2. Numeri uguali
3. Le strutture numeriche
4. Basi di numerazione (approfondimenti)
5. Esercizi
SintesiI numeri
Le strutture numeriche e i loro usi
Scheda 1
Usi dei numeri
1. Che cos'è un numero?
2. Numeri uguali
3. Le strutture numeriche
4. Basi di numerazione (approfondimenti)
5. Esercizi
Sintesi
1. Che cos'è un numero?
Consideriamo la definizione che ne dà un diffusissimo vocabolario della lingua italiana:
| (Def. 1) | ente matematico che caratterizza un insieme di cose o di persone |
| Le bilie hanno la caratteristica di avere la forma di una sfera. Qual è l'ente matematico che caratterizza l'insieme delle bilie? E` un numero? |
(Def.1) non è certo soddisfacente. Forse gli autori del vocabolario avrebbero voluto intendere:
| ente matematico usato per indicare una quantità (di cose o di persone) |
| Considera le frasi seguenti. Ti sembra che l'uso di numeri fatto in esse sia in ogni caso in accordo con la definizione tentata sopra? Per quali motivi? |
(1.1) Sei alto 178 cm.
(1.2) Ho preso 6 di
inglese.
(1.3) Ieri eravamo a 3
gradi, oggi è più freddo, siamo a -2 gradi.
(1.4) Ci sono prima io,
lei ha il numero 27, io il 25.
E` sicuramente migliore la seguente definizione, tradotta da un noto vocabolario della lingua inglese:
| (Def. 3) | un elemento del sistema di simboli usato per contare e per rappresentare misure |
Nei casi (1.1)-(1.3) i numeri vengono impiegati per rappresentare misure, anche se nel caso dei voti non si tratta di misure in senso stretto: non è chiaro che cosa si misuri (la bravura di un alunno o il suo comportamento durante una prova di verifica, che può essere condizionato da fattori emotivi, dagli argomenti specifici dei quesiti, …) e in che modo venga effettuata la misura (una interrogazione, una prova scritta, … possono essere valutate diversamente da insegnanti diversi o dallo stesso insegnante in giornate diverse).
Nel caso delle grandezze fisiche la misurazione è un procedimento per associare numeri a grandezze, ma non è detto che questi numeri rappresentino sempre delle quantità: mentre 0 cm può indicare un oggetto di altezza nulla e un oggetto di 20 kg pesa il doppio di uno di 10 kg, la temperatura di 0° non indica un'assenza di calore (si può infatti scendere sotto a 0°) e non ha senso dire che le ore 20 sono il doppio delle 10.
Nel caso (1.4) il numero viene usato per tener conto dell'ordine di arrivo degli utenti ad uno sportello di informazioni, in un ufficio o in un negozio usualmente molto affollati. Non è detto che misuri la quantità delle persone arrivate: due persone possono essere venute insieme (per chiedere la stessa informazione o fare lo stesso acquisto) e aver preso un solo biglietto; una persona può avere strappato per sbaglio due biglietti; in genere quando si arriva al biglietto numero 99 si riparte con un nuovo blocchetto di biglietti; …
(Def.3) è più precisa di (Def.2): non si parla di una generica indicazione di quantità di oggetti ma si parla di conta e di misurazione. Inoltre, descrivendo i numeri come le espressioni usate per contare e misurare, non si esclude che queste espressioni siano usate anche per altri scopi.
| Considera le frasi seguenti. Anche in questi casi i numeri sono usati per misurare, per tener conto di un ordine di arrivo o per indicare una posizione in qualche altro tipo di elencazione? |
(1.5) Versa i soldi
nella Banca Carige, sul conto n° 38155/80.
(1.6) Il mio numero di
codice fiscale è DPT NMR 50D57 D969V.
(1.7) Telefonami al
numero 010 210407.
(1.8) Le abbiamo
riservato la camera 507, al 5° piano.
In
(1.5) è stato usato "/" per separare i due numeri 38155 e 80;
38155 è il numero del conto in senso stretto, 80 è un numero che
specifica il tipo del conto. A volte si trova scritto equivalentemente
3815580.
Nel caso (1.6) siamo di fronte a un "numero" ancora più strano.
Vediamo che cosa rappresenta
DePeTris aNnaMaRia, femmina (57>40), nata il 17 (57-40) / 4 (D è la 4ª lettera dell'alfabeto) / 50 nel comune di Genova (D969).
