Le statistiche
Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati

Scheda 1
I consumi e i redditi

0. Le statistiche
1. Rappresentazioni dei numeri
2. Rappresentazioni proporzionali, istogrammi
3. Rappresentazioni percentuali, approssimazioni
4. Diagrammi a settori circolari, altri diagrammi
5. I valori medi
6. Cifre significative
7. Esercizi
Sintesi
Specchietto con i principali tasti presenti sulle CT più diffuse

 

0. Le statistiche

    «Chi è il capocannoniere del campionato?», «Settembre 2008: record di precipitazioni», «Sono aumentati gli incidenti stradali», «Qual è la percentuale di italiani che evade le tasse?», «La popolazione italiana invecchia», «Al giovedì il programma serale più seguito dagli italiani è …», «Il Partito … ha guadagnato un punto percentuale rispetto alle precedenti elezioni», «Campionato di rugby: la capoclassifica sta tenendo una media di 39.2 punti per partita» … :  ogni giorno sui giornali, alla televisione, nelle discussioni con gli amici, … ci troviamo di fronte a statistiche, cioè alla valutazione dei fenomeni più disparati mediante numeri o rappresentazioni grafiche che ne indicano la frequenza o le dimensioni o l'incidenza o le variazioni nel tempo o …
    Si tratta dell'uso della matematica socialmente più diffuso dopo la misura del tempo (lettura dell'orologio, calcolo del tempo trascorso, …) e il calcolo economico (calcolo del costo di un prodotto a partire dal costo unitario, calcolo del resto, …).
    E si tratta dell'uso che presso la maggioranza delle persone caratterizza il ruolo della matematica:  «le cifre non mentono»,  «i dati parlano da soli»  sono dei luoghi comuni assai diffusi che rivelano l'idea che le rappresentazioni matematiche dei fenomeni diano luogo a valutazioni rigorose.  Questo pregiudizio è spesso sfruttato da chi vuole convincere gli altri della bontà delle proprie scelte o della convenienza del prodotto che vende o del fatto che le cose in un certo campo vanno bene o vanno male: si "sparano" un po’ di percentuali e di grafici, come a dire «le cose stanno così: lo dice la matematica».
    «2+2 fa 4» è un fatto matematico che non può essere messo in discussione. Ma, anche se si fanno esattamente i calcoli numerici, non è detto che si siano presi i dati più significativi o che si sia scelto il modello matematico più adeguato per rappresentare il fenomeno da analizzare. I dati statistici vanno letti e interpretati per quello che sono, senza trarre conclusioni errate e cercando di valutare criticamente quelle che gli altri ci propongono.

    In questa unità didattica verranno presentati e discussi alcuni dei modelli matematici più utilizzati nelle statistiche diffuse dai mezzi di informazione. Prenderemo in considerazione esempi riferiti a campi diversi, scelti tra quelli di interesse più generale: l'economia delle famiglie (consumi e redditi), lo sport (i record), le caratteristiche fisiche della popolazione (dimensioni e sviluppo del corpo), la scuola (promossi, bocciati, abbandoni, …).

    In questa prima scheda vedremo l'impiego di alcuni strumenti matematici per elaborare statistiche sui consumi e sul reddito in Italia, con particolare riferimento alle condizioni di vita nel corso del Novecento.
    I dati impiegati sono in gran parte tratti dalle pubblicazioni dell'Istat (Istituto nazionale di statistica), che raccoglie ed elabora informazioni relative a numerosi aspetti sociali ed economici dell'Italia.


1. Rappresentazioni dei numeri

    Nella tabella (1.1) è riportato quanto si è speso in beni di consumo (alimenti, vestiti, automobili, …) e in servizi (taglio dei capelli, viaggi in treno, …) in Italia.  I dati si riferiscono ai consumi "finali" (ad esempio viene conteggiato quanto paga per una bibita chi va al bar ma non quanto la bibita è stata pagata dal proprietario del bar).  Inoltre sono state escluse le spese fatte da enti "pubblici" (ad esempio i soldi spesi dai Comuni per le divise dei vigili). Per questi motivi i dati riportati nella tabella vengono chiamati consumi finali interni privati.  Nel seguito spesso li chiameremo più semplicemente consumi.

(1.1)  
anno alimentari tabacco vestiario abitazione trasporti altro totale
in milioni di lire
1926  77 749  3 226 17 659  6 849  3 420  15 302   124 205
1945 941 645 13 189 50 572 19 307 12 857 160 700 1 198 270
in miliardi di lire
1965  10 213   734  2 154  2 305  2 014   6 532  23 952
1985 116 148 9 306 35 756 45 238 58 919 168 733 434 100
in milioni di euro
2010  144 291  18 461  71 352  210 285  119 857   386 256  950 502

 1 
    E' vero che i consumi totali del 1985 sono inferiori a quelli del 1945?

 2 
    Scrivi in lettere i consumi totali del 2010.

 3 
    Scrivi in cifre, esprimendoti in lire invece che in milioni o miliardi di lire, i consumi totali del 1945 e del 1985.  Secondo te perché nella tabella si sono usate unità di misura diverse?

