2. Come
descrivere il procedimento di calcolo
Aprendo
una parentesi osserviamo che le formule (1.2) e (1.3) possono essere
unificate ricorrendo al seguente schema, dove, tralasciando le unità
di misura, con percorrenza e prezzo abbiamo indicato,
rispettivamente, il numero di chilometri di percorrenza e il prezzo
in lire:
|
(2.1) |  |
Osserviamo che in (2.1) compare un nuovo tipo di formula:
PERCORRENZA > 1000. Formule come questa, costituite da due termini
separati da un simbolo di diseguaglianza (<, >, ≤ o ≥),
vengono dette disequazioni.
Una
agenzia di viaggi mette a disposizione dei clienti un calcolatore
attraverso il quale essi possono ottenere facilmente alcune
informazioni relative a orari e tariffe per viaggi in aereo e treno.
Sulla
parte bassa dello schermo del calcolatore, che è sensibile al
contatto con le dita, appaiono raffigurati 4 piccoli "bottoni"
con le scritte "aerei-orari", "aerei-tariffe",
"treni-orari", "treni-tariffe". Se si tocca un
bottone il calcolatore fa comparire nella parte alta dello schermo
delle domande rispondendo alle quali l'utente può
ottenere le informazioni desiderate.
Per
quanto riguarda i treni l'agenzia non ha predisposto il
calcolatore alla stampa dei prezzi esatti come risultano dalla
tabella (1.1): fornire al calcolatore tutti i dati della tabella
avrebbe richiesto troppo tempo, e sarebbe stato un lavoro da rifare
dopo pochi mesi; infatti le tariffe cambiano frequentemente. Del
resto a chi chiede informazioni non interessa la tariffa esatta ma è
sufficiente una stima di essa. Il calcolatore è stato quindi
predisposto al calcolo approssimato dei prezzi secondo lo schema 
(2.1).
| figura 7 |
 |
In figura 7 è riprodotto lo stato dello
schermo dopo la selezione di "treni-tariffe" e la
richiesta di alcuni prezzi. Finché l'utente non preme
un altro bottone sullo schermo continua a scorrere la richiesta di
una "percorrenza" e la stampa del relativo "prezzo".
Per descrivere più completamente ciò che il
calcolatore deve fare quando viene toccato il bottone
"treni-tariffe", al posto di (2.1) possiamo impiegare il
seguente schema:
|
|
(2.2) |  |
oppure a una scrittura come la
seguente:
|
(2.3) |
| (1) | SCRIVI "n° di km?" |
| (2) | LEGGI PERCORRENZA |
| (3) | VAI A CAPO |
| (4) | SE PERCORRENZA > 1000 SALTA A (7) |
| (5) | PONI
PREZZO = PERCORRENZA · 60 |
| (6) | SALTA A (8) |
| (7) | PONI
PREZZO = 60000 + (PERCORRENZA – 1000) · 12.5 |
| (8) | SCRIVI PREZZO |
| (9) | SCRIVI "lire" |
| (10) | VAI A CAPO |
| (11) | SALTA A (1) |
|
(2.2) e
(2.3) sono modi equivalenti per descrivere lo stesso procedimento di
calcolo: rappresentano entrambi "le istruzioni d'uso"
per calcolare approssimativamente le tariffe ferroviarie. (2.2)
utilizza anche rappresentazioni grafiche (riquadri, frecce).
Invece (2.3) ricorre soltanto a lettere, cifre e alcuni simboli
(parentesi, +, =, …), cioè a caratteri tipografici,
del tipo di quelli presenti sulla tastiera di una macchina da
scrivere o di un calcolatore. Le parole che abbiamo messo in
grassetto hanno un significato convenzionale: con LEGGI
PERCORRENZA si vuole indicare che il calcolatore deve leggere il
numero che è stato battuto sullo schermo e prenderlo come
valore di percorrenza, con SALTA A (6) si vuole indicare
che il calcolatore deve saltare alla riga (6), …
Uno
schema come (2.2) viene detto diagramma di flusso: il "flusso"
dell'esecuzione, cioè l'ordine con cui sono da
eseguire le varie istruzioni (leggere, scrivere, calcolare un valore,
…), è indicato dalle frecce.
