I numeri

Le strutture numeriche e i loro usi

Scheda 2

La struttura dei numeri reali e altre strutture numeriche

1.   I numeri reali

2.   La retta dei numeri

3.   Numeri limitati e numeri periodici

4.   Approssimazioni  e operazioni tra numeri reali

5.   I numeri razionali

6.   Esercizi

1. I numeri reali

     I numeri interi costituiscono un modello matematico impiegato per misurare o individuare lo stato di fenomeni che variano a scatti. Ad esempio per individuare i piani di un edificio assumendo come riferimento il piano terra (Æfigura 1, pulsantiera di un ascensore).

     Esaminiamo ora un fenomeno che varia con continuità. Ad esempio il trascorrere del tempo.

     Consideriamo un recipiente pieno d'acqua con un piccolo foro sul fondo da cui escano gocce; l'acqua sia mantenuta allo stesso livello da un rubinetto controllato da un galleggiante, in modo che le gocce escano con frequenza costante, cioè passi sempre lo stesso tempo tra la caduta di una goccia e la caduta della goccia successiva.

     Il livello dell'acqua e la dimensione del foro siano tali che cada una goccia ogni secondo.

figura 1

     Supponiamo che ogni goccia che cade faccia avanzare di una posi-zione un contatore meccanico. Il contatore passa da …000 a …001, …002, …003, … . Se azzero questo contasecondi quando inizia un certo fenomeno e se quando questo termina il contatore segna, ad esempio, 138 dirò che il fenomeno è durato 138 secondi (Æfigura 2).

     Questo numero è una misura del tempo trascorso. Non rappresenta tuttavia esattamente la durata del fenomeno:

   quando azzero il contatore la goccia uscita per ultima dal foro ha già percorso un po' di strada; impiega quindi meno di 1 secondo a comple-

figura 2

 

tare la caduta e a far scattare il contatore sulla posizione 1; perciò quando il contatore scatta a 138 in realtà è trascorso un tempo compreso tra 137 e 138 secondi;

   d'altra parte se il fenomeno finisce quando il contatore, pur segnando ancora 138, sta per scattare a 139, il tempo trascorso potrebbe essere di quasi 139 secondi.

     In definitiva possiamo concludere solamente che il tempo trascorso è compreso tra 137 e 139 secondi. Diremo che 138 secondi è una misura approssimata della durata del fenomeno considerato, e che il valore vero della misura può discostarsi da essa di 1 secondo in più o in meno. In breve scriviamo:   durata=131sec (o 138 ± 1 s, come si usa in "fisica").

     Supponiamo di modificare il nostro ipotetico cronometro ad acqua: allarghiamo il foro e aumentiamo il livello dell'acqua in modo che le gocce escano più velocemente, esattamente 10 gocce al secondo. Aggiungiamo una ruota dentata sulla destra del contatore e scriviamo preceduta da un punto la cifra ad essa corrispondente. Il contatore passerà da …000.0 a …000.1, …000.2, … .

     Supponiamo che con il nuovo apparato "misuratore" il fenomeno considerato termini quando il numero segnato è 138.2.

     138.2 sec è una misura della durata del fenomeno più precisa della precedente. Viene letta "138 punto 2 secondi" o "138 secondi e 2 decimi di secondo"; infatti l'intervallo di tempo che deve ripetersi 10 volte per fare 1 sec viene detto decimo di secondo.

     Tuttavia anche questa misura non è esatta.  Con un ragionamento analogo al precedente possiamo concludere che vi può essere un errore di un decimo di secondo:       durata = 138.0.1 sec.

(1) Completa figura 3, che rappresenta i successivi stati del nuovo apparato misuratore.

         Ogni cronometro si basa sul ripetersi con frequenza costante di un certo evento (la caduta di una goccia, il pendolo che passa per la verticale, la molla che passa per la posizione di riposo, l'oscillazione di un cristallo di quarzo eccitato elettricamente, …). Chiamiamo tic questi eventi.

         Nei cronometri moderni, che si basano in genere sull'oscil-lazione di cristalli di quarzo, il numero visualizzato non scatta ad ogni tic, come accade nei modelli di cronometro sopra visti, ma tra uno scatto e il successivo intercorrono molti più tic. In questo modo diventa trascurabile il conteggio di un tic in più o in meno.

         Ad esempio se vengono visualizzati i centesimi di secondo e vi sono 8000 tic al secondo, un tic in più o in meno corrisponde a

figura 3

una variazione di 1/8000 = 0.000125 sec, che è trascurabile rispetto a 0.01 sec.

     Dunque possiamo ritenere che un moderno cronometro che segni i centesimi di secondo visualizzi esat-tamente il numero dei centesimi di secondo trascorsi tra quando è stato fatto partire e quando è stato arre-stato. Non otteniamo tuttavia il valore esatto del tempo trascorso, ma solo il suo troncamento ai centesimi

di secondo.  Nel caso in cui venga visualizzata la misura 183.27 sec, possiamo solo concludere che la misura esatta è compresa tra 183.27 sec e 183.28 sec, ovvero dire che 183.27 sec la approssima per difetto a meno di un errore di 0.01 sec.

     Con strumenti più precisi potremmo arrivare all'intervallo [138.273, 138.274], e così via.

     Però più di tanto non possiamo migliorare la misurazione: prima o poi arriviamo ai limiti delle nostre possibilità tecnologiche (eventi utilizzabili come tic, dispositivi impiegabili per il conteggio, …).

     A ciò è da aggiungere il fatto che non è possibile avviare e arrestare il cronometro esattamente all'inizio e alla fine del fenomeno.

     Se impiego un cronometro che mi consente di arrivare alla misura 138.27 sec (troncata ai centesimi di secondo), non è detto che la cifra 7 sia significativa. Se faccio partire il cronometro con un ritardo di circa 15 centesimi di secondo e lo arresto con circa 37 centesimi di secondo di ritardo, la misura risulta essere allungata di un intervallo di tempo pari a circa 37-15=22 centesimi di secondo:  la misura corretta è quindi circa 138.05 secondi. L'errore introdotto dall'utente (22 centesimi di secondo) supera quello dello strumento (1 centesimo di secondo).   [Æquesito 32 della scheda 3 di Le statistiche]

     La misura esatta della durata che stiamo considerando potrebbe essere, in secondi, 138.27356018… e così via con infinite altre cifre, ma noi non potremo mai conoscerla completamente.

     Per misurare lunghezze procediamo in modo simile.

     Prendiamo un nastro metallico su cui fissiamo una tacca 0 e, alla distanza di 1 metro, la tacca 1; riportando successivamente 1 metro possiamo segnare le tacche 2,3,…. Con questo nastro misuratore possiamo effettuare misure approssimate al metro.