    I due dati scritti per esteso sono uno molto più grande dell'altro. Si usa dire anche che hanno ordini di grandezza diversi. Più precisamente nel caso di 434100 miliardi si dice che l'ordine di grandezza è delle centinaia di migliaia di miliardi, infatti il "4" sottolineato indica che l'ammontare è composto da 4 volte 100000 miliardi (e poi da 3 volte 10000 miliardi, 4 volte 1000 miliardi e 1 volta 100 miliardi).

  
[clicca per ingrandire]

 4 
    Qual è l'ordine di grandezza di 1 198 270 000 000?

Nota 1.  Per rendere più "leggibile" il numero 1198270000000 spesso, come abbiamo fatto nel quesito, si scrive 1 198 270 000 000, separando con degli spazi bianchi le cifre prese a tre a tre a partire dalla cifra delle unità. In questo modo ci è facile leggere il numero come 1 198 270 000 migliaia o come 1 198 270 milioni o come 1198 miliardi e rotti.
    A volte si usa anche la scrittura: 1˙198˙270˙000˙000.  Sono usate anche:

  1.198.270.000.000  (ma ciò si può fare solo se per separare parte intera e parte frazionaria di un numero si usa "," invece di "." :  1333 e 5 decimi  →  1.333,5);

  1,198,270,000,000  (ma ciò si può fare solo se per separare parte intera e parte frazionaria di un numero si usa "." invece di "," :  1333 e 5 decimi  →  1,333.5).

Nota 2.  A volte, considerando ad esempio il numero 857, non si dice che ha ordine di grandezza delle centinaia ma che ha ordine di grandezza del migliaio perché 857 è "vicino" a 1000. Analogamente del numero 9306 miliardi si può dire sia che ha ordine di grandezza delle migliaia di miliardi, sia che ha ordine di grandezza della decina di migliaia di miliardi (è vicino a 10000 miliardi).

 5 
    Come fai a calcolare con una calcolatrice tascabile (d'ora in avanti useremo spesso "CT" al posto di "calcolatrice tascabile" o "calcolatrici tascabili") i consumi totali mensili degli italiani nel 1945, cioè  1 198 270 000 000 : 12 ? (tieni conto che una CT in genere è in grado di visualizzare solo 8 o 10 cifre, non tutte le 13 cifre del 1° termine della divisione)

 6 
    Una persona ha sostenuto le seguenti spese (in euro): 28.50, 1.25, 160.30, 0.50, 4.65. Per calcolare il totale batte sulla sua CT:
      2850 125 16030 50 465
Ottiene 19520. Quant'è la spesa totale? Perché la persona ha proceduto in questo modo, invece di battere:
      28.50 1.25 160.30 0.50 4.65 ?

 7 
    Completa quanto segue:       
[clicca per ingrandire]

54300000 =  54.3  milioni

1.1 milioni =  1100000                   in cifre

1 100 000 000 =              miliardi

436.2 miliardi =                             in cifre

1250 =              migliaia

21.2 migliaia =                               in cifre

41 610 000 000 000 =              decine di migliaia di miliardi

 figura 1 

    Molte CT consentono di effettuare calcoli operando su (e ottenendo come risultati) numeri costituiti da più di 8 o 10 cifre.

    Provate a calcolare con la vostra CT:  730000·57000000.

    Molti di voi otterranno un risultato come quello che appare nelle CT di figura 1.

    La lettera e che compare sulla CT di sinistra (in quella a destra al suo posto c'è uno spazio bianco) sta per "esponente". Infatti questa scritta è una abbreviazione di:

      
4.161 · 1013  =  4.161 · 10 000 000 000 000  (13 zeri)

13 è l'esponente della potenza di 10 per cui deve essere moltiplicato il numero scritto a sinistra di e, cioè 1013 = 10·10·10·…·10 (13 volte 10) è l'"unità di misura" con cui viene rappresentato il numero.

    Anche chi usa la CT può usare scritte analoghe per battere numeri che altrimenti non starebbero sul visore. Infatti in queste CT è presente un tasto   (a volte indicato con EXP o con EE o IE, come in fig. 1).  Ad esempio per calcolare  37 miliardi : 128  si può battere:

37 9 128

 8 
    A fianco è descritto un modo in cui si può eseguire il calcolo del quesito 5. Completa la descrizione e riporta il risultato che ottieni con la tua CT.      119827   ...   12  

    Osservate il riquadro a fianco:


    Esso ricorda che cosa si intende per posto di una cifra.
     

    Ad esempio:  7 (cifra delle migliaia o di posto 3) indica quante volte deve essere preso 1000, cioè la potenza 103; 8 (cifra dei millesimi o di posto –3) indica quante volte deve essere preso 0.001, cioè la potenza 10–3.

    In altre parole una cifra ha posto n se è spostata di n posizioni (in avanti se n>0, indietro se n<0) rispetto a quella di posto 0, cioè rispetto alla cifra delle unità.
    Infatti in una potenza di 10 l'esponente indica la posizione in cui va scritta la cifra "1":

    102 per esteso diventa 100 (2 posizioni dopo il posto 0),
    10–2  diventa  0.01  (2  posizioni  prima  del  posto  0).