Il numero di codice fiscale del fratello Calogero è invece DPT CGR 53M07 D969Q (egli è nato il 7 agosto 1953; per i maschi il giorno di nascita viene indicato senza aggiungere 40).
| Quali sono il sesso e la data di nascita di M.Rovati se il suo numero di codice fiscale inizia con RVTMRA60L60? |
Nel caso (1.5) eravamo di
fronte a una espressione (38155/80) che aveva lo scopo di identificare una
particolare cosa (un conto corrente bancario).
010 210407 in
Nel caso (1.8) il numero 507 indica una particolare camera dell'albergo. Negli alberghi (e, in
genere, nelle ditte e negli enti che hanno uffici disposti su più piani)
la numerazione delle stanze ha questo significato: stanza 507 = 7ª stanza del 5° piano.
Infine, gli usi della parola numero fatti in (1.5) e in (1.6) sono sicuramente
legittimi nel linguaggio comune. Tuttavia facendo matematica non ci sogneremmo
mai di considerare
La definizione (Def.3) è dunque un po' restrittiva rispetto al linguaggio comune. Rispetto alla matematica è invece un po' vaga. Infatti non spiega al lettore del vocabolario come è fatto questo sistema di simboli. Proviamo a precisare noi questa descrizione.
| E` un numero intero ogni espressione costituita da una sequenza finita di cifre eventualmente preceduta dal segno "–". Cioè è un'espressione ottenuta arrestando in un qualsiasi momento il procedimento (1.9), avendo eseguito almeno una volta il passo (2) |  | |
| (1.9) | (1) se vuoi scrivi "−" (2) scrivi una cifra (3) vai a (2) | |
| Più in generale è un numero ogni espressione costituita da un numero intero eventualmente seguito dal segno "." e da una sequenza di cifre finita (numero limitato) o senza fine (numero illimitato). Esempi: | ||
| 12 12.0512 12.34343434… −7 −7.17385261402… −0.01 | ||
| (1.10) | (1) scrivi un numero intero (2) scrivi "." (3) scrivi una cifra (4) vai a (3) |
In altre parole è un numero ogni espressione che può essere generata con il procedimento (1.10) a lato, sia che lo si arresti, avendo eseguito almeno il passo (1), sia che non lo si arresti. Per precisare che si sta trattando di un numero generico e non di un numero intero o limitato si usa l'espressione numero reale. Su questa parola torneremo tra poco. |
| Scrivi un po' di cifre del numero reale generabile con il procedimento meccanico descritto a lato, cioè in cui è stato determinato il modo in cui devono essere prese le cifre: |
(1) scrivi "27." (2) scrivi "04" (3) vai a (2) |
|
Descrivi un procedimento meccanico per generare il numero reale 2.666… (e così via con altri 6). |
|
Descrivi un procedimento meccanico per gererare il numero che è il risultato di 1/22. |
I numeri interi traggono il loro nome dal fatto che vengono
usualmente impiegati per indicare quantità di oggetti non frazionabili.
Ad esempio una popolazione può essere di
Naturalmente
usando unità di misura maggiori dell'abitante si può ricorrere anche a numeri non interi;
ad esempio la popolazione precedente potrebbe essere espressa come 152.518 migliaia
di abitanti. Se poi, ad esempio, si
considera la popolazione media di un comune di una certa provincia, si
può ottenere un numero non intero: se gli abitanti della provincia sono
Il termine numeri reali è invece
un modo diverso in cui vengono indicati gli oggetti
matematici di solito chiamati semplicemente numeri.
Dietro all'uso di questa denominazione più estesa vi è il fatto che
esistono degli oggetti matematici più generali che vengono chiamati numeri
complessi, di cui farai la
conoscenza più avanti nel corso degli studi. Quando si vogliono evitare confusioni si aggiunge la
specificazione "reali". Noi, che per il momento non avremo a che fare
con i numeri complessi, in genere ometteremo l'aggiunta dell'aggettivo
"reali".
Comunque possiamo osservare che è stato scelto l'aggettivo "reali"
perché questi numeri sono quelli impiegati per rappresentare misure
fisiche ed economiche.
2. Numeri uguali
Ecco alcuni altri esempi di uso dei numeri.
(2.1) I genovesi posero
questa lapide nell'anno MCMVI a ricordo …
(2.2) Sono già
le 7:30.