     Per esempio possiamo stendere il nastro a fianco ad un'asta con la tacca 0 a una estremità dell'asta; se all'altra estremità corrisponde una tacca compresa tra 2 e 3 possiamo concludere che l'asta misura 2 m. E` una misura approssimata per difetto (troncata), con errore al più di 1 metro.

     Possiamo poi suddividere ogni divisione, cioè ogni parte di nastro compresa tra due tacche, ad esempio tra la tacca 0 e la tacca 1, in 10 parti uguali:

     In corrispondenza delle vecchie tacche possiamo aggiungere ".0" (0Æ0.0, 1Æ1.0, 2Æ2.0, 3Æ3.0);  in corrispondenza delle nuove tacche scriveremo 0.1, 0.2, …, 0.9, 1.1, 1.2, …

       figura 4

     Con ulteriori suddivisioni potremmo migliorare la misura, ma non si potrà mai arrivare alla misura esatta.

     Del resto le estremità dell'asta non sono perfettamente lisce, nonostante ciò che può apparire a prima vista o al tatto.  Con una lente potente o con un microscopio  (Æfigura 4) si possono osservare piccoli rilievi, ad esempio di qualche decimo di millimetro. Arrivati alla misura 2.708 (2 m, 7 dm, 8 mm) non ha senso procedere oltre.

     D'altra parte, come nel caso della misura del tempo, occorre tener conto anche degli errori (cioè delle variazioni rispetto alla misura corretta) che introduce chi misura:

nel posizionare il nastro misuratore non è possibile far corrispondere esattamente la tacca 0 alla prima estremità dell'asta, nel leggere la misura vi può essere qualche incertezza nel determinare la tacca corrispondente alla fine dell'asta, …

     I numeri reali (o, più semplicemente, numeri) sono i modelli matematici impiegati per rappresentare le misure esatte.

     Come abbiamo visto si tratta di un modello astratto: con una misurazione non è possibile determinare con infinite cifre il valore di una grandezza.

     Tuttavia il suo uso ci consente di fare ragionamenti più semplici, senza tener conto delle limitazioni delle misure.  Ci consente di parlare di:

   tempi uguali (senza misure esatte come potremmo dire che due fenomeni hanno la stessa durata?),

   rettangoli (come potremmo dire che quattro angoli hanno la stessa ampiezza?),

   sfere (come potremmo dire che un oggetto, comunque lo si posizioni, ha sempre lo stesso spessore?),

  

     Nei casi pratici, naturalmente, dovremo poi tenere conto di queste astrazioni.

(2) Voglio tagliare una trave di legno in modo da ottenere tre blocchetti di legno uguali tali che, appilati uno sull'altro, mi consentano di formare una pila alta 17 cm.

(a)  Qual è la misura esatta della terza parte di 17 cm?

(b)  A quale distanza (approssimata) ha senso tracciare i segni in cui posizionare la sega? (5cm o 6 cm o 5.6 cm o 5.8 cm o … ? perché?)

(c)  Stima di quanto potrebbe differire da 17 cm la pila che si ottiene con i blocchetti così costruiti.

Nota.  Con una misurazione non si possono trovare tutte le cifre che esprimono il valore di una grandezza. Tuttavia vi sono grandezze di cui si conosce la misura esatta. Si tratta di grandezze il cui valore viene assegnato convenzionalmente: ad esempio si assumono come misura della temperatura dell'acqua in ebollizione al livello del mare (cioè alla pressione di 1 atmosfera) il valore 100.000…°C e come misura della temperatura dell'acqua che sta solidificandosi al livello del mare il valore 0.000…°C.

     Si possono, poi, conoscere esattamente le misure di grandezze che possono dedursi con calcoli matematici da altre misure esatte. Ad esempio possiamo dire che un quadrato che abbia lato lungo esattamente 2.4 cm ha area pari esattamente a 2.42 = 5.76 cm2.

2. La retta dei numeri

      I numeri vengono spesso rappresentati disposti lungo una linea retta, che possiamo immaginare come l'unione di due nastri misuratori senza spessore e senza fine, disposti su direzioni opposte e con la tacca 0 in comune. Il nastro destro rappresenta i numeri positivi, il nastro sinistro quelli negativi.  Questa linea viene chiamata retta (o linea) dei numeri.

     Naturalmente questa linea non è da intendere come una linea del tipo di quelle che si possono tracciare con una penna o con un altro oggetto. Le linee della "realtà" hanno sempre uno spessore e, prima o poi, se non ritornano su se stesse (come nel caso di una circonferenza), finiscono.

     Questa invece, anche se nel tracciarla sulla carta le diamo un certo spessore e una lunghezza limitata, è una linea che immaginiamo infinitamente sottile e che si sviluppi senza fine in entrambe le direzioni.

     Supponiamo inoltre che, comunque si prendano su di essa due punti distinti, si possano prendere tra essi quanti altri punti si vogliono. Nelle linee della "realtà" invece prima o poi i punti andrebbero a sovrap-porsi, così come nei nastri misuratori usati nella pratica le tacche non si possono infittire più di tanto.

     In altre parole, siamo di fronte a un modello matematico astratto. Quando parleremo di punto della retta dei numeri non intenderemo un punto tracciabile "concretamente", che ha sempre qualche dimensione, ma una posizione sulla retta dei numeri, che può essere individuata esattamente con un numero reale.

     La retta dei numeri illustra in forma schematica l'uso dei numeri reali per rappresentare grandezze fisi-che. Non è altro che una generalizzazione delle usuali scale graduate impiegate negli strumenti di misura.

     Mentre sulla scala termometrica diciamo che tra 6° e 11° o tra -1° e 4° vi è una differenza di 5°, sulla retta dei numeri diremo che tra il punto 6 e il punto 11 o tra il punto -1 e il punto 4 vi è la distanza 5 (senza unità di misura).  Diremo anche che l'intervallo [6,11], cioè l'insieme dei punti compresi tra 6 e 11, e l'intervallo [-1,4] hanno lunghezza o ampiezza 5. Analogamente l'intervallo [4.5,9] ha ampiezza 4.5. (Æintervallo in Gli oggetti matematici)

     In corrispondenza delle tacche, cioè dei punti che delimitano una divisione dall'altra, abbiamo numeri che da un certo punto in poi proseguono sempre con la cifra 0:

  attorno al punto 3 alla prima scansione in tacche si ha:                … ,  1,  2,  3,  4,  5, 

  con la successiva suddivisione:                                             …,  2.8,  2.9,  3.0,  3.1,  3.2, 

  con un'ulteriore suddivisione:                                          …,  2.98,  2.99,  3.00,  3.01,  3.02, 

  poi:                                                                             …,  2.998,  2.999,  3.000,  3.001,  3.002, 

     Comunque, sia che scriviamo 3, sia che scriviamo 3.0, 3.00, 3.000, … o 3.000…  (sottointendendo una sequenza senza fine di 0), vogliamo identificare sempre lo stesso punto.