    Avanzare di 1 posto equivale a moltiplicare per 10, avanzare di 2 posti (cioè moltiplicare due volte per 10) equivale a moltiplicare per 100, …
    Analogamente retrocedere di 1 posto equivale a dividere per 10, retrocedere di 2 posti (cioè dividere due volte per 10) equivale a dividere per 100, …

    Quindi, come 10n (dove n può essere 1, 2, 3, 4, …, cioè un qualunque numero intero positivo) non è altro che il risultato della ripetizione della moltiplicazione per 10, così 10–n non è altro che il risultato della ripetizione della divisione per 10:
  

0.1=10–1=1/10=101
0.01=10–2=1/10/10=1/100=102
0.001=10–3=1/10/10/10=1/1000=103
10 – n  =  1 
——
10n

    Oltre a quanto visto per le potenze di 10, abbiamo che:

23 sta per 2·2·2                 74 sta per 7·7·7·7                 x2 sta per x·x

    Più in generale la scrittura an (n numero intero positivo) sta per a·a·a·…·a dove a compare n volte (a1 sta per a, a2 sta per a·a, a3 sta per a·a·a, …).

    Il risultato del calcolo di an viene chiamato potenza n-esima ("ennesima") di a. L'operazione con cui a partire da a e n si ottiene an viene detta elevamento di a alla potenza n-esima.  a e n vengono chiamati rispettivamente base ed esponente dell'elevamento.

 9 
    Completa, se possibile, quanto segue (prima osserva i due esempi):
 
25 = 5? faccio: 
·5·5
 5  25;
deduco che 25=52
 
186 = 6? faccio: 
·6·6·6
 6  36  216; 
deduco che non esiste n tale che 186=6n
 
16 = 4   10 = 5   81 = 9   5 = 5   16 = 2   81 = 3   27 = 9

 
    Se a è diverso da 0 si possono considerare anche le potenze di a con esponente non positivo. Ad esempio 2–3 sta per 1/2/2/2.

    Riassumendo:

an     con   n > 0  è   1  moltiplicato  ripetutamente n volte per a
an     con   n = 0  è   1
a–n   con   n < 0  è   1  diviso  ripetutamente n volte per a

    Generalizzando quanto visto per il numero 10, osserviamo che dividere ripetutamente n volte per un numero a equivale a dividere per an;  quindi:    (1.2)  
a – n  =  1 
——
an

 10 
   (A) Osserva:
0.111… = 3?   
/ 3/ 3
 0.333…  0.111…;
quindi:  0.111… = 1/3/3 = 3–2 = 1/32
  Completa:
0.125 = 2?
/ 2
  . . .
 
(B)  Poiché 8=23, 1/8 equivale a 1/2/2/2. Spiega come calcoleresti mentalmente 68/8 sfruttando questa idea.

       
 11 
    Utilizzando quanto suggerito dall'esempio a fianco completa i seguenti calcoli:

106 · 107 = …

10–3 · 109 = …

10–2 · 102 = …

 12 
    Utilizzando quanto suggerito dall'esempio a fianco completa:      

106 / 104 = …

106 · 10–4 = …

10 · 10–5 = …

102 · 10–2 = …

10–2 · 10–5 = …

 13 
    Un grano di polline ha lo spessore di circa 10–5 m (0.00001 m, cioè 0.01 mm, pari a un centesimo di millimetro).
    Il diametro della Terra è di circa 107 m (cioè 10000 km, infatti 10000 = 104,  1 km = 103 m e 104·103 = 104+3 = 107).
    Quanti grani di polline occorrerebbe sovrapporre per ottenere una pila spessa come la Terra, cioè quante volte 10–5 m sta in 107 m? (esprimi il risultato sia come potenza di dieci che a parole)

 14 
    Per rappresentare 1020 su una CT si può battere  1 20 (che sta per 1·1020). Per rappresentare 10–5 occorre invece battere  1 5 . Infatti per visualizzare –5 occorre battere 5 e poi cambiargli segno con l'apposito tasto.  Utilizzando la CT controlla i calcoli del quesito 12.

 
    Quanto visto nei quesiti 11 e 12 può essere riassunto nell'unica formula seguente (dove m e n rappresentano numeri interi qualunque, positivi o negativi o nulli):

10m · 10n = 10m + n

Infatti ad esempio  106 · 10–4 = 106–4  può essere riscritta come  106 · 10–4 = 106 + (–4).

