4. Diagrammi a settori circolari, altri diagrammi

    Qui sotto abbiamo riprodotto parzialmente la tabella (1.1) sui consumi degli italiani e l'istogramma relativo al 1985. Abbiamo già osservato che mediante gli istogrammi si possono fare rapidamente delle valutazioni a occhio: riferendoci al 1985, possiamo osservare che la spesa per i consumi alimentari e quella per la voce "altro" hanno maggiore incidenza delle altre voci, che le spese per vestiario, abitazione e trasporti hanno un peso simile, … ; non siamo, però, in grado di valutare dal disegno quale incidenza abbia ciascuna categoria di consumi rispetto al totale (per ovviare a ciò sopra alle colonne si possono scrivere le percentuali, come abbiamo fatto nel caso raffigurato).

anno aliment. tabacco vestiti abitaz. trasporti altro totale
in miliardi di lire
1985 116 148 9 306 35 756 45 238 58 919 168 733 434 100
in milioni di euro
2008  137 460  17 587  71 380  198 404  120 769   392 331  937 931

    La rappresentazione a striscia facilita il confronto visivo tra una voce e il totale:

 1985

ma risulta più difficile il confronto tra le varie voci. Ad esempio si ha immediatamente un'idea dell'incidenza della voce "vestiario" ma (rispetto all'istogramma) risulta meno evidente che è inferiore a quella della voce "abitazione".

    Un buon confronto visivo sia tra le varie voci che tra ogni voce e il totale è offerto da un ulteriore tipo di rappresentazione: il diagramma a settori circolari.

    Il totale viene rappresentato con un cerchio che è suddiviso in settori circolari in modo che le loro ampiezze siano proporzionali ai dati.
    Ad esempio, se consideriamo i consumi del 1985, suddivisi soltanto in alimentari e non alimentari, otteniamo il diagramma a fianco.

    Come è stato ottenuto?

    Il procedimento è del tutto analogo a quello impiegato per le percentuali. Per esse si è visto che si può:
  

• calcolare per ogni dato quanta parte è del totale, cioè il rapporto dato/totale, [nel nostro caso  116148/434100=0.267…, cioè i consumi alimentari sono 0.267… volte il totale dei consumi] e prendere la stessa porzione di 100   [0.267… volte 100, cioè 0.267…·100=26.7… arrotondabile a 27]:
(3.1)   
 percentualedato · 100
———
totale
oppure:
• moltiplicare ogni dato per lo stesso fattore moltiplicativo che trasforma il totale in 100, ossia per il rapporto 100/totale:
(3.2)   
 percentuale = dato · 100
———
totale

    Abbiamo anche osservato che è facile verificare l'equivalenza di (3.1) e di (3.2): moltiplicando per 100 prima della divisione per totale o dopo di essa si ottiene comunque lo stesso numero.

    Nel caso dei diagrammi a settori circolari il totale viene rappresentato dall'intero cerchio, cioè da 360°. L'ampiezza in gradi da associare a un particolare dato può quindi essere calcolata usando le formule che si ottengono da (3.1) e (3.2) mettendo 360 al posto di 100. Scrivi queste formule:

        (4.1)   ampiezza =                                            (4.2)   ampiezza =
 

 36 
    L'incidenza della voce "alimentari" nell’85 è stata rappresentata con un angolo di 96°. Impiegando la CT e usando (4.1) o (4.2) verifica la correttezza di questa scelta. Scrivi, qui sotto, l'ampiezza così come appare sul visore della CT e il suo arrotondamento agli interi.    
ampiezza (sul visore) = ............... 
ampiezza (arrotondata) = .......... 
 

 37 
    Marco dice: «invece di calcolare 116148·360/434100 o 116148/434100·360 sfrutto il fatto che i consumi alimentari sono il 27% del totale e per trovare la porzione di cerchio calcolo il 27% di 360°: 27/100·360». In questo modo ottiene 97.2 e quindi rappresenta i consumi alimentari con un settore ampio 97°. Come mai Marco ottiene un valore diverso dal nostro?


 38 
    Per confrontare 4 con 20 posso impiegare il rapporto 4/20, lasciandolo indicato così o calcolando il risultato della divisione: 4/20 = 0.2 = 20%.   Posso anche dire che:

–  4 sta  …  volte nel 20

–  20 è 5 volte 4

–  4 sta a 20 come 1 sta a 5

–  il rapporto tra 4 e 20 è uguale al rapporto tra  1  e  …

–  20 sta a 4 come  …  sta a  1

–  il rapporto tra  …  e  …  è  1 a 5

–   …  è  1/5 di  …

–  4 è  …  volte 20

Completa le frasi precedenti e, facendo corrispondere a 20 l'intero cerchio, traccia il settore corrispondente a 4 nelle seguenti figure (un raggio è già tracciato; utilizza la numerazione indicata e tieni conto che 4 è un quinto di 20).

 39 
    Individua quale, tra i seguenti diagrammi, rappresenta i consumi nel 2008. Usa la tabella (1.1), riprodotta anche all'inizio del paragrafo, per capire quali diagrammi scartare e motiva la risposta  (il diagramma … non va bene perché … ; …).
 



    Vediamo come effettuare il calcolo quando si devono rappresentare più di due parti, ad esempio per ottenere diagrammi come quelli del quesito precedente. Sembra più conveniente l'uso di (4.2): si calcola il fattore di proporzionalità k (=360/totale) una volta per tutte, lo si memorizza e poi si calcola ripetutamente dato·k.  Ecco che cosa si batterebbe con tre particolari CT (la colonna a destra si riferisce a un particolare calcolatore tascabile programmabile):

360 434100
116148
9306
360 434100
116148
9306
360 434100
116148
9306

 40 
    Con questo procedimento, i 5 dati della tabella seguente verrebbero rappresentati dalle ampiezze angolari sotto indicate, di cui riportiamo anche gli arrotondamenti alle unità di grado:
 
dato1 dato2 dato3 dato4 dato5 totale
valori originali
21902 34506 9702 5704 186 72000
 
ampiezze angolari
109.51° 172.53° 48.51° 28.52° 0.93° 360°
110° 173° 49° 29° 360°
ampiezze arrotondate 

    Prova a rappresentare questi dati completando il diagramma a settori a fianco. Incontri delle difficoltà?

