Il concetto di limite
A che cosa "tendono" le funzioni ad 1 input ed 1 output?
0. Introduzione
1. L'idea di "limite"
2. I limiti nel caso delle funzioni a 1 input e 1 output reali
3. Le funzioni continue
4. Le successioni
5. Proprietà utili per il calcolo dei limiti "finiti"
6. Proprietà utili per il calcolo dei limiti "infiniti"
7. Limiti di funzioni composte
8. Approfondimenti
9. Esercizi
Sintesi
0. Introduzione
La parola "limite" (e parole da essa derivate, come "limitato", "illimitato", …) viene usata molte volte in matematica.
Ad esempio si dice che:
– l'intervallo [3, ∞) non ha limiti superiori,
– un punto che procede oltre ogni limite in una direzione fissata descrive una semiretta,
– un angolo è una figura illimitata (cioè che si estende senza limitazioni),
– un'espressione decimale illimitata prosegue dopo il "." con una sequenza infinita di cifre,
– una successione è una sequenza illimitata di oggetti matematici,
– il numero delle copie fatte mensilmente con una fotocopiatrice non può aumentare oltre ogni limite.
In questi casi, come anche in molti contesti non matematici («a tutto c'è un limite», «se il livello dell'acqua del bacino scende sotto al limite di guardia scatta il razionamento dell'acqua», …), "limite" indica qualcosa che non può essere superato.
In altre situazioni la parola limite viene usata con un significato un po' diverso:
«dopo qualche oscillazione la sua frequenza di pedalata si è stabilizzata su un valore limite che, se mantenuto, dovrebbe consentirgli di battere il precedente record», «che sia inizialmente più caldo o più freddo non importa: la stanza raggiungerà al limite la temperatura su cui è posizionato il termostato del condizionatore», «al riempirsi del recipiente il galleggiante sale e l'asta a cui è fissato raggiunge gradualmente una posizione limite orizzontale», «dopo l'apertura del paracadute ha incominciato a frenare, e la velocità di caduta si è progressivamente stabilizzata sul valore limite di 20 km/h», ….
Si tratta di casi in cui stiamo considerando un certo processo che evolve verso una condizione limite; qui usiamo "limite" nel senso di uno stato che un certo fenomeno tende ad assumere.
| La figura sottostante dovrebbe chiarire la differenza tra i due usi. Se a una pallina di gomma immersa in un secchio d'acqua dò una piccola spinta verso il basso la pallina incomincia a oscillare: il suo centro sale, poi scende, poi sale, …. | |
| 1) Se durante una particolare oscillazione il suo centro sta entro due posizioni L1 e L2, siamo sicuri che poi esso non le supererà: L1 e L2 sono un limite inferiore e uno superiore alla posizione che potrà assumere il centro della pallina. |  |
| 2) Al passare del tempo le oscillazioni si smorzano e il centro della pallina tende ad assumere una particolare posizione limite L. Nel primo caso "limite" indica una limitazione (i matematici a volte usano le espressioni "minorante" e "maggiorante" per indicare valori che, come i numeri che esprimono i livelli L1 e L2, sono minori o maggiori di tutto un certo insieme di valori). Nel secondo caso indica lo stato L su cui tende a stabilizzarsi il processo. In questa scheda ci soffermiamo sul secondo uso ("limite" come stato a cui tende un processo), che è quello più frequente in matematica. | |
1. L'idea di "limite"
Abbiamo già incontrato molti contesti a cui esso può essere applicato questo secondo uso del termine "limite":