Nella
sequenza (2.3) le istruzioni vengono eseguite dall'alto verso
il basso, a meno che non si incontri un'istruzione che
modifichi il flusso dell'esecuzione facendo "saltare"
a una riga diversa dalla successiva. Il fatto che non si
ricorra a frecce rende (2.3) "leggibile" da parte di un
calcolatore: basta predisporlo a leggere un carattere dopo l'altro,
riconoscendo quando alcuni caratteri formano una parola a cui deve
corrispondere una azione (come scrivi, salta a, …) o formano
un numero o … . Una sequenza come (2.3) viene detta programma.
Ciò
che distingue (2.2) e (2.3) dal modo con cui ci esprimiamo usualmente
sta nel fatto che viene impiegato un linguaggio molto scarno, che non
dà luogo a ambiguità, doppi sensi o altre difficoltà
di interpretazione, che si basa su poche parole "convenzionali"
e pochi simboli e ha frasi che possono essere formate solo seguendo
fedelmente, "meccanicamente", alcuni standard prefissati.
Linguaggi come questi vengono detti formali. I
linguaggi formali hanno importanza nella matematica non solo perché
rappresentano il mezzo attraverso cui si può predisporre il
comportamento dei calcolatori; infatti sono stati oggetto di studio
ben prima dell'invenzione del calcolatore. Tuttavia dopo questa
hanno assunto un nuovo rilievo e un impiego più esteso.
I
linguaggi formali impiegati nella redazione dei programmi (come più
in generale la terminologia informatica: bit, chip, software, …)
risentono del fatto che il primo sviluppo delle tecnologie
informatiche, a partire dalla metà del Novecento, ha avuto
luogo soprattutto negli Stati Uniti: le parole convenzionali sono
quasi sempre prese a prestito dalla lingua inglese. Ad esempio invece
dei "SALTA A" e "SE" che abbiamo usato in (2.3)
in genere si usano "GOTO" e "IF".
| Il calcolatore impiegato dalla agenzia rispondendo alle richieste di informazioni sul prezzo di un viaggio di 1200 km e poi
su quello di un viaggio di 700 km passa attraverso la seguente
sequenza di istruzioni:
(1) - (2) - (3) - (4) - (7)
- (8) - (9) - (10) - (11) - (1) - (2) - (3) - (4) - (5) - (6) - (8) -
(9)
Con
quale ordine segue le istruzioni se calcola prima il prezzo per un
viaggio di 900 km e poi quello per un viaggio di 1500 km? |
|  |
3. Quale tipo
di biglietto conviene?
I Van
Per Tren, visto l'andamento delle tariffe, vogliono valutare
se, volendo visitare nei giorni successivi diverse località,
convenga fare più biglietti o un biglietto unico (nel caso di
lunghe percorrenze il biglietto vale per più giorni).
Proviamo
anche noi a fare questa analisi.
| Se voglio trasferirmi dalla città A alla città
B, distante 300 km, poi, due giorni dopo, alla città C,
distante 350 km e, infine, dopo altri due giorni, alla città
D, distante 500 km, mi conviene fare un biglietto unico o no? |
| | | |
Nel
libretto dell'orario ferroviario i Van Per Tren trovano
elencate alcune tariffe agevolate. In particolare soffermano
l'attenzione sul biglietto chilometrico: costa 150 mila
lire e può essere impiegato per fare più viaggi, fino a
una percorrenza complessiva di 3000 km (può essere impiegato
da 5 persone diverse; i viaggi non devono essere più di 20).
| (A) Se devo fare un viaggio di 3000 km mi conviene
fare un biglietto normale o un biglietto chilometrico? E se devo fare
due viaggi di 1500 km ciascuno? |
| | | |
| |
| (B) Se devo fare più viaggi ciascuno di
percorrenza inferiore a 1000 km, fino a quanto posso risparmiare con
il biglietto chilometrico? |
| | | |
|
4. La
Freccia delle Dolomiti
I
nostri amici olandesi osservano che da Padova si possono
raggiungere in treno le Dolomiti, arrivando fino a Calalzo di
Cadore, posto all'inizio della Valle d'Ampezzo, vicino
al Lago di Cadore. Pensano, quindi, di raggiungere Vicenza facendo
scalo non a Verona ma a Padova, in modo da poter fare una puntata
di un giorno nelle Dolomiti.