    Il problema a cui ti trovi di fronte è analogo a quello che ti si è presentato affrontando un quesito del paragrafo 3. Di quale quesito si tratta?

.


    Per evitare situazioni come quella del quesito precedente ci conviene trovare direttamente la posizione in cui tracciare i raggi che separano i settori invece che trovarla man mano come somma dei valori arrotondati delle singole ampiezze.

    Dopo avere tracciato il raggio iniziale che passa per la posizione 0°, la posizione del primo raggio di separazione può essere trovata usando direttamente (4.2) mettendo il valore del primo dato (dato1) al posto di dato e poi arrotondando il risultato; la posizione dei successivi raggi può essere calcolata prendendo come dato man mano dato1+dato2, dato1+ dato2+dato3, … e arrotondando i risultati.

 

    È in questo modo che procedono il programma Stat ed altri simili; a fianco è riprodotto il diagramma che viene visualizzato nel caso del quesito precedente (per ottenere il diagramma a settori occorre cliccare due volte [Plot]). Vediamo per esteso il calcolo delle ampiezze angolari seguendo questo nuovo procedimento (k è 360/72000):  
21902 · k = 109.5… → 110
(21912+34522) · k = 282.2…282    (invece di 283)
(21912+34522+9720) · k = 330.5…331    (invece di 332)
(21912+34522+9720+5704) · k = 359.0…359    (invece di 361)

    Proviamo a tracciare il diagramma a settori relativo ai consumi nel 1985.

Dovremo calcolare (con k = 360/434100):

al · k = 96.32… → 96
(al + tb) · k =
(al + tb + v) · k =
(al + tb + v + ab) · k =
(al + tb + v + ab + tr) · k =
(4.3)

    Invece di mettere in memoria k, possiamo ricorrere al tasto (o ), che consente di sommare il numero che appare sul visore a quello che è in M:

–  calcoliamo una volta per tutte il valore di k (8.293·10-4) e lo annotiamo,
–  usiamo per non ribattere addendi (al, tb, …) già sommati in precedenza,
–  usiamo (o ) per richiamare man mano la "somma parziale",

cioè battiamo la sequenza riportata sotto a sinistra (a destra è riportata la sequenza impiegabile con alcuni calcolatori tascabili programmabili):

al 8.293 4
tb 8.293 4
v 8.293 4
ab 8.293 4
tr 8.293 4
  al     tb     v    


 41 
    Procedi nel modo indicato (al primo uso di o ricordati di liberare la memoria da eventuali dati registrati in precedenza),  riporta i risultati dei calcoli e degli arrotondamenti completando lo schema (4.3) e, infine, traccia il diagramma usando l'apposito cerchio graduato riportato sotto; verifica se ottieni una rappresentazione simile a quella raffigurata sulla destra.
 
   

 42 
    In ciascuna delle rappresentazioni grafiche considerate per rappresentare i valori numerici della tabella iniziale abbiamo calcolato la misura di una grandezza geometrica. Individuala e completa il seguente schema.
istogramma     lunghezza
diagramma a striscia......................
diagramma a settori circolari......................

    A volte questi diagrammi vengono anche chiamati areogrammi in quanto i dati non vengono rappresentati solo con segmenti aventi lunghezze ad essi proporzionali o con angoli aventi ampiezze ad essi proporzionali, ma con delle figure di area proporzionale:

–   nel caso degli istogrammi abbiamo tracciato dei rettangoli di ugual base aventi per altezza le lunghezze ottenute,

–   nel caso dei diagrammi a striscia abbiamo tracciato dei rettangoli di ugual altezza e aventi per base le lunghezze ottenute,

e i rettangoli in cui una dimensione è stata fissata hanno area che varia proporzionalmente all'altra dimensione,

–   nel caso dei diagrammi a settori circolari abbiamo tracciato dei settori di egual raggio e formanti angoli delle ampiezze ottenute,

e i settori circolari di raggio fissato hanno area che varia proporzionalmente all'ampiezza dell'angolo.

    Si possono realizzare istogrammi e diagrammi a settori circolari anche rappresentando i dati con delle figure solide aventi volumi proporzionali ai dati. In figura 9 sono contenute diverse rappresentazioni degli stessi dati:

–  tre istogrammi in cui i dati sono stati raffigurati con rettangoli di ugual base, con segmenti o con parallelepipedi di ugual base;

–   due diagrammi a settori in cui i dati sono stati raffigurati con settori di uno stesso cerchio o con "spicchi" di uno stesso cilindro.

   
 figura 9

    Le rappresentazioni dei dati con figure geometriche solide a volte vengono chiamate stereogrammi.

    I nomi che abbiamo impiegato sono derivati dalla lingua greca: gramma significa disegno, istós significa telaio ("istogramma" indica quindi una rappresentazione grafica a forma di telaio: i dati vengono rappresentati con delle figure disposte lungo righe parallele, così come accade per i fili nel telaio), stereós significa solido.

    A volte si usano anche altri nomi. Ad esempio i diagrammi a settori circolari vengono chiamati anche diagrammi a torta, gli istogrammi a volte vengono chiamati diagrammi a barre (quando si usano segmenti) o diagrammi a colonne o a canne d'organo (quando si usano rettangoli di egual base).

    Vi sono poi gli ideogrammi, cioè diagrammi in cui i dati sono rappresentati mediante figure simboliche in quantità o dimensione che varia in proporzione ai dati. Spesso ( vedi figura 10) non sono altro che degli istogrammi dall'aspetto un po' più frivolo.

 figura 10  

        Nei giornali e alla televisione alcuni tipi di ideogrammi sono spesso usati in maniera errata.

 43 
    Un giornale per visualizzare il confronto tra la quantità di vino che in un anno beve in media un abitante del paese A e quella che beve in media un abitante del paese B usa l'ideogramma a fianco. Discutete la correttezza di questa rappresentazione.   

    Se si ingrandisce una figura con il fattore di scala k il suo volume cresce maggiormente, di un  fattore pari a k3.

 44 
    Completa la tabella seguente indicando per ciascuna delle figure il rapporto tra l'intera figura e la parte evidenziata (C e Z sono cubi).
 