| • | Le successive approssimazioni per troncamento della radice quadrata di un numero, generate con un algoritmo che procede per tentativi, hanno come limite la radice quadrata del numero; nel caso di √5, 2^2 = 4, 3^2 = 9, quindi il troncamento ad una cifra è 2; 2.1^2 = 4.41, 2.2^2 = 4.84, 2.3^2 = 5.29, quindi quello a 2 cifre è 2.2, …. Se indico con F(N) l'approssimazione con N cifre, ho F(1) = 2, F(2) = 2.2, …; con, ad esempio, WolframAlpha, introducendo sqrt(5) posso ottenere F(51) = 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152. In generale ho una successione di numeri limitati F(1), F(2), F(3), … che approssimano man mano meglio √5, ovvero che hanno come limite √5. | ||
| • | Quando descrivo il numero periodico 3.777…
con |
| • | Nel
caso della produzione di un bene che sia descrivibile con un modello come il seguente
(il costo unitario è costituito da 0.4 € di costi incorporati e
da una frazione dei 50 mila € di costi fissi), all'aumentare del numero n dei pezzi
prodotti il costo unitario tende a coincidere con i costi incorporati:
Cu(n) tende a 0.4 al tendere di n all'infinito (nel seguito ometteremo
la prima riga in cui viene richiamato il file r.R). source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") Cu <- function(n) 5e4/n + 0.4 Plane(0,2e5, 0,6); graph(Cu, 0,2e5, "blue") abovex("n"); abovey("Cu") segm(0,0.4, 2e5,0.4, "red") |
 |
| • | Ripetendo il lancio di due dadi la frequenza relativa con cui esce un numero maggiore di 7 tende a stabilizzarsi sulla probabilità (41.666…%) che lanciando due dadi l'uscita sia maggiore di 7; sotto alcuni esiti di una simulazione realizzata con R (oltre il milione di prove il tempo impiegato è troppo grande). |
|
dadi <- function(N) RUNIF(N, 1,6) # genero le uscite di N dadi |
In matematica si usano delle notazioni e dei modi di dire
per descrivere in modo conciso fenomeni come questi. Prendiamo ad esempio il caso di
Cu in funzione di n; il fatto che all'aumentare di n (nell'ipotesi ideale che il volume di
produzione possa aumentare a piacere e senza modifiche dei costi fissi)
| • per n che tende all'infinito 50000/n + 0.4 tende a 0.4 | |||||||
| • il limite di 50000/n + 0.4 per n che tende all'infinito è 0.4 | |||||||
| • 50000/n + 0.4 → 0.4 per n → ∞ |
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|||||
Al posto dell'ultima scrittura si usa anche (per comodità tipografica)
Considerando lo stesso fenomeno, osserviamo anche che man mano che diminuisce il numero n dei pezzi prodotti aumenta la frazione 50000/n dei costi fissi che incide sul costo unitario:
| n | Cu = 50000 / n + 0.4 |
| 1 000 | 50+0.4 = 50.4 |
| 100 | 500+0.4 = 500.4 |
| 10 | 5000+0.4 = 5000.4 |
| 1 | 50000+0.4 = 50000.4 |
| 0.1 | 500000+0.4 = 500000.4 |
Possiamo dire che man mano che n tende a 0 Cu tende all'infinito. Graficamente abbiamo che avvicinandosi all'asse verticale il grafico di Cu in funzione di n tende a salire senza limitazioni. Nella realtà n non può avvicinarsi a piacere al valore 0 (si può andare da 1 pezzo prodotto a 0 pezzi prodotti; n non può assumere valori intermedi), ma è comodo usare l'espressione precedente, che sarebbe comunque corretta in astratto, ragionando sulla formula e considerando n come un generico numero reale positivo, senza preoccuparsi del contesto a cui ci riferiamo. Più sinteticamente si usano espressioni simili a quelle precedenti, ad esempio le seguenti, dove "0+" serve per ricordare che n tende a 0 rimanendo maggiore di 0):
| • 50000/n + 0.4 → ∞ per n → 0+ |
|
Qui si usa la parola "limite" con un salto rispetto al linguaggio comune: con essa non indichiamo più una limitazione, un valore di confine, un punto estremo a cui si può arrivare, ma dicendo che il «limite è infinito» intendiamo dire che il valore sale oltre ogni "limite".
