Le statistiche
Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati

Scheda 2
I record

0. Introduzione
1. Il salto in alto - I grafici
2. Record maschili e femminili - I numeri indici e le variazioni percentuali
3. Le tecniche e le attrezzature
4. Ancora sui grafici - Le funzioni - Uso di Poligon
5. Esercizi
Sintesi

 

0. Introduzione

    Nella scheda 1 abbiamo considerato alcuni modelli matematici usati nelle statistiche.
    Abbiamo visto come con rappresentazioni grafiche e numeriche si possa facilitare il confronto tra dati diversi, tra le parti che compongono un totale, tra una parte e il totale, … , ma anche come, in cambio, si possano perdere altre informazioni.

    Consideriamo ad esempio l'incidenza della carne bovina sul totale della carne consumata pro-capite. Impiegando rappresentazioni percentuali possiamo dire che in 60 anni (dal 1926 al 1985) è passata dal 47% al 32%. A prima vista si potrebbe concludere che è diminuito il consumo di carne bovina, ma ciò non è vero: si è passati dal consumo pro-capite di 10.1 kg all'anno a quello di 25.1 kg all'anno (cioè, dividendo per 365, da 28 a 70 grammi al giorno).
    Infatti se la parte percentuale diminuisce ma, nel frattempo, aumenta il totale, il dato  può comunque aumentare.   [ voce "rapporto" de Gli oggetti matematici]

    Abbiamo anche visto che dalla conoscenza del totale e della parte percentuale non si può ritrovare il valore esatto del dato. Infatti le percentuali vengono arrotondate con valori approssimati.   [ voce "approssimazioni" de Gli oggetti matematici]

    Per le statistiche valgono le osservazioni che abbiamo fatto più in generale per i modelli matematici: l'uso della matematica per analizzare un problema non basta per garantire l'esattezza dell'analisi poiché nel rappresentare una situazione con un modello matematico si scelgono solo alcuni aspetti tralasciandone altri, e anche gli aspetti presi in considerazione sono spesso rappresentati approssimativamente.   [ voce "modello" de Gli oggetti matematici]

    Abbiamo fatto queste osservazioni anche a proposito dei valori medi. Ad esempio il voto medio di matematica alla fine dell'anno in una classe può essere 6 e 1/2, ma è ben diversa la situazione in cui quasi tutti gli alunni abbiano 6 o 7 da quella in cui vi siano anche molti 4, 5 e 8.

    In questa scheda discuteremo altri strumenti matematici impiegati nelle statistiche. Come argomento per le nostre esemplificazioni prenderemo i record sportivi.


1. Il salto in alto - I grafici

    In figura 1 sono rappresentati graficamente i record di salto in alto maschile e gli anni in cui essi sono stati stabiliti. Abbiamo considerato solo il periodo compreso tra le Olimpiadi di Stoccolma (1912) e quelle di Seoul (1988).

    I punti che rappresentano i vari record non si distinguono molto bene. Per ottenere una rappresentazione più leggibile possiamo far passare l'asse orizzontale invece che per il punto dell'asse verticale che rappresenta 0 cm per quello che rappresenta una quota maggiore, ad esempio 198 cm (il primo record registrato è di 200 cm). Possiamo così dilatare il grafico verticalmente e ottenere la figura 2.

 1 
    Nel 1934 è stato stabilito un record? Se sì, quale? E nel 1960?
      1934     1960

 2 
    Qual era il record in vigore nel 1920?

 3 
    Segna in figura 2 in corrispondenza degli anni 1917, 1919 e 1922 i punti che rappresentano i record in vigore in tali anni.

 figura 1  
 figura 2  
 

    Nelle figure 3 e 4 sono riportati due possibili "completamenti" del grafico di figura 2.

 4 
    Quale dei due grafici rappresenta per ogni anno qual era il record in vigore? ..............

 figura 3  
 figura 4  
 

    La rappresentazione in figura 4 evidenzia meglio l'evoluzione dei risultati della specialità del salto in alto, ma i segmenti con cui sono stati congiunti i punti che rappresentano i record man mano stabiliti sono fittizi.
    La rappresentazione di figura 3 evidenzia meglio la durata dei vari record e permette di trovare per ogni anno il record in vigore. La durata dei record non è comunque rappresentata del tutto fedelmente: abbiamo considerato gli anni in cui i record sono stati stabiliti, non le date esatte.

    Le rappresentazioni nelle figure 1-4 vengono tutte chiamate grafici. A volte la parola "grafico" viene usata come sinonimo di "diagramma", cioè di "rappresentazione grafica". Più spesso viene usata per indicare un particolare tipo di diagramma impiegato per rappresentare la relazione che intercorre tra i valori numerici di due grandezze. Abbiamo già rappresentato, per es., la relazione tra percorrenza e tariffa ferroviaria, tra tempo trascorso e posizione del treno lungo la linea ferroviaria  [ LMSM-2], tra dato assoluto e percentuale  [ LS-1] e, ora, tra anno di conseguimento e valore del record:

  le grandezze sono state rappresentate su due assi di riferimento, cioè due rette non parallele (in genere perpendicolari) ai cui punti sono stati associati i valori delle grandezze mediante una opportuna scala numerica;  nel caso dei record:
–  si è fissato un punto a cui è stato associato un dato valore (ad es.un punto a cui è stato associato 1910),
–  si è fissato un segmento a cui è stato associato un altro valore  (ad es. al segmento tra due tacche è stato associato 1 anno)
–  e, fissato un verso ( punta della freccia), con questa "unità di misura" si sono rappresentati gli altri valori;
 
  e ogni coppia di dati uno in relazione con l'altro è stata rappresentata con un punto:
–  se dato1 è il valore di una grandezza e dato2 è il corrispondente valore dell'altra grandezza, a partire dal punto che su un asse rappresenta dato1 si traccia una retta parallela all'altro asse; lo stesso si fa per dato2;
–  l'intersezione delle due rette è il punto che rappresenta il fatto che dato1 è in relazione con dato2;
–  i valori dato1 e dato2 vengono detti coordinate del punto;  il punto viene designato anche con (dato1,dato2); dato1 e dato2 vengono detti, rispettivamente, ascissa e ordinata del punto.