    Anche 106/104 può essere trasformato in 106·10–4 e calcolato usando questa formula. Tuttavia può essere comodo ricorrere direttamente alla formula:

10m = 10 m – n
——
10n

    Ricordiamo che, più in generale, se a è un qualunque numero positivo o negativo e m e n sono numeri interi (positivi o negativi o nulli), valgono le formule:

(1.3)   am · an = am + n       (1.4)  
am = a m – n
——
an

 15 
    Se sostituisci a m il numero 0 e poi esegui i calcoli che si possono fare, come si trasforma la formula (1.4)?

 16 
    Il tasto   della CT a sinistra in figura 1 corrisponde al tasto   della CT a destra: entrambi trasformano il numero che appare sul visore nel suo reciproco. Con la CT trova il reciproco di 10, 4, 0.1, 0.2, 0.25, 5.  Poi spiega (servendoti di una delle formule viste) l'equivalenza tra le due espressioni (1/x e x-1) utilizzate per indicare i tasti delle due CT.

numero1040.10.20.255
 suo reciproco       


    La scrittura di un numero nella forma  h·10n (37·109, 43.5·1023,…) viene detta notazione esponenziale.

    Le CT esprimono i risultati che non stanno per esteso sul visore in una particolare forma esponenziale, detta notazione scientifica, di cui abbiamo già visto un esempio nella figura 1:  il numero 41 610 000 000 000, la cui prima cifra ha posto 13, viene rappresentato come 4.161·1013.  Altri esempi:

7412.5
 ha ordine di grandezza delle migliaia; la prima cifra ha posto 3;
la sua rappresentazione in notazione scientifica è: 
7.4125·103
0.000 001 305
 la prima cifra diversa da 0 ha posto -6;
la sua rappresentazione in notazione scientifica è: 
1.305·10–6

    In generale si tratta della notazione esponenziale h·10n che si ottiene prendendo come n il posto della prima cifra diversa da zero del numero.

    h (che negli esempi precedenti è 4.161, 7.4125, 1.305) ha sempre una sola cifra (diversa da 0) a sinistra del punto decimale.

    Invece di dire che 0.073 (= 7.3·10-2) ha ordine di grandezza dei centesimi, si può dire più in breve che ha ordine di grandezza –2. Cioè si può definire come ordine di grandezza di un numero l'esponente n della sua scrittura in notazione scientifica.

 17 
    Batti su una CT i seguenti numeri nella forma esponenziale indicata seguiti da . Otterrai le loro espressioni in notazione scientifica; trascrivile e completa quanto segue.
12378 milioni = 12378E6 = …ordine di grandezza = …
0.236 miliardesimi = 0.236E–9 = …ordine di grandezza = …


2. Rappresentazioni proporzionali, istogrammi

    Torniamo alla tabella (1.1). Il confronto diretto tra dati relativi ad anni diversi non è facile: non è possibile paragonare il valore di 1 lira nel 1945 con quello di 1 lira nel 1955 o nel 1985: il potere di acquisto è man mano diminuito; in altre parole è man mano aumentato il denaro necessario per comprare una stessa quantità di beni. Anche il potere di acquisto di 1 € ora è minore di quello che aveva nel 2002, quando è entrato in vigore.

    Del resto è evidente che, ad esempio, il consumo di sigarette, sigari, tabacco da pipa, … dal 1926 al 1985 non può essere cresciuto come è cresciuta la spesa in tabacco. Questa è passata da 3 miliardi a 9 mila miliardi, cioè si è moltiplicata per 3000, mentre la popolazione nel frattempo non è neanche raddoppiata (è passata da circa 40 milioni a circa 60 milioni): sicuramente un fumatore degli anni '80 non fumava migliaia di volte quanto fumava un fumatore degli anni '20!

    Visto che non ha senso confrontare direttamente le differenze di una singola voce di consumo da un anno all'altro, possiamo studiare come è cambiato il modo di spendere i soldi esaminando come sono mutati i rapporti tra una voce di spesa e l'altra.

    Alcuni cambiamenti balzano all'occhio osservando la tabella. Ad esempio nel 1945 si spendeva circa la stessa cifra in tabacco e in trasporti, nel 1985 si spendeva molto più in trasporti.  Altri confronti sono meno evidenti. Vedremo ora dei metodi di rappresentazione dei dati che ci faciliteranno questo studio.

    L'istogramma in figura 2 rappresenta graficamente i consumi alimentari e non alimentari nel 2010. Abbiamo deciso di rappresentare 100 miliardi di euro con l'altezza di 2 quadretti. Di conseguenza i consumi alimentari (144291·106 €) sono stati rappresentati con quasi 3 quadretti e quelli non alimentari (806211·106 €) con poco più di 8 quadretti.

    Il confronto tra le altezze dei due rettangoli ci dà subito un'idea visiva del rapporto tra i due consumi. Infatti il rapporto tra le altezze dei rettangoli è uguale al rapporto tra i dati che esse rappresentano.

    figura 2

    Per comprendere meglio questo fatto facciamo riferimento alla figura 3, in cui sono raffigurate due diverse piantine su carta millimetrata della cucina di un appartamento. Le basi dei vari mobili sono state raffigurate tracciando lati con lunghezza pari alla lunghezza reale degli spigoli moltiplicata per la scala, cioè per il fattore di riduzione  (vengono moltiplicate per 1/100, cioè divise per 100, in un caso, vengono moltiplicate per 1/200, cioè divise per 200, nell'altro).

