4.
I modelli matematici
Nessuna delle cartine considerate riproduce esattamente ciò che
rappresenta. Per altro alcune sono più fedeli di altre, ma ciò
non vuol dire che siano migliori:
– Se l'indice grafico fosse
stato tracciato su una cartina come quella di  fig. 6 avremmo sì ottenuto
una rappresentazione più fedele della posizione delle varie
località, ma di più difficile lettura. Invece l'editore
dell'orario ha modificato opportunamente la collocazione spaziale delle
diverse stazioni in modo da facilitare la lettura dei nomi delle
località e dei numeri dei quadri relativi alle varie linee.
All'utente che consulta l'orario non interessa infatti che siano
conservati i rapporti tra le distanze o gli angoli formati dalle linee che si
incontrano in un nodo, ma interessa solamente l'ordine con cui si
susseguono le varie stazioni e un'indicazione approssimativa delle
direzioni delle diverse linee.
– La cartina di figura 2, che
rappresenta meno fedelmente distanze e angoli rispetto alla cartina di figura
6, in cambio, avendo un sistema di riferimento ortogonale (paralleli e
meridiani rappresentati con rette tra loro perpendicolari) offre una lettura
più facile delle coordinate.
Possiamo dire che le
diverse rappresentazioni cartografiche di una certa regione della superficie
terrestre sono differenti modelli di essa.
Facciamo qualche altro
esempio di modello.
Il diagramma in figura 8 è un modello che rappresenta la temperatura corporea di una
persona degente in ospedale.
figura 8 |  |
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Diagramma della temperatura
corporea registrata in una persona degente in ospedale al mattino e al
pomeriggio per alcuni giorni consecutivi e porzione del diagramma che si
otterrebbe con più rilevamenti sistematici. |
L'andamento della
linea ottenuta congiungendo i punti corrispondenti ai successivi rilevamenti
dà immediatamente un'idea complessiva di come è variata la
temperatura, ma non è una rappresentazione fedele dell'andamento
della temperatura dal 13 giugno al 19 giugno. Ad esempio la parte di grafico
che va dal punto corrispondente alla mattina del 14 a quello corrispondente al
pomeriggio del 16 è costantemente in salita, mentre nella realtà
la temperatura potrebbe aver avuto delle oscillazioni. A fianco del diagramma
ospedaliero è raffigurata parte di un diverso diagramma che si potrebbe
ottenere se la temperatura fosse rilevata ogni giorno sistematicamente alle 6,
alle 12, alle 18 e alle 24.
Il fenomeno
"temperatura corporea" non è rappresentato esattamente anche
per altri aspetti.
Innanzi tutto i pallini
sono tracciati al centro delle due colonne che rappresentano la prima
metà e la seconda metà di un giorno anche se le temperature non
vengono rilevate alle 6 del mattino e alle 6 del pomeriggio.
Poi la temperatura registrata col termometro
non è il valore preciso della temperatura. Infatti leggendo il
termometro si cerca di individuare la tacca della scala numerica che è
più vicina all'estremità della colonnina di mercurio; il
numero ottenuto ci dà una misura della temperatura fino ai decimi di
grado, non oltre. Ad esempio se la colonnina arriva fra la tacca 37.2 e la
tacca 37.3 e ci sembra che sia più vicina alla prima tacca, diciamo che
la temperatura è 37.2°, ma in realtà potrebbe avere un valore
superiore a 37.2° ed essere ad esempio 37.236…°.
Per ottenere i
centesimi di grado sarebbe necessaria un'ulteriore suddivisione della
scala graduata, per ottenere i millesimi di grado ne occorrerebbe ancora
un'altra, e così via.