           In alcuni casi si ottengono grafici che "coprono" interamente  l'intervallo numerico rappresentato sull'asse orizzontale, come nella figura a fianco (le ascisse sono le distanze d su una cartina in scala 1:5000, le ordinate sono le corrispondenti distanze D nella realtà).
    Nei casi in cui si ottengono punti isolati, come ad esempio nel caso di figura 2, per facilitare la lettura del grafico, invece dei soli punti si possono tracciare dei segmenti verticali (si ottiene così un nuovo tipo di istogramma) o dei segmenti che congiungono un punto all'altro (come in figura 4).     
          Ma i punti dei segmenti così tracciati non rappresentano un'effettiva associazione tra le due grandezze considerate. Ad esempio nel caso di figura 4 il punto di ascissa 1918 (la cui ordinata è circa 202) non indica che nel 1918 è stato stabilito il record di 202 cm.
    Invece i punti del grafico di figura 3 rappresentano tutti una relazione tra le grandezze "anno" e "record in vigore". Ad esempio il punto (1918,201) indica che nel 1918 era in vigore il record di 201 cm. Più in generale questo grafico rappresenta le coppie (A,R) così descrivibili: «nell'anno A era in vigore il record R».

    I grafici delle figure 1 e 2 sono costituiti entrambi dai punti (A,R) così descrivibili: «il record R è stato stabilito nell'anno A». Essi differiscono solo per la scala numerica che è stata fissata sull'asse verticale: in una al punto in comune con l'asse orizzontale è stato assegnato il valore 0 e alla distanza tra due tacche è stato associato il valore 5 (cm), nell'altra allo stesso punto è stato assegnato il valore 198 e alla distanza tra due tacche si è associato il valore 1.
    La scelta di scale opportune è assai importante al fine di rendere più leggibile un grafico o più evidente il fenomeno che con esso si vuol rappresentare. Bisogna comunque osservare che, se non si tiene conto della scala scelta, si può essere indotti a valutazioni errate. Ad esempio il grafico di figura 2 rispetto a quello di figura 1 può far sopravvalutare i miglioramenti che si sono verificati nel salto in alto.

 5 
    Sotto sono raffigurati diversi grafici della tabella a fianco (la disoccupazione in Italia in alcuni anni).
(1) Quali grafici pensi sarebbe stato più facile trovare in un giornale finanziato da gruppi economici vicini ai partiti che in quegli anni erano al governo? (2) Quali pensi sarebbe stato più facile trovare in un volantino sindacale?
   
annodisoccupati (in migliaia)
1978212
1979226
1980212
1981217
1982283
 

 6 
    Torniamo al salto in alto. Di quanti centimetri è migliorato il record dal '12 all'88?

 7 
    Dal 1960 al 1963 il record ha avuto un aumento di ...... cm.  Dal 1963 al 1978 ha avuto un aumento di ...... cm.  Possiamo dire che nei due periodi l'evoluzione della specialità è stata egualmente rapida? (motiva la tua risposta facendo riferimento al grafico di fig. 3 o a quello di fig. 4)

 8 
    Completa la tabella seguente:   
 intervallo di anni durata (anni)aumento del
record (cm)
aumento medio
(cm/anno)
1960-1963   
1963-1978   

     

    Nel periodo 1960-1963 il grafico è più ripido che nel periodo 1963-1978.
    In altre parole la sua pendenza media (rapporto tra avanzamento verticale e avanzamento orizzontale) è maggiore.
    Senza andare a misurare con il righello i due avanzamenti possiamo esprimere numericamente la pendenza mediante l'aumento medio annuo, cioè il rapporto tra aumento del record (variazione dei valori rappresentati sull'asse verticale) e numero degli anni trascorsi (variazione dei valori rappresentati sull'asse orizzontale).
    Abbiamo visto che nel primo periodo l'aumento è di 2 cm all'anno e che nel secondo è di 0.4 cm all'anno.

    Possiamo pure dire che nel primo periodo il record è cresciuto più velocemente.


2. Record maschili e femminili - I numeri indici e le variazioni percentuali

    Per approfondire l'analisi dell'evoluzione del salto in alto consideriamo anche i record femminili. La figura 5 presenta sullo stesso sistema di riferimento il grafico dei record maschili e quello dei record femminili. Per ogni anno è stato considerato solo il massimo record stabilito; ad es. sul grafico "maschile" è stato preso solo il punto (1960,222), non i punti (1960,217) e (1960,218).  Il grafico dei record femminili non parte dal 1912; infatti in quella data lo sport femminile non esisteva ufficialmente.

 figura 5  

 9 
    (a) In quali periodi i record femminili sono evoluti più velocemente?  (b) Sono i periodi in cui sono evoluti più velocemente anche i record maschili?  (c) Come hai stabilito ciò?

 10 
    L'andamento simile dei due grafici fa supporre che vi siano dei fattori comuni che hanno condizionato, in positivo o in negativo, l'evoluzione della specialità. Sicuramente la stasi negli anni 40 è dovuta alla seconda guerra mondiale (le Olimpiadi del 1940 e del 1944 non sono state disputate). Quali possono essere state le cause dell'impennata nella seconda metà degli anni 50 e della ripresa dopo il 1970?