     Quindi 3, 3.00 e 3.000… sono da intendere come diverse rappresentazioni dello stesso numero (quindi anche 3.\o(\s\up7();0) è un numero intero).  Analogamente  420.7, 420.70, 420.7000…  sono diverse come sequenze di simboli ma sono uguali come numeri.

(3) Metti in ordine di grandezza le seguenti misure, che supponiamo esatte:   0.53 m, 1.18m, 1.2 m.

(4) Rappresenta i numeri 0.53, 1.18 e 1.2 sulla retta dei numeri.

(5) Un alunno di scuola media di fronte alla domanda se sia più lungo uno spago che misuri esattamente 2.37 m o uno che misuri esattamente 2.8 m risponde che è più lungo il secondo. Ha risposto correttamente? Se la risposta è affermativa, spiega perché, se la risposta è negativa cerca di individuare quale ragionamento errato c'è dietro alla risposta dell'alunno.

Nota.    Quando non si esprimono valori esatti, ma valori approssimati, con le scritture 420.7 e 420.70 o con 3.0 e 3.00 in genere si intendono informazioni differenti: 420.7 è una approssimazione con 4 cifre significative e 420.70 è un'approssimazione con 5 cifre significative, 3.0 è una approssimazione con 2 cifre significative e 3.00 è un'approssimazione con 3 cifre significative. Nel caso in cui i numeri esprimano misure in metri e si stiano considerando arrotondamenti, 420.7 indica una misura arrotondata ai decimetri (420.7 è la tacca dei decimetri più vicina) e 420.70 indica una misura arrotondata ai centimetri (420.70 è la tacca dei centimetri più vicina). Se invece fossero stati troncamenti, 420.70 avrebbe indicato un valore compreso tra 420.70 e 420.71.

     Analogamente se si afferma che la popolazione di una certa città è 2.4106 (2.40 milioni) di abitanti, si intende che essa sia arrotondata a 3 cifre, cioè che sia compresa tra 2395000 e 2405000 abitanti.

     Ricordiamo che dato un numero   cncn-1c2c1c0.c-1c-2c-3   o  0.00cncn-1cn-2 in cui la cifra cn sia diversa da 0, n viene detto ordine di grandezza del numero. Cioè n è il posto della prima cifra diversa da 0 del numero.

     Ad esempio  4567.85  ha ordine di grandezza 3 (o delle migliaia)  e  0.0149  ha ordine di grandezza -2 (o dei centesimi).

     Per confrontare due numeri positivi occorre:

(1)   in prima istanza confrontare i loro ordini di grandezza;

       Ad es. 0.031 e 0.0079 hanno ordini di grandezza -2 e -3. Il primo è maggiore del secondo, quindi 0.031 è maggiore di 0.0079.

(2)   se il passo (1) non è stato risolutivo, cioè se i numeri hanno stesso ordine di grandezza (sia esso n), confrontare le cifre iniziali (cioè le cifre di posto n);

       Ad es. 35689 e 40205 hanno stesso ordine di grandezza, 3 è minore di 4, quindi il primo numero è minore del secondo.

(3)   se il passo precedente non è stato risolutivo, confrontare le cifre successive, cioè porre n=n-1 e confrontare le cifre di posto n;

       Ad es. 0.46 (cioè 0.46000…) e 0.4 (cioè 0.40000…) hanno stesso ordine di grandezza -1, stessa cifra di posto -1, ma differenti cifre di posto -2:  6 è maggiore di 0 quindi il primo numero è maggiore del secondo.

(4)   se il passo precedente non è stato risolutivo, procedere come in (3), e così via.

3. Numeri limitati e numeri periodici

     Come si fanno le operazioni tra numeri reali?

     Voi sapete eseguire le operazioni con i numeri limitati, cioè con i numeri composti da una sequenza finita di cifre o, meglio, che da un certo punto in poi hanno tutte le cifre uguali a 0.  Sono i punti che corrispondono a tacche.

     Si procede riconducendosi ad operazioni con numeri interi.

     Vedi gli esempi a fianco:   1456.3+47.932,   12.0.21, 1.2/0.3.

1456.300 +

0047.932 =

1504.232

 

1.2 / 0.3 =

[moltiplico per

10 entrambi i

termini]

12/3 = 4

123 ¥   ¨ 12.3   (faccio   ·10)

 21 =   ¨ 0.21   (faccio   ·100)

 123

2460

2583    Æ 2.583  (faccio   /1000)

     Somma, prodotto e differenza di due numeri interi sono ancora numeri interi.  Quindi anche somma, prodotto e differenza di due numeri limitati sono ancora numeri limitati.

     Vediamo un esempio di divisione: 38/7.

38 diviso 7 fa 5 volte con l'avanzo di 3 (3 è il resto della divisione troncata agli interi); quindi il risultato parziale è 5 unità, a cui è da aggiungere il numero minore di 1 che risulterà dalla divisione per 7 del resto 3;

cambio "unità di misura" trasformando 3 in 30 decimi; 30 decimi diviso 7 fa 4 decimi con il resto di 2 decimi; quindi il risultato parziale è 5+0.4=5.4, a cui è da aggiungere il numero minore di 1 decimo che risulterà dalla divisione per 7 dei rimanenti 2 decimi;

trasformo 2 decimi in 20 centesimi; 20 centesimi diviso 7 fa 2 centesimi con il resto di 6 centesimi; quindi il risultato parziale è 5.4+0.02=5.42, a cui è da aggiungere il numero minore di 1 centesimo che risulterà dalla divisione per 7 dei rimanenti 6 centesimi;

  quindi il risultato parziale è 5.42+0.008=5.428, a cui …

Possiamo schematizzare questo procedimento nel seguente modo:

unità

 

 

 

 

 

 

 

 

38

7

 

 

 

 

 

 

 

– 35

5

decimi

 

 

 

 

 

 

= 3

Æ

30

7

 

 

 

 

 

 

 

– 28

4

centesimi

 

 

 

 

 

 

= 2

Æ

20

7

 

 

 

 

 

 

 

– 14

2

millesimi

 

 

 

 

 

 

= 6

Æ

60

7

 

 

 

 

 

 

 

– 56

8

 

 

 

 

 

 

 

= 4

Æ

 

  (6)     Calcola, impiegando uno schema simile al precedente, 23/12  e  14/700.

unità

 

 

 

 

 

 

 

unità

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

decimi

 

 

 

 

 

 

 

decimi

 

 

 

 

 

 

Æ

 

 

 

 

 

 

 

Æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

centes.

 

 

 

 

 

 

 

centes.

 

 

 

 

 

 

Æ

 

 

 

 

 

 

 

Æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

milles.

 

 

 

 

 

 

 

milles.