    Poiché tutte le distanze vengono moltiplicate per lo stesso fattore, i mobili non vengono rappresentati sproporzionatamente: sia in una piantina che nell'altra le basi dei mobili mantengono la forma che hanno nella realtà.

 figura 3 

(clicca per
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 18 
    Sotto è raffigurata in dimensioni reali (disegno A, con tratteggio fitto) la chiave di un piccolo armadietto. B e C sono due sue riproduzioni in scala: un ingrandimento e un rimpicciolimento.
(1)  Qual è la scala di B, cioè per quale numero sono state moltiplicate le dimensioni reali per ottenere B?
(2)  Qual è la scala di C?               (3)  Disegna una riproduzione di A in scala 4.
(4)  Il disegno D ti sembra una riproduzione proporzionata di A? Perché? Con quali misure e calcoli puoi confermare questa tua impressione?

 figura 4 

    La chiave riprodotta in D appare più tozza rispetto a quella raffigurata in A: per essere proporzionata come A dovrebbe essere più lunga. Per tradurre questa impressione in termini quantitativi possiamo calcolare il rapporto tra lunghezza della chiave e altezza dell'impugnatura: nel caso A (vedi figura seguente) è 2.5, cioè la lunghezza è 2 volte e 1/2 l'altezza; nel caso D è 2, cioè la lunghezza è 2 volte l'altezza.  Invece nel caso B abbiamo, come in A, il rapporto 2.5.

    Invece di calcolare 10/4 e trovare che il risultato è 2.5 come nel caso di 5/2, potevamo osservare direttamente che il rapporto 10/4 è uguale al rapporto 5/2. Infatti:

10  =  5 · 2  =  5 · 2  =  5
————————
42 · 22 · 22

La scrittura 2 sta a indicare che 5·2 può essere "semplificato" e trasformato in 5
————
22·22

    Procediamo analogamente quando per fare 600/40 ci riconduciamo al calcolo di 30/2:

600  =  60 · 10  =  60 · 10  =  60  =  30 · 2  =  30 · 2  =  30
————————————
404 · 104 · 1042 · 22 · 22

    In pratica utilizziamo il fatto che:

se i termini di una divisione vengono entrambi moltiplicati – o entrambi divisi – per uno stesso numero (diverso da 0) il risultato non cambia.

    Questa è la traduzione numerica di quanto abbiamo osservato a proposito delle riproduzioni in scala:

se le dimensioni di un oggetto (i due lati del tavolo o la lunghezza e l'altezza della chiave o …) vengono moltiplicate per la stessa scala, il rapporto tra tali dimensioni non viene modificato.

    Più in generale ogni volta che si moltiplica un insieme di dati per un fattore fissato si ottiene una rappresentazione proporzionale dei dati di partenza, cioè tale che il rapporto tra una coppia qualunque dei nuovi valori è uguale al rapporto tra la coppia dei valori originali. Per questo motivo una relazione del tipo:

(2.1)(grandezza2) = (grandezza1) · k

dove k è un numero (diverso da 0) fissato, viene detta relazione di proporzionalità.

    Il numero k viene detto fattore di proporzionalità.  Nel caso particolare delle scale, se k>1 si parla di fattore (o scala) di ingrandimento, se 0<k<1 di fattore di riduzione.
 

 19 
    Completa le seguente tabella, relativa a quattro diverse rappresentazioni proporzionali [figure: 3, 4, 2]

grandezza1grandezza2k
 
fig.3 a sinistra
distanza realedistanza nella pianta 
distanza realedistanza nella pianta 
distanza in A 2
valore monetario (in miliardi di €) 1/50
fig.3 a destra
figura 4
figura 2

    Anche nel caso della tabella (1.1) abbiamo una rappresentazione proporzionale: i dati reali sono stati rappresentati in milioni o in miliardi, cioè sono stati divisi per 1 milione o per 1 miliardo, ossia moltiplicati per 1/106 (= 10−6) o per 1/109 (= 10−9).

    Anche le relazioni inverse sono relazioni di proporzionalità.    Ad esempio, riferendosi alla figura 4,

oltre a:    distanza in B = (distanza in A) · 2
anche:distanza in B = (distanza in A) · 
1
2
    è del tipo (2.1)

passando da A a B un tratto lungo 4 viene trasformato in un tratto lungo 4·2; passando da B a A un tratto lungo 5 viene trasformato in un tratto lungo 5·(1/2)

        Generalizzando:

                               

 20 
    Se sulla CT batti  8   che cosa ottieni?  …   Descrivi questo fatto completando la frase:
 
Il reciproco del ................................... di 8 è 8.


3. Rappresentazioni percentuali, approssimazioni

    A fianco è tracciato l'istogramma relativo al 1985 della tabella (1.1). Esso consente di valutare facilmente la dimensione di un tipo di consumo rispetto all'altro, ma non fornisce immediatamente un'idea di quanta parte del consumo totale sia ciascuno di essi.