EstensioneInteraFigura / EstensioneParteEvidenziata
A                     B                     C                    
XYZ

    Gli stereogrammi  consentono il confronto di dati con ordini di grandezza molto diversi.

        A fianco sono riportati due diagrammi in cui i dati vengono rappresentati con dei cubi. Il cubo "trasparente" rappresenta il totale (100%) dei consumi nel 1985, i cubi al suo interno rappresentano l'incidenza di alcune voci di spesa. Nel caso della spesa per pesce nell'Italia settentrionale l'incidenza è dello 0.6%; su un istogramma non avremmo potuto rappresentarla efficacemente.


5. I valori medi

    I dati riportati nella tabella iniziale sono dati collettivi, indicano cioè il consumo complessivo della popolazione italiana. Dividendo il consumo complessivo per il numero degli abitanti si trova il consumo medio per abitante  o consumo pro-capite.

    Se indichiamo con N la quantità degli abitanti e con c1, c2, … cN i consumi di ciascuno degli N abitanti, possiamo scrivere:

consumo pro-capite  =   c1 + c2+ … + c
———————
N 

    Più in generale si chiama media di più numeri il rapporto tra la loro somma e la loro quantità:

(5.1)
media  =   numero1 + numero2 + … + numero
———————————————
N 

    A volte si usa l'espressione più estesa media aritmetica per distinguere questo valore da altri tipi di valori medi, di cui discuteremo più avanti.

    Il consumo pro-capite è dunque la media aritmetica dei consumi effettuati da tutti gli abitanti. I consumi complessivi indicati nella tabella sono stati ottenuti servendosi dei dati relativi alla vendita dei vari tipi di beni e di servizi, non sommando i consumi abitante per abitante: dai dati sulle vendite si riesce a ottenere quanto ha speso il complesso degli italiani, cioè il valore di c1+c2+…+cN , non i valori di c1, c2, …, cN .

 45 
    Di quale informazione (ulteriore, rispetto a quelle fornite finora nella scheda) hai bisogno per calcolare il consumo pro-capite per l'abbigliamento nel 2008?

 46 
    Sapendo che la popolazione presente in Italia nel 2008 era di 59.6 milioni, calcola il consumo pro-capite per l'abbigliamento ed esprimilo (opportunamente arrotondato) in euro.

    È come se  ogni persona avesse speso .................. € per vestirsi nel 2008, anche se la spesa per l'abbigliamento è un fenomeno che non si manifesta in maniera uniforme nella popolazione, ma c'è, ovviamente, chi spende di più e chi di meno.

    Analogamente, se impieghiamo 2 ore per percorrere in auto una distanza di 170 km diciamo di aver tenuto una media di, o che siamo andati ad una velocità media di, 85 km/h; anche in questo caso, tuttavia, il movimento della macchina non è uniforme nel tempo del viaggio.

    Velocità media e consumo pro-capite sono esempi di valori medi, cioè di particolari modelli matematici impiegati per sintetizzare attraverso un unico numero il comportamento di un certo fenomeno.

    La velocità media non è tuttavia un esempio di media aritmetica, cioè non è esprimibile nella forma (5.1). [per approfondimenti: ques. 56]

    Anche se il consumo pro-capite è, come abbiamo detto, un dato fittizio, è sovente utile. Vediamo perché risolvendo gli esercizi seguenti.

 47 
    Il consumo totale di caffè in Italia è stato, nel 1881 e nel 1981, rispettivamente di 140 e 2277 migliaia di quintali. Puoi dire che un italiano nel 1981 beveva 2277/140 = 16 volte (circa) la quantità di caffè che beveva un italiano cent'anni prima? Perché?

 48 
    Controlla la tua risposta completando la seguente tabella relativa al consumo di caffè,
 
popolazione ital. (migliaia)   consumo totale (quintali)   cons. pro-capite (g/ab.)
1881 
29 791140 · 103 
56 5572 277 · 103 
1981 
 
arrotondando il risultato ai grammi (ossia esprimendo il risultato in grammi e arrotondandolo poi alle unità). Indica il procedimento seguito per eseguire i calcoli.

 49 
    Il consumo totale di zucchero nel 1986 del Portogallo e dell'Irlanda è stato, rispettivamente, di 275 616 e 145 181 tonnellate. Puoi dire che in Portogallo si mangiava più "dolce" che in Irlanda? Perché?

    Il consumo pro-capite è sovente preferibile perché, essendo indipendente dalla numerosità della popolazione, è più facilmente confrontabile con consumi relativi ad altri tempi ( quesiti 47 e 48) o ad altre zone geografiche ( quesito 49).

 50 
    Sapendo che la popolazione presente in Italia nel 2008 era di 59.6 milioni, trova il consumo pro-capite totale e quello per ciascun gruppo di beni, arrotondando il risultato alle migliaia e usando il tasto-memoria della CT. Quale dato hai messo in memoria?
.............................
aliment. tabacco vestiti abitaz.   trasporti   altro totale
       

 51 
    Esprimi la relazione tra consumo complessivo, consumo pro-capite e numero di abitanti completando le seguenti formule:

 
(5.2)            consumo pro-capite =
 
(5.3)consumo complessivo =
 
(5.4)numero di abitanti =

La seguente tabella (5.5), che contiene i consumi medi mensili per famiglia relativi all'anno 2007, ci mostra che il consumo calcolato per tutto il paese è diverso da quello di ciascuna delle due zone geografiche: settentrionale e centrale, meridionale e insulare (zone che indicheremo con SC, MI). Ad esempio, in MI una famiglia per i trasporti mediamente spende molto meno che in SC; il dato relativo a tutta l'Italia è compreso tra quello delle due zone. Ciò conferma l'osservazione che abbiamo fatto circa la natura "fittizia" dei valori medi.

    aliment. tabacco vestiario abitaz. trasporti altro totale
(5.5) SC
459.57 20.22 157.70 764.11 415.67 1320.53 2722.13
480.49 24.10 153.00 450.88 260.09 600.70 1969.26
466.29 21.47 156.19 663.39 365.65 807.08 2480.07
MI
Italia

 

 52 
    Dalle prime voci della tabella sembra che la spesa familiare mensile in Italia sia pari alla media aritmetica di quelle nelle due zone SC e MI. Ma le ultime colonne successive fanno emergere qualche dubbio. Controlla numericamente tale ipotesi su questa voce.
 
spesa per trasporti in SC + spesa per trasporti in MI  =   ..............................
——————————————————————
2

    Quale sarebbe stato il modo corretto per ottenere il consumo medio per famiglia in Italia a partire da quelli di SC e MI?