 

 

 

 

 

 

Æ

 

 

 

 

 

 

 

Æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Possiamo automatizzare il

dividendo

divisore

 

 

 

calcolo della divisione  m/n

-divisore*q

q

 

 

 

(m e n interi positivi)  con il

= resto

 

resto*10 ->

dividendo

divisore

seguente programma, che (ve-

 

 

 

-divisore*q

q

di schema a fianco) traduce il

 

 

 

= resto

 

procedimento sopra descritto:

 

 

 

 

 

 

(3.1)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

INPUT "m,n"; m,n

dividendo=m : divisore=n

q=dividendo\divisore        ' Calcolo il quoziente intero

resto=dividendo-divisore*q  ' Calcolo il resto

PRINT q; "."                ' Scrivo la parte intera del risultato

 

NuovoPosto:                 ' Considero la potenza di 10 inferiore

dividendo=resto*10          ' Esprimo il resto in questa nuova unità

q=dividendo\divisore        ' e lo divido

resto=dividendo-divisore*q  ' Calcolo il nuovo resto

PRINT q;                    ' Scrivo la nuova cifra del risultato

GOTO NuovoPosto

     Vediamo un esempio d'uso di (3.1):

     Prima viene stampato il troncamento agli interi del risultato.

     Poi, man mano, con il ciclo   NuovoPosto – GOTO NuovoPosto,  vengono stampate le altre cifre.

     (3.1) genera una dopo l'altra velocissimamente le cifre del risultato; per poterle esaminare occorre arrestare l'esecuzione pochi istanti dopo l'avvio. Una versione alternativa del programma è la seguente, che puoi trovare con il nome division.bas tra il software del progetto.

(3.2)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

' Programma che genera il numero M/N (M,N numeri interi positivi)

 

CLS : PRINT "Per altre cifre premi 'a capo', per smettere batti f"

 

Via:

   INPUT "m,n"; m,n

   dividendo=m : divisore=n

   q=dividendo\divisore        ' Calcolo il quoziente intero

   resto=dividendo-divisore*q  ' Calcolo il resto

   PRINT q; "."                ' Scrivo la parte intera del risultato

NuovoPosto:                    ' Considero la potenza di 10 inferiore

   dividendo=resto*10          ' Esprimo il resto in questa nuova unità

   q=dividendo\divisore        ' e lo divido

   resto=dividendo-divisore*q  ' Calcolo il nuovo resto

   PRINT q;                    ' Scrivo la nuova cifra del risultato

   INPUT ; "", x$

IF x$<>"" THEN PRINT : GOTO Via ELSE GOTO NuovoPosto

     L'istruzione alla riga 16 serve ad arrestare l'esecuzione. Appena l'utente preme ø  il calcolatore assegna a x$ la stringa vuota (nessun carattere, cioè "") e prosegue il calcolo del risultato. Se invece l'utente batte "f" (o un altro carattere), seguito da ø, l'esecuzione viene trasferita alla riga 5 e l'utente può eseguire una nuova divisione. Per arrestare definitivamente l'esecuzione basta premere Ctrl+Break o Ctrl+C (o, in Macintosh, premere . o azionare Stop con il mouse).  Vediamo un esempio d'uso di (3.2):

(7) Nel secondo caso da un certo punto in poi otteniamo sempre 0, cioè il risultato è un numero limitato. Infatti, nel fare la divisione, ad un certo punto si ottiene il resto 0 e, quindi, come nuovo dividendo (cioè come nuovo numero "da dividere") viene preso 0·10 che fa 0.  0/25 fa 0.  Si scrive 0.  Come nuovo resto si riottiene 0.  E così via.

dividendo

divisore

 

6

25

 

60

25

 

100

25

 

0

25

 

0

25

 

-divisore*q

q

 

-0

0

 

-50

2

 

-100

4

 

-0

0

 

-0

0

 

= resto

 

 

=6

 

 

=10

 

 

=0

 

 

=0

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

risultato

parziale

 

 

0.

 

 

0.2

 

 

0.24

 

 

0.240

 

 

0.2400

 

 

 

     Nel primo caso dalle uscite sembra che da un certo in poi si ottenga ripetutamente il gruppo di cifre 428571. Come puoi dimostrare questa ipotesi ? (rispondi riferendoti al seguente schema):

24

7

 

30

7

 

20

7

 

60

7

 

40

7

 

50

7

 

10

7

 

 

-21

3

 

-28

4

 

-14

2

 

-56

8

 

-35

5

 

-49

7

 

-7

1

 

 

=3

 

 

=2

 

 

=6

 

 

=4

 

 

=5

 

 

=1

 

 

=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

3.4

 

 

3.42

 

 

3.428

 

 

3.4285

 

 

3.42857

 

 

3.428571

 

 

     I numeri precedenti possono essere descritti con i procedimenti:

              (1)   scrivi  "0.24"                                           (1)  scrivi  "3."

(3.3)      (2)   scrivi  "0"                                  (3.4)      (2)  scrivi  "428571"

              (3)   vai a (2)                                                   (3)  vai a (2)

     Il gruppo di cifre che si ripete, cioè il gruppo di cifre stampato al passo (2), viene detto periodo.

     I due numeri precedenti vengono scritti anche nella forma:  0.24\o(\s\up7(–);0)  e  3.\o(\s\up7(–––––––);428571).

     \o(\s\up5(––––––––);c1c2cn)  non è altro che la sequenza di cifre generata dal procedimento a fianco:

(1)   scrivi  c1c2cn

(2)   vai a (2)

     I numeri che da un certo posto in poi presentano un periodo, cioè una sequenza di cifre che si ripete, vengono detti periodici.

     Il risultato di una divisione tra due numeri interi m e n è sempre un numero periodico.

     Infatti, come abbiamo visto per un caso particolare nel quesito 7, i valori che può assumere resto (Æprogramma (3.1)) sono 0, 1, 2, …, n-1 (dividendo per 3 come resto posso ottenere 0, 1 o 2).

     Quindi dopo al più n ripetizioni del ciclo  NuovoPosto–GOTONuovoPosto   ottengo un valore di resto che ho già ottenuto in precedenza.

     Dopo, l'esecuzione continua ripetendo esattamente gli stessi calcoli e le stesse assegnazioni, fino a riottenere nuovamente lo stesso valore di resto , e così via.

(8) Quanto è lungo (cioè da quante cifre è composto) il periodo del risultato di 450/29? Quanto può essere lungo al massimo il periodo di m/n? Perché?

(9) I numeri con periodo 0 come possono essere chiamati?

4. Approssimazioni e operazioni tra numeri reali

     Abbiamo richiamato come si fanno le operazioni con i numeri limitati. Abbiamo visto che le divisioni tra numeri limitati possono dar luogo a numeri non limitati (ma comunque periodici). Vediamo ora come si possono eseguire le operazioni tra numeri non limitati.

(10)        Come calcoleresti   3.\o(\s\up7(–);2) · 4,  3.\o(\s\up7(–);2) + 3.\o(\s\up7(–);5)  e  3.\o(\s\up7(–);2) / 2  ?