    Vogliamo costruire un modello che ci consenta di confrontare meglio l'andamento (a partire dal 1932) dei record maschili e dei record femminili, tenendo conto che la differenza tra le quote raggiunte dagli uomini e quelle raggiunte dalle donne dipende anche dalla diversa costituzione fisica, e in particolare dalla diversità di altezza.
    Un'idea può essere quella illustrata in figura 6: dilatare o contrarre verticalmente i due grafici fino a far coincidere il punto di partenza. Nella figura i grafici sono stati entrambi contratti verticalmente (di più quello dei maschi, meno quello delle femmine) in modo da farli partire dal medesimo punto H.

 figura 6  
 

    Come possiamo realizzare questa trasformazione? Possiamo procedere in modo simile a come abbiamo operato nella Scheda 1 per confrontare come cambiavano i consumi in epoche diverse:

  là non potevamo confrontare direttamente i dati relativi a anni diversi poiché era cambiato il valore della lira; quindi per ogni anno trasformavamo in 100 (o in 360) il totale dei consumi e modificavamo proporzionalmente i dati relativi alle singole voci; in questo modo potevamo valutare come cambiava l'incidenza di una voce indipendentemente dai cambiamenti di valore della lira;

  qui non possiamo confrontare direttamente l'evoluzione dei record dei due sessi poiché i due grafici partono da valori diversi (165 e 203 cm nel 1932); allora possiamo porre uguale a 100 il record maschile del 1932 e modificare in proporzione quelli degli altri anni, fare lo stesso per i record femminili e rappresentare graficamente i dati così trasformati.

    In pratica, mentre prima esprimevamo in forma percentuale il rapporto tra ogni dato e il totale, cioè calcolavamo:   
dato · 100
———
totale
ovvero moltiplicavamo ogni dato per il fattore di proporzionalità "totale 100":
 
dato · 100
———
totale
 
ora calcoleremo:     
record · 100
——————
record iniziale
     ovvero:     
record · 100
——————
record iniziale

    Quindi per trovare come rappresentare, ad es., il record femminile di 209 cm si può calcolare il rapporto tra 209 e il record iniziale (165) ed esprimerlo in centesimi:

209/165 = 1.2666… = 126.666…%

Quindi 209 è il 126.666… per cento di 165, cioè, posto 165 uguale a 100, 209 diventa 126.666….

    Se si devono trasformare più dati conviene il 2° metodo: calcolare una volta per tutte il fattore di proporzionalità k (=100/165), memorizzarlo e man mano calcolare record·k.

    Per facilitare la rappresentazione consideriamo solo un anno ogni 4. Più precisamente consideriamo gli anni 1932, 1936, 1940, …, 1984, 1988 (cioè gli anni in cui si sono svolte o si sarebbero dovute svolgere le Olimpiadi) e i record che in quegli anni erano in vigore.

 11 
    Usando opportunamente la CT completa la seguente tabella.

valori realivalori nel modelloarrotondam. ai decimi 
anno M F M F M F
1932 203 165 100 100 100.0 100.0
1936 207 165 101.970… 102.0
1940 209 166 102.955… 100.606… 103.0 100.6
1944 211 171 103.940… 103.636… 103.9 103.6
1948 211 171 103.940… 103.636… 103.9 103.6
1952 211 172 103.940… 104.242… 103.9 104.2
1956 215 176 105.911… 106.666… 105.9 106.7
1960 222 186  109.359…  112.727… 109.4 112.7
1964 228 191 112.315… 115.757… 112.3 115.8
1968 228 191 112.315… 115.757… 112.3 115.8
1972 229 194 112.807… 117.575… 112.8 117.6
1976 232 196 118.787… 114.3 118.8
1980 236 201 121.818… 116.3 121.8
1984 239 207 125.454…
1988 243 209 126.666…

 

    Esaminando i valori del modello si ha un'idea più immediata di come sono evoluti i record. Infatti è più facile confrontare un numero con 100 che con 203 o con 165.

    Questi valori con cui abbiamo rappresentato i dati vengono detti numeri indici, cioè "numeri che indicano". Infatti non danno informazioni sull'entità dei dati reali (numeri assoluti), ma indicano soltanto come questi sono variati rispetto al dato che è stato posto eguale a 100.  Questo dato, assunto come punto di riferimento, viene chiamato dato base.  Abbiamo quindi:

 
(2.1)   
numero indice = dato · 100
————
dato base
      ovvero:      (2.2)   
numero indice = dato · 100
————
dato base

    A volte il dato base viene associato a numeri diversi da 100 (in particolare 1 e 1000).


    A fianco sono riprodotti i grafici dei numeri indici dei record considerati nella tabella precedente.
                   
 figura 7

    Sui grafici si può osservare che in una prima fase (anni 30) la specialità femminile è progredita più lentamente di quella maschile (che era praticata già da molti anni ed era in fase di netta evoluzione). Successivamente le donne hanno avuto miglioramenti man mano più intensi, fino a che il numero indice del loro record ha sorpassato quello degli uomini.

MF
'32
203100165100
211103.9172104.2
'52

 12 
    Tra il 1932 e il 1952 il primato di salto in alto per le donne è aumentato di 7 cm; per gli uomini l'aumento è stato di 8 cm, cioè maggiore. Passando dai dati assoluti ai numeri indici l'aumento è ancora maggiore per gli uomini? ..............

     . . . . . . . .

    Possiamo dire che il record femminile in questo periodo è aumentato del 4.2%, cioè di 4.2 centesimi (vedi figura 8), mentre quello maschile è aumentato del 3.9%.

 figura 8  

    La variazione assoluta tra dato iniziale e dato finale (cioè  dato finale – dato iniziale) è spesso meno espressiva della variazione percentuale, cioè della variazione descritta in centesimi del dato iniziale.

    Quando non si disponga già di una rappresentazione in numeri indici che abbia il dato iniziale come dato base, per calcolare la variazione percentuale occorre prima trovare il rapporto percentuale tra dato finale e dato iniziale. Quindi si calcola quanti centesimi in più (nel caso di aumento) o in meno (nel caso di diminuzione) vi sono rispetto al 100%. In formule:

 
(2.3)   
rapporto percentuale = dato finale · 100
————
dato iniziale
      (= n° indice con base dato iniziale)
 
(2.4)    variazione percentuale = rapporto percentuale – 100

    Come esempio calcoliamo con la CT la variazione percentuale tra il record femminile del 1952 (172 cm) e quello del 1960 (186 cm).   Dobbiamo battere:

186 172

Otteniamo: 1.08139… = 108.139… centesimi = [arrotondando] 108.1 %

186 è 1.081 volte 172     186 è 172 più 8.1 centesimi di 172     la variazione è dell'8.1% in più.