    Per una informazione di questo tipo è conveniente rappresentare i due rettangoli consecutivamente, con un diagramma a striscia come il seguente:
  
figura 5  

 21 
    Qual è il fattore di proporzionalità che moltiplicato per la lunghezza (in quadrettini) di un rettangolo dà il corrispondente valore reale?
 
fattore di proporzionalità (diagramma → realtà) ............................
 
e il fattore inverso, che moltiplicato per ciascun dato dà la lunghezza (in quadrettini) del rettangolo corrispondente?
 
fattore di proporzionalità (realtà → diagramma)  
 
1
———————
............................

    Se vogliamo confrontare i consumi relativi ad anni diversi ci conviene utilizzare diagrammi a striscia della stessa lunghezza. Una scelta possibile è la seguente:

 figura 6  

    Si può ad esempio osservare che l'incidenza dei consumi non alimentari nell'arco di 60 anni (cioè in due generazioni, dai nonni ai loro nipoti) è raddoppiata.

    Le rappresentazioni sono state ottenute rappresentando il totale dei consumi con 100 quadrettini. Perché questa scelta?

    Perché è comoda. Infatti da una parte, come vedremo fra poco, la scelta del numero 100 facilita i calcoli. Dall'altra i dati sono rappresentati da numeri (di quadrettini) compresi tra 0 e 100, facili da ricordare e, per l'abitudine che abbiamo ad usare sistemi di misura decimali (ad esprimere mezzo metro come 50 cm, un quarto di etto come 25 grammi, un terzo di litro come 33 cl, …), facili da confrontare tra loro e con il totale (100).

    Possiamo addirittura fare a meno del diagramma: una volta che sappiamo che nel 1985 i consumi alimentari erano 27 centesimi del totale, riusciamo a immaginarci una striscia lunga 100 e una sua parte lunga 27, cioè pari a poco più di 1/4 di striscia.

    Se invece del modello grafico si usa solo la rappresentazione delle parti sotto forma di centesimi del totale, si parla di rappresentazione in parti percentuali (o semplicemente percentuali).  Questa espressione deriva dal fatto che al posto dell'espressione «27 centesimi» (27/100) si usa spesso l'espressione «27 per cento», scritta in genere così: 27%.

 22 
    Con diagrammi come quelli di fig. 6, si perdono delle informazioni sulla situazione rappresentata rispetto a diagrammi come quello di fig. 5; quali?  In compenso quali informazioni in più si ottengono?

    Il disegno seguente richiama e mette in relazione diversi modi di esprimere i rapporti.

 23 
    Come suggerisce il disegno precedente, per rappresentare il rapporto tra 2 e 5 su una striscia graduata puoi procedere in due modi:
 
(1)dividere la striscia in quinti, cioè in 5 parti uguali, e prenderne 2;    oppure:
 
(2)  calcolare 2/5, esprimere il risultato in centesimi e considerare una quantità di segmentini pari al numero di centesimi così trovato
 
Procedi in entrambi i modi sulle due strisce riportate qui sotto.

    Come sono state calcolate le percentuali riportate in fig. 6?

    Ricordiamo  ( La matematica e i suoi modelli, scheda 2) che il legame tra due grandezze proporzionali è rappresentato graficamente da una retta passante per il punto (0,0): un punto che si muova sulla retta conserva inalterato il rapporto tra coordinata verticale e coordinata orizzontale.

    Da ciò segue la possibilità di calcolare le percentuali con un metodo grafico.
     

    Vediamo in dettaglio il procedimento da impiegare e, a destra, la sua esemplificazione riferita a figura 7: come si è trovata la percentuale dei consumi alimentari nel 1985, cioè il rapporto tra il dato 116 e il totale 434.

–   scegliamo opportune "scale" in modo da rappresentare facilmente sull'asse orizzontale i dati e sull'asse verticale le relative percentuali;  –  per ottenere numerazioni degli assi facilmente leggibili con un quadretto grande abbiamo rappresentato in orizzontale 50 e in verticale 10;
–  tracciamo la retta che congiunge (0,0) e (totale,100); – abbiamo unito (0,0) e (434,100);
–  per ogni dato individuiamo il punto di questa retta che ha come ascissa dato; – abbiamo proceduto verticalmente partendo dalla posizione sull'asse orizzontale che rappresenta 116, fino a intercettare il grafico;
–  l'ordinata di questo punto è la percentuale cercata. – abbiamo proseguito orizzontalmente incontrando l'asse verticale nella posizione che corrisponde circa alla tacca 27 (è la tacca più vicina).




 figura 7  

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    Procedi analogamente per trovare la percentuale costituita dai consumi riportati sotto la voce "altro" (168.7… migliaia di miliardi).   ........%


    Come possiamo procedere con un metodo numerico?  In due modi:

– esprimere in forma percentuale il rapporto tra il dato e il totale:
(3.1)   
 percentualedato · 100
———
totale
oppure
– moltiplicare il dato per il fattore di proporzionalità (rapporto tra nuovi valori e valori originali):
(3.2)   
 percentuale = dato · 100
———
totale

    E` evidente che (3.1) e (3.2) sono equivalenti: moltiplicando per 100 prima della divisione per totale o dopo di essa si ottiene comunque lo stesso numero.