    Avremmo dovuto ricordare il significato di consumo medio, cioè utilizzare (5.2), mettendo

consumo per famigliaenumero di famiglie    al posto di
consumo pro-capite    e di    numero di abitanti

    Proviamo a farlo.

    Utilizzando i dati della seguente tabella A e la relazione (5.3) possiamo completare le prime due righe dell'ultima colonna (riquadri con "?"). Mediante una semplice somma possiamo completare anche la colonna centrale (altro riquadro con "?"). Sotto è riportato il nuovo aspetto B della tabella. Non sono stati ancora completati i calcoli. Si noti che i calcoli sono stati impostati in modo da non portarsi dietro tutti gli zero.

    Possiamo quindi passare a C, in cui abbiamo tenuto presente che per sommare le prime due righe dell'ultima colonna possiamo procedere senza tener conto dei 2 zero finali e poi aggiungerli alla fine.

consumo per famiglia
in trasporti
   numero di famiglie consumo complessivo
in trasporti
A
SC415.6716 200 000?
MI260.097 680 000?
Italia??????
 
B
SC415.6716 200 00041567 · 162 · 1000
MI260.097 680 00026009 · 768 · 100
Italia???23 880 000??
 
C
SC415.6716 200 00041567 · 162 · 1000
MI260.097 680 00026009 · 768 · 100
Italia???23 880 000(41567·1620+26009·768)·100

 53 
    Usando (5.2) calcola il valore ??? (consumo medio per famiglia in trasporti relativo all'Italia), arrotondalo a 3 cifre (perché) e confrontalo con quello contenuto in (5.5).

consumo medio per famiglia in Italia  = consumo complessivo/numero di famiglie =
 
(........................... · ........................... + ........................... · ...........................) · 100 =
——————————————————————————————————
2388 · 10000
 
........................... · ........................... + ........................... · ........................... / 100 =
——————————————————————————————
2388
 
= ........................... → [arrotondando a 3 cifre] ...........................

 54 
    Scrivi la sequenza di tasti che conviene utilizzare per eseguire il calcolo precedente con la tua CT.


    Abbiamo visto che la media aritmetica dei consumi per famiglia delle due zone geografiche non coincide con il consumo per famiglia italiano.

    Ciò dipende dal fatto che le spese per famiglia delle due zone influiscono diversamente sul consumo complessivo in quanto il numero delle famiglie, per cui vengono moltiplicate, è diverso nei due casi.  Si dice che la spesa familiare di ciascuna zona ha un  peso  diverso sulla spesa familiare in Italia.

    Dalla tabella (5.5) si vede che la spesa media in Italia è più vicina alla spesa media in SC che a quella in MI. Infatti in SC sono presenti più famiglie che in MI,  e quindi il valore relativo a SC "pesa" maggiormente, facendo avvicinare a sé il valore relativo all'intero paese. La situazione è analoga a quella raffigurata a fianco: il punto di equilibrio è più vicino all'oggetto che pesa maggiormente.  

 55 
    La famiglia Bianchi è composta da due bambini piccoli, dai loro due genitori e dai nonni paterni. In questa famiglia gli adulti consumano a testa mediamente 1/5 di litro (200 ml) di latte al giorno mentre i bambini ne consumano mediamente 1/2 litro (500 ml) a testa. Poiché (200+500)/2 = 350, è corretto affermare che il consumo medio giornaliero di latte di un membro della famiglia Bianchi è di 350 ml?

    Si presenta una situazione analoga se confrontiamo le velocità medie su due tratti di strada con quella relativa all'intero percorso.

 56 
    Il signor Rossi per raggiungere il posto di lavoro deve percorre 12 km per arrivare al casello autostradale più vicino e ulteriori 35 km di autostrada. In un dato giorno il signor Rossi andando a lavorare impiega 30 minuti per il tratto cittadino e 20 minuti per il tratto autostradale.
 
  Qual è la velocità media del signor Rossi in ciascuno dei due tratti?
         vtratto1 =                               vtratto2 =
 
  Qual è la velocità media del signor Rossi sul percorso complessivo?
         v =
 
  Confronta v  con la media di vtratto1 e vtratto2.
         media di vtratto1 e vtratto2 =


6. Cifre significative

    Abbiamo visto che un numero può essere approssimato agli interi:

•  per troncamento, cioè togliendo tutte le cifre successive al posto delle unità,  o:

•  per arrotondamento, cioè prendendo l'intero più vicino, e, più precisamente:

–  se la cifra a destra di quella delle unità (cioè se la cifra dei decimi) è
0, 1, 2, 3 o 4prendendo il numero troncato alle unità,
 
–  se è5, 6, 7, 8 o 9prendendo il numero troncato alle unità e aumentato di uno.

    Sotto sono raffigurate due situazioni (la 1a e la 3a) in cui troncamento e arrotondamento sono diversi e una (la 2a) in cui coincidono.

    Per troncare 238 712 alle migliaia, poiché 238712 = 238.712 migliaia, trovato il troncamento agli interi di 238.712, cioè 238, possiamo prendere 238 mila, ossia 238 000.  Per arrotondarlo alle migliaia, poiché l'arrotondamento agli interi di 238.712 è 239, prendiamo 239 mila, ossia 239 000.

    In altre parole per troncare alle migliaia sostituiamo con 0 tutte le cifre a destra di quella delle migliaia; per arrotondare alle migliaia procediamo analogamente e poi aumentiamo di 1 migliaio il numero ottenuto se la prima cifra a destra di quella delle migliaia è maggiore o uguale a 5.