     In casi semplici, come quelli del quesito 10, è facile eseguire il calcolo. Il procedimento impiegato è in accordo con il significato che le operazioni assumono quando con i numeri reali vengono rappresentate grandezze fisiche.

     Vediamo ad esempio il calcolo di  0.\o(\s\up7(–);3) + 0.\o(\s\up7(–);3).

Possiamo sommare le cifre a partire da sinistra.   Calcolando 0.3+0.3 trovo la lunghezza del segmento che si ottiene concatenando due seg-menti lunghi 0.3.  Calcolando 0.33+0.33 trovo la lunghezza del segmen-

  0.3333

+ 0.3333

= 0.6666

to che si ottiene concatenando due segmenti lunghi 0.33.  Man mano ottengo misure più precise della lunghezza del segmento che si ottiene concatenando due segmenti lunghi 0.\o(\s\up7(–);3) (Æfigura 5).  Procedendo nel calcolo vengo a generare il numero  0.666… =  0.\o(\s\up7(–);6).

figura 5    

(11)        Quanto fanno   0.\o(\s\up7(–);6) + 0.\o(\s\up7(–);3)  e  0.\o(\s\up7(–);3) · 3?  Quanto fanno   \f(2;3) + \f(1;3)   e   \f(1;3) · 3 ?   Trovi qualche contraddizione?

(12)        Tra due istanti possiamo sempre pensare che vi sia un istante intermedio, tra due punti della retta dei numeri possiamo sempre pensare di prendere un punto a metà strada, … . Sapresti scrivere un numero compreso tra  4.\o(\s\up7(–);9)  (= 4.999…)   e  5 (= 5.000…) ? 

(13)        Sulla retta della seguente figura 6 individua il punto 4.9, poi il punto 4.99, poi il punto 4.999, …  Procedendo in questo modo, se potessi operare sulla retta dei numeri astratta e con strumenti in grado di tracciare punti "senza spessore", ti avvicineresti sempre più al punto 5. Che distanza da 5 ha il punto 4.999? e il punto 4.999999? 

figura 6    

     E` impossibile distinguere il punto 4.\o(\s\up7(–);9)  dal punto 5, il punto 0.\o(\s\up7(–);9)  dal punto 1. Analogamente è impossibile distinguere, ad esempio,  67.2\o(\s\up7(–);9)  dal punto  67.3.

     Anche in questi casi diremo che siamo di fronte a numeri uguali.    Quindi  0.\o(\s\up7(–);9)  = 1, -4.27\o(\s\up7(–);9)  = -4.28, …

(14)        Prova a calcolare  0.\o(\s\up7();37)  + 0.\o(\s\up7(––);416).

[procedi sommando le cifre da sinistra verso destra;

 

  0.37373737373

può capitarti di trovare dei riporti e di dover correg-

 

+ 0.41641641641

gere cifre del risultato già scritte]

 

=

 

     Abbiamo visto con vari esempi che in qualche modo si riescono a sommare i numeri periodici. Nel caso del quesito 14 siamo riusciti a capire che il risultato è 0.\o(\s\up7(–––––––);790153).  Non è tuttavia un procedimento como-dissimo. Ancora più complicato è il caso del prodotto.

     Se poi i numeri su cui operare non sono periodici non possiamo con sicurezza stabilire le cifre del risultato: nel caso di una addizione non possiamo prevedere se passando a sommare nuove cifre otterremo dei riporti che faranno cambiare le ultime cifre calcolate.

     Vi è tuttavia un modo più generale per operare con i numeri reali. Lo illustreremo a partire da alcuni esempi.

     In figura 7 è riprodotta una piastra rettangolare.  Usando una riga graduata posso trovare che le misure in centimetri della base e dell'altezza sono, troncate agli interi, 3 e 6. In altre parole:  3 cm ≤ base ≤ 4 cm,  6 cm ≤ altezza ≤ 7 cm (Æfigura 7, A).

     Posso concludere che l'area della piastra è compresa tra 3·6=18 cm2 (area del rettangolo interno) e 4·7=28 cm2 (area del rettangolo esterno).

figura 7

     La figura a L rovesciata più grande (Æfigura 7, C) è la differenza tra il rettangolo esterno e il rettangolo interno. La sua area è la differenza tra la approssimazione per eccesso (28 cm2) e quella per difetto (18 cm2).

     Questa differenza viene chiamata indeterminazione (o incertezza). Il nome deriva dal fatto che quanto più è grande questo valore tanto meno è precisa (cioè tanto più è "indeterminata") la conoscenza della misura.  Dunque:

                    18 cm2area ≤ 28 cm2                               indeterminazione = 10 cm2

     Può essere comodo ricorrere al simbolo "Î", usato come abbreviazione di "appartiene a" o "sta in" o "è un elemento di" o … ; è una deformazione della lettera "E" (iniziale di "elemento"). Quanto sopra visto può essere riscritto così:    ( xÎ[3,4] e yÎ[6,7] )   Þ   yÎ[3·6,4·7]

(15)        Che cosa posso concludere se considero le tacche dei millimetri (Æfigura 7, B, D) ?

                    cm2  area        cm2                 indeterminazione =           cm2

(16)        Un automobilista che sta viaggiando in autostrada a velocità costante, per controllare il tachimetro della propria auto chiede all'amico che lo accompagna di misurare il tempo che trascorre tra un segnale chilometrico e il successivo, cioè il tempo che l'auto impiega a percorrere 1 km.

     L'amico al passaggio del primo segnale legge l'ora 15:11, al passaggio del successivo legge 15:49. La differenza è di 38 sec.

     Deducono che l'auto sta andando alla velocità di  1/38 km/sec, cioè 3600/38 = 94.73… km/h [1 h = 3600 sec, quindi per passare da una velocità in km/sec al suo valore in km/h occorre moltiplicare per 3600].

     Poiché il tachimetro segna 97 km/h, l'automobilista conclude che questo non è ben tarato.

         Correggi le conclusioni dell'automobilista tenendo conto che, per quanto il suo amico sia pronto di riflessi, il tempo misurato può essere affetto da un errore di 1 sec (leggendo 15:11 l'ora effettiva potrebbe essere quasi 15:12 per cui la differenza potrebbe essere 49–12=37 sec, leggendo 15:49 l'ora effettiva potrebbe essere quasi 15:50 per cui la differenza potrebbe essere 50–11=39 sec).

     Cioè la misura (in sec) del tempo non è esattamente 38 ma ha come intervallo di indeterminazione  [37, 39].  In altre parole:  tempo=31 sec.

     Il seguente programma (4.1) automatizza il calcolo della approssimazione con cui si può conoscere il risultato di una operazione effettuata su dati approssimati, cioè automatizza il calcolo dell'intervallo di indeterminazione del risultato di un'operazione tra dati di cui sono noti gli intervalli di indeterminazione.