 | Nel caso a lato, in cui sono fissati due punti A e Q e una semiretta di origine Q, se indichiamo con P il punto su tale semiretta che dista d da Q, abbiamo che all'allontanarsi di P da Q il segmento AP tende a diventare una semiretta: la semiretta s, di origine A e diretta come la semiretta originale. Possiamo sintetizzare questo fenomeno con l'espressione: | |||
| ||||
| Un oggetto è tenuto al freddo (o al caldo) all'interno di una borsa-frigo posta in un ambiente a temperatura costante. Esprimi, usando opportune variabili e il simbolo "lim", come tende a modificarsi la temperatura dell'oggetto. |
| Un ponte levatoio che collega le sponde di un piccolo fiume si solleva in 45" e alla fine assume una posizione verticale. Esprimi, usando opportune variabili e il simbolo "lim", come tende a modificarsi la pendenza del ponte durante il suo sollevamento. |
2. I limiti nel caso delle funzioni a 1 input e 1 output reali
Per consolidare l'idea del concetto di limite vediamo qualche altro esempio, riferito a funzioni a 1 input e 1 output reali. Nelle figure seguenti i "..." indicano che il grafico prosegue mantenendo un andamento analogo; più precisamente nel caso di F prosegue tendendo a spiaccicarsi sulla retta y=1; nel caso di G prosegue a zig-zag, periodicamente; nel caso di H prosegue a destra e a sinistra spiaccicandosi sulla retta y=–1, in alto e in basso spiaccicandosi sulla retta x=1; nel caso di K prosegue a sinistra spiaccicandosi sull'asse x, a destra continuando a salire, sempre più rapidamente.
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| Le due ultime notazioni stanno a indicare il comportamento limite di H(x) per x che tende a 1 crescendo, ossia provenendo "da sinistra", e decrescendo, ossia "da destra". | ||||||||
| A loro posto si usano anche le notazioni a fianco, che sono dovute al fatto che nel primo caso x tende a 1 rimanendo 1 "meno" qualcosa e che nell'altro tende a 1 rimanendo 1 "più" qualcosa. |
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Valuta approssimativamente, quando possibile, i seguenti valori, dove F è
la funzione, definita in F(−3) F(−5) F(2) lim x → 2+ F(x) lim x → 2− F(x) lim x → 2 F(x) lim x → −5+ F(x) lim x → −5− F(x) lim x → −5 F(x) lim x → −3+ F(x) lim x → −3− F(x) lim x → −3 F(x) |
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| I grafici a destra si riferiscono alla valutazione del costo unitario Cu settimanale di una piccola gelateria artigianale in funzione del numero N di coni prodotti (supponendo per semplicità che la gelateria produca un solo tipo di coni gelato), nelle ipotesi seguenti: |  |
• i costi incorporati sono di 0.50 euro a cono, e con l'attuale orario di apertura si riescono a produrre e vendere fino a 1800 coni alla settimana;
• con un orario di apertura esteso, che andrebbe a occupare
fasce orarie in cui ci sarebbe una grossa affluenza, si avrebbe una aggiunta di 81 € per lo straordinario del dipendente rispetto ai normali costi fissi, di 153 € settimanali;
• in formula:
per N ≤ 1800 Cu(N) = 153/N + 0.50
per N > 1800 Cu(N) = 234/N + 0.50
• ad es. con R scriveremmo:
Cu = function(n) ifelse(n <= 1800, 153/n+0.50, 234/n+0.50)
|
Il grafico a sinistra è stato ottenuto con: Plane(0,4000, 0,10); graph(Cu, 0,4000, "blue") Quello a destra con: Plane(0,4000, 0,1); graph(Cu, 0,4000, "blue") POINT(1800,Cu(1800),"red") Spiega le differenza dei due esiti. |
In orario ridotto man mano che la produzione mensile aumenta e si avvicina
a 1800 coni, il costo unitario tende a 153/1800+0.50 = 0.585 euro. In simboli:
per N → 1800– Cu(N) → 0.585.