Sull'orario notano un treno indicato come Freccia delle
Dolomiti, e, stimolati dal nome, che suggerisce alte velocità,
pensano di impiegarlo per raggiungere Calalzo.
Nella
tabella (4.1) sono state riportate dall'orario le ore in cui
il treno sosta nelle varie stazioni. Per le stazioni in cui la
sosta è più lunga è indicata sia l'ora
di arrivo che quella di partenza.
Stimiamo la velocità media con cui è percorso
il tratto Padova-Calalzo.
| + 3 | | + 0:25 |
| – 15:30 |   | 18:30 | | 18:55 | :
il tempo impiegato è 3 h e 25 min; |
– la
distanza è 158 km;
– il tempo è
3 h e rotti, la distanza è 150 km e rotti,
150=50·3, quindi il treno in 1 h fa mediamente circa
50 km.
Controlliamo questa stima con la calcolatrice. | |
|
| km |
|
↓ |
| 0 |
Padova |
1530 |
| 11 |
Campodarsego |
1540 |
| 15 |
S.Giorgio |
1546 |
| 19 |
Camposampiero |
1550 |
| 31 |
Castelfranco |
1602
1622 |
| 48 |
Montebelluna |
1636 |
| 56 |
Cornuda |
1646 |
| 66 |
Fener |
1657 |
|
83 |
Feltre |
1715 |
|
101 |
Bribano |
1733 |
|
114 |
Belluno |
1747 |
|
121 |
Polpet |
1755 |
|
132 |
Longarone |
1808 |
| 158 |
Calalzo |
1855 |
|
|
| (4.1) |
| Calcolate la velocità media con cui il treno
percorre il tratto Padova-Calalzo. |
| distanza (Padova-Calalzo) = |
| km |
tempo (Padova-Calalzo) = |
| min |
| velocità (Padova-Calalzo) = distanza/tempo = |
| km/h |
Nota:
1 h = 60 min; quindi per passare da una
velocità in km/min al suo valore in km/h occorre moltiplicare
per 60.
Velocità
intorno ai 50 km/h non sono certo da "freccia": sono di
poco superiori alle velocità che riesce a tenere un
ciclomotore. La signora Van Per Tren, per valutare se la bassa
velocità media può dipendere dalla lunghezza delle
soste nelle stazioni e dal fatto che vi sono molte fermate (le quali,
in ogni caso, rallentano la marcia) decide di rappresentare su carta
quadrettata il moto del treno (vedi
figura 8).
| figura 8 |  |
I
pallini neri rappresentano la posizione del treno lungo la linea
ferroviaria al trascorrere del tempo, ad esempio quello evidenziato
col cerchietto rappresenta il fatto che, secondo la tabella, alle
17:46, dopo 136 minuti dalla partenza, il treno è alla
stazione di Belluno.
I pezzi
di grafico orizzontali rappresentano le soste nelle stazioni. Ad
esempio durante il tragitto Padova-Calalzo il treno sosta a
Castelfranco tra le 16:02 e le 16:22, cioè per 20 minuti, dal
32° al 52° minuto dalla partenza; ciò è
rappresentato dal tratto orizzontale (indicato dalla freccia)
tracciato in corrispondenza di Castelfranco.
I Van
Per Tren osservano che dove vi sono molte fermate il grafico non ha
pendenza inferiore. Ciò fa svanire l'ipotesi che la
lentezza del treno sia dovuta soprattutto alle molte fermate. Ma
viene un'altra idea: la causa principale può essere la
natura del percorso: è una linea ferroviaria che dalla pianura
va in montagna; quindi avrà da superare tratti in salita e,
presumibilmente, tratti con numerose curve; se le locomotrici non
sono molto efficienti e la strada ferrata non è in buono stato
difficilmente si possono tenere alte velocità.
| Dal grafico di fig. 8, esaminando le pendenze, individuate
il tratto tra due fermate successive in cui il treno è più
lento e quello in cui è più veloce. Quindi usando la
tabella (4.1) calcolate la velocità media del treno in tali
tratti. |
| tratto più lento  | velocità  |
| tratto più veloce | velocità |
Il
tratto in cui il treno viaggia più lentamente è anche
il più lungo, e quindi quello in cui la velocità media
risente meno delle fasi di partenza e arrivo in stazione. Ciò
sembra confermare l'idea dei Van Per Tren che la lentezza del
treno dipenda dalla natura del percorso. Consideriamo il profilo
altimetrico della linea Padova-Calalzo, in modo da vedere se
il tratto in questione affronta effettivamente una zona
particolar-mente montuosa.