 13 
    Di quanto è variato il numero indice dei record femminili passando dal 1952 al 1960?  E` uguale alla variazione percentuale trovata sopra?  Perché questa diversità rispetto alla situazione del quesito 12?

 14 
    Elezioni politiche.  Il  Partito A passa dal 18.4% dei voti al 17.1%. Il partito B passa dal 29.6% al 27.8% dei voti. Il leader del partito A afferma: «Abbiamo tenuto più del partito B. Noi siamo scesi solo poco più dell'1%, mentre loro sono scesi quasi del 2%».
    In effetti la variazione da 18.4 a 17.1 è -1.3 (più vicina a -1 che a -2), mentre quella da 29.6 a 27.8 è -1.8 (più vicina a -2 che a -1). Tuttavia se rappresentiamo il consenso che riceve un partito con la sua percentuale di voti e valutiamo di quanto è variato percentualmente il consenso di A e di B possiamo renderci conto delle sciocchezze che ha detto il leader di A.  Completa i seguenti calcoli:

 
consenso nuovo di A = 17.1
———————————
consenso precedente di A18.4
 = 0.9293… = 92.9%:   diminuzione del 7.1%
 
consenso nuovo di B = 27.8
———————————
consenso precedente di B29.6
 = .........diminuzione del .....

    Per risolvere le difficoltà che hanno messo in luce i quesiti 13 e 14 si può usare il termine punti percentuali.

    Nel caso del quesito 14 possiamo dire che A ha perso 1.3 punti percentuali e che B ha perso 1.8 punti percentuali. Nel caso del quesito 13 possiamo dire che il record femminile dal 1952 al 1960 è aumentato di 8.5 punti percentuali. Ma non si tratta di variazioni percentuali del consenso di un partito o di variazioni percentuali del record:

–   nel caso del partito A, il numero 1.3 rappresenta centesimi del totale dei voti, non dei voti di A,

–   nel caso dei record, 8.5 rappresenta centesimi del record del 1932, non del record del 1952.

 15 
    Nel caso di diminuzioni percentuali si può evitare di fare mentalmente la differenza tra il rapporto percentuale e 100; si può infatti usare facilmente la CT. Ad esempio dopo aver trovato che consenso nuovo di A/consenso vecchio di A = 0.9293…  possiamo sottrarre da tale numero 1 ottenendo -0.0706… = -7.06…% = [se arrotondiamo ai decimi] -7.1%. Scrivi la sequenza di tasti che impieghi per fare completamente questo calcolo.


    Dai grafici di figura 7 si ha l'impressione che le donne continuino a guadagnare rapidamente terreno sugli uomini. Sembra infatti che il record femminile cresca molto più velocemente del record maschile.

    Dai grafici di figura 5 emerge invece che negli ultimi decenni record maschili e femminili crescono più o meno con la stessa velocità.

    Questa errata impressione è dovuta al fatto che i numeri indici rappresentano le percentuali rispetto ai dati del 1932, senza tener conto dei successivi miglioramenti:

–  per le donne 2 cm in più sono sempre un aumento di 2/165·100 = 1.2 punti percentuali;

–  per gli uomini 2 cm in più sono sempre un aumento di 2/205·100 = 1.0 punti percentuali.

    Per un miglior confronto dell'andamento dei record maschili e dei record femminili possiamo rappresentare graficamente le variazioni percentuali ogni 4 anni, cioè rappresentare per il 1936 la variazione percentuale rispetto al 1932, per il 1940 la variazione percentuale rispetto al 1936, e così via. Si ottengono i grafici di figura 9.

  
variazioni percentuali di 4 anni in 4 anni del record maschile di salto in alto in vigore



variazioni percentuali di 4 anni in 4 anni del record femminile di salto in alto in vigore



    figura 9  

 16 
    Dal secondo grafico si osserva che nel '44 il record femminile ha una variazione del 3% rispetto a quello di 4 anni prima. C'è un altro quadriennio in cui il record femminile ha avuto la stessa variazione percentuale? Qual è?  ..........
    Sia per gli uomini che per le donne, individua il quadriennio (o i quadrienni) in cui vi è stata la massima variazione percentuale e quello (o quelli) in cui vi è stata la minima variazione percentuale.

maschi:quadrienni con var. % max: .............con var. % min: .............
femmine:quadrienni con var. % max: .............con var. % min: .............


3. Le tecniche e le attrezzature

    Abbiamo visto ( quesiti 9 e 10) che l'evoluzione del salto in alto ha avuto due accelerazioni in corrispondenza dello sviluppo di nuove tecniche di salto. Dopo la seconda guerra mondiale sono stati messi a punto nuovi stili di scavalcamento ventrale (l'assicella viene superata avvolgendosi attorno ad essa con il ventre e con il petto). Dopo la stasi che è seguita a questa rapida evoluzione è stato messo a punto lo scavalcamento dorsale (stile Fosbury); siamo agli inizi degli anni 70. Da allora si verifica un lento ma continuo miglioramento dei record.

    Sull'evoluzione delle prestazioni sportive incidono molti altri fattori.

    Da una parte incide il complessivo miglioramento delle condizioni di vita (si è visto nella scheda 1 come sono cambiati i consumi: la gente ha un'alimentazione più ricca, ha più tempo libero, svolge più attività sportiva, …), o, almeno, questo si è verificato nei paesi più sviluppati (la gente coinvolta è solo circa 1/4 dell'umanità).   Quindi è più facile che un talento naturale abbia la possibilità di mettere in luce e sviluppare le proprie doti.