In orario esteso se la produzione mensile da valori superiori a 2000 coni
man mano diminuisce e si avvicina a 1800 coni, il costo unitario tende a 234/1800+0.50 = 0.63 euro: per N → 1800+ Cu(N) → 0.63.
| Se il proprietario estende l'orario ed arriva a vendere 2000 gelati, il costo unitario diminuisce o aumenta rispetto al caso della vendita di 1800 gelati? Perché? E se arriva a venderne 4000? |
Il grafico è stato ottenuto coi comandi:
G <- function(x) (2*x^2+5*x-3)/(x-1/2) |
 |
Se eseguo la divisione, a mano o, ad es., con WolframAlpha − basta
introdurre (2*x^2+5*x-3)/(x-1/2) − ottengo 2x+6;
quindi G equivale a x → 2x+6, ma solo quando il denominatore non è 0,
ossia tranne che in 1/2. Il grafico ottenuto prima di tracciare il punto rosso era un'unica linea continua.
Il comando di tracciare il punto
Notiamo una differenza rispetto al grafico di Cu: quella era una funzione non continua in quanto passando per l'ascissa 1800 il grafico faceva un salto.
In questo caso, invece, la funzione G in 1/2 non è definita
ma posso "prolungarla" ad H: x → 2x+6 in modo da riempire il buco
e ottenere una funzione continua in tutto l'insieme R.
3. Le funzioni continue
Ricordiamo che abbiamo definito continua in un
intervallo
È quindi ovvio che se F è continua in un intervallo [a,b] e p è un
punto di tale intervallo, allora
Se una funzione ha per dominio un insieme che non è un
intervallo chiuso e limitato, cioè che non è
del tipo [a,b], si dice che è continua nel suo dominio se lo è in ciascun
intervallo chiuso e limitato contenuto in esso. Ad es. la funzione G considerata alla
fine del paragrafo precedente è continua nel suo dominio. In questo caso 1/2 non è un punto
di discontinuità in quanto non appartiene al dominio. H, invece, è continua
in tutto R.
| Considera le seguenti istruzioni di R, con cui vengono definite tre funzioni (tutte che a 0 associano 0) e fatti tracciare i loro grafici: f <- function(x) ifelse(x != 0, x/abs(x), 0) g <- function(x) ifelse(x != 0, 2*x/x, 0) h <- function(x) ifelse(x != 0, 1/abs(x), 0) Plane(-3,3, -2,3) graph(f,-3,3, "..."); graph(h,-3,3, "..."); graph(f,-3,3, "...") |
 |
(1) Associa ad ogni funzione il relativo grafico.
(2) Quali funzioni sono trasformabili in funzioni continue su R cambiandone
il valore in un punto?
(3) Quali funzioni sono continue in R−{0} se vengono ridefinite nel modo
seguente?
f <- function(x) x/abs(x);
g <- function(x) 2*x/x;
h <- function(x) 1/abs(x)
4. Le successioni
Ricordiamo che le successioni sono particolari funzioni ad 1 input e 1 output
che hanno per dominio l'insieme dei numeri naturali o quello dei numeri interi positivi o,
più in generale una qualunque sequenza senza fine n, n+1, n+2, …
di numeri interi. I valori assunti da una di queste funzioni, in quanto elencabili uno per uno,
vengono anche chiamati elementi della successione e individuati con espressioni del tipo
elemento di posto 3. Ad esempio se S è la successione S(1) = 3, S(2) = 5, S(3) = 7,
… (in generale S(i) = 2*i+1), con elemento di posto 3 di S viene in genere indicato il numero 7.
In molto software (ad es. in R), le successioni possono essere
introdotte sia come generiche funzioni che, parzialmente, come sequenze di posto positivo; ad esempio
la S precedente potrebbe essere introdotta nel secondo modo così:
S <- NULL; for(n in 1:1000) S[n] <- 2*n+1
|
Ma in casi come questi, in cui so esprimere il termine generico mediante una formula,
conviene la prima forma. Per tracciare il grafico posso procedere per punti: S <- function(n) 2*n+1 Plane(0,20, 0,41) x <- 1:20; POINT(x, S(x), "blue") # oppure specificando il n. dei punti con NpF NpF=20; graph(S, 1,20, "red") |
 |
Per una successione N → A(N) può esistere il limite per
| Sia S(n) = 1/n!. Studia la convergenza della successione S (converge o no? qual è eventualmente il suo limite?). |
5. Proprietà utili per il calcolo dei limiti "finiti"
È utile mettere a punto alcune proprietà che ci facilitino nel calcolo dei limiti di funzioni ottenute componendo altre funzioni di cui ci sia già noto il comportamento.