    Qui sotto sono raffigurati alcuni arrotondamenti alle decine e ai decimi, realizzabili con ragionamenti simili:  13.961… ai decimi viene troncato con 13.900…, o 13.9; poiché la cifra a destra di quella dei decimi è 6, che non è minore di 5, per ottenere l'arrotondamento dobbiamo aggiungere 0.1 (1 decimo):  13.9 → 14.0.

alle decine 
ai decimi

 57 
    Con ragionamenti simili esegui i seguenti arrotondamenti:
 
    3456  alle decine.....................         6825750  ai milioni.....................
163  alle decine.....................0.3695  ai centesimi .....................
84126500  ai milioni .....................2.471  ai centesimi.....................

    Consideriamo la seguente tabella (che hai già completato nell'esercizio e3), relativa alla retribuzione annua lorda di un dipendente pubblico di medio livello in diversi anni in cui era in vigore la lira. Abbiamo aggiunto in fondo i dati non arrotondati presenti nelle statistiche ufficiali da cui li abbiamo ricavati e le cifre a cui sono stati approssimati.

1926194519651985
forma esp.
9.15·103 L7.34·104 L 1.42·106 L 1.71·107 L
migliaiadecine di migliaiamilionidecine di milioni
9150 73400 1420000 17100000
9151 73360 1415937 17099865
decine centinaia decine di migliaia centinaia di migliaia
ord. grand.
per esteso
non arrotondato
arrotondamento alle

    Tutti i dati (come si vede bene nella loro scrittura in forma esponenziale) sono stati arrotondati alla terza cifra iniziale (cioè alla terza cifra contando verso destra a partire dalla prima cifra diversa da 0).
    Nel caso di 17099865 L la terza cifra iniziale (cifra sottolineata) era quella delle centinaia di migliaia; la cifra alla sua destra era 9, 9 è maggiore di 4, quindi 0 è stato aumentato di 1 e si è ottenuto 171….
    Nel caso di 9151 L la terza cifra iniziale era quella delle decine; alla sua destra c'era 1, 1 è minore di 5, quindi la cifra non è stata aumentata.

    In tutti i casi si dice che i dati sono stati arrotondati a 3 cifre significative.

    Se 9151 fosse stato arrotondato a 1 cifra significativa, cioè alla 1a cifra iniziale, avremmo ottenuto 9000; se fosse stato arrotondato a 2 cifre significative, avremmo ottenuto 9200 (infatti la 3a cifra iniziale è 5).

 58 
    Arrotonda a due cifre significative i seguenti numeri:
 
    3456 ..................         84126500 .....................         0.3695 ..................
163..................6825750.....................2.471..................

    Più in generale, se X è un numero:

•  per arrotondare X alla cifra di posto n:

–  se la cifra immediatamente a destra è
0, 1, 2, 3 o 4si sostituiscono con 0 tutte le cifre a destra del posto n
 
–  se è5, 6, 7, 8 o 9si aumenta di uno la cifra di posto e
si sostituiscono con 0 tutte le cifre alla sua destra

•  per arrotondare X a n cifre significative si arrotonda alla n-esima cifra iniziale.
 


7. Esercizi

 e1 
    Completa la seguente tabella, che ricorda il significato di alcuni prefissi impiegati per trasformare una unità di misura in un suo multiplo o un suo sottomultiplo.
 
moltiplicatore prefisso espressione verbale
0.000 000 000 001  =  1/1000 000 000 000  =  10–12 p pico
0.000 000 001  =  1/1000 000 000  =   …   nnano
0.000 001  =  1/      …        =   …   m micro
0.001  =  1/    …     =   …   m milli
1000  =  103 k chilo
1000 000  =  106 M mega
1000 000 000  =   …   G giga
1000 000 000 000 =   …   T tera

 e2 
    È maggiore un migliaio di miliardi o un miliardo di migliaia o un milione di milioni?
un migliaio di miliardi = 109·103 = 109+3 = 1012
un miliardo di migliaia = 103·109 =       …       =       …
un milione di milioni =       …       =      …

 e3 
    I seguenti dati rappresentano la retribuzione annua lorda (in lire) di un dipendente pubblico di medio livello negli stessi anni considerati nella tabella (1.1); la retribuzione lorda è lo stipendio non gravato da imposte (nel caso di un dipendente di questo livello le imposte incidevano complessivamente per una percentuale che, nei vari anni, ha oscillato intorno al 15%).  Completa le righe sottostanti.
 
forma esp. 1926:  9.15·103 L 1945:  7.34·104 L 1965:  1.42·106 L 1985:  1.71·107 L
ord. grand. 1926:  migliaia 1945: 1965: 1985:
per esteso 1926:  9150 1945: 1965: 1985:

 e4 
    Se con le forbici dimezzo un foglio di carta, poi sovrappongo le due parti ottenute e le taglio a metà, poi sovrappongo i foglietti così ottenuti e procedo con un nuovo taglio, alla fine ottengo 2·2·2 foglietti; infatti ad ogni taglio raddoppio il numero dei foglietti. Quanti foglietti otterrei con 6 tagli? E con n (n numero intero positivo qualunque)? Impiegando il tasto della CT calcola quanti foglietti si otterrebbero (impiegando una taglierina al posto delle forbici) con 10 tagli.

 e5 
    (1) Moltiplicando tra loro due numeri, entrambi minori di 1, ottieni ancora un numero minore di 1?
(2) Moltiplicando tra loro due numeri, entrambi maggiori di 1, ottieni ancora un numero maggiore di 1?
(3) Che cosa puoi concludere sulla moltiplicazione tra due numeri, uno maggiore e l'altro minore di 1?
 
