computer, in aula normale col proiettore, a casa da parte degli alunni, …, a seconda dei casi e delle scelte dell'insegnante); in alcuni casi è previsto l'impiego di software specifico per il progetto (che, via via, si riduce all'impiego di software di uso generale, sempre gratuito); le schede sono in formato Html, ingrandibile e usabile facilmente in aule scolastiche dotate di proiettore;

• alle unità didattiche si affiancano:

• un eserciziario (gli esercizi sono utilizzabili durante o dopo - per ripassi o consolidamenti - lo svolgimento delle schede ai cui temi si riferiscono, possono essere impiegati per compiti a casa, per compiti in classe, per attività di consolidamento mirate su qualche alunno, …),
• una specie di dizionario matematico (il volume "Gli oggetti matematici"), che man mano estrae, sintetizza, inquadra internamente, … gli argomenti matematici introdotti nel volume "Schede di Lavoro" e viene a costituirsi come un manuale di consultazione e, nel contempo, un indice ragionato del progetto,
• una "banca" di esercizi di verifica, che i vari insegnanti possono assemblare per costruire "compiti in classe"; alcuni blocchi di esercizi, da proporre alla fine e all'inizio degli anni scolastici, hanno la finalità specifica di valutare l'efficacia del progetto che quella di esplorare le difficoltà di apprendimento degli alunni.
• un dizionario enciclopedico, ed altri materiali, accessibili da rete.

(5)   Le riunioni periodiche degli insegnanti che partecipano alla elaborazione e sperimentazione del materiale e, soprattutto, forme di consultazione e discussione in rete sono utili non solo per verificare l'andamento del lavoro delle classi, ma anche perché il confronto con i colleghi (riferito a una stessa proposta didattica) sulle difficoltà incontrate e sui modi in cui sono state affrontate, su come la classe ha risposto agli stimoli proposti, … è utile per riflettere sul proprio modo di insegnare (questi aspetti sono spesso trascurati nella programmazione collegiale delle scuole). 
     Dovrà essere discusso come oragnizzare forme opportune di confronto/consulenza/aggiornamento/…; avvieremo forme di discussione on-line entro l'inizio dell'anno scolastico 2011/12.

3. I contenuti matematici

     Il progetto assume come riferimento i temi previsti dai "nuovi programmi", temi che ricalcano quelli dei programmi in vigore nella scuola media inferiore.  Ricordiamo che l'ordine di elencazione dei temi e, all'interno di questi, dei vari contenuti, non intende suggerire alcun ordine di svolgimento: nelle indicazioni didattiche presenti nei programmi si sottolinea che l'insegnante deve disaggregare i programmi e riaggregarne e riordinarne i contenuti secondo opportuni itinerari didattici.
     Nel seguito, tema per tema, espliciteremo alcune osservazioni critiche e le scelte, interpretative, che abbiamo operato nella nostra attività (finalizzata anche a indurre innovazioni migliorative dei percorsi formativi).
     La scheda 3 dell'unità didattica La matematica e i suoi modelli illustra in maniera abbastanza esauriente l'immagine della matematica e gli atteggiamenti verso di essa che cerchiamo di "costruire" con la nostra proposta didattica.
     Esaminando il volume Gli oggetti matematici (e, in particolare, il relativo indice) si possono ricostruire i contenuti matematici del progetto.
     Qui, tema per tema, illustriamo brevemente come abbiamo deciso di svilupparne i contenuti, rinviando a parti specifiche delle guide alle varie unità didattiche per approfondimenti.