    Il miglioramento delle condizioni di vita incide anche sull'evoluzione del corpo umano. Ad esempio nel corso degli anni aumenta l'altezza della popolazione (dal 1912 al 1988 l'altezza media alla visita di leva in Italia è aumentata di 6 cm).

    Poi gli atleti trovano aiuto nella medicina e nella biologia, che, approfondendo la conoscenza del funzionamento del corpo umano, individuano diete, metodi di allenamento, … (ma anche sostanze chimiche dannose per l'organismo) che possono migliorare le prestazioni.

    Esaminiamo un altro sport. Il salto con l'asta (specialità praticata solo dagli uomini).

    Nella figura 10 è tracciato il grafico che visualizza la relazione tra i record di salto con l'asta e gli anni in cui sono stati stabiliti. Il periodo preso in considerazione va dal 1912 al 1988. I punti (A,R), dove A è l'anno in cui è stato stabilito il record R, sono stati congiunti con dei segmenti.

 17 
    Di quanti centimetri è migliorato il record dal 1960 al 1965? .........

 18 
    Un aumento di circa mezzo metro in 5 anni (di cui la metà nel giro di un solo anno) non può essere solo frutto di nuove tecniche di salto, nuove forme di allenamenti, …. Secondo voi a quale fattore può essere attribuito il grosso di questa evoluzione?




 figura 10  

    Si potrebbero analizzare altri sport, andare più a fondo per studiare l'incidenza di tecniche e attrezzature (dall'asta in bambù o metallo all'asta in fibra di vetro, dalla pista in terra alla pista in materiali sintetici, dall'impugnatura del giavellotto con una certa forma a un nuovo modello di impugnatura, ecc.), cercare di individuare dai grafici se si possono ipotizzare dei limiti alle prestazioni umane (ad esempio: quale velocità si potrà raggiungere nella specialità dei 100 m di corsa?), …

    Ma ci fermiamo qui: non era nostro scopo tanto andare a fondo in questa analisi quanto illustrare il ruolo che può svolgervi la matematica.

    In particolare abbiamo visto quante informazioni, quanti approfondimenti, … si possano ottenere utilizzando opportunamente alcuni semplici modelli matematici. Abbiamo tuttavia visto anche come questi strumenti non siano sempre di uso semplice. La difficoltà non sta nel fare qualche conto (in questo ci aiutano egregiamente le CT), ma nell'usare il modello adeguato e nell'interpretare opportunamente le informazioni che esso ci può fornire.


4. Ancora sui grafici - Le funzioni - Uso di Poligon

    Nelle schede di questa unità didattica abbiamo considerato diverse relazioni di proporzionalità, cioè relazioni del tipo  grandezza2 = grandezza1·k.

    Si dice anche che grandezza2 varia proporzionalmente a grandezza1; k viene detto fattore di proporzionalità: è il fattore moltiplicativo che applicato a grandezza1grandezza2.

    Per abbreviare la scrittura invece di grandezza1 e di grandezza2 possiamo usare variabili costituite da una sola lettera, ad esempio x e y. La relazione può allora essere riscritta nella forma:

y = k·x

oppure (poiché il risultato di una moltiplicazione non muta scambiando 1° e 2° termine):

y = x·k

    Abbiamo anche visto altre situazioni in cui i valori di una grandezza (y) possono essere individuati sulla base dei valori assunti da un'altra grandezza (x). Ad esempio: il costo di una corsa ferroviaria  è determinabile con la tabella tariffaria se si conosce la lunghezza del tragitto; il volume di un cubo è calcolabile a partire dalla lunghezza dello spigolo; per specificare l'ammontare della popolazione italiana, il record del salto in alto, … dobbiamo precisare qual è la data presa in considerazione; per quantificare i consumi alimentari annui degli italiani dobbiamo riferirci a un anno particolare.

    Si dice anche che y varia in funzione di x: il costo di una corsa ferroviaria varia in funzione della lunghezza del percorso, il costo di un prodotto venduto a peso varia in funzione del peso stesso, il volume di un cubo varia in funzione della lunghezza dello spigolo, … .

    La relazione che intercorre tra x e y in questi casi viene chiamata funzione.
    Usando una terminologia informatica, possiamo dire che y è l'output corrispondente all'input x; nel disegno a fianco la "scatola nera" rappresenta la funzione che ad x associa y.
  

    Nel caso della relazione di proporzionalità, il grafico della relazione che ad x associa y assume l'aspetto di una retta che passa per il punto (0,0).
    A fianco è, ad esempio, riprodotto in piccolo il grafico già considerato nel quesito 79 della scheda 1, dove con x si sono indicati i dati relativi ai consumi degli italiani nel 1985 e con y le ampiezze dei corrispondenti settori circolari, cioè il grafico della relazione:
 
 y = x · 360
————
434100
  

    Questo grafico lo avevate tracciato a mano su un foglio di carta millimetrata. Vediamo come potete realizzarlo al calcolatore, usando il programma POLIGON.

    Nel caso del tracciamento a mano, dopo aver stabilito l'intervallo dei valori di x e l'intervallo dei valori di y che voglio rappresentare sulla carta millimetrata, fisso gli assi di riferimento e, in base alla porzione di carta che voglio occupare, scelgo su di essi scale"opportune".

    Nel caso di POLIGON è il computer a tracciare il grafico sulla base delle informazioni che gli fornisco introducendo dati e comandi in opportuni riquadri e "cliccando" opportuni bottoni.  Essendo fissa la porzione di schermo destinata ai grafici (di forma quadrata), le scale sui due assi vengono automaticamente determinate dalla mia scelta degli intervalli per x e per y.

  
[clicca QUI se sei in Windows e vuoi aprire il programma]

    POLIGON consente di tracciare grafici di funzioni di cui:

A)   sia noto il termine che esprime y in funzione di x; ad esempio nel nostro caso sappiamo che y vale x·360/434100. Se la funzione viene indicata con il nome f il valore di y associato a x viene in genere indicato con f(x) (che si legge: «effe di x»);   

B)   oppure si conosca una tabella che contenga una quantità finita di valori di x e i corrispondenti valori di y (in questo caso POLIGON richiede la battitura delle coppie x,y e, se si vuole, l'indicazione di non congiungere un punto al successivo).