(2.3) Come risultato
di 10 
18 
si ottiene 1E18.
| Questi esempi corrispondono alla definizione di numero a cui siamo arrivati nel paragrafo precedente (espressione opportunamente costruita con cifre e un eventuale "−" e un eventuale ".")? III, 7:30, 1E18 sono numeri? |
Nel caso della
notazione esponenziale impiegata dai mezzi di calcolo - es. (2.3) - siamo di
fronte ad espressioni impiegate per rappresentare in forma abbreviata un numero
usualmente scritto usando solo cifre. Anche nel caso (2.1) siamo semplicemente
di fronte a una diversa scrittura del numero 1906.
In
(2.2) si è impiegato il simbolo ":" per delimitare la parte
che indica la quantità di ore dalla parte che indica la quantità
di minuti, cioè riferita a un'unità di misura (60 volte)
più piccola.
Analogamente a volte
per indicare l'estensione di terreni (ad esempio sui certificati catastali) si
usano scritture come 6;05;17 ha (ettari) per intendere un'area di 6 ha, 5 a (are)
e 17 ca (centiare): qui il
";" delimita la parte che indica la quantità in una
unità di misura da quella che la indica in una unità di misura
(100 volte) più piccola.
| Esprimi la durata di 7 h 30 min e l'area 36;05;17 ha con l'usuale scrittura decimale (solo cifre e punto). |
7 h 30 min = … h 36;05;17 ha = … ha
(2.1)-(2.3) sono tutti esempi di scritture riconducibili meccanicamente, attraverso una decodifica, a espressioni che concordano con la definizione che abbiamo dato. Diremo, quindi, che, ad esempio, CC, 200 e 2E2 sono tre modi diversi per indicare lo stesso numero. Assumeremo, comunque, 200 come notazione standard di esso.
Analogamente a volte si scrive 01, 02, … o 001, 002, … invece di 1, 2, … . A volte si trova scritto pure .37 invece di 0.37. Anche in questi casi si tratta di diverse rappresentazioni di uno stesso numero. Così a volte lo stesso numero viene indicato con 7.3, 7.30, 7.300, … . Siamo di fronte a espressioni che pur essendo diverse come sequenze di simboli sono uguali come numeri.
In altre parole per caratterizzare il concetto di numero non possiamo limitarci a dire "sequenza di cifre …" ma dobbiamo anche precisare quando due di queste sequenze sono da considerare uguali come numeri.
| Due quadrati con lato di 15 cm tracciati su una lavagna con gessi di colore diverso, ad esempio verde e bianco, sono due figure indubbiamente differenti: una è verde e l'altra è bianca. Possiamo dire che sono due figure geometriche uguali? Trovi qualche analogia tra questa situazione e, ad esempio, il caso dell'eguaglianza di 0.750 e .75. |
I numeri possono essere rappresentati in molti altri modi.
Ad esempio in codice Morse e in codice BCD, sostituendo una ad una le cifre di un
numero scritto in notazione decimale con altri simboli (nel primo caso con una
particolare sequenza di punti e di linee, nel secondo caso con un gruppo di 4
bit). Ovvero
usando i procedimenti (1.9) e (1.10) con sistemi di cifre diversi
dall'usuale:
− se uso come cifre 0 e 1 posso
ottenere ad esempio: 0, 1000.01, −1.1010, 1111, …
− se uso come cifre 0, 1 e 2 ottengo
ad esempio: 2, −212, 0, 10.201, …
− se uso come cifre 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E e F ottengo ad esempio:
1A.B, F.A, 0, −1.0B, …
Il problema è precisare quando due numeri scritti usando diversi sistemi di cifre sono da considerare uguali. La questione è semplice per quanto riguarda i numeri interi.
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I numeri interi positivi vengono impiegati come modello matematico per contare:
ogni volta che si passa da un oggetto a un altro (nel caso si stia contando una
quantità di oggetti) o da un evento al successivo (nel
caso si stia scandendo una successione di eventi: scorrere dei giorni, ordine
di arrivo in una gara, movimenti in un passo di danza, …), si scatta da un numero intero al numero intero
successivo. I numeri si susseguono come nei contatori. Nella figura a lato (clicca per ingrandirla) è ricordato il funzionamento di un contagiri decimale (cifre: 0,1, …, 9) e di un contagiri binario (cifre: 0,1). Clicca qui per approfondimenti ed una animazione. |
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Per passare da una rappresentazione con il sistema a c cifre alla rappresentazione decimale si fa una somma di potenze di base c. Ad esempio la scrittura in forma binaria 110 corrisponde a 1·22+1·21+0·20 = 1·4+1·2+0·1 = 6. La scittura in base 60 del tempo (arrotondato ai secondi) 13:05 corrisponde a 13·601+5·600 = 13·60+5·1 = 785 (secondi).