È ovvio che se per
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Se per x → α ho sia che F(x) → 0 sia che G(x) → 0, posso concludere che • voglio far vedere che "aumentando il valore dell'input x posso far sì che l'output F(x)+G(x) si stabilizzi vicino quanto voglio a 0"; ad esempio, nel caso illustrato a fianco, voglio che F(x)+G(x) disti da 0 meno di 0.2; affinchè ciò accada basta che sia F(x) che G(x) distino da 0 meno di 0.1. • in generale, comunque fissi un numero positivo ε ("epsilon", lettera greca che corrisponde alla nostra "e" breve) posso trovare un valore x tale che se siccome F(x) e G(x) tendono entrambi a 0, posso trovare un input x oltre il quale entrambi si stabilizzano a una distanza da 0 inferiore ad ε/2; abbiamo, dunque, che per x > x F(x)+G(x) dista da 0 meno di ε/2+ε/2 = ε. Più in generale, se per x → α F(x) → L e G(x) → M, allora |  |
lim x → α (F(x)+G(x)) = lim x → α F(x) + lim x → α G(x).
Possiamo esprimere quanto ora visto dicendo che il passaggio al limite conserva le somme. Più in generale, in modo analogo, si ha che il passaggio al limite conserva somme, prodotti, quozienti e le relazioni d'ordine ≥ e ≤. (•)
Consideriamo ad esempio f(x) = (3+5/x) (2+7/x) / (15−1/x) + 3/x. Come si comporta f(x) per x → ∞? per x → ∞, 3+5/x → 3, 2+7/x → 2, 15-1/x → 15, 3/x → 0, quindi l'intero termine tende a 3·2/15+0, ossia a 2/5.
Si noti che il passaggio al limite conserva le diseguaglianze in senso
lato, non in senso stretto. Ad esempio 1/x per x positivo è positivo, ma, se L =
|
A lato sono tracciati i grafici delle funzioni f, g ed h descritte sotto.
Associa ad ognuno di essi la relativa funzione. Stabilisci se f è definita in 0.
Deduci dal grafico il limite di f(x) per f <- function(x) sin(1/x)*x g <- function(x) x; h <- function(x) -x graph1F(f, -1/2, 1/2, "black") graph1(g, -1/2, 1/2, "blue") graph1(h, -1/2, 1/2, "blue") |
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6. Proprietà utili per il calcolo dei limiti "infiniti"
Con qualche semplice ragionamento intuitivo si può capire come estendere
le proprietà considerate nel paragrafo precedente ai casi in cui i limiti siano infiniti.
Ad esempio se F(x) → L e G(x) → ∞, G(x) sale oltre ogni limitazione e (dato che F(x) tende a
stabilizzarsi su L) altrettanto accade a
Analogamente ho:
|
Siano h(x) = x+1/x2, k(x) = −3+5/x4.
Che cosa puoi concludere sui limiti per x tende a 0 e per x che tende a ∞ di h(x) e di k(x)? |
Posso sintetizzare, analogamente, con:
|
(1) A lato, in (A) e in (B), sono tracciati i grafici di alcune funzioni.
Supponiamo che essi, al crescere di x, proseguano in modo analogo.