    Nel caso A ci si descrive la funzione, assegnandole un nome, nel riquadro in basso nel modo illustrato sotto: si è considerata la funzione dell'ultimo esempio e si scelto per essa il nome F. Se poi si clicca il bottone [Imp] il programma importa questa definizione. Sulla finestra scorrevole a destra viene visualizzata la definizione, consentendoci di rivederla in un secondo momento (ed eventualmete di copiarla e incollarla in altri documenti).

Poi, nel riquadro "x" in alto, indico l'intervallo di valori in cui voglio far variare x separando l'estremo sinistro da quello destro con "..", e, nel riquadro "y" il nome della funzione. Infine clicco [Plot].
    Nella finestra scorrevole alta compare una lista in cui sono richiamati gli intervalli per le x e per le y attualmente associati alla finestra-grafici, i valori delle divisioni sugli assi (e delle distanze dei punti della corrispondente "griglia" che appare sulla finestra-grafici); inoltre è indicato come abbiamo definito F e il fatto che abbiamo comandato il tracciamento del grafico di F per x tra 0 e 434100. Compare anche N=101, per dirci che il programma ha approssimato il grafico con 101 segmentini (una linea poligonale di 101 lati).
    Ma se osserviamo la finestra grafici non riusciamo a distinguere il grafico di F: infatti inzialmente ad essa sono associati gli intervalli:
-10 ≤ x ≤ 10;   -10 ≤ y ≤ 10.
    Se facciamo un doppio-clic su [o] riusciamo a ottimizzare la scala. Otteniamo quanto segue (qui rappresentato con colori invertiti e rimpicciolito). Se clicchiamo col mouse su un punto della finestra-grafici vengono visualizzate le x e y che corrispondono (approssimativamente) ad esso (nell'esempio è un punto della griglia, corrispondente alla 4ª tacca dell'asse x e alla 3ª dell'asse y).
  

Volendo possiamo scegliere direttamente gli intervalli per le x e le y da associare alla finestra indicandoli nei riquadri "sx" e "sy" e cliccando [Scala]. Volendo possiamo cambiare il numero dei segmentini da tracciare mettendo in "x" N=… a destra dell'indicazione dell'intervallo delle x; aggiungendo la lettera P facciamo sì che il grafico sia tracciato "per punti" (dei segmentini vengono solo tracciati gli estremi). Per tracciare il nuovo grafico senza mantenere la visione del vecchio dobbiamo, prima di cliccare [Plot], fare un clic su [N]. Ecco un esempio:

 19 
    Usando POLIGON traccia sullo stesso sistema di riferimento i grafici delle relazioni che esprimono il costo (in lire) in funzione del peso (in chilogrammi) di due prodotti venduti ai seguenti prezzi:  3500 L/kg, 8990 L/kg. Prevedi un peso massimo di 10 kg. Memorizza come F e come G le due funzioni e, dopo aver tracciato il grafico della prima, traccia quello della seconda. Cerca di ottenere una rappresentazione simile a quella a lato (stessa "scala" e stessi colori - la figura riproddotta è stata rimpicciolita e modificata in modo da evidenziare meglio gliglia e grafici). Per scegliere la scala non usare [Scala] ma prova ad usare opportunamente solo gli altri bottoni.
[usa l'help per trovare suggerimenti]
  

[ Per ora non sei in grado di comprendere tutte le informazioni fornite dall'help (ad esempio il significato di alcune funzioni e costanti, alcuni modi di descrivere le funzioni). Ricordiamo che il simbolo ^ indica l'elevamento a potenza (3^2 sta per 32).
Nell'help viene osservato che un solo clic su [o] dà luogo a un sistema monometrico; questa espressione (derivante dal greco monos, che significa "unico"), indica che sui due assi si è scelta la stessa unità di misura. La finestra è quadrata, per cui si ottiene un sistema monometrico se per x e per y si scelgono intervalli [x1,x2] e [y1,y2] di uguale ampiezzdi uguale ampiezza, cioè tali che le differenze x2-x1 e y2-y1 siano uguali.
Con [3, 7], [-2, 4.5], [x1, x2], … si indica l'intervallo di numeri che va da 3 a 7, da -2 a 4.5, da x1 a x2, …, e più precisamente l'insieme dei numeri che sono maggiori o uguali a 3 e minori o uguali a 7, … ]

 20 
    Usando POLIGON è stato tracciato il grafico della funzione F che ad ogni anno associa la quantità (in migliaia) dei disoccupati italiani considerata nel quesito 5. La funzione è presentata sotto forma di tabella. Non conoscendo l'espressione generale del termine F(x) si è dovuto scegliere il tracciamento punto per punto. Più precisamente, si sono introdotte man mano x e y (nei riquadri "x" e "y") e si è via via cliccato [Plot]. Inizialmente si sono scelti (usando [Scala]) gli intervalli delle x e delle y da ssociare alla finestra.
    Si è ottenuto il grafico riprodotto sotto a sinistra.
    Si è poi introdotto un "salto" (si è scritto S nel riquadro "x" e si è cliccato [Plot]) e si è tracciato il segmento che va da "x=75, y=200" a "x=85, y=200" (come nuovo "asse x"). Infine si è modificata la scala, ottenendo il grafico riprodotto a destra.
    Completa le indicazioni sulla scala e le divisioni del secondo grafico e controlla le tue risposte impiegando POLIGON.