4. Le schede di lavoro

primo biennio           classi terza, quarta, quinta

     Per una descrizione sintetica dell'articolazione del progetto rimandiamo al seguente quadro.
     Nelle guide alle varie unità didattiche sono date indicazioni più complete sulla gestione del materiale (tempi di svolgimento, collegamenti fra schede, parti opzionali, …)
     In breve, possiamo dire che nel caso delle classi con programma "forte", la scheda 2 di "Per strada" può essere affrontata sia in classe prima che in seconda. Nel caso delle altre scuole questa scheda è prevista per la classe seconda; se lo si ritiene il caso, si può lasciare per la seconda anche la scheda 1 di "La matematica e lo spazio", o, addirittura, la scheda 1 di Per strada.
     "Progettare un pezzo di vita" non è una u.d., ma sta a indicare una proposta di lavoro, a mo' di tesina, che gli insegnanti possono proporre agli alunni nelle ultime settimane di scuola: può essere una situazione problematica relativamente aperta (come organizzare un viaggio, predisporre la realizzazione del bilancio delle spese di una famiglia, analizzare economicamente una piccola impresa artigianale, realizzare un particolare gioco al calcolatore, …) che gli alunni, fuori dall'orario scolastico, possono affrontare, singolarmente o a gruppi, utilizzando opportunamente le proprie risorse culturali (matematiche e non). 
     Molte schede si prestano ad attività di collaborazione con insegnanti di altre discipline (del resto il nuovo esame di stato prevede anche verifiche in questa direzione) o, quanto meno, alla segnalazione di collegamenti con altre discipline: dall'Italiano (non solo per le riflessioni sui linguaggi, ma anche per attività di lettura, sintesi,… che l'insegnante di lettere può far svolgere su schede di lavoro del progetto) alla Fisica e alla Chimica, dal Disegno (geometria, uso del calcolatore) alle Scienze della Terra o alla Geografia (coordinate, trasformazioni geometriche, scale, …), dalla Biologia (grafici, probabilità, fattori di scala, …) a Diritto ed Ecomomia (modelli matematici per l'economia e le scienze sociali), … 
     Nelle guide di varie unità didattica (e, in particolare, nella guida alla prima unità didattica), sono segnalati problemi relativi al raccordo con la scuola media inferiore.

     Le tabelle seguenti sintetizzano il contenuto matematico delle schede. .
     Il fatto che lo stesso contenuto sia affrontato in più schede – come appare chiaramente da un esame "verticale" delle colonne dei temi – conferma le caratteristiche del progetto (integrazione di argomenti comuni a più aree matematiche, ripresa a spirale dei contenuti con diversi livelli di applicazione e di formalizzazione, …). È utile all'insegnante tener conto di questo aspetto sia per calibrare e distribuire nel biennio i livelli di approfondimento e consolidamento e per evidenziare agli alunni collegamenti con idee, applicazioni, riflessioni, … su un certo argomento già avviate in schede precedenti. 
     Nella tabella, tra un blocco di schede e l'altro, sono presenti righe che elencano i vari capitoli deGli oggetti matematici, per dare un'idea di quando potrebbero cominciare ad essere utilizzati in relazione allo svolgimento delle schede di lavoro.

schede (titoli con evidenziati in corsivo i contenuti matematici)

contenuti matematici non richiamati nei titoli dei paragrafi

classe I

La matem. e i suoi modelli  -  Scheda 1
0. Che cos’è una scheda di lavoro?
1. Una cartina della rete ferroviaria
2. Che cosa viene rappresentato fedelmente?
3. Diverse rappresentazioni cartografiche
4. I modelli matematici

lettura di tabelle                        CENNI
diverse "distanze"
calcoli "sessagesimali"
rappresentaz. cartografiche–trasformaz. geom.
coordinate geografiche
altri modelli matematici (diagramma della temperatura, numeri per approssimare grandezze, …)
rapporti tra modelli e "realtà"

La matem. e i suoi modelli  -  Scheda 2
1. Quanto costa un viaggio in treno?
2. Quale tipo di biglietto conviene?
3. La Freccia delle Dolomiti

funzione come tabella, grafico,         CENNI
formula e algoritmo
proporzionalità
funzioni costanti a tratti e continue "lineari a tratti"
algoritmi, diagr. di flusso, programmi
formule (equazioni, disequaz.)
grafico della legge oraria
velocità media
profilo altimetrico, pendenza
dilatazione di un grafico monometrico