<1>1
<1  
>1  
    Rispondi e motiva le tue risposte (se è il caso, ricorrendo a degli esempi). Quindi riassumi le tue conclusioni nella tabella a fianco. Nelle caselle, a seconda dei casi, devi mettere " >1" (che sta per "numero maggiore di 1"), "<1" (che sta per "numero minore di 1") o "D"  (che sta per "dipende").

 e6 
    Disegna la pianta della tua classe, comprendente la cattedra e i banchi, su un foglio di carta millimetrata, indicando la scala (che puoi scegliere a tuo piacere).

 e7 
    Abbiamo trovato che nel 1926 la voce trasporti (3420 milioni L) aveva un'incidenza del 3% sul totale dei consumi (124205 milioni L). Prova a calcolare il 3% di 124205. Riottieni il valore 3420? Trovate una spiegazione per questo fenomeno.

 e8 
    Dalla tabella (1.1) risulta che in Italia nel 2008 si sono spesi 17 587 milioni (17 587 000 000) di € in tabacco. Ovviamente questo dato non è esatto, ma è stato arrotondato ai milioni (cioè è stato espresso in milioni e poi arrotondato alle unità). Inventa qualche valore che potrebbe rappresentare la spesa esatta.

 e9 
    Osservate gli istogrammi di figura 8. Il fatto che sia diminuita l'incidenza percentuale delle spese alimentari significa che gli italiani mangiano meno di un tempo?

 e10 
    Non abbiamo sotto mano la CT e vogliamo eseguire alcuni calcoli. Non ci interessa il risultato esatto, ma solo una stima di esso. Possiamo precedere come nei seguenti esempi:
 
2681/354  ≈  3000/400  ≈  30/4  ≈  7;
1860 ≈ 2·10–3 = 20·102 = 5·10–3 = 0.005;
——————
3768914·1054·105
15384·187  ≈  15000·200 = 3000000; 89325·714213  ≈  9·104·7·105 =  63·109  ≈  6·1010
 
cioè arrotondando i numeri a 1 o 2 cifre significative ed eseguendo i calcoli sui valori arrotondati.  Esegui analogamente le seguenti operazioni:
 
843·279615  ≈
 
843 ≈ 
———
279615
 
3675843 ≈ 
———
19

 e11 
    Vogliamo controllare o avere un'idea più concreta dei dati della tabella (1.1). Proviamo ad esempio a stimare da soli l'ordine di grandezza di quanto si spendeva nel 2008 in trasporti. Gli spostamenti quotidiani sono quelli che incidono in massima parte su questa spesa; in prima approssimazione possiamo limitarci a un mezzo di trasporto pubblico, e supporre che una persona facesse mediamente due corse al giorno e che un biglietto costasse circa 2 €. Nel 2008 in Italia vi erano 60 milioni di persone.
    Dobbiamo quindi calcolare:
 
(costo di un biglietto) · (n° delle corse) · (n° dei giorni in un anno) · (n° dei presenti in Italia) =
2 · 2 · 365 · 60000000
 
Calcola questo valore senza usare la CT, come suggerito nel quesito precedente, e confronta l'ordine di grandezza del risultato con quello del valore indicato dalla tabella.

 e12 
    Stima, in modo simile a quanto fatto nel quesito precedente, la quantità di parole presenti in questa scheda e la spesa complessiva in quaderni sostenuta dagli studenti della tua scuola in un anno scolastico.

 e13 
    Accantonando 1 € alla settimana, quanto tempo impiegherai per mettere da parte la somma di 600 €?

 e14 

    La tabella seguente permette di confrontare l'evoluzione (in lire) delle retribuzioni e quella della spesa pro-capite per beni alimentari. Le percentuali riportate nell'ultima colonna non indicano esattamente quanta parte dello stipendio veniva spesa mediamente in alimentari, infatti:

–   con uno stipendio venivano mantenute più persone;

–   la retribuzione considerata è quella di una particolare categoria di lavoratori; ve ne erano altre con stipendi più bassi, altre con stipendi più alti; e vi erano redditi non da lavoro dipendente (negozianti, artigiani, professionisti, imprenditori, proprietari terrieri, …).

La tabella dà comunque un'idea di come è cambiata l'incidenza delle spese alimentari.


anno


spesa totale
per alimentari


popola-
zione


spesa alimentare
pro-capite


spesa
pro-capite
arrotondata


retribuzione del
dipendente del
quesito e3

rapporto (percent.)
tra spesa alimentare
 pro-capite e retrib. 

1926

7.77·1010

4.0·107

1.9425·103

1.94·103

9.15·103

21%

1945

9.42·1011

4.5·107

2.0933…·104

2.09·104

7.34·104

29%

1965

1.02·1013

5.2·107

. . . . . . . . . . . . . .

1.42·106

. . . . . . .

1985

1.16·1014

5.7·107

. . . . . . . . . . . . . .

1.71·107

. . . . . . .
 

    Completa la tabella. Nella 5a colonna ("spesa arrotondata") approssima i valori a 3 cifre significative, nell'ultima arrotonda le percentuali alle unità. Per calcolare il rapporto non battere i dati della spesa pro-capite scritti nella colonna 5a ma utilizza il valore che la CT ha ancora sul visore. Ad esempio la seconda riga è stata calcolata nel seguente modo:

–  9.42 11 4.5

–  si è scritto nella 4a colonna il numero (2.09333…E4) comparso sul visore

–  7.34 4 100

–  si è scritto nell'ultima colonna l'arrotondamento del numero comparso sul visore

–  si è scritto nella 5a colonna l'arrotondamento del dato scritto nella 4a.

 e15 

    Rispetto alla prima metà del Novecento la quantità e la qualità dei beni alimentari che una persona consuma è sicuramente aumentata. Tuttavia dall'ultima colonna della tabella del quesito precedente o dai grafici di figura 8 si vede che la porzione di stipendio spesa per l'alimentazione è diminuita. Ciò si spiega col fatto che oggi, mediamente, si guadagna molto più di allora anche in valore effettivo.
    Se è vero che si possono fare molte più spese in generi non alimentari, occorre però osservare che queste spese spesso sono diventate "necessarie": sono aumentati i beni e i servizi che dobbiamo pagare per "sopravvivere".  Ad esempio oggi quasi tutti devono impiegare dei mezzi di trasporto per raggiungere il posto di lavoro. Per essere aggiornati su ciò che succede, per conoscere nuove disposizioni di legge, per orientarsi nelle scelte politiche, … dobbiamo leggere giornali, guardare la televisione, … mentre un tempo (con una società meno complessa, città più piccole, …) era più facile accedere diversamente alle informazioni.  Per andare a scuola fino a 16, 19 o più anni dobbiamo acquistare libri, pagare tasse d'iscrizione, … mentre un tempo non c'erano gli attuali livelli di obbligo scolastico e i mestieri richiedevano titoli di studio più bassi.  …
    Del resto senza l'aumento dei redditi non vi sarebbe stato sviluppo produttivo: affinché i beni prodotti vengano venduti è necessario che le persone abbiano la possibilità economica di acquistarli.
    Sai trovare altri beni e servizi che ora (ma non nella prima metà del Novecento) sono diventati "di sussistenza"?