Per questi motivi la rappresentazione con il sistema a c cifre viene chiamata rappresentazione in base c.
Per indicare le basi di rappresentazione dei numeri precedenti si usa indicare la base di rappresentazione come "pedice" e per
le basi di numerazione superiori a 10 in genere si usano A, B, C, … per indicare le cifre "dieci", "undici", "dodici", ….
Nei due casi precedenti (110 in base 2 e 13:05 in base 60) si usano scritture come le seguenti:
3. Le strutture numeriche
Abbiamo visto che a volte i numeri vengono usati semplicemente come stringhe, cioè come sequenze di caratteri, per identificare oggetti (ad esempio un apparecchio telefonico). In matematica invece i numeri non sono solamente delle sequenze di caratteri. Anzi, abbiamo visto che a un numero non è associata un'unica rappresentazione simbolica: esistono rappresentazioni simboliche diverse che vengono considerate uguali come numeri. Per adesso abbiamo approfondito questo aspetto relativamente ai numeri interi, successivamente lo affronteremo più in generale per tutti i numeri reali.
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Il
riquadro a lato raffigura un impiego di R (o di un altro qualunque programma di tipo matematico)
per calcolare in corrispondenza di
alcuni valori di input i valori di output della funzione | F <- function(x) x F(70); F(070.00); F(7e1) |
La matematica si interessa degli usi dei numeri non come semplici "nomi" ma come elementi impiegati per costruire modelli matematici (percentuali, medie, equazioni, funzioni, grafici, …) che consentano di rappresentare e studiare le relazioni che intercorrono tra grandezze e fenomeni di vario genere.
A differenza del caso dei numeri telefonici (in cui non ha alcun senso stabilire se un numero telefonico precede o segue un altro o, ad esempio, calcolare la somma di due numeri telefonici), per mettere a punto un modello matematico non ci basta sapere come devono essere scritti i numeri, ma dobbiamo anche definire dei modi opportuni per confrontare e operare sui numeri. Cioè non possiamo considerare i numeri come una semplice collezione di oggetti, ma abbiamo bisogno di organizzarli, di dare ad essi una "struttura"
|
Ad esempio abbiamo
visto che i numeri interi positivi possono essere impiegati per contare:
al succedersi di certi eventi o certe azioni passiamo
man mano da un numero al numero successivo. Non ci basta conoscere che cosa sono i numeri interi positivi, ma
dobbiamo anche sapere il modo in cui, a partire da 1, si possono generare uno
dopo l'altro tutti gli altri numeri interi positivi. Se partiamo da 0, invece
dei numeri interi positivi consideriamo i numeri non negativi (numeri positivi
più 0), che vengono più in breve chiamati numeri naturali. In altre parole dobbiamo conoscere la funzione n → successore di n che dato un numero mi dice come passare al numero successivo, cioè al suo successore. |  |
Indicata con S la
funzione-successore e con S(n) il
successore di n, si ha:
| ||||||
In questa situazione il modello matematico impiegato è dunque la struttura numerica costituita dall'insieme dei numeri naturali, il cui numero 0 viene assunto come elemento iniziale, e dalla funzione-successore S. Non ci serve considerare altre funzioni, ad esempio la somma o il prodotto.
| Esempio 2. Consideriamo la stessa situazione dell'esempio 1. Vogliamo però calcolare anche quante auto sono passate complessivamente per le strade A e B. |
In questo
caso dobbiamo arricchire la precedente struttura numerica considerando anche la
funzione-somma:
| Esempio 3. Esaminiamo invece la situazione (1.4) del quesito 2, e supponiamo che vengano impiegati blocchetti di biglietti numerati da 1 a 99: ogni persona in arrivo stacca il biglietto superiore del blocchetto in uso; esauriti i biglietti, viene messo in uso un nuovo blocchetto, identico al precedente. |
Qui si sta impiegando una struttura numerica differente: è costituita dai numeri interi compresi tra 1 e 99 e da una funzione-successore differente da S, chiamiamola S':
S'(1)=2, S'(2)=3, … S'(98)=99, S'(99)=1.