La matem. e i suoi modelli  -  Scheda 3
1. I modelli
2. Le discipline
3. Come studieremo la matematica

prima sistemazione dei concetti di modello e di modello matematico
riflessioni sul ruolo delle diverse discipline e della matematica

Le statistiche  -  Scheda 1  -  I consumi e i redditi
0. Le statistiche
1. Rappresentazioni dei numeri
2. Rappresent. proporzionali, istogrammi
3. Rappres. percentuali, approssimazioni
4. Diagrammi a settori circol., altri diagr.
5. I valori medi
6. Cifre significative

uso delle calcolatrici tascabili
notazione esponenziale, ordine di grandezza
potenze a esponente intero
uso di formule e di proprietà algebriche
rapporti, frazioni
fattore di proporzionalità, scala
media aritmetica, media "di medie"
uso di programmi per elab. statistiche
ideogrammi, cenno a scale non lineari.

La automazione  -  Scheda 1  -  Che cosa trasformano le macchine?
0. Introduzione
1. Un gioco d'avventura e alcune elaborazioni statistiche al calcolatore
2. Movimenti e informazioni
3. Macchine semplici, motori, automatismi
4. Dati e programmi
5. Scatole nere
6. Logica di funzionam. e diagr. di flusso
7. Segnali e codici
8. Il calcolatore

grafi
uso dei programmi game e stat
variabili contatore (e numeri naturali)
scatole nere – funzioni
metodo dicotomico
segnali digitali
rapporti tra matematica e informatica

Le statistiche  -  Scheda 2  -  I record
0. Introduzione
1. Il salto in alto - I grafici
2. Record maschili e femminili - I numeri indici e le variazioni percentuali
3. Ancora sui grafici - Le funzioni - - Loro rappresentazione con software
4. Le tecniche e le attrezzature (approfondimenti)

coordinate
scelta della scala e forma del grafico
pendenza media, aumento medio, velocità di variazione
punti percentuali
uso di formule e di proprietà algebriche
considerazioni implicite sul coeff. angolare
grafici di relazioni che sono/non sono funzioni
cenni a funzioni composte e funzioni inverse

La automazione  -  Scheda 2  -  Le calcolatrici tascabili
1. Funzioni a 1 e a 2 input
2. I registri di lavoro e la gerarchia delle operazioni
3. La memoria-utente e i tasti-parentesi
4. I numeri delle CT e la loro codifica interna
5. Altri tasti-funzione
6. La radice quadrata
7. Composizione di funzioni - Funzioni inverse

composizione di funzioni
funzione a 2 input commutativa
mantissa, esponente
numeri macchina, overflow, underflow
bit, BCD
termine indefinito
insieme di definizione, dominio
avvio ai numeri reali e al concetto di limite
funzioni valore assoluto, identità, reciproco, cambio-segno
Modello - Rappresentazione decimale dei numeri - Rappresentazione sessagesimale dei numeri - Notazione esponenziale - Potenze - Rapporto - Proporzionalità - Diagrammi - Approssimazioni - Calcolatrice tascabile - Valori medi - Pendenza - Variazione - Formule - Funzione - Calcolatore - Codice

Le statistiche  -  Scheda 3  -  Lo sviluppo corporeo
0. Introduzione
1. Istogrammi di distribuzione
2. Media aritmetica, moda, mediana
3. Campionamento
4. Percentili, "normalità"
6. Concludendo
7. Approfondimenti

modalità, classificazione (partizione)
intervallo
frequenza, distribuzione di frequenza
frequenza cumulata
cenni impliciti alla interpolazione lineare
uso del programma stat
cenni alle misure ad alta sensibilità
Intervallo - Distribuzione - Valori medi (2) - Percentili - Campionamento

Le statistiche  -  Scheda 4  -  Gli abbandoni scolastici
0. Introduzione
1. Formule per elaborare dati - Termini numerici
2. Grafi di flusso, equazioni, incognite

atomi, sottotermini, struttura di un termine
grafi ad albero
priorità tra le operazioni
riordino di addizioni
risoluzione di equazioni