 e16 
    Nel periodo A le monete in circolazione di taglio più piccolo sono quelle da 5 e 10 centesimi di euro, nel periodo B sono 5 e 10 lire, nel periodo C quelle da 2 e 1 lira.  Tre persone devono suddividersi in parti eguali 1000 unità monetarie (€ o L). Quale somma (in moneta circolante) spetterebbe a ciascuno nei tre periodi?
1000/3 = [sul visore della CT] ... 
somma spettante se si è nel periodo A:  ...         se si è in B:  ...         se si è in C:  ...

 e17 
    Se invece le tre persone del quesito e16 devono formare 1000 unità monetarie contribuendo in parti eguali, qual è la somma in moneta circolante che ciascuno deve versare?

somma spettante se si è nel periodo A:  ...         se si è in B:  ...         se si è in C:  ...

 e18 
    Ecco il risultato di 20/3 ottenuto con tre CT differenti. Descrivi il comportamento di ciascuna delle tre CT usando i concetti introdotti nel §6.
              (1)   6.6666666              (2)   6.6666667              (3)   6.666666666

 e19 
    Un piccolo caseggiato è suddiviso in 6 appartamenti di diverse dimensioni, tre di 76 m2 e tre di 69 m2. Alcune spese comuni (coloritura dei muri esterni, cambiamento del portone, riparazione del tetto, …) vengono ripartite in proporzione alla diversa estensione degli appartamenti. Per facilitare i conteggi la superficie di ogni appartamento viene espressa in millesimi di caseggiato, cioè viene posta uguale a 1000 la superficie complessiva degli appartamenti e vengono calcolate in proporzione le "quote millesimali" corrispondenti ai diversi appartamenti.
    Calcola la quota millesimale (arrotondata ai decimi) di ogni appartamento e spiega il procedimento che hai impiegato.

 e20 
    Il prodotto W viene venduto a peso. Sonia compra del W spendendo 8.35 €. Tornata a casa, non ricordandosi del prezzo di W, pesa la quantità acquistata e trova che il suo peso è di circa 760 grammi («circa» poiché la bilancia di Sonia va di 5 grammi in 5 grammi; il peso esatto in grammi potrebbe essere 762 o 759 o …).
    Quanto costa al chilogrammo W?
    Al variare del peso il costo di W varia in proporzione: a peso doppio corrisponde doppio costo, e così via. Qual è il fattore di proporzionalità "peso (in kg) → costo (in €)"? Qual è il fattore di proporzionalità "peso (in g) → costo (in €)"?

 e21 
    Impiegando un foglio di carta millimetrata trova l'ampiezza del settore con cui rappresentare l'incidenza della voce "alimentari" nel 1985 ( quesito 36) procedendo graficamente ( figura 7, riprodotta a fianco).
    Sull'asse verticale invece delle percentuali rappresenta le ampiezze angolari;   con 1 mm rappresenta 2° (quindi con 1 cm rappresenta 20°, con 18 cm 360°). Verifica se ottieni 96°.
    Procedi analogamente per le altre voci e confronta i valori trovati con quelli che avevi ottenuto nel quesito 41.
 

 e22 
    Luigi, in attesa dell'autobus all'uscita da scuola (in centro città), vuole fare un piccolo studio statistico: trovare quante persone viaggiano mediamente in un'automobile in un'ora di punta. Durante due successivi "rossi" di un semaforo vicino, annota su un foglio per ogni macchina ferma il numero dei passeggeri (compreso l'autista) che ha a bordo. Fa 28 annotazioni:
2 1 3 1 1 1 2 4 1 2 2 1 2 3
1 1 3 1 4 1 2 2 1 3 1 1 1 3
    Qual è il numero medio di passeggeri rilevato da Luigi?  Effettua il calcolo con la CT nei due seguenti modi:
(1)  eseguendo direttamente:
2 + 1 + 3 + 1 + 1 + … + 1 + 3
————————————
28
(2)  contando il numero delle volte che compare 1 (sia N1), il numero delle volte che compare 2 (sia N2), il numero delle volte che compare 3 (sia N3), il numero delle volte che compare 4 (sia N4) e infine calcolando:
 
1·N1 + 2·N2 + 3·N3 + 4·N4
——————————
28
    Quale dei due metodi hai trovato più conveniente? perché?

 e23 
    Nel manuale d'uso per le CT prodotte dalla ditta ZZ si legge:
«Le calcolatrici ZZ sono predisposte anche per i calcoli statistici: per un insieme di numeri è possibile calcolare la loro media, la loro somma, …. Vediamo un esempio (in alcuni modelli il tasto per introdurre i dati è indicato con invece che con ):
 
    
0
   Azzeramento generale
14
14
Battitura del 1° dato
 n =           1
Sua introduzione (compare l'indicazione che è stato inserito 1 dato)
6
6
Battitura del 2° dato
 n =           2
Sua introduzione (compare l'indicazione che i dati inseriti sono 2)
6
6
Battitura del 3° dato
 n =           3
Sua introduzione (compare l'indicazione che i dati inseriti sono 3)
6
6
Battitura del 4° dato
  
 n =           4
Sua introduzione (compare l'indicazione che i dati inseriti sono 4)
 n =           8
Compare la media aritmetica dei dati introdotti
32
Compare la somma dei dati introdotti
8
Compare il numero dei dati introdotti
 
Nei modelli delle calcolatrici ZZ che sono dotati del tasto invece di battere tre volte il dato 6 si poteva procedere nel seguente modo:
 
14
14
Battitura del 1° dato
 n =           1
   Sua introduzione (compare l'indicazione che è stato inserito 1 dato)
6
6
Battitura del 2° dato
 fr =         00
Scelta di assegnare al dato una frequenza (n° di volte per cui prenderlo)
3
 fr =         03
Battitura della frequenza
  
 n =           4
Introduzione per 3 volte di 6 (compare l'indicazione che i dati inseriti sono 4)
8
Compare la media aritmetica dei dati introdotti                                           »

    Ricordiamo che nei tasti delle CT spesso si usa x per indicare il dato introdotto; ad esempio e indicano il calcolo del reciproco e il calcolo dell'opposto del numero visualizzato.