Inoltre sul retro del
termometro troviamo una scritta come quella riportata nella figura 9. Essa significa che impiegando un altro termometro
dello stesso modello si sarebbe potuta ottenere la temperatura 37.1° o la
temperatura 37.3°, cioè una variazione in più o in meno di
0.1° rispetto alla temperatura 37.2° che abbiamo letto.
| figura 9 |  |
Con questa scritta il
fabbricante del termometro ci assicura che materiali e tecniche di
fabbricazione impiegate (il procedimento con cui sono state incise le tacche
sulla scala, il modo in cui sono state posizionate la colonnina di mercurio e
la scala graduata, …) garantiscono che la misura vera può
differire dalla misura letta al più di 0.1°. A volte si usa la
scrittura 37.2 ± 0.1 gradi per indicare una temperatura di cui si conosce la
misura 37.2° letta con uno strumento che ha la precisione di 1 decimo di
grado.
Da quanto ora osservato
segue che anche i numeri,
quando sono impiegati per descrivere una grandezza, assai spesso non la
descrivono esattamente, ma in maniera approssimata. In altre parole il numero che esprime la misura di
una grandezza è un modello
di questa. A seconda dello strumento di misura impiegato o delle informazioni
che si hanno a disposizione si possono ottenere misure più o meno
precise, cioè modelli che rappresentano più o meno fedelmente la
grandezza.
Anche in questo caso
non esiste "il modello migliore".
Ad esempio, per
valutare lo stato di salute di una persona come informazione sulla sua
temperatura corporea un dato come 38.4° è sufficiente, e è
più "leggibile" di un dato come 38.391°, che sarebbe
rilevabile con un termometro più sofisticato.
| In uno stesso giorno (del settembre 1989) su tre
quotidiani compaiono tre articoli diversi dedicati all'inizio
dell'anno scolastico. In tutti e tre si vuole dare un'idea di
quanto costi il mantenimento agli studi disponendo dell'informazione che
nel 1988 una famiglia spendeva mediamente 1535481 lire in "istruzione". Nel
primo giornale questa spesa viene indicata con «1 milione e 535 mila lire», nel secondo con
«1.5 milioni», nel terzo con «un milione e mezzo di
lire». Nessuno sceglie «1535481 lire». Che differenze ci sono
tra questi quattro modi di indicare la spesa considerata? Quale dei quattro modi
avresti scelto tu? Perché? | |  |
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Considerando le rappresentazioni
cartografiche abbiamo incontrato un ulteriore tipo di modello di natura
numerica. Abbiamo infatti ricordato che per rappresentare una posizione in una
cartina o un punto in una generica superficie piana, fissato un sistema di
riferimento, si utilizza una opportuna coppia di numeri, le coordinate del
punto. Questa coppia di coordinate
è il modello con cui rappresentiamo il punto.
A seconda della
approssimazione con cui vogliamo rappresentare una posizione possiamo avere
coordinate più o meno precise. Ad esempio possiamo dire che Firenze ha
coordinate 11° E, 44° N o che ha coordinate 11° 16' E, 43° 45' N.
Sempre nell'ambito delle
rappresentazioni della superficie terrestre, abbiamo impiegato un altro
modello: abbiamo identificato la Terra con una sfera; in
particolare abbiamo supposto che meridiani ed equatore fossero tutti
circonferenze eguali. Questo modello è realizzato materialmente nei
globi terrestri girevoli.
Anche questa
modellizzazione, assai efficace, nasce da una semplificazione: vengono
trascurati i rilievi, come se la superficie terrestre fosse tutta al livello
del mare, e, soprattutto, non si tiene conto che la Terra è leggermente
schiacciata ai Poli: il suo spessore all'altezza dell'equatore
è di circa 12 760 km mentre tra
i due Poli è di circa 12 715 km.
In particolare mentre un grado
di longitudine corrisponde a 111.1 km, un grado di latitudine lungo
l'equatore corrisponde a 111.3 km.