Algebra elementare  -  Calcolo simbolico, termini ed equazioni equivalenti
0. Introduzione
1. Il simbolo "="
2. Calcolo simbolico - Termini equivalenti
3. Equazioni equivalenti
4. Equivalenza algebrica e altri tipi di equivalenza

riordino di moltiplicazioni
sostituzione di sottotermini
distribuzione/raccoglimento di · (e di negaz.) rispetto +
differenza <–> somma
portar fuori la negazione da un prodotto
eliminazione delle negazioni
divisione <–> prodotto
eliminazione del reciproco
distribuzione di ^ (e radice) rispetto a ·
semplificazione di frazioni
equivalenza dal p.to di vista del calc. numerico

La automazione  -  Scheda 3  -  Il calcolatore
1. Dalla calcolatrice al calcolatore
2. Ambienti di programmazione
3. Automatizziamo qualche procedimento di calcolo in JavaScript
4. Ancora due esempi in JS (approfondimenti)

Basic strutturato, JavaScript
programma traduttore
sintassi
ciclo
programma
istruzione riga
nomi di funzione
if, for, while

La automazione  -  Scheda 4  -  Altro software
1. Hardware e software: una breve sintesi
2. I fogli elettronici
3. I programmi per il calcolo simbolico
4. Perché usare la CT, perché usare programmi per il calcolo simbolico
5. I programmi di geometria dinamica

sistema operativo, file
hardware, software
sintassi/semantica
GeoGebra
Struttura di un termine - Grafi - Risoluzione di equazioni - Termini equivalenti - Potenze (2) - Calcolatore (2)

I Numeri  -  Scheda 1  -  Usi dei numeri
1. Che cos'è un numero?
2. Numeri uguali
3. Le strutture numeriche
4. Basi di numerazione (approfondimenti)

numeri interi, limitati, reali, naturali
rappresentazione dei numeri in basi diverse da dieci
successore
cenni impliciti alla aritmetica modulare

I Numeri  -  Scheda 2  -  La struttura dei numeri reali e altre strutture numeriche
1. I numeri reali
2. La retta dei numeri
3. Numeri limitati e numeri periodici
4. Approssimazioni e operazioni tra numeri reali
5. I numeri razionali

misure, punto
ordine di grandezza
l'algoritmo della divisione, periodo
indeterminazione, intervallo di indeterminaz.
uguaglianza come numeri (2.999…=3.000…)
insieme chiuso rispetto a una operazione
numeri irrazionali
ancora JavaScript
classe I o II

Per strada  -  Scheda 1  -  Da casa a scuola
0. Introduzione
1. Scale, distanze, direzioni, spostamenti
2. Uso delle coordinate
3. Descrizioni dei percorsi (approfondimenti)

uso di riga e squadra
introduzione implicita ai vettori e alla somma di vettori
teorema di Pitagora, distanza euclidea
uso della distanza euclidea e della distanza urbanistica
LOCATE, OR, AND, NOT

La matematica e lo spazio  -  Scheda 1  -  Traslazioni, vettori e distanze
0. Introduzione
1. Il piano cartesiano
2. Traslazioni e vettori
3. Distanza euclidea e distanza urbanistica
4. Formule e figure geometriche
5. Geometria e realtà

spazio a 1, 2 e 3 dimensioni
passi di una traslaz., componenti di un vettore
addizione, opposto, differenza di vettori/traslazioni
(a+b)2=…
cerchio secondo la distanza euclidea e secondo la dist. urbanistica, sua descrizione analitica
risoluzione di x2+y2=100 rispetto a x o a y
{(x,y): condizione}
grandezze vettoriali
I numeri - Basi di rappresentazione dei numeri - Strutture numeriche - Calcolo approssimato - Lo spazio - Distanza - Vettori - Figure - Operatori logici