    Analogamente e indicano il calcolo della somma e il calcolo della media della sequenza di dati introdotti. Il simbolo Σ è la lettera greca "sigma", che viene pronunciata come la nostra "esse"; qui viene usata per ricordare la parola "somma" indica l'aggiunta di un nuovo dato alla sequenza di dati che devono essere sommati (e di cui deve essere calcolata la media); in alcune CT è presente anche per indicare la cancellazione dell'ultimo dato della sequenza (serve per correggere eventuali errori di battitura).

    I calcoli statistici in genere appaiono come significati "secondari" di qualche tasto; ad esempio . Alcune CT sono dotate di un apposito tasto, o un tasto simile, che attiva il significato statistico dei tasti; questo permane fino a che non si ribatte .

•  Tra i due procedimenti esemplificati nel manuale d'uso quale corrisponde al procedimento (1) del quesito e22, quale al procedimento (2)?

•  Quale conteggio viene automatizzato rispetto ai procedimenti senza impiego dei tasti statistici?

•  Come potresti usare i tasti statistici per battere una sequenza di tasti alternativa a quella del quesito 54?

•  Prova a usare il programma Stat ( 3), o un altro programma simile, per effettuare gli stessi calcoli esemplificati nei manuali delle due CT [nella finestra di input batti i dati su righe diverse; se un dato ha frequenza maggiore di uno metti una virgola e la frequenza subito dopo il dato; ogni volta che clicchi [I] vengono ricalcolate la media e il numero totale dei dati].

 e24 
    Considera i seguenti procedimenti di calcolo, in particolare le parti indicate in corsivo:
 
(1)  45·79·100000+789·26·100000 (45·79+789·26)·100000
(per semplificare l'impostazione del calcolo sulla CT, riducendo il n° di tasti da battere)
(2)  45/17 – 12/17 (45–12)/17
(per battere sulla CT un'unica divisione per 17)
(3)   15075/3 → (15000+75)/3 15000/3+75/3 → 5000+25 → 5025
(nel calcolo mentale è più facile dividere per 3 separatamente 15000 e 75)
(4)   89·4 → (90–1)·4 90·4–1·4 → 360–4 → 356
(nel calcolo mentale è più facile moltiplicare per 4 separatamente 90 e 1)

    Nel caso (1) il nuovo termine è stato ottenuto estraendo il moltiplicatore che era comune ai termini di una addizione e mettendolo come fattore dell'intera somma:

moltiplico per 100000 il risultato della addizione 45·79+789·26
invece che i due addendi 45·79 e 789·26.

    Nel caso (2) il nuovo termine è stato ottenuto estraendo il divisore che era comune ai termini di una sottrazione e mettendolo come fattore dell'intera differenza:

divido per 17 il risultato della sottrazione 45–12
invece che i due termini della sottrazione 45 e 12.

    Possiamo riassumere entrambi i casi dicendo che il termine iniziale è stato trasformato estraendo il fattore (moltiplicatore o divisore) che era comune ai termini di una addizione o di una sottrazione e mettendolo come fattore dell'intera somma o differenza.

    Questo tipo di trasformazione viene chiamato raccoglimento a fattore comune.

    Nelle trasformazioni evidenziate in corsivo nei casi (3) e (4) il nuovo termine è stato ottenuto distribuendo il fattore (moltiplicatore o divisore) di una somma (o di una differenza) tra i diversi termini di essa:

–   nel caso (3) divido per 3 gli addendi 15000 e 75 invece che il risultato dell'addizione;

–   nel caso (4) moltiplico per 4 i termini della sottrazione 90 e 1 invece che 90–1.

    Questo tipo di trasformazione viene chiamato distribuzione del fattore comune.

    Le due trasformazioni sono l'una l'inversa dell'altra, e possono essere sintetizzate con la stessa formula, che letta da sinistra a destra dà una trasformazione, letta da destra a sinistra dà l'altra.

•  Per ottenere tale formula, inserisci nei riquadri sottostanti i simboli:  +   ·   (   )

•  Scrivi nella tabella i valori che assumono a, b e c nei casi considerati.

[tieni conto che, ad esempio, 45/17 può essere pensato come 45·(1/17) e 90–1 come 90+(–1)]

   
a
   
b
   
   
c  =  a
   
c
   
b
   
c
abc
(1)
45·79 100000
 –12 
  1/3
90  
(2)
(3)
(4)

 

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

posto di una cifra (dopo ques.8),   potenza n-esima (tra ques.8 e ques.10),   notazione scientifica (dopo ques.16),   ordine di grandezza (dopo ques.16),   proporzionalità (prima di ques.19),   percentuale (prima di ques.22, dopo ques.24),   media aritmetica (5),   approssimazione per arrotondamento e troncamento (prima di ques.26, dopo ques.58).

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").


Esempio di svolgimento parziale di quanto richiesto nel riquadro

1)    Vedi le parti già evidenziate per le voci "posto di una cifra",  "notazione scientifica", "ordine di grandezza", "potenza n-esima", nel paragrafo 1.

2)    "posto di una cifra":  «Nella misura 37.169 km la cifra di posto –3 rappresenta i metri»

       "potenza n-esima":  «L'area di una faccia di un cubo si ottiene elevando alla seconda la misura dello spigolo; il volume si ottiene invece elevandola alla terza»

3)    In questa scheda abbiamo esaminato alcune statistiche di tipo economico e abbiamo visto alcuni strumenti matematici utili per rappresentare e analizzare dati.

    Abbiamo considerato come è cambiato il modo di spendere i soldi per i vari tipi di beni e di servizi nel Novecento. Abbiamo visto come rappresentare numeri molto grandi e molto piccoli, a mano o con la calcolatrice, come confrontare numeri di diversa grandezza, …

[il riassunto deve proseguire riferendosi ai paragrafi successivi]

CONTINUA