I modelli che abbiamo
considerato fin qui (raffigurazione sul piano di superfici non piane,
diagrammi, numeri per rappresentare grandezze, coppie di numeri per
rappresentare posizioni, sfera approssimante la Terra) sono tutti modelli
matematici, nel senso che sono
rappresentazioni semplificate di fenomeni o aspetti della realtà realizzate impiegando oggetti matematici (figure,
numeri, …).
Naturalmente non
esistono solo modelli matematici.
Ad esempio un trenino elettrico che sia il modello in scala ridotta di una
locomotiva reale non è un modello matematico in quanto è
realizzato impiegando tecniche e concetti non riconducibili solo alla
matematica (ad esempio il funzionamento del motorino si basa su principi di
fisica, la scelta e la lavorazione dei materiali fa riferimento a nozioni di
chimica e di altre discipline, …).
Oppure si pensi alla
ricostruzione dei fattori che sono stati all'origine di un certo evento
dell'antichità e alla descrizione di questo evento che vengono fatte da un manuale di storia: non siamo di fronte a una rappresentazione fedele
di ciò che accaduto, ma a una rappresentazione semplificata, che cerca
di cogliere gli aspetti e le cause (che l'autore ritiene) essenziali.
Cioè siamo di fronte a un modello di quell'evento, che
evidentemente non è matematico, e è anche molto
"soggettivo": un altro storico può interpretare e collegare
diversamente le varie informazioni sull'evento che si hanno a
disposizione.
Le discipline (la matematica, la chimica, la linguistica, la
geografia, …), ma anche noi, nella vita quotidiana, facciamo un ampio uso
di modelli, cioè di rappresentazioni semplificate o convenzionali, che
sono utili per facilitare i ragionamenti, la comunicazione delle idee, …. Vi sono tuttavia alcune differenze fondamentali tra i modelli della
matematica e i modelli impiegati in altre discipline e in altri campi. Su
questi aspetti ci soffermeremo maggiormente nell'ultima scheda
dell'unità didattica.
5. Esercizi
| Nella
figura 10 sono rappresentate su
una striscia di carta quadrettata, in una scala opportuna, le posizioni lungo
la linea Bologna-Venezia delle stazioni di Bologna e di Padova.
La linea ferroviaria
è rappresentata rettificata,
cioè "raddrizzata" fino ad assumere forma rettilinea: vengono
rappresentate le distanze ferroviarie che intercorrono tra Bologna e le altre stazioni, non le direzioni che
man mano assume la strada ferrata. |
| (a) | Quanti
chilometri rappresenta un quadretto grande? ... |
| Quanti
uno piccolo? ... |
| (b) | Completa
la figura indicando con due frecce le posizioni di Ferrara e di Rovigo. |
| figura 10 |  |
| Nella figura 11 sono rappresentate le
stesse stazioni della linea Bologna-Venezia considerate in fig. 10. |
| (a) | Con un righello o
con una striscia di carta millimetrata misura la distanza nella figura tra
Bologna e Padova e, tenendo conto della distanza ferroviaria reale, calcola la
scala di riduzione della nostra rappresentazione. |
| scala 1 : ..... |
| |
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Ricorda che, ad esempio, scala 1:15000, scritto anche 1/15000 o "a due piani" nel modo riprodotto a destra, si
legge scala 1 a 15000 o 1 quindicimillesimo o 1 diviso 15000 e
indica che le distanze reali sono state divise per 15000, cioè
moltiplicate per 1/15000, ossia che per ottenere le distanze reali occorre
moltiplicare per 15000 le distanze
sulla cartina. | |
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| (b) | Descrivi,
in poche parole, come hai proceduto per calcolare la scala di riduzione. |
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| figura 11 |  |
| Considera
la cartina in figura 2. Individua i
capoluoghi di regione aventi approssimativamente le seguenti coordinate
geografiche: 14° E, 41° N; 8° E, 45° N; 11 ° E, 46° N; 16° E°, 38° N. Determina (approssimativamente) le coordinate geografiche dei
seguenti capoluoghi di regione: Bari, Aosta, Trieste. |
| A fianco sono rappresentate tre ore mediante tre diversi dispositivi.