5. Esercizi

 21 
    In un opuscolo per turisti americani è presente il grafico riprodotto a lato, che mette in relazione la misura della temperatura in gradi Celsius (o centigradi) con quella in gradi Fahrenheit (usati nei paesi di lingua inglese). Ad esempio il punto (0,32) indica che a 0°C corrispondono 32°F, il punto (100,212) che a 100°C corrispondono 212°F. Che cosa indicano gli altri punti che abbiamo circolettato?
(cerca di ricavare dal grafico i valori approssimati alle unità, tollerando l'errore di un grado in più o in meno)
   

 22 
    Il grafico seguente rappresenta l'altitudine della linea ferroviaria Padova-Calalzo [ LMSM-2, §4]. Calcola (arrotondata a 2 cifre) la pendenza media di tale linea ferroviaria, cioè il rapporto tra variazione complessiva di altitudine e strada percorsa "orizzontalmente" (come abbiamo visto, nel caso delle pendenze stradali, si può approssimare l'avanzamento orizzontale con la lunghezza del tratto percorso; quindi puoi prendere 158 km come strada percorsa orizzontalmente).  Se la linea ferroviaria avesse pendenza costante, cioè avesse la rappresentazione grafica tratteggiata, quale sarebbe la sua pendenza?

 23 

    A fianco sono rappresentate graficamente le tariffe ferroviarie (di 2ª classe) in vigore nell'inverno 95/96: sull'asse orizzontale sono rappresentate le percorrenze in km, su quello verticale i prezzi in lire.

(1)   Ho 100 mila lire. Con un unico biglietto, qual è (approssimativamente) la percorrenza massima che posso compiere?

(2)   È tracciato, punteggiato, un segmento che approssima l'andamento delle tariffe fino alla percorrenza di 1000 km. Traccia a matita un segmento che approssimi l'andamento delle tariffe per percorrenze superiori.  Quale dei due segmenti ha pendenza maggiore?

(3)   Servendoti del grafico, stima, per percorrenze inferiori a 1000 km, di quanto aumenta mediamente il prezzo per ogni km in più di viaggio.

(4)   Come (3), per percorrenze superiori a 1000 km.

  

 24 
    Il costo di un particolare viaggio in pullman è passato da 17 mila a 21 mila lire. Calcola il rapporto tra prezzo nuovo e prezzo vecchio e, da questo valore, ricava l'aumento percentuale del prezzo della corsa.

 25 
    Un vestito che costa 95000 lire viene venduto in liquidazione a 80000 lire. Calcola il rapporto tra prezzo nuovo e prezzo vecchio e, da questo valore, ricava lo sconto percentuale corrispondente.

 26 
    Una maglia, il cui prezzo è L. 35000, viene venduta con uno sconto del 25%, cioè ad un prezzo pari al 75% (=0.75) del prezzo di listino. Qual è il prezzo scontato?

 27 
    Traduci in una formula la frase «La distanza tra due località si ottiene dividendo la distanza tra le corrispondenti posizioni sulla cartina per il fattore di scala» usando le variabili DistanzaRealtà, DistanzaCarta e FattoreScala.

 28 
    Traduci in una formula la frase «Detraendo le trattenute dallo stipendio lordo si ottiene lo stipendio netto» usando le variabili StipendioNetto, Trattenute e StipendioLordo.

 29 
    Traduci in una formula la frase «L'imposta è pari al 22 per cento del valore che si ottiene detraendo le trattenute dal reddito lordo» usando le variabili Imposta, Trattenute e RedditoLordo.

 30 
    A fianco sono tracciate alcune rette che, nel sistema di riferimento fissato, rappresentano delle relazioni tra i numeri rappresentati sull'asse orizzontale e i numeri rappresentati sull'asse verticale.
    Sotto sono elencate alcune relazioni tra un generico numero x rappresentato sull'asse orizzontale e un generico numero y rappresentato sull' asse verticale. Si associ ad ogni retta la relazione che essa rappresenta (per motivare la scelta fatta si individui un punto (x,y) appartenente alla retta considerata, ma non alle altre rette).
(1)    x è il doppio di y;
(2)    y = x;
(3)    x = -y;
(4)    y è il 30% di x;
(5)    y = x·2

   

 31 

    Completa (a fianco) il grafico della relazione tra i numeri x rappresentati sull'asse orizzontale e i numeri y rappresentati sull'asse verticale così definita:

«x e y sono in relazione se sono entrambi interi positivi e hanno come somma 10».

   

 32 
   

    Completa (a fianco) il grafico della relazione:

«x e y sono interi appartenenti all'intervallo [-3,3] tali che x>y».

    Sono già tracciati i punti corrispondenti alle seguenti diseguaglianze:

    2>1, 2>0, -1>-2, 1>-3

 33 

    A fianco sono riprodotte le rette che sono grafici delle relazioni:

 y = x·(1/3),   y = x·1.2,   y = x·3.

    Calcola la pendenza (= spostamento verticale/spostamento orizzontale) delle tre rette.

   

 34 

    Le relazioni del quesito 33 rappresentano y "in funzione" di x.
    Dato x si può ricavare y sia usando le equazioni che ricorrendo al grafico: ad esempio nel caso di y=x·1.2 si può stabilire che a 3 viene associato 3.6 osservando che l'unico punto con x=3 del grafico ha y=3.6.

        Nel caso del grafico di figura 2, che rappresenta i record e gli anni in cui sono stati stabiliti e che è stato parzialmente riprodotto a sinistra, non siamo di fronte a una rappresentazione del record "in funzione" dell'anno: non basta fissare un anno per individuare un particolare record in quanto nello stesso anno possono essere stati stabiliti più record.
    Ad esempio in corrispondenza dell'ascissa 1960 abbiamo 3 punti del grafico, di ordinate 212, 213 e 222.
    Si può, invece, esprimere l'anno in funzione del record: dato un record posso trovare in maniera univoca l'anno in cui è stato stabilito: nel grafico a destra, in cui sono stati scambiati i due assi di riferimento, non vi sono punti con la medesima ascissa.
  
    Nel caso delle relazioni dei quesiti 30, 31, 32 siamo di fronte a situazioni in cui y è funzione di x?