(4.1)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

DEFDBL m,x,y,z

CLS : PRINT "Operazioni tra intervalli di indeterminazione"

Via:

INPUT  "x1,x2 "; x1,x2

INPUT "operazione (+,-,*, / o ^) "; o$

INPUT "y1,y2 "; y1,y2

IF o$="+" THEN z1=x1+y1 : z2=x1+y2 : z3=x2+y1 : z4=x2+y2 : GOTO MinMax

IF o$="-" THEN z1=x1-y1 : z2=x1-y2 : z3=x2-y1 : z4=x2-y2 : GOTO MinMax

IF o$="*" THEN z1=x1*y1 : z2=x1*y2 : z3=x2*y1 : z4=x2*y2 : GOTO MinMax

IF o$="/" THEN z1=x1/y1 : z2=x1/y2 : z3=x2/y1 : z4=x2/y2 : GOTO MinMax

IF o$="^" THEN z1=x1^y1 : z2=x1^y2 : z3=x2^y1 : z4=x2^y2

MinMax:

min=z1 : max=z1

IF z2<min THEN min=z2 ELSE IF z2>max THEN max=z2

IF z3<min THEN min=z3 ELSE IF z3>max THEN max=z3

IF z4<min THEN min=z4 ELSE IF z4>max THEN max=z4

indeterminazione=max-min

PRINT min; max; "  indet ="; indeterminazione

GOTO Via

     L'istruzione nella riga [1] serve a far sì che il calcolatore calcoli e memorizzi i valori delle variabili che iniziano con le lettere m, x, y e z con più cifre di quante usate normalmente (su ciò torneremo nella scheda 3 di questa u.d.); nel caso della variabile indeterminazione non ci interessa la visualizzazione di un numero maggiore di cifre.

     Ecco alcuni esempi d'uso riferiti ai calcoli effettuati nei quesiti precedenti:

()

(17)        (a)  Discutete e individuate la funzione delle varie parti che compongono il programma (4.1).

(b)  Procedendo con una CT invece che con (4.1) è necessario calcolare tutti e quattro i valori z1, z2, z3 e z4? 

(c)  Perché risolvendo il quesito 16 con (4.1) si è battuto come primo intervallo di indeterminazione [3600, 3600] , cioè un intervallo che contiene un solo numero?         

     Una versione di (4.1) è registrata sul disco allegato alle schede con il nome indet.bas; è presente anche una versione già tradotta in linguaggio macchina, registrata con il nome indet(.exe).

     Come illustra il seguente esempio migliorando la precisione dei termini dell'operazione si può migliorare quanto si vuole la precisione del risultato.

(4.2)   Calcolo di  x/y  con  x = \r(10) = 3.162277660168… e  y = \r(2) = 1.414213562373… utilizzando i troncamenti di x e di y a cifre di posto man mano più piccolo  [ricorda che dire che 3.1 è un troncamento ai decimi equivale a dire che il valore esatto è compreso tra 3.1 e 3.2]

()

     Come si può osservare, man mano che divido per 10 l'indeterminazione di x e di y (all'inizio è 0.1, poi è 0.01, …) ottengo il risultato con un'indeterminazione che man mano si divide circa per 10.

5. I numeri razionali

     Abbiamo visto come possono essere calcolate le operazioni tra numeri reali. In molti casi si possono utilizzare proprietà che permettono di semplificare il calcolo.

     Vediamo prima alcuni esempi di semplificazione di calcoli su dati "esatti".

   Devo calcolare 53·23.                Posso procedere così:            (a)    53·23 = 128 = 1000

                                             oppure posso procedere così:            (b)    53·23 = (5·2)3 = 103 = 1000

   Devo calcolare 242/62.              Posso procedere così:            (a)    242/62 = 576/36 = 16

                                             oppure posso procedere così:            (b)    242/62 = (24/6)2  = 42 = 16

(18)         In questi casi quali vantaggi hanno i procedimenti (b) rispetto ai procedimenti (a) ?

     I procedimenti (b) sono esempi di applicazione della regola di riscrittura (5.1), già considerata in precedenti schede (Æscheda 4 di Le statistiche, quesito 46), o della regola (5.2) (che può esserne considerata un caso particolare se si interpreta la divisione come moltiplicazione per il reciproco):

         (5.1)            ()

(5.2)

()

         Abbiamo già visto che per c = 1/2 (5.1) diventa (5.3):

         (5.3)            ()

(5.4)

(  )

(19)         Completa (5.4).

     Torniamo all'esempio (4.2).  Per effettuare questo calcolo possiamo prima impiegare la proprietà (5.4):

\r(10) / \r(2) = \r(10/2) = \r(5) ; 

quindi possiamo ricondurci al calcolo della radice quadrata di 5.

     Vediamo qualche altro esempio di semplificazione di procedimenti di calcolo.

(1)     (a)     \f(4;3) · \f(9;2) = 1.333·4.5 =

         (b)     \f(4;3) · \f(9;2) = \f(4·9;3·2) = 36/6 = 6

(2)     (a)     \f(7;2) / \f(5;4) = 3.5/1.25 =

         (b)     \f(7;2) / \f(5;4) = \f(7;2) · \f(4;5) = \f(7·4;2·5) = \f(28;10) = 2.8

(3)     (a)     \f(7;3) + \f(2;3) = 2.333+0.666…

         (b)     \f(7;3) + \f(2;3) = \f(7+2;3) = \f(9;3) = 3

(4)     (a)     \f(7;3) + \f(5;2) = 2.333+2.5 = …

         (b)     \f(7;3) + \f(5;2) = \f(7·2;3·2) + \f(5·3;2·3) = \f(14;6) + \f(15;6) = \f(14+15;6) = 29/6 = 4.833

     Nei procedimenti (b) si sono operate le riscritture:

(5.5)    ( \f(a;b) · \f(c;d) Æ \f(a·c;b·d) )                   (5.6)    ( \f(a;b) / \f(c;d) Æ \f(a;b) · \f(d;c) )          (5.7)    ( \f(a;b) + \f(c;b) Æ \f(a+c;b) )            (5.8)                         ( \f(a;b) Æ \f(a·c;b·c) )

(20)         Per ciascuno degli esempi (1)-(4) indica quali riscritture sono state operate.

Nota. Nell'utilizzare queste regole di riscrittura occorre prestare qualche attenzione.

   Ad es. non posso trasformare \r(-2) · \r(-3) in \r(--3), cioè in \r(6), in quanto  \r(-2) e \r(-3) sono termini indefiniti.

   Analogamente non posso trasformare  2/\f(5;3-3)  in  \f(3-3;5) , cioè in 0, in quanto  \f(5;3-3)  è indefinito.

     Non è detto che usando (5.5)-(5.8) si renda effettivamente più semplice il calcolo. Ad esempio nel caso (4) probabilmente il procedimento (a) è più comodo del procedimento (b).