Rappresenta ciascuna ora anche mediante dispositivi degli altri due tipi. |  |
| Considera
il seguente problema: |
| «Per registrare un programma televisivo il cui
inizio e la cui fine sono previsti rispettivamente per le 21:40 e per le 23:25
basta una cassetta da 120 minuti o ne occorre una da 180?» |
| Giovanni
sostiene che per risolvere il problema si deve calcolare 23:25 – 21:40. Laura afferma che conviene
calcolare 21:40 + 2:00. |
| • | Chi
dei due ha ragione secondo te? |
| • | Qual
è la soluzione del problema? Perché? |
| Le due figure seguenti, a sinistra, riproducono lo stato di un orologio in due
momenti successivi (10:42 e 13:04) di uno stesso giorno. La figura successiva
visualizza come si può calcolare il tempo trascorso riferendosi alle
posizioni delle lancette: |
| la lancetta corta
è ruotata di "2 ore" e "rotti", la valutazione di
quanto è ruotata la lancetta lunga ci permette di valutare i "rotti" (è ruotata
di "22 minuti"). |
| | La stessa differenza
di tempi può essere calcolata riferendosi alla retta dei tempi nel modo sotto illustrato: |
| |
| – dalla prima alla
seconda freccia intercorrono: | • 2 divisioni che
rappresentano 1 h |
| | • 18+4 divisioni che rappresentano un minuto |
| – per un totale di 2 h e 22 min. |
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|  |
| | Con
rappresentazioni simili a queste, con cui abbiamo determinato il valore della
differenza tra 10:42 e 13:04, illustra le seguenti operazioni: |
| • 19:12 – 18:51,
7:31 – 5:42 (pensale come
differenze di tempi e procedi come nel caso precedente) |
| • 11:08 + 3:55,
20:49 + 2:27,
23:30 + 2:02 (pensale come determinazione dell'ora finale; ad es. per la
prima addizione: dalle 11:08 l'orologio avanza di 3 h e 55'; qual è la posizione finale delle lancette,
ovvero della freccia che segna l'ora sulla retta dei tempi?) |
| • 13:27 – 1:05,
10:14 – 3:15 (pensale come determinazione dell'ora
iniziale; ad es. la prima operazione può essere vista come soluzione del
problema: l'orologio segna le 13:27 dopo che è trascorsa 1 h e 5'; qual era l'ora iniziale?
cioè, se retrocedo di 1 h e 5',
quale posizione assumono le lancette, ovvero fino a dove retrocede la freccia
che segna l'ora sulla retta dei tempi?) |
| |
| [non importa che i disegni siano belli, non è
necessario che siano tracciate tutte le divisioni: bastano degli schizzi
comprensibili] |
| Adesso
sono le 14:45. Devi ancora vedere una videocassetta per lo studio della lingua
inglese che dura 75 minuti. Poi vuoi andare al campo sportivo ad allenarti per
2 ore; per gli spostamenti (andata e ritorno dal campo) ci vogliono 40 minuti.
Devi assolutamente essere a casa alle 19:30. Calcoli a mente quanto tempo ti
rimane per stare fuori con gli amici. |
| • | Quanto
ottieni? |
| • | Descrivi
a parole il procedimento che hai impiegato per trovare la risposta. |
| Nella
fig. 12 è riprodotta
parzialmente una cartina realizzata con la stessa tecnica usata per quella di
fig. 6 ma riferita a una zona
più ampia, per cui sono più evidenti le deformazioni rispetto
alla superficie terrestre. |
| • | Indica
due tratti che hanno lunghezza diversa sulla cartina ma uguale sulla superficie
terrestre. |
| • | Indica una linea che
sulla cartina è curva ma corrisponde a una traiettoria rettilinea sulla
superficie terrestre. |
| figura 12 |
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|
|
codice del treno