In
figura 9 il profilo è stato rappresentato impiegando la
stessa scala per la distanza da Padova lungo la linea ferroviaria
(asse orizzontale) e per la altitudine (asse verticale): 10 km sono
stati rappresentati con segmenti di eguale lunghezza sui due assi.
figura 9
Per
esaminare meglio come varia la pendenza della linea ferroviaria
dilatiamo il grafico verticalmente. Otteniamo (vedi
figura 10) un modello meno fedele ma che ci
consente di distinguere meglio i tratti con diversa pendenza. In
particolare viene evidenziato come l'ultimo tratto della linea
(Longarone-Calalzo) sia quello con la maggiore pendenza.
figura 10
Come si
può esprimere in forma più precisa il concetto di
pendenza? Indicando di quanti metri (o centimetri,
millimetri, …) si innalza la strada ogni 100 metri (o
centimetri, millimetri, …) di avanzamento in orizzontale.
Ad
esempio il cartello stradale riprodotto in figura 11, a
sinistra, segnala una discesa pericolosa con pendenza del 8% (8 per
cento): la strada è inclinata come il triangolo disegnato
a destra, che ha la base lunga 100 unità di misura e è
alto 8 unità di misura. In altre parole il rapporto tra
spostamento verticale e spostamento orizzontale è lo stesso
che intercorre tra 8 e 100: 8/100 = 0.08 = 8 centesimi.
Se
percorro un tratto di discesa che corrisponde ad uno spostamento
orizzontale di 25 metri mi abbasso di 8 centesimi di 25 metri, cioè
di 25·0.08 = 2 metri.
figura 11
Si noti
che nel caso delle pendenze stradali, che possono arrivare a valori
di poco superiori al 10%, non c'è grande differenza tra
lunghezza della strada percorsa e avanzamento orizzontale. Ad esempio
nel caso sopra raffigurato la base del triangolo e il lato obliquo
hanno lunghezza pressoché eguale. In particolare, nel caso
della nostra linea ferroviaria, che come abbiamo visto (vedi
figura 9) è assai meno inclinata del triangolo
raffigurato, possiamo considerare praticamente eguali l'avanzamento
in orizzontale e la lunghezza della strada ferrata percorsa.
| Dalla figura 10 si vede che il dislivello tra Longarone e
Calalzo e poco più di 300 metri. La distanza tra Longarone e
Calalzo è circa 25 km, cioè circa 25000m. Qual è,
approssimativamente, la pendenza di questo tratto di linea
ferroviaria? |
| rapporto tra dislivello e distanza = 300/25000 = 0.012 =  centesimi = % |
|
5. Esercizi
In
questa seconda scheda abbiamo richiamato altri tipi di modelli
matematici: tabelle e equazioni per esprimere il legame tra
due grandezze (nel nostro caso tra percorrenza e prezzo) e loro
rappresentazioni grafiche, i concetti di rapporto e di
proporzionalità, descrizioni di procedimenti di calcolo
mediante linguaggi formali (diagrammi di flusso e programmi), il
concetto di pendenza, …
Abbiamo
visto anche in questa scheda che l'impiego di modelli
matematici opportuni, per quanto spesso dia luogo a rappresentazioni
semplificate delle situazioni, può facilitare le
decisioni, la comunicazione, la comprensione dei
fenomeni, …. Ad esempio:
– individuare
l'andamento delle tariffe ferroviarie, al fine di comprendere
la logica con cui sono state formulate o di ottimizzare la
scelta del biglietto,
– schematizzare
un procedimento di calcolo in modo da poterlo comunicare ad un
calcolatore,
– studiare il
movimento di un treno e le caratteristiche della strada che deve
percorrere.