 35 

    Riproduci a fianco i grafici delle tre rette passanti per (0,0) con pendenze 0.5, 1 e 1.5 che ottieni con POLIGON e indica come hai scritto il termine che esprime l'output nei tre casi, ossia completa a destra del grafico con le espressioni di F(x), G(x) e H(x).
[con x1 e x2 si sono indicati le x minima e massima rappresentate sulla finestra-grafici, con y1 e y2 le y minima e massima]

 
x1=-4
x2=4
divis. oriz.=1
y1=-4
y2=4
divis. vert.=1  
F: …
G: …
H: …

 36 
    Calcola la pendenza dei tre tratti rettilinei che compongono il grafico a lato.    

 37 
    Tenendo conto ( quesito 21) che i punti (0,32) e (100,212) appartengono alla retta che rappresenta il grafico della temperatura in gradi Fahrenheit in funzione della temperatura in gradi Celsius, trova la variazione in °F corrispondente alla variazione di 1°C.

 38 
    Prendendo come dati base i valori relativi al 1926 e ponendoli eguali a 1, calcola i numeri indici (arrotondati a 3 cifre) della spesa pro-capite per alimentari e della retribuzione annua considerate nel quesito 72 della scheda 1.

anno spesa alim. pro-capite retribuzione n. indici della spesa n. indici della retrib.
1926 1.94·103 9.15·103 1 1
1945 2.09·104 7.34·104    
1965 1.96·105 1.42·106    
1985 2.04·106 1.71·107    

 39 
    I numeri indici del quesito 38 possono essere calcolati e rappresentati graficamente usando Poligon.
    Sotto è riprodotto il grafico dei numeri indici della spesa. Definita F come x x/1.94E3, i numeri indici relatvi all'85 sono stati rappresentati graficamente mediante un tracciamento a punti congiunti introducendo man mano come x e y: 26 e F(1.94e3), 45 e F(2.09e4), …
    Traccia il grafico dei numeri indici delle retribuzioni e scrivi il termine G(x) che avresti utilizzato per rappresentare analogamente questi numeri indici.
    Verifica le tue risposte usando Poligon.

x1=26
x2=85
divis. oriz.=5

y1=0
y2=2000
divis. vert.=200  
F: x/1.94E3
G: …

    Si può usare Poligon anche per calcolare i numeri indici: basta calcolare il valore di F(x) (nel caso della spesa) o di G(x) (in quello della retribuzione) per diversi valori di x (2.09E3, 1.96E5, …): si mette F(...) nel riquadro in basso e si clicca [Imp], oppure si preme ACapo (Enter). In fondo alla finestra scorrevole si ottengono le uscite. Prova a farlo e confronta i risultati con quelli ottenuto nel quesito 38 (nota che Poligon approssima i valori di output anche sotto forma di frazione). 

 40 
   x1=-5  
x2= 5
y1=-5
y2= 5
    Poligon può essere impiegato anche per tracciare figure che non siano grafici di funzioni.
    Ad esempio impiegando il tracciamento punto per punto si può ottenere la figura a fianco. Indica la sequenza di punti che forniresti a Poligon per ottenere questa figura e verifica la tua risposta al calcolatore.

 41 
    Un supermercato fa un'offerta "3 per 2" su alcuni prodotti. Cioè se il cliente compra 3 "pezzi" di un prodotto in offerta, ne paga 2 soli. Calcola lo sconto percentuale che corrisponde a questa offerta.

 
rapporto = PrezzoScontato = CostoUnitario·2 = 2 = 
————————————
PrezzoInizialeCostoUnitario·33
=.666… = 66.6…% =
 
= [arrotondando alle unità]   ......%   =   100% –  ......
 
Il prezzo iniziale viene diminuito (scontato) del   ......%

 42 
    Un paio di jeans viene offerto in saldo a L. 57000, con uno sconto del 20%. Qual era il prezzo in origine?  [traccia: il prezzo scontato è l'80% del prezzo iniziale, cioè: PrezzoScontato=PrezzoIniziale·0.8; quindi:  PrezzoIniziale=…]

 43 
    Su un particolare prodotto è prevista l'IVA del 19% (cioè il 19% del prezzo di vendita viene versato allo stato come imposta). A quanto si deve vendere il prodotto per incassare al netto dall'imposta 8500 lire?  [traccia: procedi in maniera analoga al quesito precedente: PrezzoVendita=PrezzoSenzaIVA·… ; …]

 44 
    Dalla tabella del quesito 11 osserviamo che la variazione dei dati assoluti dal 1972 al 1980 è di 7 cm sia per gli uomini che per le donne mentre la variazione dei numeri indici corrispondenti è diversa (116.3-112.8 = 3.5 in un caso, 121.8-117.6 = 4.2 nell'altro). Come mai?

 45 

    Un treno "Intercity" Milano-Roma parte alle 7:55, alle 9:36 arriva a Bologna (219° km) e ne riparte alle 9:40; alle 10:41 arriva a Firenze (316° km) e ne riparte alle 10:50. Alle 12:43 arriva a Roma, alla stazione Tiburtina (626° km).
    Quali espressioni devi battere come x e come y per ottenere con Poligon il grafico seguente che esprime la posizione (in km) del treno lungo la linea Milano-Roma in funzione del tempo (in ore)?

[ricorda che, ad es., 10:17 sta per 10 h 17', cioè 10+17/60 h; verifica la tua risposta al calcolatore]

           x =        
x =
x =
x =
x =
x =
y =        
y =
y =
y =
y =
y =
 
    Dal grafico (vedi freccia) si può dedurre che alle 12 il treno (se in orario) transita al 510° km?
...........................................................................................................
 

 

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

grafico di una relazione (dopo fig.4),   pendenza media (dopo ques.8),   aumento medio (dopo ques.8),   numero indice (dopo ques.11),   variazione percentuale (prima di ques.12),   sistema monometrico (ques.19),   grandezza che varia in funzione di un'altra (4).

2) Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").