     Comunque questi esempi mettono in luce che le "quattro operazioni" applicate a numeri reali che possono essere espressi nella forma m/n (con m e n numeri interi) danno luogo a risultati che possono essere espressi nella forma m/n.

     Ciò è spesso molto vantaggioso.

     Ad es. se devo calcolare  2.\o(\s\up7(–);6) · 0.\o(\s\up7(–);1), cioè  2.666… · 0.111… , posso ricordare che il primo termine è il risultato di 8/3 e che il secondo è il risultato di 1/9 e, usando (5.5), ottenere  2.\o(\s\up7(–);6) · 0.\o(\s\up7(–);1) = (8·1)/(3·9) = 8/27.

     Se voglio calcolo 8/27, se no lo lascio così:  usando l'algoritmo della divisione posso poi, in un qualunque momento, calcolare facilmente il valore del termine 8/27 con la precisione che voglio.

     Oltre tutto, se poi dovessi effettuare altri calcoli con questo numero, la sua rappresentazione come 8/27 potrebbe facilitarmi i procedimenti. Ad es. se dovessi poi effettuare una moltiplicazione per 6 potrei fare così:    8/26 = 48/27   e, volendo, lasciare nella forma m/n anche questo risultato;

oppure, usando la "semplificazione di frazioni":

                                      \f(8;27) · 6  =  \f(8 · 6;27)  =  \f(8 · 2 · 3;9 · 3)  =  \f(8 · 2;9)  =  \f(16;9)

     I numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi, cioè nella forma m/n (con m e n numeri interi e, naturalmente, n0), vengono detti numeri razionali. 

     Il nome deriva dal fatto che in Latino i calcoli, e in particolare i rapporti, venivano chiamati rationes.  In italiano è sopravvissuta la parola razione con il significato di porzione calcolata (es.: razione di viveri che spetta ad un soldato, razione giornaliera di latte da dare a un neonato, …). Deriva dal Latino (dal verbo frangere, che significa spezzare  - pensa all'italiano "infrangibile") anche la parola frazione, che significa parte e che, come sai, in matematica è usata per indicare un modo particolare di esprimere i rapporti: m/n come frazione viene letto «m n-esimi».

     Abbiamo già visto che tutti i numeri razionali sono periodici: il risultato di una divisione tra interi presenta sempre un periodo.  Viceversa (Æquesiti 21 e 22) è facile anche trasformare ogni numero periodico nella forma m/n. Si può quindi concludere che:

l'insieme dei numeri razionali coincide con l'insieme dei numeri periodici.

(21)         Con una CT calcola le seguenti divisioni e scrivi il risultato ottenuto.

1/9 =

 

1/99 =

 

5/999 =

 

2/9 =

 

7/99 =

 

27/999 =

 

3/9 =

 

11/99 =

 

140/999 =

 

4/9 =

 

37/99 =

 

123/999 =

 

 

(22)         Esprimi i seguenti numeri periodici sotto forma di rapporto tra numeri interi e verifica man mano la correttezza della risposta con la CT.

     0.\o(\s\up7(––);203) = 203 / …

     0.\o(\s\up7();30) =                               

     0.\o(\s\up7();03) = 

     10.\o(\s\up7();45)= 10.454545… = 10+0.\o(\s\up7();45) = 10+45/99 = (199+45)/99 = …

     4.0\o(\s\up7();13) = 40.\o(\s\up7();13) /10 ;  40.\o(\s\up7();13) =                                                        quindi  4.0\o(\s\up7();13) = …

     Se hai trovato qualche difficoltà nell'ultimo esercizio, non ti preoccupare. Non si tratta di calcoli che ti capiterà spesso di fare. L'esercizio aveva il solo scopo di far vedere che i numeri periodici non sono altro che i numeri razionali.

     Da (5.7) e (5.8) si può derivare:                         (5.9)     ( \f(a;b) + \f(c;d) Æ \f(a·d+c·b;b·d) )                                                  

che mette in luce che la somma di due numeri razionali è ancora un numero razionale.

(23)         Indicate i passaggi per ottenere (5.9).

     (5.9) vale anche con "–" al posto di "+" (basta interpretare la sottrazione come addizione dell'opposto).  Da essa e da (5.5) e (5.6) possiamo concludere che applicando le "quattro operazioni" a numeri razionali si ottengono ancora numeri razionali.

     Questo fatto può essere espresso dicendo che l'insieme dei numeri razionali (ovvero, l'insieme dei numeri periodici) è chiuso rispetto alle "quattro operazioni".

     Questa terminologia vuol ricordare il fatto che se sono nell'insieme dei numeri razionali e applico le quattro operazioni non "esco" da tale insieme.

     L'insieme dei numeri limitati invece non è chiuso rispetto alla divisione: 10/3 fa 3.333…, che non è limitato.

(24)         Completa la seguente tabella mettendo "OK" se l'insieme è chiuso rispetto  all'operazione indicata, mettendo un esempio di operazione che fa uscire dall'insieme altrimenti (è da sottointendere che sono da escludere i casi in cui la divisione non è definita). Nella tabella, accanto ad alcuni insiemi numerici, sono indicati i simboli con cui vengono usualmente denotati (la "q" bordata con cui viene indicato l'insieme dei numeri razionali deriva dal fatto che essi sono rappresentabili come quozienti esatti di numeri interi).

 

addizione

sottrazione

moltiplicazione

divisione

razionali (\s\up2(|)\d\ba4()Q)

OK

OK

OK

OK

decimali limitati

 

 

 

10/3

interi (Z\d\ba5()Z)

 

 

 

 

naturali (I\d\ba1()N)

 

 

 

 

 

     Sembrerebbe che restando all'interno dei numeri razionali si possano fare tutti i calcoli che si possono fare  con i numeri reali (I\d\ba1()R). In realtà non è così.

     Ad esempio si può dimostrare che la radice quadrata di 2, quella di 3, quella di 5 e quelle di moltissimi altri numeri (anzi, le radici quadrate di una quantità infinita di numeri) non sono numeri razionali.

     In altre parole l'insieme dei numeri razionali non è chiuso rispetto all'operazione di estrazione della radice quadrata.

     I numeri non razionali vengono detti irrazionali. Essi possono essere indicati con la notazione I\d\ba1()R\s\up2(|)\d\ba4()Q (I\d\ba1()R"meno"\s\up2(|)\d\ba4()Q): è l'insieme che si ottiene "sottraendo" i numeri razionali dall'insieme dei numeri reali.

         Si tratta comunque di un uso dell'aggettivo irrazionale del tutto diverso da quello fatto nel linguaggio comune, in cui viene impiegato per indicare fenomeni di cui non si riescono a spiegare i motivi, che avvengono in modo caotico, e atteggiamenti non meditati, non "calcolati" (anche questo uso deriva dal Latino: con rationes oltre ai calcoli in senso stretto venivano indicati i calcoli nel senso di "ragionamenti, meditazioni elaborate, …"; in italiano usiamo: "comportamento razionale", "razionalmente", …).