Sulla base del solo modello matematico non è possibile stabilire tra il possessore del biglietto 93 e il possessore del biglietto 47 chi è arrivato prima. Infatti il 93 potrebbe essere stato staccato da un blocchetto precedente. Bisognerà far ricorso anche ad altre considerazioni.
| Sei in coda per entrare in un ufficio del catasto assieme ad un'altra cinquantina di persone. Tu hai il numero 47 e vedi un'altra persona che ha il numero 93. Come potresti stabilire chi dei due è arrivato prima? |
Nelle successive schede di questa unità didattica approfondiremo lo studio delle strutture numeriche.
|
4. Basi di numerazione (approfondimenti) La tabella a lato illustra la scrittura dei numeri in diverse basi. Le cifre vengono ordinate alfabeticamente: 0 è la cifra iniziale, a cui seguono nell'ordine 1, 2, 3, …, 9, A, B, … . Dopo il numero 0 vengono generate in ordine alfabetico le parole non inizianti per 0 composte da un solo carattere, poi quelle composte da due caratteri, poi quelle composte da tre caratteri, e così via.
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(4.1) |
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| In un contagiri che usa un sistema di 10 cifre: | |||
| − la ruota iniziale (a destra) - ruota di posto 0 - scatta ad ogni giro, | |||
| − la ruota che segue - ruota di posto 1 - scatta | ogni 10 scatti della ruota iniziale, | ||
| − la ruota che segue - ruota di posto 2 - scatta | |||
| ogni 10 scatti della precedente, cioè | ogni 10·10=102 scatti della ruota iniziale, | ||
| − la ruota che segue - ruota di posto 3 - scatta | |||
| ogni 10 scatti della precedente, cioè | ogni 10·10·10=103 scatti della ruota iniziale, | ||
| ... | |||
| In un contagiri che usa un sistema di 8 cifre: | |||
| − la ruota iniziale (a destra) - ruota di posto 0 - scatta ad ogni giro, | |||
| − la ruota di posto 1 scatta | ogni 8 scatti della ruota iniziale, | ||
| − la ruota di posto 2 scatta | ogni 8·8=82 scatti della ruota iniziale, | ||
| − la ruota di posto 3 scatta | ogni 8·8·8=83 scatti della ruota iniziale, | ||
| ... | |||
| Quindi il numero 562 scritto usando il sistema di cifre 0, 1, 2, …, 7 viene generato a partire da 0 con: | |||
| − 5 volte 8·8 incrementi unitari (scatti della ruota iniziale) in modo da far scattare 5 volte la ruota di posto 2 e | arrivare a 500, | ||
| − 6 volte 8 incrementi unitari in modo da far scattare 6 volte ruota di posto 1 e | arrivare a 560, | ||
| − 2 incrementi unitari, cioè 2 scatti ruota di posto 0, con cui infine | arriviamo a 562. | ||
In definitiva 562 scritto usando il sistema di 8 cifre 0, 1, 2, …, 7 corrisponde nell'usuale rappresentazione a 82·5+8·6+2 = 64·5+8·6 + 2 = 370.
| Trova la rappresentazione decimale di 1120 e di 1012 nei casi in cui si siano impiegati sistemi a 3, 8 e 16 cifre. |
| 0, 1, 2 → 0, 1, …, 9 | 0, 1, …, 7 → 0, 1, …, 9 | 0, 1, …, F → 0, 1, …, 9 | |
| 1120 | |||
| 1012 |
Ricordiamo che la rappresentazione binaria viene chiamata anche rappresentazione in base due e che le altre rappresentazioni impiegate nella tabella (4.1) vengono chiamate in base tre, in base otto, in base sedici. La rappresentazione standard viene chiamata in base dieci. Quando scriviamo un numero in genere sottintendiamo che sia scritto in base dieci, cioè nel sistema in cui 10 rappresenta "dieci". Ricordiamo che quando si utilizzano altre basi queste vengono spesso specificate con una notazione come la seguente: (3045)8 indica il numero che in base 8 è rappresentato da 3045.
Vediamo ad esempio come si può trovare la rappresentazione in base 5 di 67.