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    Utilizzando (3.1) o (3.2) calcola la percentuale delle spese per alimentari (116148 miliardi) rispetto al totale dei consumi (434100 miliardi) nell'85 e riportala così come è visualizzata dalla CT.  Scrivi anche quali valori hai sostituito alle variabili presenti nella formula.
 dato..... totale..... percentuale visualizzata dalla CT: .....

    Si può procedere analogamente per trovare la percentuale rappresentata dai consumi non alimentari.  Si ha dunque:

percentuale costituita dai consumi alimentari:26.756047
percentuale costituita dai consumi non alimentari:   73.243953

    Se ci interessa rappresentare i dati su diagrammi a striscia come quelli di fig. 6 dobbiamo trovare la lunghezza in quadrettini delle varie parti in cui suddividere la striscia. Nel caso di 26.756047 dobbiamo decidere se prendere 26 o 27 quadrettini, cioè se approssimare la percentuale con il numero intero 26 oppure con il numero intero 27.

    Possiamo scegliere tra una approssimazione:

–  per troncamento, cioè togliere tutte le cifre successive al posto degli interi (ossia tutte le cifre dopo il punto decimale), ottenendo 26,  o:

–  al numero più vicino,  cioè prendere l'intero più vicino a 26.756…, ottenendo 27; questo secondo procedimento viene di solito chiamato arrotondamento.

    Se (come abbiamo fatto usando il metodo grafico) tra le tacche di separazione tra un quadrettino e il successivo vogliamo prendere quella più vicina al punto che rappresenterebbe esattamente il dato dobbiamo procedere per arrotondamento, e quindi prendere 27. Procediamo analogamente per 73.243…; otteniamo 73, ma in questo caso avremmo ottenuto lo stesso valore se avessimo proceduto per troncamento.       

Nota. Molti impiegano la parola arrotondamento per indicare una qualunque approssimazione con un numero inferiore di cifre; noi nel seguito useremo in genere la parola "arrotondamento" nel significato di "approssimazione al numero più vicino".

 26 
    In quali casi troncando e arrotondando alle unità si ottiene lo stesso numero intero? Completa la tabella seguente. Quindi evidenzia sul disegno sottostante l'intervallo dei numeri che vengono arrotondati a 73 ed evidenzia diversamente quello dei numeri che vengono troncati. L'intersezione tra i due intervalli è l'intervallo dei numeri cercati.


numero  arrotondamento  troncamento
72.03    
72.41    
72.53    
72.64    
72.72    
72.91    
73.09    
73.41    
73.56    

    Una regola per eseguire gli arrotondamenti alle unità è dunque la seguente:

–  se la cifra di posto inferiore a quello delle unità (cioè se la cifra dei decimi) è
                0, 1, 2 ,3 o 4    si prende il numero troncato alle unità,
–  se è5, 6, 7, 8 o 9si prende il numero troncato alle unità e aumentato di uno

 27 
    Completa la colonna centrale della seguente tabella usando una tra le formule (3.1) e (3.2) e arrotondando le percentuali agli interi. Completa la colonna destra senza usare la formula; come hai proceduto?  
 anno    % alim.   % non alim.
1926    
1945    
1965    
1985    
2010    

 28 
    Sapreste spiegare perché nel 1945 i consumi alimentari rappresentavano una parte così rilevante del totale?

    Analogamente a come abbiamo fatto per i consumi alimentari e non, possiamo rappresentare mediante istogramma le varie voci di consumo presenti nella tabella (1.1).
    Ecco a fianco la rappresentazione relativa al 1985.
 

 29 
    Individua quale, tra i seguenti istogrammi, rappresenta i consumi nel 1965. Non essendo stati riportati i valori numerici devi trovare la soluzione procedendo per esclusione.
    Motiva la tua risposta  (l'istogramma … non va bene perché … ; l'istogramma … non va bene perché … ; …).

    Nella figura 8 sottostante sono rappresentati mediante istogrammi i vari tipi di consumi negli anni 1926, 1945, 1965, 1985 e 2010. E` indicata anche l'incidenza percentuale di ciascuna voce di consumo. Controlliamo le percentuali relative al 1926.

figura 8 
 

    Per fare il calcolo con la CT possiamo usare una tra le due formule (3.1) e (3.2):
   totale è 124205,
–   dato assume man mano i valori:  77749, 3226, 17659, 6849, 3420, 15302.
    Per evitare di battere 6 volte il valore di totale  (il che, oltre a portar via tempo, fa aumentare la probabilità di premere dei tasti sbagliati e scrivere un numero diverso da 124205) possiamo impiegare la memoria della CT.

    Qui ci riferiremo a CT simili a quelle della figura 1. In fondo alla scheda abbiamo riportato i tasti per l'uso della memoria di cui dispongono le più diffuse CT. Rinviamo alle indicazioni ivi contenute chi disponga di una CT di tipo differente.