Per strada  -  Scheda 2  -  Fuori città in bicicletta o in motorino
0. Introduzione
1. Le pendenze
2. Affrontare le salite
3. Meccanismi che trasformano i movimenti

curva di livello, profilo altimetrico
uso del goniometro
calcolo "grafico" delle funzioni tangente e dell'arcotangente (non esplicitate come tali)
calcolo di distanze inaccessibili
spezzata, avvio alla lunghezza di un arco
inversa proporzionalità
rapporto di trasmissione, trasformazione di moto rotatorio in moto traslatorio, avvio alle funzioni periodiche
classe II

La matematica e lo spazio  -  Scheda 2  -  Movimenti e direzioni
1. Figure "uguali" nel linguaggio comune
2. I movimenti piani
3. Direzioni, lunghezze d'arco, p
4. Rotazioni e coordinate polari
5. Funzioni circolari
6. Rette e angoli e poligoni

uguaglianza di insiemi di punti come figure
semiretta, segmento
parabole, iperboli, …
altre trasformazioni geometriche
programmi per disegnare
intreccio metodi sintetici e analitici

La matematica e lo spazio  -  Scheda 3  -  Trasformazioni geometriche
1. Poligoni
2. Simmetrie, isometrie, similitudini e trasformazioni di scala
3. Altre figure
4. Alcuni teoremi

La automazione  -  Scheda 5  -  Suoni e immagini al calcolatore - Sottoprogrammi
0. Introduzione
1. Segnali analogici e segnali digitali
2. Suoni
3. Grafica
4. Variabili indiciate e sottoprogrammi

funzioni periodiche
la matematica del suono
trasformazioni geometriche, programmi per il disegno, coordinate schermo
file di dati
coordinate schermo
applicazioni per la grafica

Modelli matematici per l'economia  -  La matematica per le scelte di un'azienda e l'interpretazione dei fenomeni economici
0. Introduzione
1. La formazione dei costi
2. La analisi degli utili
3. Problemi di scelta
4. Grafi e statistica
5. Altri modelli per lo studio della formazione dei costi e dei prezzi

y=a+b·x, y=a+b/x, …
risoluzione grafica e algebrica di equazioni, disequazioni e sistemi
funzioni crescenti, decrescenti
funzioni continue e discontinue
fattoriale, problemi combinatori
Pendenze e curve di livello - Proporzionalità inversa - Periodo e frequenza - Direzioni e funzioni circolari - Trasformazioni geometriche - Figure (2) - Calcolatore (3)

Funzioni ed Equazioni - Modelli matematici per studiare relazioni tra grandezze   -   Scheda 1
0. Introduzione
1. Funzioni numeriche e non
2. Composizione di funzioni
3. Funzioni a 1 input e 1 output in R - Grafici e trasformazioni geometriche
4. Risoluzione di equazioni: considerazioni generali
5. Manipolazione di equazioni - Funzioni iniettive

una definizione di funzione
coppia ordinata
operatori logici
dominio e immagine di una funzione
grafico di y=f(x+h)+k noto quello di y=f(x)
dominiodi un'equazione, numero di soluzioni, identità
incognita, parametro
MOD

Funzioni ed Equazioni  -  Scheda 2
1. Funzioni continue
2. Sistemi di equazioni
3. Risoluzione di disequazioni - Funzioni crescenti e decrescenti
4. Funzioni polinomiali

continuità e risoluzione di equazioni
intersezione di curve
prime riflessioni sulla struttura algebrica dell'insieme delle funzioni (polinomiali) rispetto alla composizione e alle operazioni aritmetiche
triangolo di Tartaglia

Le funzioni polinomiali   -   Una classe di funzioni con particolari proprietà
1. Somma e prodotto di funzioni polinomiali
2. Divisione di funzioni polinomiali
3. Teorema del resto e soluzioni delle equazioni polinomiali
4. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

strutture algebriche varie (condizioni e connettivi; insiemi e operazioni tra essi; funzioni, trasformazioni geometriche, funzioni polinomiali, … e somma, composizione, …; stringhe e concatenazione) e loro proprietà
i numeri reali scritti in base non decimale
avvio al concetto di gruppo
algoritmo euclideo
(funzioni razionali)
semplificazioni, scomposizioni
tipi di numeri nei linguaggi di programmazione
DEFtipo