Abbiamo
riosservato che i fenomeni possono essere rappresentati con modelli
differenti (tabelle o equazioni, forma numerica o grafica, diagrammi
di flusso o programmi, …), che possono avere impieghi e
vantaggi diversi a seconda del contesto d'uso.
Negli
esercizi che seguono vi vengono proposte alcune attività
relative agli esempi e agli strumenti matematici considerati nella
scheda.
| Scrivi su un foglio le frasi con cui spiegheresti per
telefono come calcolare il prezzo del viaggio Belluno-Calalzo a una
persona che abbia sottomano un orario ferroviario simile a quello dei
Van Per Tren (indice grafico in prima pagina, tabella con le tariffe
in ultima pagina, quadri orari nelle pagine intermedie).
Supponi che la persona non abbia pratica di orari ferroviari e che tu
non abbia sottomano un orario ferroviario per dirgli direttamente il
prezzo. Ricorda che devi spiegare alla persona sia come
calcolare il chilometraggio che come da questo risalire al prezzo del
biglietto. |
| Quale tra i tre grafici a lato potrebbe rappresentare
quanto si deve pagare in un negozio per l'acquisto di una certa
quantità di patate? Perché hai escluso gli altri due
grafici? | |
| Quale tra i tre grafici a lato potrebbe rappresentare
le ore di sole tra il novembre 2001 e l'agosto 2003? Perché hai escluso gli altri due
grafici? | |
| Mario
acquista una scheda telefonica da 5 mila lire all'inizio di settembre
e la esaurisce con varie telefonate in una decina di giorni. Quale
dei tre grafici seguenti potrebbe rappresentare il valore della
scheda telefonica di Mario dal momento dell'acquisto a quello del
suo esaurimento? Perché hai escluso gli altri due grafici? | |
| Il diagramma di flusso seguente rappresenta il
procedimento seguito dal calcolatore dell'agenzia di viaggi (
paragrafo 2) per determinare le tariffe ferroviarie che erano
in vigore dall'autunno 1990 alla primavera 1991. |
Dopo aver calcolato il valore dei prezzi relativi ad alcuni opportuni
chilometraggi, su un foglio di carta millimetrata (o quadrettata)
traccia il grafico del prezzo determinato dal calcolatore al
variare della percorrenza da 0 a 3000 km (cioè il grafico
analogo a quello di fig. 6, relativo alle tariffe in vigore
nell'estate 1991).
Quindi rispondi alle seguenti domande:
(a) Nel caso del grafico di fig.
6 per il tracciamento sarebbe stato sufficiente congiungere i punti
(0 km, 0 lire), (1000 km, 60000 lire) e (3000 km, 85000 lire).
Nel caso del grafico che hai appena tracciato quali punti sarebbe
stato sufficiente congiungere?
(b)
Utilizzando il grafico, stima le percorrenze corrispondenti alle
seguenti tariffe:
14500 lire, km
44500 lire, km
60000 lire, km
| Provate a calcolare mentalmente (come fareste in
una situazione normale, senza ricorrere a meccanismi di calcolo
scolastici) il tempo (in min) che trascorre tra le seguenti coppie di
ore e descrivete su un foglio il ragionamento che avete impiegato per
ciascuna di esse. |
(a) dalle 18:11 alle 21:20, (b)
dalle 13:26 alle 15:24, (c) dalle
10:57 alle 16:29,
(d) dalle 7:38 alle 9:06.
| Indichiamo con m i minuti trascorsi tra l'ora
h1:m1 e l'ora h2:m2 dello stesso giorno (ad
esempio nel caso (a) del quesito 15 h1 è 18, m1
è 11, h2 è 21 e m2 è 20 mentre m,
se hai fatto i calcoli giusti, è 189). Si vuole preparare un
programma per calcolare m mediante un calcolatore. Quale
o quali tra le seguenti formule è corretto impiegare?
(in aiuto o a conferma delle tue conclusioni fai una verifica
con i dati del quesito 15) Prova a spiegare gli errori
commessi nella o nelle formule scorrette. |
(1) m = (h2·60 + m2) – (h1·60 + m1)
(2) m = (h2 – h1)·60 + (m2 – m1)
(3) m = h2·60 + m2 – h1·60 + m1
(4) m = (h2 – h1)·60 + m2 – m1
|
|
|
".