    Usando (3.1) posso ricopiare totale nella memoria M della CT (M totale) battendo:

124205 con la CT di sinistrao 124205 con la CT di destra

(nel caso della CT di sinistra, se in M è già registrato un dato, occorre prima pulire la memoria con )

e poi battere:

77749 100
3226 100
17659 100
oppure 77749 100
3226 100
17659 100

    Per evitare di battere   100   posso limitarmi a calcolare con la CT i rapporti dato/totale, cioč battere solo:  77749 , 3226 , … (o:  77749 , …) e mentalmente trasformare il risultato in forma percentuale (e arrotondarlo a valori percentuali interi).

 30 
 
sul visoreforma percent.arrotond.
77749 / M0.6259731962.59…%63%
3226 / M0.0259731892.59…%3%
17659 / M0.1421762414.21…%14%
6849 / M0.055142708  
3420 / M   
15302 / M   
      Completa la tabella a fianco usando la CT per calcolare i rapporti e il calcolo mentale per le ultime due colonne.
   Controlla se hai ottenuto le stesse percentuali riportate nella figura 8.
 

 31 
    Usando la formula (3.2) si può procedere diversamente. Si può mettere in M il risultato di 100/totale (cioè il fattore di proporzionalità) e ogni volta calcolare dato·M. Descrivete la sequenza di tasti che dovete premere per effettuare questo calcolo e, su qualche dato, verificate la correttezza dei risultati che si ottengono in questo modo.

 32 
    Dal confronto degli istogrammi di figura 8 è possibile notare come sia cambiata, dal 1926 al 1985, l'incidenza di ciascuna voce sul totale. Individuate per quali voci tale incidenza è aumentata, per quali è diminuita, per quali questi cambiamenti sono stati maggiori, …. Quali osservazioni potete fare, di conseguenza, sui cambiamenti nelle condizioni di vita? Quali consumi pensate siano compresi sotto la voce "altro"?

    Abbiamo visto come utilizzare una CT per realizzare elaborazioni statistiche: l'utente, individuato il procedimento da impiegare, fa eseguire i singoli calcoli alla macchina. Con un computer si possono realizzare le stesse elaborazioni limitandosi a introdurre i dati, senza specificare man mano le operazioni aritmetiche da eseguire: basta che il procedimento di calcolo sia stato "memorizzato" sotto forma di programma.

    Vediamo ad esempio l'uso del programma R per studiare come nel 1926 i consumi degli italiani si ripartivano nelle varie voci (vedi tabella seguente).

    voci di spesa 
alimentari tabacco vestiario abitazione trasporti altro
77749 3226 17659 6849 3420 15302
    milioni di lire 
    Basta che l'utente batta: 
 dati <- c(116148,9306,35756,45238,58919,168733); barplot(dati)
per ottenere il "diagramma a barre" sotto a sinistra della collezione di dati racchiusi in c(…).  La assegnazione dei valori avviene mediante "<-".  Volendo posso specificare i nomi da mettere sotto alle colonne e tracciare una griglia, ottenendo il diagramma al centro:

 etichette <- c("al","tb","v","ab","tr","a")
 barplot(dati, names.arg=etichette, ylim=c(0,200e3))
 abline(h = c(0,50e3,100e3,150e3,200e3), col="red", lty=3)
 # abline(h = axTicks(2), col="red", lty=3)

    Il comando ylim specifica l'intervallo "verticale", da 0 a 200 mila.  Il comando abline traccia delle linee rette orizzontali corrispondenti alle quote indicate (h = …); le traccia in rosso e tratteggiate (lty=3); axTicks(2) sceglie automaticamente le quote delle tacche.  Volendo il diagramma con le frequenze percentuali posso fare:

 datiperc <- dati/sum(dati)*100
 barplot(datiperc, names.arg=etichette, ylim=c(0,40))
 abline(h=axTicks(2),col="red",lty=3)

ottenendo il diagramma a destra. Se voglio i valori della somma e della distribuzione percentuale batto:

 sum(dati); datiperc
  434100
  26.756047 2.143746 8.236812 10.421101 13.572679 38.869615

    Il comando sum calcola la comma dei dati collezionati, dati/… esegue il calcolo indicato su tutti i valori collezionati in dati.

[clicca qui se vuoi installare e usare R (altrimenti clicca qui)]

 33 
    Prova a usare R per calcolare le percentuali e fare gli istogrammi relativi alla tabella (1.1) e confronta con figura 8 quanto ottieni.

 34 
    Nel 1989 in Italia un abitante ha consumato mediamente 26.3 kg di carne bovina, 26.5 kg di carne suina, 30.3 kg di carne di altro tipo (pollo, agnello, pesce,…); nel 1969 gli stessi consumi sono stati, rispettivamente, di 23.5, 9.3 e 17.5 kg.  Per entrambi gli anni, calcola (aiutandoti con la CT) la distribuzione percentuale del consumo di carne e (utilizzando un foglio di carta millimetrata) tracciane l'istogramma. Rifai le stesse elaborazioni statistiche usando il programma R e confronta quanto hai ottenuto nei due modi.

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    Calcola la somma delle percentuali riportate nell'ultima colonna della tabella del quesito 30. Fa 100%? Trovate una spiegazione per questa "stranezza" del risultato e scrivetela in forma.

CONTINUA