         Infatti non è detto che un numero irrazionale si sviluppi in modo caotico, non spiegabile secondo un qualche schema.

(25)         Considera il numero generato con l'algoritmo a fianco.  E` un numero che non si sviluppa in modo "irrazionale" in quanto le sue cifre si susseguono secondo uno schema fis-sato.  Scrivi una ventina di cifre iniziali di questo numero.

(1)   scrivi "0."; poni  n = 1

(2)   scrivi "1"

(3)   scrivi n volte "0"

(4)   poni  n = n+1;  vai a (2)

 

(1) Ti sembra un numero razionale o irrazionale?  Motiva la tua risposta.

(2) Completa il programma a fianco in modo che traduca l'algoritmo precedente.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

PRINT "0.";

NumeroDiZero=1

10  PRINT "1";

    Contatore=0

20  IF Contatore= ............... THEN GOTO 30

    PRINT "0";

    Contatore=Contatore+ ...

    GOTO 20

30  NumeroDiZero=NumeroDiZero+1

    GOTO 10

 

6. Esercizi

(26)         Un'aiuola ha forma triangolare. Sapendo che le misure della  base e dell'altezza sono rispettivamente 255 cm e 185 cm, che cosa puoi concludere sul valore dell'area dell'aiuola?

(27)         Una scatola metallica di forma cubica ha lo spigolo di 21.0.1 cm. Che cosa puoi concludere sul valore del suo volume?

(28)         Una ruota ha diametro di 451 mm.  Sapendo che 3.141≤π≤3.142 (e non conoscendo altre cifre di π), che cosa puoi concludere sulla lunghezza della circonferenza della ruota?

(29)         Il 23% degli abitanti con almeno 40 anni di un certo comune ha la licenza media.

     (a)  Sapendo che gli abitanti con almeno 40 anni del comune sono 31572, quanti sono quelli con la licenza media ?  [poiché la percentuale è arrotondata, cioè cade tra 22.5 e 23.5, non potrai trovare un valore esatto, ma un intervallo di indeterminazione]

     (b)  Qual è l'arrotondamento alle migliaia di questa parte di popolazione?

(30)        So che una pila di 250 fogli dello stesso tipo pesa 865 grammi ed è alta 2.0.1 cm.  Individua, con la miglior precisione possibile, il peso medio e lo spessore medio di un foglio.

(31)        Ho un disegno e una sua riduzione realizzata con una fotocopiatrice che può riprodurre copie con le scale: 50%, 51%, 52%, …, 149%, 150%. La distanza tra due punti del disegno originale è di 17 mm, quella tra i corrispondenti punti nella fotocopia è di 12 mm. Sapendo che le misure sono troncate ai millimetri (cioè, ad es., che la prima misura cade tra 17 e 18 mm) puoi individuare esattamente la scala di riproduzione utilizzata o puoi delimitarla (cioè:  la scala al massimo è … e al minimo è …) ?

(31)  Una lamiera a forma di trapezio ha dimensioni in mm (vedi figura): a=241, b=351, h=111. Trovane l'area. [trova l'intervallo di indeterminazione per a+b,  poi per (a+bh,  poi per (a+bh/2]

(32)        So che 1000 cm3 (= 1 litro) d'olio pesa 9310 g, cioè che il suo peso in grammi ha come intervallo di indeterminazione  [920,940].  Qual è il volume di 1000 g (= 1 kg) di olio?

[Traccia.   Se il peso fosse esattamente 920g avrei, indicando con V il volume in cm3 e con P il peso in grammi:

\f(V;P)  =  \f(1000;920) , da cui, esprimendo V in funzione di P, V = \f(1000;920) · P; se P = 1000  ho  V = 1086.956…

Analogamente, se il peso fosse esattamente 940 grammi avrei …   ]

(33)  Su un giornale leggo «il tasso annuo di guasto degli apparecchi telefonci della ditta X è 16%, cioè un apparecchio ha mediamente 0.16 guasti all'anno;   questo vuol dire che l'apparecchio ha problemi media-mente ogni 6.25 anni».  È corretta questa conclusione?          [Segui la traccia indicata]

guasti per anno =  \f( guasti;n° anni)  = 0.16 anni per guasto =  \f( anni;n° guasti)  = ( guasti per anno)–1 =  \f(1;0.16)  = 6.25

ma 16% è un arrotondamento, per cui:

       0.155≤ guasti per anno0.165      Þ                         ( guasti per anno)1

         Quindi la conclusione corretta potrebbe essere che 

(34)        Utilizzando indet verifica, analogamente a quanto si è fatto alla fine di §4 per la divisione, che migliorando la precisione con cui approssimo x e y possono migliorare quanto voglio la precisione del risultato della moltiplicazione di x per y e dell'elevamento di x alla y.

(35)        Redigi un programma che calcoli la somma di due numeri razionali espressi nella forma m/n (m e n interi). Dai in input i valori m e n per ciascuno dei due numeri da sommare. Esprimi come output i valori m e n del numero razionale risultante.

(36)  Per ciascuna delle seguenti  coppie di termini individua per quali valori di x e di y sono equivalenti [traccia: prova a dare a x e y i valori: –1, 0, 1]

                        x1/2·y1/2   e   (xy)1/2                x1/3·y1/3   e   (xy)1/3           \f(4;2/x)  e  2x

(37)  Dispongo delle formule U=A/(4B) e V=C/(6B) che mettono in relazione alcune grandezze. Devo effettuare per più valori di A, B e C il calcolo di U+V, di U·V e di U/V. Utilizzando opportunamente le regole di riscrittura (5.5)-(5.8) in IN-2, trasforma le formule seguenti in modo che mi consentano di svolgere i calcoli battendo sulla CT il minor numero possibile di tasti di operazione.

                        U+V = \f(A;4B) + \f(C;6B)     U·V =  \f(A;4B) · \f(C;6B)   U/V =  \f(A;4B) / \f(C;6B)

(38)        Per costruire una riga graduata occorre operare delle suddivisioni di segmenti in parti uguali. Ma come si può fare ciò se non si dispone già di un'altra riga graduata con cui effettuare le misure? Le figure seguenti illustrano, ordinatamente, come si può suddividere un segmento AB in 10 parti uguali disponendo di un segmento PQ e facendo opportune costruzioni geometriche. Spiega a parole il procedimento impiegato.

 

 

1)   Segna con l'evidenziatore, nelle pagine indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei termini:

         retta dei numeri, p.3                numeri uguali, p.4,9                numeri limitati, p.5

         numeri periodici, p.8               indeterminazione, p.9-10         numeri razionali, p.13

         chiuso rispetto a …, p.14         numeri irrazionali, p.14

2)    Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3)    Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefo-no") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").