I Numeri  -  Scheda 3  -  Lo studio delle proprietà delle strutture numeriche (e non numeriche)
0. Introduzione
1. I numeri macchina delle CT
2. Strutture numeriche
3. Strutture non numeriche
4. I numeri macchina dei linguaggi di programmazione e di altre applicazioni
Funzione (2) - Continuità - Risoluzione di equazioni (2) - Sistemi di equazioni - Disequazioni - Funzioni polinomiali - Strutture numeriche e non - Calcolatore (4)

La matematica tra giochi e realtà - Strategie, regole, scelte, fenomeni casuali, … e matematica
0. Introduzione
1. Giochi algebrici e geometrici
2. Successioni e definizioni per ricorsione
3. Calcolo combinatorio
4. Dalla statistica alla probabilità

costruzione e soluzione di equazioni e sistemi
dimostrazioni (in aritmetica e in geometria)
similitudini
funzioni esponenziali
disposizioni, combinazioni
triangolo di Tartaglia
campione
proprietà additiva
fenomeni deterministici e casuali
distribuzione uniforme
simulazione al calcolatore
grafi ad albero
probabilità condizionata
indici di dispersione
RND, RANDOMIZE

Il calcolo delle probabilità - La razionalizzazione delle scelte di fronte ai fenomeni casuali
1. Dalla statistica alla probabilità
2. Che cos'è la probabilità: misure di probabilità, eventi e variabili casuali
3. Leggi di distribuzione. Il generatore di numeri pseudocasuali
4. Modi per calcolare le probabilità
5. Eventi (probabilisticamente) dipendenti e indipendenti
6. Usi (e limiti) del calcolo delle probabilità
Successioni - Calcolo Combinatorio - Calcolo delle probabiltà

 
 Per una descrizione sintetica dell'articolazione del progetto per le classi terza, quarta e quinta rinviamo a questa sintesi. 

Guide alle unità didattiche

A che cosa servono le guide per gli insegnanti?
vol. 1 - La matematica e i suoi modelli (guida versione 2013/14)
vol. 1 - Le statistiche (guida versione 2013/14)
vol. 1 - La automazione (guida versione 2013/14)
vol. 1 - Algebra elementare (guida versione 2013/14)
vol. 1, 2 - I numeri (guida versione 2013/14)
vol. 1 - Per strada (guida versione 2013/14)
vol. 1, 2 - La matematica e lo spazio (guida versione 2013/14)
vol. 2 - Modelli matematici per l'economia
vol. 2 - Funzioni ed equazioni
vol. 2 - Funzioni polinomiali (guida versione 2013/14)
vol. 2 - La matematica tra gioco e realtà
vol. 2 - Calcolo delle probabilità
vol. 3 - Il concetto di limite
vol. 3 - La derivazione di funzioni
vol. 3 - Figure
vol. 3 - Gli integrali
vol. 3 - Quale matematica per i fenomeni casuali?
vol. 3 - Le funzioni circolari
vol. 3 - Il teorema limite centrale
vol. 3 - La prospettiva
vol. 4 - Le funzioni esponenziale e logaritmo
vol. 4 - Infiniti e infinitesimi
vol. 4 - I volumi
vol. 4 - Le coniche
vol. 4 - I vettori tridimensionali
vol. 4 - Altre leggi di distribuzione
vol. 4 - Sistemi di variabili casuali
vol. 5 - Schede di ripasso
vol. 5 - Complementi di Analisi Matematica
vol. 5 - Funzioni di più variabili
vol. 5 - Complementi di Geometria
vol. 5 - Approfondimenti di Statistica e Probabilità
vol. 5 - I numeri complessi
  ...
vol. 5 - Approfondimenti di Analisi Matematica

Soluzioni agli esercizi

Software (R).

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