Che cosa puoi concludere sui limiti, per x → ∞, di F(x), G(x), F(x)+G(x) in un caso,
di F(x), G(x), F(x)/G(x) nell'altro? (2) Siano H(x) = x², K(x) = x³, L(x) = 1+x². In tutti i casi si tratta di funzioni di x che per |
 |
(A) (B)  |
7. Limiti di funzioni composte
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Se cerco di capire come si comporta 101/x per x → ∞ è naturale ragionare in questo modo: – per x → ∞ so che 1/x → 0; – quindi 101/x si comporta come 10u per u → 0; – lim u → 010u = 100 = 1 in quanto x → 10x è continua. Analogamente di fronte allo studio di 101/x per x → 0- ragiono così: – per x → 0- so che 1/x → -∞; – quindi 101/x si comporta come 10u per u → -∞; – lim u → -∞10u = 0. |  |
 |
Più in generale se devo studiare h(x) per x → α e
h posso vederla come composizione di f e g,
ossia h(x) = – penso h(x) come g(u) con u = f(x); – guardo come si comporta f(x) per x → α; – se f(x) → β mi riconduco allo studio di g(u) per u → β. |
| Quanto vale lim x → 0 cos(sin(1/x)·x)? |
8. Approfondimenti
•
Se consultate qualche altro libro potete trovare un'altra definizione di continuità.
Infatti, invece di caratterizzare la continuità in un intervallo, si sarebbe potuta definire
una funzione F continua in un punto p del suo dominio se
• Se F(x) ≤ H(x) ≤ G(x) e
per x → α F(x) e G(x) hanno lo stesso limite, allora ad esso,
per
| • Quando si ragiona sul comportamento limite di funzioni ottenute componendo altre funzioni bisogna stare attenti a non farsi ingannare dall'intuizione, in particolare nei casi in cui si ha a che fare con una funzione che tende a 1 elevata a una funzione che tende all'infinito: | |
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se per x → α F(x) → 1 e G(x) → ∞ uno potrebbe pensare che Si tratta di un ragionamento ingannevole in quanto con esso differiamo nel tempo la considerazione di F e quella di G mentre esse agiscono contemporaneamente: ad es. se A lato sono illustrati alcuni casi, in due dei quali il limite non è 1. Vedremo più avanti un "trucco" utile per studiare limiti di questo tipo. |  |
•
Abbiamo visto come può essere precisata la condizione
9. Esercizi
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A fianco è tracciato il grafico della funzione F.
Determina, se possibile, i seguenti valori (che, se esistono, sono interi): lim x→2 F(x) lim x→2+ F(x) lim x→2− F(x) F(2) lim x→5 F(x) lim x→5+ F(x) lim x→5− F(x) F(5) |  |
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Sia S la successione definita per induzione dalle equazioni S(1)=1,
S(n+1) = (S(n)+9/S(n))/2. Si studi sperimentalmente e si congetturi se
esiste (ed eventualmente quanto vale) |
| Schizza il grafico (eventualmente con l'aiuto del computer) di x → (x+3)/(x−1) e deducine i valori del limite per x che tende a ∞, a −∞, a 1+, a 1−. |
| Batti sulla calcolatrice un qualunque numero positivo e premi ripetutamente il tasto [√] oppure entra in R, assegna ad x un valore con x <- … e quindi batti e riesegui ripetutamente x <- sqrt(x); x. Che cosa osservi? Sai esprimere il fenomeno osservato usando opportunamente il simbolo "lim"? |
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Sia F(x) = (x²−1)/(x+1). Dalla trasformazione: F(x) → (x+1)(x−1)/(x+1) → x−1
posso dedurre che lim x → 1 (x² −1)/(√x−1) lim x → 3 (√3−√x)/(3−x) lim x → 0 (√(1+x)−1)/x |
| Siano F(x) = (2x+1)/(2x−1) e G(x) = (2x−1)/(2x+1). Traccia il grafico delle funzioni F e G con l'aiuto del computer e precisa opportunamente (usando il concetto di limite) il loro comportamento agli estremi degli intervalli in cui sono definite. |
| Sia H(x) = (1/x−1)/(1/x+1). Traccia il grafico di H con l'aiuto del computer e precisa opportunamente (usando il concetto di limite) il suo comportamento agli estremi degli intervalli in cui è definita. |
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Apri questo file, copialo e incollalo in R. Ottieni una animazione in cui
viene costruito il grafico della funzione | |
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1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: primo significato di limite (§0), secondo significato di limite (§0), punto di discontinuità (§3), successione convergente (§4), il passaggio al limite conserva le somme (§5) 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |